%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Project Gutenberg's Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen %% %% Kugelsysteme, by Theodor Reye %% %% %% %% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with %% %% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or %% %% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included %% %% with this eBook or online at book.klll.cc %% %% %% %% %% %% Packages and substitutions: %% %% %% %% book: Basic book class. Required. %% %% amsmath: Basic AMS math package. 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You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at book.klll.cc Title: Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme Author: Theodor Reye Release Date: November 25, 2005 [EBook #17153] Language: German Character set encoding: TeX *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYNTHETISCHE GEOMETRIE *** Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net from images generously made available by Cornell University Digital Collections. \end{verbatim} \normalsize \newpage %-----File: Titlepage.png------------------------------- \frontmatter \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{1cm} {\LARGE SYNTHETISCHE} \bigskip\bigskip {\Huge GEOMETRIE DER KUGELN} \bigskip\bigskip {\large UND} \bigskip\bigskip {\LARGE LINEAREN KUGELSYSTEME} \bigskip\bigskip \bigskip\bigskip {\large MIT EINER EINLEITUNG} \bigskip\bigskip {\large IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KUGELSYSTEME} \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip VON \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip \textsc{\LARGE Dr. TH. REYE} \bigskip O. PROFESSOR AN DER UNIVERSIT\"AT STRASSBURG \vfill {\large LEIPZIG \medskip DRUCK UND VERLAG VON B.~G.~TEUBNER \medskip 1879 } \end{center} \newpage \thispagestyle{empty} \mainmatter %-----File: 006.png------------------------------- %[Blank Page] %-----File: 007.png--------------------------------- \abschnitt{Vorwort.} \hspace{-0.8pt}% Die synthetische Geometrie der Kreise und Kugeln verdankt den Auf\-schwung, welchen sie im Anfange unseres Jahrhunderts genommen hat, haupt\-s\"achlich den bekannten Ber\"uhrungsproblemen des Apollonius von Perga. Die Aufgabe, zu drei gegebenen Kreisen einen vierten sie ber\"uhrenden Kreis zu construiren, war freilich nebst ihren zahlreichen Specialf\"allen schon von Vieta (1600) mit den H\"ulfsmitteln der Alten, und von Newton, Euler und N.~Fuss analytisch gel\"ost worden, auch hatte bereits Fermat\footnote{) Fermat, de contactibus sphaericis. (Varia opera mathematica, Tolosae 1679, fol.)}) von dem analogen Problem f\"ur Kugeln eine synthetische Auf\/l\"osung gegeben. Gleichwohl dienten diese Apollonischen Aufgaben noch lange den Mathematikern zur fruchtbaren Anregung. Zu neuen Auf\/l\"osungen dieser Ber\"uhrungsprobleme gelangten zuerst einige Sch\"uler von Monge, indem sie die Bewegung einer ver\"anderlichen Kugel untersuchten, welche drei gegebene Kugeln fortw\"ahrend ber\"uhrt. Dupuis entdeckte und Hachette\footnote{) Correspondance sur l'Ecole polytechnique, T.~I, S.~19; vgl.\ T.~II, S.~421.}) bewies (1804), dass der Mittelpunkt der Kugel auf einem Kegelschnitte sich bewegt und dass ihre Ber\"uhrungspunkte drei Kreise beschreiben. Bald darauf (1813) ver\"offentlichte Dupin\footnote{) Ebenda T.~II, S.~420, und sp\"ater in seinen Applications de G\'{e}om\'{e}trie et de M\'{e}canique, Paris 1822.}) seine sch\"onen Untersuchungen \"uber die merkw\"urdige, von jener ver\"anderlichen Kugel eingeh\"ullte Fl\"ache, welcher er sp\"ater den Namen Cyclide beilegte; er zeigte u.~A., dass diese Fl\"ache zwei Schaaren von kreisf\"ormigen %-----File: 008.png-------------------------------- Kr\"ummungslinien besitzt, deren Ebenen durch zwei zu einander rechtwinklige Gerade gehen. Fast gleichzeitig (1812) f\"uhrte Gaultier\footnote{) Journal de l'Ecole polytechnique, $16^{\text{me}}$ cahier, 1813.}) die Potenzpunkte von Kreisen und Kugeln sowie die Kreisb\"uschel und Kugelb\"uschel, wenn auch unter anderen Namen, ein in die neuere Geometrie, und benutzte dieselben zur L\"osung der Apollonischen Ber\"uhrungsprobleme. Die Lehre von den Kreisb\"uscheln und von den Aehnlichkeitspunkten mehrerer Kreise wurde sodann von Pon\-ce\-let\footnote{) Poncelet, Trait\'e des propri\'et\'es projectives des figures, Paris 1822; 2.~Aufl.~1865.}) (1822) vervollkommnet und mit der Polarentheorie des Kreises, deren Anf\"ange sich schon bei Monge\footnote{) Monge, G\'eom\'etrie descriptive, Paris 1795; $5^{\text{e}}$ \'ed.~1827, S.~51.}) finden, in Verbindung gebracht. Vier Jahre sp\"ater (1826) erschienen die {\glqq}geometrischen Betrachtungen{\grqq} von Jacob Steiner\footnote{) Crelle's Journal f\"ur die r.~u.~a.\ Mathematik, Bd.~1.}), in welchen zum ersten Male der Ausdruck {\glqq}Potenz{\grqq} bei Kreisen und Kugeln angewendet wird. Indem er die Ber\"uhrung als speciellen Fall des Schneidens auf\/fasst, erweitert Steiner in dieser Abhandlung die Apollonischen Ber\"uhrungs-Aufgaben zu den folgenden: \begin{quote} {\glqq}Einen Kreis zu construiren, welcher drei gegebene Kreise, oder eine Kugelfl\"ache, welche vier gegebene Kugeln unter bestimmten Winkeln schneidet.{\grqq} \end{quote} Zugleich giebt er die Absicht kund, ein Werk von 25 bis 30 Druckbogen herauszugeben \"uber {\glqq}das Schneiden (mit Einschluss der Ber\"uhrung) der Kreise in der Ebene, das Schneiden der Kugeln im Raume und das Schneiden der Kreise auf der Kugelfl\"ache{\grqq}, in welchen jene und andere neue Probleme ihre L\"osung finden sollten. Leider hat Steiner seinen Plan nicht ausgef\"uhrt; unter seinen zahlreichen Schriften findet sich nur noch ein kleineres aber gehaltvolles Werk \"uber den Kreis\footnote{) Steiner, Die geometrischen Constructionen, ausgef\"uhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, Berlin 1833.}), in welchem unter anderen auch die harmonischen und polaren Eigenschaften des Kreises elementar abgeleitet werden. Von Poncelet's invers liegenden und Steiner's potenzhaltenden Punkten zu dem Princip der reciproken Radien %-----File: 009.png--------------------------------- ist nur ein kleiner Schritt; trotzdem verdanken wir dieses wichtige Abbildungsprincip nicht der synthetischen, sondern der analytischen Geometrie, und in zweiter Linie der mathematischen Physik. Pl\"ucker\footnote{) Pl\"ucker in Crelle's Journal f\"ur d.~r.~u.~a.\ Math., Bd.~XI.\ S.~219--225. Die kleine Abhandlung ist von 1831 datirt.}) stellte es zuerst (1834) als {\glqq}ein neues Uebertragungsprincip{\grqq} auf; er geht aus von Punkten, die bez\"uglich eines Kreises einander zugeordnet sind, beweist u.~A., dass jedem Kreise der Ebene ein Kreis oder eine Gerade zugeordnet ist und dass zwei Gerade sich unter denselben Winkeln schneiden wie die ihnen zugeordneten Kreise, und giebt verschiedene Anwendungen des Princips, auch auf das Apollonische Ber\"uhrungsproblem. Auf's Neue wurde das Princip (1845) entdeckt von William Thomson\footnote{) W.~Thomson in Liouville, Journal de Math\'ematiques, T.~X.\ p.~364.}), welcher es das Princip der elektrischen Bilder nannte; seinen heutigen Namen erhielt es (1847) durch Liouville\footnote{) Liouville, Journal de Math\'ematiques, T.~XII, p.~276. }). F\"ur Thomson sind die Anwendungen des Princips auf elektrostatische Probleme und seine Wichtigkeit f\"ur die ganze Potentialtheorie und f\"ur die Lehre von der W\"armeleitung nat\"urlich die Hauptsache; nur beil\"aufig erw\"ahnt er, dass Kugeln durch reciproke Radien allemal in Kugeln oder Ebenen \"ubergehen, und dass die von ihnen gebildeten Winkel sich bei dieser Transformation nicht \"andern. Liouville seinerseits hebt hervor, dass zwei durch reciproke Radien einander zugeordnete Fl\"achen oder Raumtheile conform auf einander abgebildet sind, und dass die Kr\"ummungslinien der einen Fl\"ache in diejenigen der anderen sich verwandeln; auch wendet er das Princip u.~A.\ auf die Dupin'sche Cyclide an. Unabh\"angig von Thomson und Liouville gelangte wenige Jahre sp\"ater (1853) M\"obius\footnote{) Berichte der Kgl.\ S\"achsischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1853, S.~14--24; Abhandlungen derselben Gesellschaft, Bd.~II, Lpz.~1855, S.~531--595.}) zu demselben Abbildungsprincip, welchem er den Namen {\glqq}Kreisverwandtschaft{\grqq} gab. Die mannigfaltigen H\"ulfsmittel und fruchtbaren Methoden, durch welche so die synthetische Geometrie der Kreise und Kugeln allm\"alig bereichert worden ist, verdienen nun wohl, einmal in einem neuen Zusammenhange dargestellt zu %-----File: 010.png--------------------------------- werden. Wir gelangen zu einem solchen, innigen Zusammenhange und zugleich zu gewissen Erweiterungen der Kugelgeometrie, indem wir von dem bisher wenig beachteten Kugelgeb\"usche ausgehen. Das Princip der reciproken Radien, durch welches die meisten nachfolgenden Untersuchungen wesentlich vereinfacht werden, tritt bei diesem Entwickelungsgange geb\"uhrend in den Vordergrund; die Lehre von den harmonischen Kreis-Vierecken, die Theorie der Kugelb\"undel und Kugelb\"uschel und die Polarentheorie der Kugel und des Kreises schliessen sich ungezwungen an, nur wird ihre Begr\"undung eine andere; die Lehre von den linearen Kugelsystemen aber erweitert sich von selbst zu der Geometrie des Kugelsystemes von vier Dimensionen. Indem wir sodann den Ber\"uhrungsproblemen uns zuwenden, treten uns alsbald einerseits die Aehnlichkeitspunkte von Kugeln und Kreisen, anderseits gewisse quadratische Kugel- und Kreissysteme entgegen. Letztere, zu welchen auch die Dupin'schen Kugelschaaren geh\"oren, werden in den sp\"ateren Abschnitten eingehend untersucht und auf die vorhin erw\"ahnten und andere bisher ungel\"oste Probleme Jacob Steiner's angewendet. Durch Einf\"uhrung von Kugelcoordinaten wird schliesslich zu der projectiven Beziehung von Kugelsystemen und zu den Kugelcomplexen, insbesondere den quadratischen, ein leichter Zugang gewonnen. Den r\"aumlichen Mannigfaltigkeiten von vier und mehr Dimensionen wird bekanntlich seit 1868 auf Anregung von Riemann, Helmholtz und Pl\"ucker viel Beachtung geschenkt. Deshalb m\"oge hier noch hervorgehoben werden, dass auch dieses B\"uchlein es mit einer vierfach unendlichen Mannigfaltigkeit zu thun hat, und zwar mit der einfachsten und der Anschauung zug\"ang\-lich\-sten, die es giebt. Alle Kugeln des Raumes n\"amlich bilden eine \so{lineare} Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, w\"ahrend z.~B.\ die Gesammtheit aller geraden Linien, womit die Pl\"ucker'sche Strahlengeometrie sich besch\"aftigt, eine \so{quadratische} Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen bildet. Ein Kugelgeb\"usch ist demgem\"ass sehr leicht, ein linearer Strahlencomplex dagegen nicht ohne viele M\"uhe einem Anf\"anger verst\"andlich zu machen, und Aehnliches gilt von dem Kugelb\"uschel und der Regelschaar. Die Kugelgeometrie besitzt an dem Princip der reciproken Radien eine %-----File: 011.png--------------------------------- wichtige Methode, die in der Strahlengeometrie ihres Gleichen nicht hat; der analytischen Behandlung ist sie sehr leicht zug\"anglich, und zudem umfasst sie die Geometrie der Punkte und der Ebenen, weil diese als Grenzf\"alle der Kugel aufzufassen sind. M\"oge deshalb die Kugelgeometrie ebenso wie die Strahlengeometrie sich mehr und mehr Freunde und F\"orderer gewinnen. \bigskip \hspace{5em}\so{Strassburg i.~E.}, den 20. December 1878. \hfill\textbf{Der Verfasser.} %-----File: 012.png--------------------------------- \newpage \abschnitt{Inhalts-Verzeichniss.} \begin{tabular}{l@{ }rl@{}r} &&& \parbox{.05\textwidth}{Seite} \\ \S &1. &Potenz von Punktenpaaren, Kreisen und Kugeln~\dotfill &\pageref{p1} \\ \S &2. &Das Kugelgeb\"usch~\dotfill &\pageref{p2} \\ \S &3. &Das Princip der reciproken Radien~\dotfill &\pageref{p3}\\ \S &4. &Harmonische Kreisvierecke; harmonische Punkte, Strahlen\\ && und Ebenen~\dotfill & \pageref{p4} \\ \S &5.& Kugelb\"undel und Kugelb\"uschel. Orthogonale Kreise~\dotfill & \pageref{p5} \\ \S &6.& Kreisb\"undel und Kreisb\"uschel~\dotfill & \pageref{p6} \\ \S &7.& Das sph\"arische und das cyklische Polarsystem~\dotfill & \pageref{p7} \\ \S &8.& Kugeln und Kreise mit reellem Centrum und rein\\ && imagin\"arem Halbmesser~\dotfill & \pageref{p8} \\ \S &9.& Lineare Kugelsysteme~\dotfill & \pageref{p9} \\ \S &10.& Reciproke und collineare Gebilde~\dotfill & \pageref{p10} \\ \S &11.& Collineare und reciproke Gebilde in Bezug auf ein\\ && Kugelgeb\"usch~\dotfill & \pageref{p11} \\ \S &12.& Harmonische Kugeln und Kreise~\dotfill & \pageref{p12} \\ \S &13.& Kugeln, die sich ber\"uhren. Aehnlichkeitspunkte von Kugeln~\dotfill & \pageref{p13} \\ \S &14.& Ber\"uhrung und Schnitt von Kreisen auf einer Kugelfl\"ache~\dotfill & \pageref{p14} \\ \S &15.& Die Dupin'sche Cyclide~\dotfill & \pageref{p15} \\ \S &16.& Lineare Kugelsysteme, die zu einander normal sind~\dotfill & \pageref{p16} \\ \S &17.& Kugeln, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden~\dotfill & \pageref{p17} \\ \S &18.& Kreise auf einer Kugel, die sich unter gegebenen Winkeln\\ && schneiden~\dotfill & \pageref{p18} \\ \\ &&\parbox{0.82\textwidth}{\centering \so{Einleitung in die analytische Geometrie\\ der Kugelsysteme.}}\\ \\ \S &19.& Kugelcoordinaten. Complexe, Congruenzen und Schaaren\\ && von Kugeln~\dotfill & \pageref{p19} \\ \S &20.& Projective Verwandtschaft linearer Kugelsysteme~\dotfill & \pageref{p20} \\ \S & 21. &Quadratische Complexe, Congruenzen und Schaaren von\\ && Kugeln~\dotfill & \pageref{p21} \end{tabular} %-----File: 013.png--------------------------------- \addtolength{\parskip}{1ex} \newpage \abschnitt{\S.~1.\\[\parskip] Potenz von Punktenpaaren, Kreisen und Kugeln.}\label{p1} \hspace{\parindent}% 1. Unter der {\glqq}Potenz{\grqq} eines Punktenpaares $P$, $P'$ in einem Punkte $A$, welcher auf der Geraden $P$, $P'$ liegt, verstehen wir das Produkt der beiden Strecken $AP$ und $AP'$, welche $A$ mit den Punkten $P$ und $P'$ begrenzt; und zwar fassen wir diese Potenz auf als eine positive oder negative Gr\"osse, je nachdem $P$ und $P'$ auf derselben Seite von $A$ liegen oder nicht. Ist $d$ der Abstand des Punktes $A$ von dem Mittelpunkte der Strecke $PP'$ und $r$ die halbe L\"ange dieser Strecke, so erhalten wir f\"ur die Potenz die Gleichung: \[ AP \centerdot AP' = (d-r) \centerdot (d + r) \quad \text{oder} \quad AP \centerdot AP' = d^2 - r^2. \] Das Punktenpaar hat demnach gleiche Potenz in je zwei Punkten der Geraden, die von seinem Mittelpunkte gleich weit abstehen. Die Potenz im Punkte $A$ ist Null, wenn $A$ mit $P$ oder $P'$ zusammenf\"allt; sie wird gleich dem Quadrate des Abstandes $d$, wenn $P$ und $P'$ zusammenfallen. 2. Unter der {\glqq}Potenz einer Kugel oder eines Kreises im Punkte $A${\grqq} verstehen wir die Potenz eines mit $A$ in einer Geraden liegenden Punktenpaares der Kugelfl\"ache resp.\ der Kreislinie. Zwei verschiedene solche Punktenpaare haben gleiche Potenz im Punkte $A$, wie aus der Lehre von den Kreissecanten bekannt ist. Nimmt man das Punktenpaar $P$, $P'$ auf dem durch $A$ gehenden Durchmesser an, und bezeichnet mit $d$ den Abstand des Punktes $A$ vom Centrum und mit $r$ den Radius der Kugel oder des Kreises, so wird die Potenz in $A$ dargestellt durch: \[ AP \centerdot AP' = d^2 -r^2. \] Eine Kugel hat demnach gleiche Potenz in allen Punkten, welche von ihrem Centrum gleich weit abstehen. %-----File: 014.png--------------------------------- 3. Alle Kreise, in welchen eine Kugel von den durch $A$ gehenden Ebenen geschnitten wird, haben im Punkte $A$ gleiche Potenz, n\"amlich dieselbe wie die Kugel. Diese Potenz ist gleich dem Quadrate einer von $A$ bis an die Kugelfl\"ache gezogenen Tangente, wenn $A$ ausserhalb der Kugel liegt; sie ist Null, wenn $A$ auf, und negativ, wenn $A$ innerhalb der Kugel liegt (1.). Im ersten dieser drei F\"alle wird die Kugelfl\"ache rechtwinklig geschnitten von derjenigen Kugelfl\"ache, welche den Punkt $A$ zum Mittelpunkt und die Quadratwurzel aus der Potenz zum Radius hat. 4. Wenn zwei Kugelfl\"achen sich rechtwinklig schneiden, so ist die Potenz der einen im Centrum der anderen gleich dem Quadrate des Radius dieser anderen Kugelfl\"ache; denn die beiden Radien, welche nach irgend einem ihrer Schnittpunkte gehen, stehen auf einander senkrecht, und jeder von ihnen ber\"uhrt deshalb die zu dem anderen geh\"orige Kugel. Dieser Satz und seine Umkehrung (3.) gilt auch von zwei Kreisen, die in einer Ebene liegen und sich rechtwinklig schneiden. 5. Jeder Punkt, in welchem zwei oder mehrere Kugeln gleiche Potenz haben, wird ein {\glqq}Potenzpunkt{\grqq} der Kugeln genannt; derselbe ist auch f\"ur die Kreise und Punktenpaare, in welchen die Kugeln etwa sich schneiden, ein Punkt gleicher Potenz oder {\glqq}Potenzpunkt{\grqq}. Die Mittelpunkte aller Kugeln, welche zwei oder mehrere gegebene Kugeln rechtwinklig schneiden, sind Potenzpunkte der letzteren (4.). Wenn zwei Kugeln sich schneiden oder ber\"uhren, so haben sie jeden Punkt der Ebene, in welcher ihr Schnittkreis liegt oder welche sie in ihrem gemeinschaftlichen Punkte ber\"uhrt, zum Potenzpunkt; in jedem ausserhalb dieser Ebene liegenden Punkte dagegen haben sie ungleiche Potenz, wie sofort einleuchtet, wenn man den Punkt mit einem gemeinschaftlichen Punkte der Kugeln durch eine Secante verbindet. 6. Der Ort aller Potenzpunkte von drei Kugeln, von denen zwei die dritte schneiden, ist (5.) die Gerade, welche die Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander gemein haben. In jedem Punkte dieser Ebenen, welcher ausser\-halb ihrer Schnittlinie liegt, haben die ersten beiden Kugeln ungleiche Potenz; denn nur die eine von ihnen hat in einem solchen Punkte mit der dritten Kugel gleiche Potenz. Zwei %-----File: 015.png------------------------------- Kugeln haben demnach unendlich viele Potenzpunkte; mit dem Orte dieser Punkte hat jede Schnittebene der einen oder der anderen Kugel eine Gerade gemein; jeder Punkt, welcher mit zwei Potenzpunkten der Kugeln in einer Geraden liegt, ist folglich selbst ein Potenzpunkt derselben. Somit ist der Ort aller Potenzpunkte von zwei Kugeln eine Ebene, welche die {\glqq}Potenz-Ebene{\grqq} der beiden Kugeln genannt wird. 7. Die Potenzebene, d.~h.\ der Ort aller Potenzpunkte von zwei Kugeln, ist zu der Centrallinie dieser Kugeln normal. Dieses folgt aus Gr\"unden der Symmetrie; auch liegt in der Potenzebene die Schnittlinie von je zwei Kugeln, die mit den gegebenen concentrisch sind und durch irgend einen Potenzpunkt $P$ derselben gehen, weil (2.) die gegebenen Kugeln in allen Punkten jener Schnittlinie die gleiche Potenz haben wie in $P$. Die Potenzebene geht durch jeden gemeinschaftlichen Punkt der beiden Kugeln, weil in demselben die Potenz der Kugeln gleich, n\"amlich Null ist; sie enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln, welche die beiden gegebenen rechtwinklig schneiden (5.), und insbesondere auch die Halbirungspunkte aller gemeinschaftlichen Tangenten der gegebenen Kugeln. Bringt man die beiden Kugeln zum Durchschnitt mit einer beliebigen dritten, und sodann die Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander, so erh\"alt man eine Gerade der Potenzebene (6.). Die Potenzebene von zwei concentrischen Kugeln r\"uckt in's Unendliche. 8. Der Ort aller Potenzpunkte von drei beliebigen Kugeln ist eine Gerade, welche wir die {\glqq}Potenz-Axe{\grqq} der drei Kugeln nennen. In dieser Geraden schneiden sich die beiden Potenzebenen, welche die eine der drei Kugeln mit den beiden \"ubrigen bestimmt; sie liegt aber auch in der Potenzebene der beiden letzteren, weil sie Potenzpunkte derselben enth\"alt. Auf den Ausnahmefall, in welchem die drei Kugeln paarweise dieselbe Potenzebene haben, kommen wir sp\"ater zur\"uck. Die Potenzaxe der drei Kugeln steht auf der Centralebene derselben normal (7.); sie r\"uckt in's Unendliche, wenn die Mittelpunkte der Kugeln in einer Geraden liegen. Sie enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln, welche die drei gegebenen rechtwinklig schneiden, sowie jeden gemeinschaftlichen Punkt der drei Kugeln (7.). Bringt man die drei Kugeln zum Durchschnitt mit einer beliebigen vierten und %-----File: 016.png--------------------------------- sodann die Ebenen der drei Schnittkreise mit einander, so erh\"alt man einen Punkt der Potenzaxe. 9. Vier beliebige Kugeln haben einen Potenzpunkt. In demselben schneiden sich die Potenzebenen, welche jede der Kugeln mit den drei \"ubrigen bestimmt, und folglich auch die vier Potenzaxen, welche die vier Kugeln zu dreien bestimmen. Den Ausnahmefall, in welchem die Kugeln zu dreien eine und dieselbe Potenzaxe haben, schliessen wir vorl\"aufig aus. Haben die vier Kugeln in ihrem Potenzpunkte positive Potenz, so werden sie von einer Kugel, die den Potenzpunkt zum Mittelpunkt und die Quadratwurzel aus der Potenz zum Radius hat, rechtwinklig geschnitten. Der Potenzpunkt r\"uckt in's Unendliche, wenn die Mittelpunkte der vier Kugeln in einer Ebene liegen. 10. Als Grenzf\"alle der Kugel sind die Punktkugel und die Ebene, und als Grenzf\"alle des Kreises sind der Punktkreis und die Gerade aufzufassen. Wenn der Radius einer durch den Punkt $P$ gehenden Kugel unbegrenzt abnimmt, so reducirt sich die Kugel auf den Punkt $P$ und wird eine Punktkugel; nimmt dagegen der Radius unbegrenzt zu, indem der Mittelpunkt sich nach irgend einer Richtung entfernt, so geht die Kugelfl\"ache \"uber in die durch $P$ gehende und zu jener Richtung normale Ebene. Die Potenz einer Punktkugel im Punkte $A$ ist gleich dem Quadrat ihres Abstandes von $A$ (1.). Die Potenz einer Ebene in einem nicht auf ihr liegenden Punkte $A$ ist unendlich; in einem auf ihr liegenden Punkte $P$ ist sie unbestimmt, n\"amlich $0 \centerdot \infty$. Die Potenzebene einer Punktkugel und einer gew\"ohnlichen Kugel enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugelfl\"achen, welche durch die Punktkugel gehen und die andere Kugel rechtwinklig schneiden; sie halbirt alle Tangenten, welche von der Punktkugel an die andere Kugel gezogen werden k\"onnen. Zwei Punktkugeln liegen zu ihrer Potenzebene symmetrisch; die sechs Potenzebenen von vier Punktkugeln schneiden sich in dem Centrum der Kugel, auf welcher die vier Punktkugeln liegen, und welche hiernach leicht zu construiren ist. Die Potenzebene einer gew\"ohnlichen Kugel und einer Ebene f\"allt mit der letzteren zusammen. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} %-----File: 017.png--------------------------------- \abschnitt{\S.~2.\\[\parskip] Das Kugelgeb\"usch.}\label{p2} \hspace{\parindent}% 11. Mit dem Namen {\glqq}Kugelgeb\"usch{\grqq} bezeichnen wir die Gesammtheit aller Kugeln, die in einem gegebenen Punkte $C$ eine bestimmte Potenz $p$ haben; $C$ heisst der Potenzpunkt oder das {\glqq}Centrum{\grqq} und $p$ die {\glqq}Potenz des Geb\"usches{\grqq}. Die Punktenpaare, in welchen je drei, und die Kreise, in welchen je zwei Kugeln des Geb\"usches sich schneiden, rechnen wir ebenfalls zu dem Geb\"usche; sie alle haben im Centrum $C$ die Potenz $p$ und liegen auf den durch $C$ gehenden Geraden und Ebenen. Das Geb\"usch enth\"alt alle Kugeln, die durch irgend einen seiner Kreise oder durch ein beliebiges von seinen Punktenpaaren gehen, insbesondere auch die durch $C$ gehenden Ebenen dieser Kreise und Punktenpaare; es enth\"alt ferner alle Kreise und Punktenpaare, in welchen seine Kugeln von den durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden geschnitten werden; durch eine Drehung um das Centrum $C$ wird es nicht ver\"andert. 12. Um ein Kugelgeb\"usch zu bestimmen, kann man sein Centrum $C$ und entweder seine Potenz $p$, oder eine seiner Kugeln oder Kreislinien, oder eines seiner Punktenpaare willk\"urlich annehmen; bei jeder der letzteren Annahmen ergiebt sich die Potenz in $C$ sofort. Vier beliebig gegebene Kugeln bestimmen ein durch sie gehendes Kugelgeb\"usch, wenn sie nicht in mehreren Punkten gleiche Potenz haben; n\"amlich ihr Potenzpunkt (9.) ist das Centrum des Geb\"usches, und ihre Potenz in diesem Punkte ist zugleich diejenige des Geb\"usches. Ebenso bestimmen zwei beliebige Kreise, die nicht auf einer und derselben Kugel liegen, ein Kugelgeb\"usch; dasselbe geht durch zwei Paar Kugeln, die sich in den beiden Kreisen schneiden, und ist durch sie bestimmt. Alle Ebenen, welche zwei nicht auf einer Kugel liegende Kreise in vier Kreispunkten schneiden, gehen durch einen Punkt, n\"amlich durch das Centrum des durch die beiden Kreise bestimmten Kugelgeb\"usches; auch die Ebenen der beiden Kreise gehen durch diesen Punkt. 13. Ist die Potenz $p$ eines Kugelgeb\"usches negativ, so liegt sein Centrum $C$ innerhalb aller seiner Kugeln und Kreise und zwischen allen seinen Punktenpaaren, und jede Kugel des Geb\"usches schneidet alle \"ubrigen. Ist dagegen $p$ positiv, so liegt das Centrum $C$ ausserhalb aller Kugeln und %-----File: 018.png--------------------------------- Kreise des Geb\"usches, und alle diese Kreise und Kugeln werden rechtwinklig von derjenigen Kugel geschnitten, welche mit dem Radius $\sqrt{p}$ um den Mittelpunkt $C$ beschrieben werden kann (3.). Diese Kugel heisst deshalb die {\glqq}Orthogonalkugel{\grqq} des Geb\"usches; sie ist der Ort aller Punktkugeln desselben. Alle Kugeln und Kreise, welche die Orthogonalkugel rechtwinklig schneiden, geh\"oren zu dem Geb\"usch (4.), und dieses ist durch seine Orthogonalkugel v\"ollig bestimmt. Wenn die Orthogonalkugel in eine Ebene \"ubergeht, so enth\"alt das Geb\"usch alle Kugeln, deren Mittelpunkte in dieser Ebene liegen; das Centrum $C$ dieses besonderen Geb\"usches liegt unendlich fern, seine Potenz ist unendlich gross, und jeder Kreis und jedes Punktenpaar desselben liegt symmetrisch bez\"uglich der Orthogonalebene. Wir nennen dieses besondere Geb\"usch ein {\glqq}symmetrisches{\grqq}. --- Einen Uebergangsfall des Kugelgeb\"usches erhalten wir, wenn die Potenz $p$ Null ist; dieses specielle Geb\"usch besteht aus allen Kugeln und Kreisen, welche durch sein Centrum $C$ gehen, seine Orthogonalkugel reducirt sich auf den Punkt $C$, und $C$ bildet mit jedem Punkte des Raumes ein Punktenpaar des Geb\"usches. Wir schliessen diesen Uebergangsfall vorl\"aufig von unserer Untersuchung aus. 14. Im Kugelgeb\"usch nennen wir zwei Punkte $P$, $P'$ {\glqq}einander zugeordnet{\grqq}, wenn sie ein Punktenpaar des Geb\"usches bilden. Durch einen Punkt $P$ ist im Geb\"usche der ihm zugeordnete Punkt $P'$ eindeutig bestimmt; denn die Punkte $P$ und $P'$ liegen mit dem Centrum $C$ in einer Geraden und das Produkt ihrer Abst\"ande $CP$ und $CP'$ vom Centrum ist gleich der Potenz $p$ des Geb\"usches. Wenn $P$ nach irgend einer Richtung in's Unendliche r\"uckt, so f\"allt $P'$ mit $C$ zusammen. Alle durch einen Punkt $P$ gehenden Kugeln und Kreise des Geb\"usches haben auch den zugeordneten Punkt $P'$ mit einander gemein, weil sie im Centrum $C$ die Potenz $p = CP \centerdot CP'$ haben. Aus demselben Grunde geh\"ort jede Kugel oder Kreislinie, welche durch zwei einander zugeordnete Punkte geht, zu dem Geb\"usch. 15. Zwei Punktenpaare des Geb\"usches k\"onnen deshalb allemal durch einen Kreis, und drei Punktenpaare k\"onnen durch eine Kugel verbunden werden. Durch drei beliebige Punkte oder durch einen beliebigen Kreis geht im Allgemeinen eine einzige Kugel des Geb\"usches; dieselbe verbindet %-----File: 019.png--------------------------------- die drei Punkte mit den drei zugeordneten Punkten. Wenn durch einen Kreis mehrere Kugeln des Geb\"usches gehen, so geh\"ort er zu dem Geb\"usche und kann mit jedem Punktenpaare desselben durch eine Kugel verbunden werden (11.). 16. Von den Punktenpaaren eines Kugelgeb\"usches, welche auf einem Kreise desselben oder auf einer durch sein Centrum gehenden Geraden liegen, pflegt man zu sagen, sie bilden eine {\glqq}involutorische Punktreihe{\grqq} oder ihre Punkte seien {\grqq}involutorisch gepaart{\grqq}; den Kreis oder die Gerade nennt man den {\glqq}Tr\"ager{\grqq} dieser Punktreihe. Die Geraden, auf welchen die Punktenpaare einer solchen involutorischen Punktreihe liegen, gehen alle durch einen Punkt, n\"amlich durch das Centrum $C$ des Geb\"usches. Jede Kugel des Geb\"usches, welche durch einen Punkt $P$ der Punktreihe geht, hat mit ihr auch den zugeordneten Punkt $P'$ gemein (11., 14.). Verbindet man irgend zwei Punktenpaare der Reihe mit zwei beliebig angenommenen Punkten durch zwei Kugeln, so schneiden sich diese in einem Kreise $k$ des Geb\"usches, und auf den durch $k$ gehenden anderen Kugeln liegen auch die \"ubrigen Punktenpaare der involutorischen Reihe. Um die Punkte einer Kreislinie oder Geraden involutorisch zu paaren, kann man demnach zwei Punktenpaare auf derselben willk\"urlich annehmen; die \"ubrigen Punktenpaare und das Kugelgeb\"usch, in welchem die involutorische Punktreihe liegt, sind dadurch v\"ollig bestimmt und leicht construirbar. 17. Wenn zwei Kreise $k$ und $k_1$ weder einen Punkt mit einander gemein haben, noch durch eine Kugel oder Ebene verbunden werden k\"onnen, so schneidet jeder von ihnen die durch den anderen gehenden Kugeln in den Punktenpaaren einer involutorischen Punktreihe. Dieselbe liegt in dem durch $k$ und $k_1$ bestimmten Kugelgeb\"usch (12.), und der Satz gilt auch dann, wenn einer, aber nicht jeder der beiden Kreise in eine Gerade ausartet; in dem Centrum der Punktreihe schneiden sich auch die durch $k$ und $k_1$ gehenden Ebenen. Alle Punktenpaare einer involutorischen Punktreihe haben in deren Centrum, d.~h.\ in dem Centrum $C$ des sie enthaltenden Kugelgeb\"usches, gleiche Potenz, auch wenn die Punktreihe auf einer Geraden liegt; r\"uckt $C$ in's Unendliche, so liegen die Punktenpaare symmetrisch bez\"uglich der Orthogonal-Ebene des Geb\"usches (13.). %-----File: 020.png--------------------------------- 18. Eine involutorische Punktreihe bestimmt ein sie enthaltendes Kugelgeb\"usch (16.); sie hat zwei {\glqq}Ordnungspunkte{\grqq}, d.~h.\ sich selbst zugeordnete Punkte, wenn die Potenz dieses Geb\"usches positiv ist. Von der Orthogonalkugel des Geb\"usches wird der Tr\"ager der involutorischen Punktreihe in den beiden Ordnungspunkten rechtwinklig geschnitten (13.); diese Ordnungspunkte sind zwei Punktkugeln des Geb\"usches, und je zwei einander zugeordnete Punkte $P$, $P'$ der Punktreihe sind durch sie getrennt. Der Tr\"ager der involutorischen Punktreihe ber\"uhrt alle durch einen ihrer Ordnungspunkte $O$, $Q$ gehenden Kugeln und Ebenen des Geb\"usches in diesem Punkte (vgl.\ 16.). Die Potenz des Geb\"usches in seinem Centrum $C$ wird dargestellt durch: \[ CP \centerdot CP' = CO^2 = CQ^2. \] \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~3.\\[\parskip] Das Princip der reciproken Radien.}\label{p3} \hspace{\parindent}% 19. Es sei $C$ das Centrum, $p$ die positive oder negative Potenz und $A$, $A'$ ein beliebiges Punktenpaar eines Kugelgeb\"usches. Wir bezeichnen die Strecken $CA = r$ und $CA' = r'$ mit dem Namen {\glqq}Radien der beiden einander zugeordneten Punkte $A$ und $A'${\grqq}; sie liegen auf einer und derselben Geraden und ihr Produkt $r \centerdot r'$ ist gleich der Potenz $p$. Der Radius $r$ eines beliebigen Punktes $A$ ist demnach dem reciproken Werthe des Radius $r'$ seines zugeordneten Punktes $A'$ proportional, er ist das $p$fache dieses reciproken Werthes, n\"amlich $r = p \centerdot \frac{1}{r'}$. Man nennt deshalb $r$ und $r'$ {\glqq}reciproke Radien{\grqq}, $C$ ihr Centrum und $p$ ihre Potenz, und sagt von zwei einander zugeordneten Figuren, Linien oder Fl\"achen, von welchen die eine durch $A$ und zugleich die andere durch den zugeordneten Punkt $A'$ beschrieben ist, sie seien {\glqq}invers{\grqq} und {\glqq}jede von ihnen sei durch reciproke Radien in die andere transformirt oder verwandelt{\grqq}. 20. Alle Kugeln, Kreise und Punktenpaare des Geb\"usches werden durch die reciproken Radien in sich selbst transformirt. Zwei beliebige dieser Punktenpaare, $A$, $A'$ und $B$, $B'$ haben im Centrum $C$ die Potenz $p$, sodass: \[ CA \centerdot CA' = CB \centerdot CB' \quad \text{und folglich} \quad CA : CB = CB' : CA' \] %-----File: 021.png--------------------------------- ist. Daraus aber folgt, wenn $CA$ und $CB$ nicht auf derselben Geraden liegen, dass die Dreiecke $CAB$ und $CB'A'$ \"ahnlich und ihre Winkel bei $A$ und $B'$ gleich sind. Ist insbesondere $\angle CAB$ ein rechter Winkel, so gilt dasselbe vom Winkel $CB'A'$. 21. Eine beliebige Ebene $\varepsilon$ wird durch die reciproken Radien in eine Kugelfl\"ache verwandelt, welche im Centrum $C$ von einer zu $\varepsilon$ parallelen Ebene ber\"uhrt wird. Denn seien $A$ und $B$ zwei Punkte von $\varepsilon$, von welchen $A$ in der von $C$ auf $\varepsilon$ gef\"allten Normale liege, und seien $A'$ und $B'$ die ihnen zugeordneten Punkte. Dann sind die Dreiecke $CAB$ und $CB'A'$ \"ahnlich und ihre Winkel bei $A$ und $B'$ Rechte (20.), und der Punkt $B'$, welcher einem ganz beliebigen Punkte $B$ der Ebene $\varepsilon$ entspricht, liegt folglich auf der Kugelfl\"ache, von welcher die zu $\varepsilon$ normale Strecke $CA'$ ein Durchmesser ist. Diese Kugelfl\"ache, in welche $\varepsilon$ transformirt wird, hat in $C$ eine zum Durchmesser $CA'$ normale und folglich zu $\varepsilon$ parallele Ber\"uhrungsebene. --- Jede durch $C$ gehende Kugel wird durch die reciproken Radien in eine Ebene transformirt; dieselbe ist der Ber\"uhrungsebene des Punktes $C$ parallel und geht durch einen beliebigen Punkt, dessen zugeordneter auf der Kugel liegt. 22. Zwei beliebige Ebenen schneiden sich unter denselben Winkeln, wie die ihnen zugeordneten Kugelfl\"achen, weil sie den Ber\"uhrungsebenen der letzteren im Punkte $C$ parallel sind (21.). Zwei beliebige Fl\"achen oder Linien schneiden sich folglich in jedem ihrer gemeinschaftlichen Punkte unter denselben Winkeln, wie die ihnen zugeordneten Fl\"achen oder Linien in dem zugeordneten Punkte. Zwei unendlich kleine Tetra\"eder, deren Eckpunkte einander zugeordnet sind, haben demnach gleiche Fl\"achenwinkel und schon deshalb auch gleiche Kantenwinkel; sie sind, wie einige Ueberlegung lehrt, \"ahnlich, wenn die Potenz der reciproken Radien negativ, und symmetrisch \"ahnlich, wenn sie positiv ist; ihre homologen Fl\"achen sind allemal \"ahnlich. Zwei einander zugeordnete Fl\"achen oder Raumtheile werden also durch die reciproken Radien {\glqq}conform{\grqq}, d.~h.\ in den kleinsten Theilen \"ahnlich, auf einander abgebildet. 23. Um hiernach eine Kugelfl\"ache $\varkappa$ auf eine beliebige Ebene $\varepsilon$ conform abzubilden, w\"ahle man zum Centrum $C$ %-----File: 022.png--------------------------------- der reciproken Radien einen der beiden Punkte von $\varkappa$, deren Ber\"uhrungsebenen zu $\varepsilon$ parallel sind, und setze die Potenz gleich dem Produkte der beiden Abschnitte $CA$ und $CA'$, welche $\varkappa$ und $\varepsilon$ auf irgend einer durch $C$ gehenden Geraden bilden. Dann wird $\varkappa$ in $\varepsilon$ transformirt (21.). Projicirt man also eine Kugelfl\"ache $\varkappa$ (stereographisch) aus einem ihrer Punkte $C$ auf eine Ebene $\varepsilon$, die zu der Ber\"uhrungsebene von $C$ parallel ist, so wird die Fl\"ache $\varkappa$ conform auf die Ebene $\varepsilon$ abgebildet. Von dieser {\glqq}stereographischen{\grqq} Projection der Kugel wird bei der Herstellung von Landkarten Gebrauch gemacht. Man erreicht dadurch, dass wenigstens die Winkel auf der Karte dieselbe Gr\"osse haben, wie die ihnen entsprechenden auf der Erdkugel. Die L\"angen der verschiedenen Linien unserer Erdoberfl\"ache m\"ussen auf den Landkarten allemal in ver\"anderlichem Massstabe dargestellt werden, weil eine Kugelfl\"ache sich nicht ohne Verzerrungen auf einer Ebene abwickeln l\"asst. 24. Durch verschiedene reciproke Radien von gegebenem Centrum $C$ wird eine gegebene Figur in \"ahnliche und \"ahnlich liegende Figuren verwandelt, von welchen $C$ der Aehnlichkeitspunkt ist. Zwei beliebigen Punkten $A'$, $B'$ der gegebenen Figur m\"ogen n\"amlich die resp.\ Punkte $A$, $B$ oder $A_1$, $B_1$ zugeordnet sein, jenachdem die Potenz der reciproken Radien gleich $p$ oder $p_1$ ist. Dann ist: \[ CA' \centerdot CA = CB' \centerdot CB = p \quad\text{und}\quad CA' \centerdot CA_1 = CB' \centerdot CB_1 = p_1, \] und folglich: \[ CA : CA_1 = CB : CB_1 = p : p_1 \quad\text{und}\quad \triangle CAB \sim \triangle CA_1B_1. \] Die Geraden $\overline{AB}$ und $\overline{A_1B_1}$ sind also parallel, und $A$ und $A_1$, sowie $B$ und $B_1$ sind homologe Punkte von zwei \"ahnlichen und \"ahnlich liegenden r\"aumlichen Systemen; und zwar ist $C$ ein \"ausserer oder innerer Aehnlichkeitspunkt, jenachdem $p : p_1$ positiv oder negativ ist. Die r\"aumlichen Systeme sind symmetrisch und $C$ ist ihr Symmetrie-Centrum, wenn $p = -p_1$ ist. 25. Durch reciproke Radien wird eine nicht durch das Centrum $C$ gehende Kugel $\varkappa$ in eine Kugel $\varkappa_1$ transformirt; $C$ ist ein Aehnlichkeitspunkt von $\varkappa$ und $\varkappa_1$. Ist n\"amlich $p$ die Potenz der reciproken Radien und $p_1$ die Potenz der %-----File: 023.png--------------------------------- Kugel $\varkappa$ %sic, not $\varkappa_1$ im Punkte $C$, so wird $\varkappa$ durch die verschiedenen reciproken Radien vom Centrum $C$ und den Potenzen $p$ und $p_1$ in zwei \"ahnliche und in Bezug auf $C$ \"ahnlich liegende Fl\"achen verwandelt (24.). Die eine dieser Fl\"achen ist aber die Kugel $\varkappa$ selbst, und folglich ist auch die andere eine Kugel $\varkappa_1$. --- Der fr\"uhere Satz (21.), dass jeder Ebene eine durch $C$ gehende Kugel zugeordnet ist, kann als ein specieller Fall des eben bewiesenen betrachtet werden. 26. Einem Kreise ist durch die reciproken Radien allemal ein Kreis zugeordnet; in dem letzteren schneiden sich je zwei Kugeln, deren zugeordnete durch den ersteren gehen. Die beiden Kreise liegen auf derjenigen Kugelfl\"ache des zu den Radien geh\"origen Geb\"usches, welche durch den einen von ihnen gelegt werden kann (15.). Geht der eine Kreis durch das Centrum $C$, so artet der andere in eine Gerade aus (21.). --- Durch die stereographische Projection (23.) gehen alle Kreise der Erdkugel, insbesondere alle Meridiane und Parallelkreise, \"uber in Kreise der Bildebene, und zwar die Meridiane in Kreise, welche sich in den Projectionen des Nord- und des S\"udpoles schneiden, und die Parallelkreise in solche, welche die ersteren rechtwinklig, nicht aber einander schneiden. Nur die durch das Centrum $C$ gehenden Kugelkreise werden in der Bildebene durch gerade Linien dargestellt. Wird $C$ in den Nord- oder S\"udpol gelegt, so werden die Parallelkreise und die Meridiane dargestellt durch concentrische Kreise und deren Durchmesser. 27. Wenn eine Kugel und ein Kegel sich in einem Kreise schneiden, so haben sie noch einen zweiten Kreis mit einander gemein. In diesen zweiten Kreis n\"amlich verwandelt sich der erstere durch reciproke Radien, deren Centrum der Mittelpunkt $C$ des Kegels und deren Potenz gleich derjenigen der Kugel im Punkte $C$ ist (26.). Die beiden Kreise ber\"uhren alle Kugelkreise, welche in den Ber\"uhrungsebenen des Kegels liegen. --- Zwei beliebige Kreise $k$, $k'$ einer Kugel k\"onnen allemal durch eine und im Allgemeinen noch durch eine zweite Kegelfl\"ache verbunden werden. Sind n\"amlich $A$ und $A'$ zwei Punkte von $k$ resp.\ $k'$, deren Tangenten sich schneiden, und $B$ und $B'$ zwei mit ihnen in einer Ebene liegende Punkte von $k$ resp.\ $k'$; dann ist der Schnittpunkt $C$ der Geraden $\overline{AA'}$ und $\overline{BB'}$ Mittelpunkt eines durch $k$ und $k'$ %-----File: 024.png--------------------------------- gehenden Kegels. Denn der von $C$ aus durch $k$ gelegte Kegel schneidet die Kugel noch in einem von $k$ verschiedenen Kreise, welcher mit $k'$ die Punkte $A'$ und $B'$ sowie die Tangente in $A'$ gemein hat und folglich mit $k'$ zusammenf\"allt. Da eine beliebige Tangente von $k$ zwei Tangenten von $k'$ schneidet, so erh\"alt man zwei verschiedene durch $k$ und $k'$ gehende Kegel, ausgenommen, wenn die beiden Kreise sich ber\"uhren oder einer derselben ein Punktkreis ist. --- Aus dem Vorhergehenden folgt: Wenn eine Ebene sich so bewegt, dass sie zwei auf einer Kugel liegende Kreise fortw\"ahrend ber\"uhrt, so umh\"ullt sie eine die beiden Kreise verbindende Kegelfl\"ache. 28. Ein beliebiges Kugelgeb\"usch $\varGamma$ verwandelt sich durch reciproke Radien allemal in ein Kugelgeb\"usch; die Centra $M$ und $M'$ der beiden Geb\"usche liegen mit dem Centrum $C$ der reciproken Radien in einer Geraden. N\"amlich die Kugeln, Kreise und Punktenpaare von $\varGamma$ werden durch die reciproken Radien transformirt in andere Kugeln, Kreise und Punktenpaare, deren Gesammtheit wir mit $\varGamma'$ bezeichnen wollen. Die Ebenen aller Kreise und die Verbindungslinien aller Punktenpaare von $\varGamma'$ gehen durch einen Punkt $M'$; denn sie sind den durch $C$ gehenden Kugeln und Kreisen des Geb\"usches $\varGamma$ zugeordnet, und diese haben ausser $C$ noch denjenigen Punkt $C_1$ mit einander gemein, welcher in $\varGamma$ dem Punkte $C$ zugeordnet ist (14.); die Punkte $C_1$ und $M'$ aber sind durch die reciproken Radien einander zugeordnet und liegen mit $C$ und $M$ in einer Geraden. Endlich aber haben die Punktenpaare, Kreise und Kugeln von $\varGamma'$ alle im Punkte $M'$ gleiche Potenz und bilden folglich ein Kugelgeb\"usch; denn zwei beliebige von diesen Punktenpaaren liegen allemal auf einem Kreise und drei von ihnen liegen auf einer Kugel von $\varGamma'$, weil die ihnen zugeordneten Punktenpaare des Geb\"usches $\varGamma$ durch einen Kreis resp.\ eine Kugel von $\varGamma$ verbunden werden k\"onnen (15.). Damit ist bewiesen, dass $\varGamma'$ ebenso wie $\varGamma$ ein Kugelgeb\"usch ist. 29. Wenn das Kugelgeb\"usch $\varGamma$ eine Orthogonalkugel hat, so wird diese durch die reciproken Radien in die Orthogonalkugel des zugeordneten Geb\"usches $\varGamma'$ verwandelt; denn wenn zwei Kugeln sich rechtwinklig schneiden, so gilt dasselbe von den beiden ihnen zugeordneten Kugeln (22.). %-----File: 025.png--------------------------------- Liegt das Centrum $C$ der reciproken Radien auf der Orthogonalkugel von $\varGamma$, so ist $\varGamma'$ ein symmetrisches Geb\"usch, dessen Kugeln, Kreise und Punktenpaare eine gemeinschaftliche Symmetrie-Ebene haben, n\"amlich die Orthogonalebene von $\varGamma'$ (13.). Das specielle Geb\"usch, dessen Kugeln und Kreise alle durch einen gegebenen Punkt $M$ gehen, verwandelt sich durch reciproke Radien in ein \"ahnliches specielles Geb\"usch; nur wenn das Centrum der reciproken Radien mit $M$ zusammenf\"allt, transformirt es sich in die Gesammtheit aller Ebenen und Geraden des Raumes, welche also auch als ein sehr specielles Kugelgeb\"usch zu betrachten ist. 30. Eine involutorische Punktreihe $k$ verwandelt sich durch reciproke Radien in eine involutorische Punktreihe $k'$, und zwar werden die Ordnungspunkte von $k$ in diejenigen von $k'$ transformirt; denn $k$ und $k'$ sind einander zugeordnete Gebilde von zwei durch sie bestimmten Kugelgeb\"uschen, welche durch die reciproken Radien in einander transformirt werden. Nimmt man das Centrum $C$ der Radien irgendwo auf der Kugel an, welche den Tr\"ager der involutorischen Punktreihe $k$ in deren Ordnungspunkten $O$ und $Q$ rechtwinklig schneidet, so verwandelt sich $k$ in eine symmetrische Punktreihe $k'$, deren Punktenpaare zu einem Durchmesser des Kreises $k'$ symmetrisch liegen (vgl.\ 17., 29.). F\"allt $C$ mit $O$ oder $Q$ zusammen, so wird $k'$ eine \so{gerade} symmetrische Punktreihe, von welcher ein Ordnungspunkt unendlich fern liegt und der andere die Strecken zwischen je zwei einander zugeordneten Punkten halbirt. \enlargethispage{-\baselineskip} \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} \abschnitt{\S.~4. \\[\parskip] Harmonische Kreisvierecke; harmonische Punkte, Strahlen und Ebenen.}\label{p4} \hspace{\parindent}% 31. Von je zwei einander zugeordneten Punkten $P$, $R$ einer involutorischen Punktreihe wollen wir sagen, sie seien durch die beiden Ordnungspunkte $O$, $Q$ der Punktreihe {\glqq}harmonisch getrennt{\grqq} und bilden mit denselben eine harmonische Punktreihe $OPQR$ oder {\glqq}vier harmonische Punkte{\grqq}. Ist der Tr\"ager der Punktreihe ein Kreis, so nennen wir ausserdem das Viereck $OPQR$ ein {\glqq}harmonisches Kreisviereck{\grqq}. Demnach sind je zwei Punkte $P$, $R$ eines Kreises, %-----File: 026.png--------------------------------- welche mit dem Schnittpunkte $C$ von zwei Tangenten desselben in einer Geraden liegen, durch die Ber\"uhrungspunkte $O$, $Q$ dieser Tangenten harmonisch getrennt und bilden mit ihnen ein harmonisches Kreisviereck $OPQR$. Durch zwei beliebige Punkte eines Kreises sind insbesondere die Halbirungspunkte der beiden von ihnen begrenzten Kreisb\"ogen harmonisch getrennt; diese beiden Halbirungspunkte liegen auf einem Durchmesser des Kreises, und je zwei Punkte des Kreises, durch welche sie harmonisch getrennt sind, liegen symmetrisch zu dem Durchmesser. Jedes Quadrat ist ein harmonisches Kreisviereck. 32. Die involutorische Punktreihe, von welcher $O$, $Q$ die beiden Ordnungspunkte und $P$, $R$ zwei einander zugeordnete Punkte sind, liegt in einem durch sie bestimmten Kugelgeb\"usch (18.). Ist $C$ das Centrum dieses Geb\"usches, so wird die Potenz desselben dargestellt durch: \[ CP \centerdot CR = CO^2 = CQ^2 . \] Der Punkt $C$ halbirt die Strecke $OQ$, wenn der Tr\"ager der Punktreihe eine Gerade ist. Wenn also auf einer Geraden die Punkte $P$, $R$ harmonisch durch $O$ und $Q$ getrennt sind, so ist die Potenz des Punktenpaares $P$, $R$ im Halbirungspunkte $C$ der Strecke $OQ$ gleich dem Quadrate der H\"alfte dieser Strecke; der Punkt, von welchem dieser Halbirungspunkt durch $O$ und $Q$ harmonisch getrennt ist, liegt folglich unendlich fern. 33. Durch reciproke Radien verwandeln sich die Punktenpaare einer involutorischen Punktreihe $k$ in diejenigen einer involutorischen Punktreihe $k'$, und die Ordnungspunkte von $k$ in die von $k'$ (30.). Vier harmonische Punkte $OPQR$ eines Kreises oder einer Geraden $k$ werden folglich durch reciproke Radien allemal wieder in vier harmonische Punkte $O'P'Q'R'$ transformirt. Nimmt man das Centrum der reciproken Radien auf der Kugel an, welche in $O$ und $Q$ die Linie $k$ rechtwinklig schneidet, so wird $\overline{O'Q'}$ ein Durchmesser des Kreises $k'$ und $O'P'Q'R'$ ein zu $\overline{O'Q'}$ symmetrisch liegendes harmonisches Kreisviereck; liegt jenes Centrum zugleich auf der Kugel, welche in $P$ und $R$ zu $k$ normal ist, so wird $O'P'Q'R'$ ein Quadrat. Jede harmonische Punktreihe $OPQR$ kann folglich durch reciproke Radien in die %-----File: 027.png--------------------------------- Eckpunkte eines Quadrates $O'P'Q'R'$ verwandelt werden; und da je zwei Gegenpunkte des letzteren durch die anderen beiden Gegenpunkte harmonisch getrennt sind, so ergiebt sich der wichtige Satz: Wenn auf einer Kreislinie oder Geraden die Punkte $P$ und $R$ harmonisch getrennt sind durch $O$ und $Q$, so sind auch $O$ und $Q$ harmonisch getrennt durch $P$ und $R$. 34. Wir wollen diesen Satz noch auf andere Art beweisen. Jede Kugel, welche durch ein Punktenpaar $P$, $R$ der involutorischen Punktreihe $k$ geht, geh\"ort zu dem durch $k$ bestimmten Kugelgeb\"usch und schneidet dessen Orthogonalkugel rechtwinklig; insbesondere gilt dieses von der Kugel, welche den Tr\"ager der Punktreihe $k$ in $P$ und $R$ rechtwinklig schneidet. In dem Mittelpunkte $C_1$ dieser Kugel haben folglich der Kreis $k$ und jene Orthogonalkugel gleiche Potenz, und zwar ist diese Potenz gleich dem Quadrate des Radius $C_1 P$ der Kugel (4.). Also muss $C_1$ auf der Potenzaxe der Orthogonalkugel und des Kreises $k$ liegen (5., 8.); diese Potenzaxe aber geht durch die Ordnungspunkte $O$ und $Q$ der Punktreihe $k$, und es ist: \[ C_1 O \centerdot C_1 Q = C_1 P^2 = C_1 R^2. \] Dieselbe Gleichung ergiebt sich unmittelbar aus (4.), wenn der Tr\"ager der Punktreihe $k$ eine Gerade ist; sie bedeutet, dass die Punkte $O$ und $Q$ ebenso durch $P$ und $R$ harmonisch getrennt sind, wie $P$ und $R$ durch $O$ und $Q$. Von zwei beliebigen Punktenpaaren eines Kreises oder einer Geraden ist demnach entweder jedes oder keines durch das andere harmonisch getrennt. 35. Durch drei Punkte eines Kreises oder einer Geraden ist der vierte harmonische Punkt v\"ollig bestimmt, sobald angegeben ist, von welchem der drei Punkte er getrennt sein soll (31., 32.). --- Die Orthogonalkugel eines Kugelgeb\"usches schneidet jeden Kreis, welcher durch ein Punktenpaar $P$, $R$ des Geb\"usches geht, in zwei durch $P$ und $R$ harmonisch getrennten Punkten $O$, $Q$ (31., 34.). --- Ein Kreis, welcher zwei zu einander normale Kugeln schneidet, und zwar die eine rechtwinklig, hat mit denselben vier harmonische Punkte gemein; insbesondere schneidet jeder Durchmesser der einen Kugel, welcher eine Secante der anderen %-----File: 028.png-------------------------------- ist, die beiden Kugeln in vier harmonischen Punkten. Denn die eine Kugel ist die Orthogonalkugel eines Geb\"usches, welchem die andere Kugel und auch der Kreis angeh\"ort, und die gemeinschaftlichen Punkte $P$, $R$ dieser letzteren bilden ein Punktenpaar dieses Geb\"usches. --- Wenn drei Kreise einer Kugel oder Ebene $\varkappa$ sich gegenseitig unter rechten Winkeln schneiden, so hat jeder von ihnen mit den beiden anderen vier harmonische Punkte gemein; zum Beweise lege man durch zwei von den drei Kreisen Kugeln, welche zu $\varkappa$ normal sind. 36. Es sei $OPQR$ ein harmonisches Viereck in einem Kreise $k$; die Tangenten von $k$ in den Punkten $O$ und $Q$ m\"ogen sich demgem\"ass in einem Punkte $C$ der Diagonale $\overline{PR}$ schneiden. Dann sind die Dreiecke $OPC$ und $ROC$ \"ahnlich, weil sie bei $C$ denselben Winkel haben und ihre Winkel $OPC$ und $ROC$ als Peripheriewinkel \"uber dem Kreisbogen $\stackrel{\frown}{OR}$ gleich sind; und ebenso ist $\triangle QPC \sim \triangle RQC$. Daraus folgt: \[ OP : RO = PC : OC \text{ und } QP : RQ = PC : QC, \] und weil die Tangenten $OC$ und $QC$ gleiche L\"ange haben: \[ OP : RO = QP : RQ \text{ oder } RQ \centerdot OP = RO \centerdot QP. \] Die beiden Rechtecke aus den zwei Paar Gegenseiten eines harmonischen Kreisvierecks sind demnach inhaltsgleich. 37. Wenn man den Eckpunkt $R$ eines Kreisvierecks $OPQR$ auf dem Kreise stetig verschiebt, so nimmt von den Seiten $RO$ und $RQ$ die eine zu und zugleich die andere ab, und es giebt deshalb nur eine Lage des Punktes $R$, f\"ur welche die Rechtecke aus den Gegenseiten des Kreisvierecks $OPQR$ inhaltsgleich werden. Daraus folgt wieder der fr\"uhere Satz, dass durch drei Kreispunkte $O$, $P$, $Q$ der vierte harmonische, von $P$ getrennte Punkt $R$ eindeutig bestimmt ist. Zugleich aber ergiebt sich als Umkehrung eines vorhergehenden Satzes: Ein Kreisviereck ist harmonisch, wenn die aus seinen Gegenseiten gebildeten Rechtecke gleichen Inhalt haben. Auch hieraus schliesst man leicht, dass von zwei Punktenpaaren eines Kreises entweder jedes oder keines durch das andere harmonisch getrennt ist. 38. Indem wir uns nunmehr den harmonischen Strahlen und Ebenen zuwenden, schicken wir folgenden H\"ulfssatz %-----File: 029.png--------------------------------- voraus: Legt man in einer Ebene durch einen Punkt $S$ drei Gerade $a$, $b$, $c$ und zwei Kreise $k$, $k'$, so haben die letzteren mit den ersteren ausser $S$ noch die Eckpunkte von zwei \"ahnlichen Dreiecken $ABC$ und $A'B'C'$ gemein. N\"amlich die Winkel $A$, $B$, $C$ des Dreiecks $ABC$ sind als Peripheriewinkel \"uber den B\"ogen $\stackrel{\frown}{BC}$,% suboptimal, but we don't $\stackrel{\frown}{CA}$,% have any better idea $\stackrel{\frown}{AB}$ des Kreises $k$ gleich den resp.\ Winkeln $\widehat{bc}$, $\widehat{\vphantom{b}ca}$, $\widehat{ab}$\footnote{) $\widehat{ab}$ bezeichnet denjenigen von $a$ und $b$ begrenzten Winkel, in welchem $c$ \so{nicht} liegt; und Analoges gilt von $\widehat{bc}$ und $\widehat{\vphantom{b}ca}$.}); denselben Winkeln aber sind ebenso die Winkel $A'$, $B'$, $C'$ des Dreiecks $A'B'C'$ beziehungsweise gleich, so dass $\angle A = A', B = B', C = C'$ und folglich $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ wird. --- Wir k\"onnen den H\"ulfssatz sofort zu dem folgenden Satze erweitern: Legt man in der Ebene durch einen Punkt $S$ irgend $n$ Gerade $a$, $b$, $c$, $d\ldots$ und zwei Kreise $k$, $k'$, so haben die letzteren mit den ersteren ausser $S$ noch die Eckpunkte von zwei \"ahnlichen $n$-ecken $ABCD\ldots$ und $A'B'C'D'\ldots$ gemein. Denn die Winkel dieser $n$-ecke sind beziehungsweise gleich und ihre Seiten stehen in constantem Verh\"altnisse zu einander, so dass: \[ AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D' = \ldots \] Dieses constante Verh\"altniss ist wie man leicht findet gleich demjenigen der Radien von $k$ und $k'$. 39. Vier Gerade $o$, $p$, $q$, $r$ eines Punktes $S$ heissen {\glqq}vier harmonische Strahlen{\grqq}, wenn sie mit irgend einem durch $S$ gehenden Kreise $k$ ausser $S$ noch vier harmonische Punkte $O$, $P$, $Q$, $R$ gemein haben; die Strahlen $p$ und $r$ sind {\glqq}harmonisch getrennt{\grqq} durch $o$ und $q$ und {\glqq}einander zugeordnet{\grqq}, wenn die auf ihnen liegenden Punkte $P$ und $R$ durch $O$ und $Q$ harmonisch getrennt sind. Die vier harmonischen Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ haben aber nicht blos mit $k$, sondern auch mit jedem anderen durch $S$ gehenden Kreise $k'$ ihrer Ebene ausser $S$ noch vier harmonische Punkte $O'$, $P'$, $Q'$, $R'$ gemein. Denn die Vierecke $OPQR$ und $O'P'Q'R'$ sind \"ahnlich (38.), und aus der Bedingungsgleichung: \[ OP : RO = QP : RQ \quad\text{oder}\quad RQ \centerdot OP = RO \centerdot QP \] f\"ur das harmonische Kreisviereck $OPQR$ folgt deshalb: \[ O'P' : R'O' = Q'P' : R'Q' \quad\text{oder}\quad R'Q' \centerdot O'P' = R'O' \centerdot Q'P'; \] %-----File: 030.png--------------------------------- wegen dieser letzteren Gleichung aber ist auch $O'P'Q'R'$ ein harmonisches Viereck (37.). 40. Transformiren wir alle durch $S$ gehenden Kreise der Ebene mittelst reciproker Radien, deren Centrum $S$ ist, so erhalten wir alle nicht durch $S$ gehenden Geraden der Ebene; und da vier harmonische Punkte allemal wieder in vier harmonische Punkte, die Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ aber in sich selbst transformirt werden, so ergiebt sich der wichtige Satz: Vier harmonische Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ haben nicht allein mit jedem durch ihren Schnittpunkt $S$ gehenden Kreise, sondern auch mit jeder nicht durch $S$ gehenden Geraden der Ebene vier harmonische Punkte gemein. Auch leuchtet ein, dass vier Strahlen eines Punktes $S$ harmonisch sind, wenn sie von irgend einer Geraden in vier harmonischen Punkten geschnitten werden; die Gerade n\"amlich verwandelt sich durch reciproke Radien vom Centrum $S$ in einen Kreis, welcher mit den vier Strahlen ausser $S$ noch vier harmonische Punkte gemein hat. 41. Durch drei Strahlen $o$, $p$, $q$, die in einer Ebene durch einen Punkt $S$ gehen, ist der vierte harmonische Strahl $r$ eindeutig bestimmt, sobald angegeben ist, von welchem der drei Strahlen er getrennt sein soll (35.). Um ihn zu construiren, bringe man $o$, $p$, $q$ mit einem durch $S$ gehenden Kreise oder mit irgend einer Geraden der Ebene zum Durchschnitt in den Punkten $O$, $P$, $Q$ und construire zu diesen den vierten harmonischen Punkt $R$; derselbe liegt auf $r$. --- Jede Gerade der Ebene, welche zu einem der vier harmonischen Strahlen parallel ist, schneidet die drei \"ubrigen in \"aquidistanten Punkten; denn wenn von vier harmonischen Punkten einer Geraden der eine unendlich fern liegt, so halbirt der von ihm getrennte Punkt die Strecke zwischen den \"ubrigen beiden Punkten (32.). --- Die Halbirungslinien von zwei Nebenwinkeln sind durch die Schenkel der Winkel harmonisch getrennt (31.), und wenn von vier harmonischen Strahlen zwei getrennte zu einander normal sind, so halbiren sie die Winkel zwischen den beiden \"ubrigen Strahlen; zum Beweise bringe man die Strahlen mit einem durch ihren Schnittpunkt gehenden Kreise zum zweiten Male zum Durchschnitt. 42. Vier durch eine Gerade $s$ gehende Ebenen $\omega$, $\pi$, $\varkappa$, $\varrho$ heissen {\glqq}vier harmonische Ebenen{\grqq}, wenn sie von irgend %-----File: 031.png--------------------------------- einer f\"unften Ebene $\varepsilon$ in vier harmonischen Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ geschnitten werden; die Ebenen $\pi$ und $\varrho$ sind {\glqq}harmonisch getrennt{\grqq} durch $\omega$ und $\varkappa$ und einander zugeordnet, wenn die in ihnen liegenden Strahlen $p$ und $r$ durch $o$ und $q$ harmonisch getrennt sind. Die vier harmonischen Ebenen werden nicht blos von $\varepsilon$, sondern auch von jeder anderen Ebene $\varepsilon'$, die nicht durch die Gerade (oder {\glqq}Axe{\grqq}) $s$ geht, in vier harmonischen Strahlen geschnitten; diese vier Strahlen n\"amlich schneiden sich in einem Punkte von $s$ und gehen durch die vier harmonischen Punkte, welche $\varepsilon'$ mit den harmonischen Strahlen $o$, $p$, $q$, $r$ gemein hat (40.). Jede zur Axe $s$ windschiefe Gerade und jeder die Axe in einem Punkte schneidende Kreis hat folglich mit den vier harmonischen Ebenen vier harmonische Punkte gemein. 43. Eine Gerade, welche zu einer der vier harmonischen Ebenen parallel ist, schneidet die \"ubrigen drei in aequidistanten Punkten (41.). Die harmonischen Ebenen werden von jeder zu ihrer Axe $s$ parallelen Ebene $\varepsilon_1$ in vier parallelen Strahlen geschnitten, welche mit den in $\varepsilon_1$ liegenden Transversalen je vier harmonische Punkte gemein haben (42.) und deshalb ebenfalls harmonische Strahlen genannt werden. Vier parallele oder durch eine Axe $s$ gehende Ebenen sind harmonisch, wenn sie von irgend einer Geraden in vier harmonischen Punkten oder von irgend einer Ebene in vier harmonischen Strahlen geschnitten werden. Durch drei Ebenen einer Axe ist die vierte harmonische bestimmt. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~5.\\[\parskip] Kugelb\"undel und Kugelb\"uschel. Orthogonale Kreise.}\label{p5} \hspace{\parindent}% 44. Die Gesammtheit aller Kugeln und Kreise, welche zwei verschiedenen Kugelgeb\"uschen zugleich angeh\"oren, bezeichnen wir mit dem Namen {\glqq}Kugelb\"undel{\grqq}. Demgem\"ass sagen wir, zwei Kugelgeb\"usche durchdringen oder schneiden sich in einem Kugelb\"undel und haben einen B\"undel mit einander gemein; derselbe liegt in den beiden Geb\"uschen und ist ihr Schnitt. Durch einen beliebigen Punkt $P$ geht allemal ein Kreis des Kugelb\"undels; dieser Kreis verbindet den Punkt $P$ mit den Punkten $P'$ und $P''$, welche ihm in den beiden Geb\"uschen zugeordnet sind, und liegt auf allen %-----File: 032.png--------------------------------- durch $P$ gehenden Kugeln des B\"undels. Alle durch einen Kreis des B\"undels gehenden Kugeln geh\"oren zu dem B\"undel. Zwei beliebige Punkte $P$, $Q$ k\"onnen deshalb allemal durch eine Kugel des B\"undels verbunden werden, und das Gleiche gilt von zwei beliebigen Kreisen des B\"undels. 45. Alle Kugeln, welche zwei gegebene Kugeln oder einen gegebenen Kreis oder eine Gerade rechtwinklig schneiden, bilden mit ihren Schnittkreisen zusammen einen Kugelb\"undel (13.). Wenn die Centra $C$ und $C_1$ von zwei Kugelgeb\"uschen zusammenfallen, so besteht ihr gemeinschaftlicher Kugelb\"undel aus allen durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden und ist ein gew\"ohnlicher Ebenen- oder Strahlenb\"undel mit dem Mittelpunkte $C$. Sind dagegen, wie wir jetzt annehmen wollen, die Centra $C$ und $C_1$ der Geb\"usche zwei verschiedene Punkte, so enth\"alt der Kugelb\"undel keine anderen Ebenen, als die durch die Gerade $\overline{CC_1}$ gehenden. Diese Gerade nennen wir die {\glqq}Potenz-Axe{\grqq} oder k\"urzer die {\glqq}Axe des Kugelb\"undels{\grqq}; durch eine Drehung um dieselbe \"andert sich der B\"undel nicht. Da jeder Punkt, welcher mit zwei Potenzpunkten von zwei oder mehreren Kugeln in einer Geraden liegt, selbst ein Potenzpunkt dieser Kugeln ist (6.), so ergiebt sich: Die Kugeln des B\"undels haben nicht blos in jedem der Punkte $C$ und $C_1$, sondern \"uberhaupt in jedem Punkte der Potenz-Axe $\overline{CC_1}$ gleiche Potenz. 46. In dem Kugelb\"undel durchdringen sich nicht blos zwei, sondern unendlich viele Kugelgeb\"usche, und zwar ist jeder Punkt seiner Axe $\overline{CC_1}$ das Centrum von einem dieser Geb\"usche (45.). Von den Orthogonalkugeln dieser Geb\"usche werden alle Kugeln des B\"undels rechtwinklig geschnitten. In dem Mittelpunkte einer jeden Kugel des B\"undels haben deshalb diese seine Orthogonalkugeln gleiche Potenz (4.), und die Kugeln des B\"undels haben eine gemeinschaftliche Centralebene, n\"amlich die Potenzebene der Orthogonalkugeln, welche auf der Centrallinie der letzteren, d.~h.\ auf der Axe $\overline{CC_1}$ normal steht (6., 7.). Diese Centralebene des B\"undels, in welcher die Mittelpunkte aller seiner Kugeln liegen, ist zugleich die Orthogonalebene eines durch den B\"undel gehenden symmetrischen Kugelgeb\"usches, dessen Mittelpunkt auf der Axe $\overline{CC_1}$ unendlich fern liegt (13.). --- Durch jeden %-----File: 033.png--------------------------------- Punkt $P$ geht eine Orthogonalkugel des B\"undels; dieselbe schneidet den durch $P$ gehenden Kreis des B\"undels (44.) rechtwinklig in $P$ und ihr Mittelpunkt liegt auf der Axe $\overline{CC_1}$. 47. Um einen Kugelb\"undel zu bestimmen, kann man entweder zwei durch ihn gehende Kugelgeb\"usche, oder zwei seiner Orthogonalkugeln, oder seine Axe und eine seiner Kugeln willk\"urlich annehmen. Drei beliebige Kugeln, welche nicht eine gemeinschaftliche Potenzebene haben, bestimmen einen durch sie gehenden Kugelb\"undel; ihre Potenz-Axe n\"amlich ist die Axe dieses B\"undels, und jedes Kugelgeb\"usch, welches die drei Kugeln enth\"alt, geht durch den B\"undel. Ein Kugelb\"undel kann deshalb mit jeder nicht in ihm enthaltenen Kugel durch ein Kugelgeb\"usch verbunden werden (12.). 48. Wenn die Axe eines Kugelb\"undels mit irgend einer nicht durch sie gehenden Kugel desselben einen Punkt $M$ gemein hat, so gehen durch $M$ alle Kugeln und Kreise des B\"undels; denn sie haben in $M$ die gleiche Potenz Null. Entweder besteht deshalb der B\"undel aus allen Kugeln und Kreisen, welche die Axe in zwei Punkten $M$ und $N$ schneiden oder in einem Punkte $M$ ber\"uhren, oder seine Kugeln und Kreise haben keinen Punkt mit der Axe gemein und ihre Potenz ist in jedem Punkte der Axe positiv. In dem letzteren Falle giebt es in der Central-Ebene des B\"undels einen Kreis, welcher alle Kugeln des B\"undels rechtwinklig schneidet, den {\glqq}Orthogonalkreis{\grqq}; der Mittelpunkt desselben liegt auf der Axe, und die Potenz des B\"undels in diesem Mittelpunkte ist gleich dem Quadrate seines Radius (4.). Dieser Orthogonalkreis ist der Ort aller Punktkugeln des B\"undels und in ihm schneiden sich alle Orthogonalkugeln desselben. Wenn dagegen alle Kugeln des B\"undels sich in zwei Punkten schneiden, so reduciren sich auf diese Punkte zwei Orthogonalkugeln des B\"undels; dieser selbst aber enth\"alt keine Punktkugeln und seine Orthogonalkugeln haben folglich keinen Punkt mit einander gemein. Der specielle B\"undel, dessen Kugeln die Axe in einem Punkte $M$ ber\"uhren, hat alle Kugeln, welche in $M$ die Axe rechtwinklig schneiden und folglich einander in $M$ ber\"uhren, zu Orthogonalkugeln. %-----File: 034.png--------------------------------- 49. Die Gesammtheit aller Kugeln, welche drei verschiedenen, nicht durch einen und denselben B\"undel gehenden Kugelgeb\"uschen zugleich angeh\"oren, nennen wir einen {\glqq}Kugelb\"uschel{\grqq}. Jedes der drei Geb\"usche schneidet den B\"undel, welchen die beiden \"ubrigen mit einander gemein haben, in diesem Kugelb\"uschel. Durch einen beliebigen Punkt $P$ geht allemal eine Kugel des B\"uschels; dieselbe verbindet den Punkt $P$ mit den drei Punkten $P'$, $P''$ und $P'''$, welche ihm in den drei Geb\"uschen zugeordnet sind. Alle Kugeln, welche drei beliebig angenommene Kugeln oder eine Kugel und einen beliebigen Kreis rechtwinklig schneiden, bilden einen Kugelb\"uschel (13., 45.), ebenso alle durch drei Punkte, d.~h.\ durch einen Kreis gehenden Kugeln. Liegen die Centra von drei Geb\"uschen in einer Geraden, so besteht ihr gemeinsamer Kugelb\"uschel aus allen durch diese Gerade gehenden Ebenen (vgl. 45.); bilden dagegen, wie wir jetzt annehmen wollen, diese Centra ein Dreieck, so ist dessen Ebene die einzige des B\"uschels und zugleich (6.) Potenz-Ebene von je zwei Kugeln desselben. Diese Ebene heisst die {\glqq}Potenz-Ebene des B\"uschels{\grqq}, weil seine Kugeln in jedem Punkte der Ebene gleiche Potenz haben. 50. In dem Kugelb\"uschel durchdringen sich nicht blos drei, sondern unendlich viele Kugelgeb\"usche und Kugelb\"undel; und zwar ist jeder Punkt seiner Potenzebene das Centrum von einem dieser Geb\"usche und jede Gerade derselben die Axe von einem dieser B\"undel (49.). Die Orthogonalkugeln und Orthogonalkreise aller durch den B\"uschel gehenden Geb\"usche und B\"undel schneiden jede Kugel des B\"uschels rechtwinklig und haben in deren Centrum gleiche Potenz; sie bilden folglich einen Kugelb\"undel. Ebenso bilden die Orthogonalkugeln eines Kugelb\"undels einen B\"uschel, weil sie drei beliebige Kugeln des B\"undels rechtwinklig schneiden (49.). Ueberhaupt geh\"ort zu jedem Kugelb\"uschel ein zu ihm orthogonaler Kugelb\"undel und zu jedem B\"undel ein zu ihm orthogonaler B\"uschel. Die Mittelpunkte aller Kugeln des B\"undels liegen in der Potenz-Ebene des zugeh\"origen B\"uschels und diejenigen aller Kugeln des B\"uschels liegen in der Potenz-Axe des B\"undels. 51. Um einen Kugelb\"uschel zu bestimmen, kann man entweder drei durch ihn gehende Geb\"usche, oder drei seiner %-----File: 035.png--------------------------------- Orthogonalkugeln, oder seine Potenz-Ebene und eine seiner Kugeln, oder endlich zwei seiner Kugeln willk\"urlich annehmen. Bei der letzten Annahme ist die Potenz-Ebene der beiden Kugeln zugleich diejenige des B\"uschels; sie enth\"alt die Centra aller durch den B\"uschel gehenden Geb\"usche. Der B\"uschel kann mit jeder nicht in ihm enthaltenen Kugel durch einen Kugelb\"undel verbunden werden (47.); er liegt in jedem Geb\"usche und jedem B\"undel, mit welchem er zwei Kugeln gemein hat; mit zwei beliebigen Kugeln oder mit einem beliebigen Kreise oder einem anderen Kugelb\"uschel kann er durch ein Geb\"usch verbunden werden. 52. Die Kugeln eines B\"uschels schneiden sich entweder in einem Kreise, oder sie ber\"uhren sich in einem Punkte, oder sie haben keinen Punkt mit einander gemein (48.). In dem letzteren Falle enth\"alt der B\"uschel zwei Punktkugeln $M$, $N$, durch welche alle seine Orthogonalkugeln und Orthogonalkreise gehen (48.). In jedem Punkte $C$ der Centrale $\overline{MN}$ des B\"uschels hat demnach das Punktenpaar $M$, $N$ dieselbe Potenz wie diese Orthogonalkugeln, und der Radius derjenigen Kugel des B\"uschels, welche $C$ zum Mittelpunkt hat, ist gleich der Quadratwurzel aus jener Potenz. 53. Ein Kugelb\"uschel wird von einem beliebigen Kreise in einer involutorischen Punktreihe geschnitten; dieselbe liegt in dem Kugelgeb\"usch, welches (51.) den B\"uschel mit dem Kreise verbindet. Dieser Satz erleidet nur dann eine Ausnahme, wenn der Kreis durch einen Punkt geht, welcher auf allen Kugeln des B\"uschels liegt. Wird der Kreis durch die Punktkugeln des B\"uschels gelegt, wenn solche existiren, so sind diese die beiden Ordnungspunkte der involutorischen Punktreihe. Durch die Punktkugeln eines B\"uschels sind folglich je zwei Punkte harmonisch getrennt, in welchen irgend eine Kugel des B\"uschels von einem beliebigen Orthogonalkreise desselben geschnitten wird. Selbstverst\"andlich wird ein Kugelb\"uschel auch von einer beliebigen Geraden in einer involutorischen Punktreihe geschnitten, und z.~B.\ die Centrale des B\"uschels schneidet jede Kugel desselben in zwei Punkten, welche durch die beiden Punktkugeln, wenn solche existiren, harmonisch getrennt sind. 54. Durch reciproke Radien verwandelt sich ein Kugelb\"undel %-----File: 036.png--------------------------------- allemal in einen Kugelb\"undel und der B\"uschel orthogonaler Kugeln des ersteren in denjenigen des letzteren B\"undels; denn jedes durch einen B\"undel gehende Kugelgeb\"usch wird in ein Kugelgeb\"usch transformirt (28.). Wenn die Kugeln eines B\"undels sich in zwei Punkten $M$, $N$ schneiden und einer dieser Punkte zum Centrum $M$ der reciproken Radien gew\"ahlt wird, so verwandelt sich der Kugelb\"undel in einen B\"undel $N'$ von Ebenen und Strahlen (vgl.\ 45.), und der zugeh\"orige Kugelb\"uschel in einen B\"uschel concentrischer Kugeln, deren Centrum der Punkt $N'$ ist. Dieser dem Punkte $N$ zugeordnete Punkt r\"uckt in's Unendliche, und die concentrischen Kugeln gehen in parallele Ebenen \"uber, wenn $M$ und $N$ zusammenfallen. --- Hat der Kugelb\"undel einen Orthogonalkreis, und verlegt man auf diesen das Centrum der reciproken Radien, so besteht der zugeordnete B\"undel aus allen Kugeln, welche die dem Orthogonalkreise zugeordnete Gerade rechtwinklig schneiden, deren Mittelpunkte also auf dieser Geraden liegen, sowie aus den Schnittkreisen dieser Kugeln; die Orthogonalkugeln des B\"undels aber verwandeln sich in die Ebenen, welche sich in jener Geraden schneiden. 55. Zwei Kreise nennen wir {\glqq}orthogonal{\grqq}, wenn je zwei durch sie gelegte Kugeln sich rechtwinklig schneiden. Alle Kugeln, welche durch den einen von zwei orthogonalen Kreisen gehen, sind demnach Orthogonalkugeln des durch den anderen gehenden Kugelb\"uschels. Zwei orthogonale Kreise $k$ und $k_1$ greifen in einander ein, wie zwei benachbarte Ringe einer Kette; ihre Ebenen schneiden sich rechtwinklig in der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte, weil jede von ihnen den in der anderen liegenden Kreis rechtwinklig schneidet. Zwei durch $k$ und $k_1$ gelegte Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ haben allemal einen Kreis $k'$ mit einander gemein, welcher von $k$ und $k_1$ in zwei sich harmonisch trennenden Punktenpaaren rechtwinklig geschnitten wird. Der Kreis $k$ n\"amlich schneidet die Kugel $\varkappa_1$ und folglich auch den auf $\varkappa_1$ liegenden Kreis $k'$ rechtwinklig, und dasselbe gilt von $k_1$, $\varkappa$ und $k'$; man kann folglich durch $k$ und $k_1$ zwei zu einander und zu $k'$ normale Kugeln legen, und dass diese von $k'$ in vier harmonischen Punkten geschnitten werden, lehrt ein fr\"uherer Satz (35.). %-----File: 037.png--------------------------------- 56. Alle Ebenen, welche zwei orthogonale Kreise $k$, $k_1$ in vier Kreispunkten schneiden, gehen durch einen Punkt $C$, n\"amlich durch das Centrum des durch $k$ und $k_1$ bestimmten Kugelgeb\"usches (12.); durch denselben Punkt $C$ gehen auch die Ebenen der orthogonalen Kreise. Eine beliebig durch $C$ gelegte Ebene schneidet die beiden orthogonalen Kreise allemal in vier harmonischen Kreispunkten (55.). Auch die durch $C$ gehende Centrale der Kreise $k$ und $k_1$ schneidet dieselben in zwei sich harmonisch trennenden Punktenpaaren. --- Zwei orthogonale Kreise verwandeln sich durch reciproke Radien allemal wieder in zwei orthogonale Kreise. Wenn insbesondere das Centrum der reciproken Radien auf dem einen der beiden orthogonalen Kreise angenommen wird, so verwandelt sich dieser in eine Gerade $g$, der andere aber in einen Kreis, dessen Ebene zu $g$ normal ist und dessen Mittelpunkt in $g$ liegt. Man \"uberzeugt sich leicht, dass vier Kreispunkte, von welchen zwei auf der Geraden $g$ und die anderen beiden auf einem zu $g$ orthogonalen Kreise liegen, harmonische Kreispunkte sind; die letzteren beiden Punkte haben n\"amlich zu $g$ symmetrische Lage. 57. Vier Kugelfl\"achen, von welchen jede zu den drei anderen normal ist, schneiden sich paarweise in sechs Kreisen und zu dreien in vier Punktenpaaren. Je zwei von den vier Punktenpaaren liegen auf einem der sechs Kreise und trennen sich gegenseitig harmonisch (35.). Auf jeder der vier Kugeln liegen und durch jedes der vier Punktenpaare gehen drei von den sechs Kreisen; dieselben schneiden sich rechtwinklig. Jeder der sechs Kreise schneidet vier von den \"ubrigen rechtwinklig in zwei von den vier Punktenpaaren und ist zu dem f\"unften orthogonal. Die Ebenen der sechs Kreise schneiden sich zu dreien in den vier Verbindungslinien der vier Punktenpaare und sind zu zweien zu einander normal; sie gehen alle durch einen Punkt, n\"amlich durch das Centrum des Kugelgeb\"usches, in welchem die vier Kugeln liegen. Wenn man eine Kugel und drei zu einander normale Durchmesserebenen derselben durch reciproke Radien transformirt, so erh\"alt man vier zu einander normale Kugelfl\"achen. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} %-----File: 038.png--------------------------------- \abschnitt{\S.~6. \\[\parskip] Kreisb\"undel und Kreisb\"uschel.}\label{p6} \hspace{\parindent}% 58. Ein {\glqq}Kreisb\"undel{\grqq} besteht aus allen Kreisen und Punktenpaaren einer Kugel oder Ebene, die in einem gegebenen Punkte $C$ eine bestimmte Potenz $p$ haben. Die Kugel oder Ebene heisst der {\glqq}Tr\"ager{\grqq}, $C$ das Centrum und $p$ die Potenz des Kreisb\"undels. Auf einer Kugel ist ein Kreisb\"undel bestimmt, wenn sein Centrum $C$ beliebig im Raume angenommen wird, denn seine Kreise und Punktenpaare liegen in den durch $C$ gehenden Ebenen und Geraden; ebenso ist er durch drei beliebige Kugelkreise bestimmt, deren Ebenen sich in einem Punkte $C$, nicht aber in einer Geraden schneiden. In einer Ebene ist ein Kreisb\"undel bestimmt, wenn sein Centrum in der Ebene, ausserdem aber seine Potenz oder einer seiner Kreise beliebig angenommen wird. Die Kreise und Punktenpaare eines Kugelgeb\"usches, welche auf einer beliebigen Kugel oder Ebene desselben liegen, bilden einen Kreisb\"undel, welcher dasselbe Centrum und dieselbe Potenz hat wie das Geb\"usch. Durch einen Kreisb\"undel ist das ihn enthaltende Kugelgeb\"usch v\"ollig bestimmt. Zwei beliebige Punktenpaare des Kreisb\"undels k\"onnen allemal durch einen Kreis desselben verbunden werden~(15.). 59. Ein Kugelb\"undel wird von jeder nicht in ihm enthaltenen Kugel oder Ebene in einem Kreisb\"undel geschnitten; denn er kann mit ihr durch ein Geb\"usch verbunden werden (47.), und zu diesem geh\"ort der Kreisb\"undel (58.). Alle Kugeln und Kreise eines zweiten Geb\"usches, welche durch die Kreise und Punktenpaare des Kreisb\"undels gehen (15.), liegen in einem Kugelb\"undel, n\"amlich in dem Schnitt der beiden Geb\"usche. Die Kugeln und Kreise, welche einen beliebigen Punkt $M$ mit den Kreisen und Punktenpaaren eines Kreisb\"undels verbinden, schneiden sich deshalb entweder in noch einem Punkte $N$, oder sie haben in $M$ eine gemeinschaftliche Tangente (48.). Der Kreisb\"undel, welcher durch drei beliebige Kreise einer Ebene geht, ist hiernach leicht zu construiren und im Allgemeinen v\"ollig bestimmt. --- Durch reciproke Radien verwandelt sich ein Kreisb\"undel allemal in einen Kreisb\"undel (vgl. 54.). %-----File: 039.png----------------------------------- 60. Ist die Potenz eines Kreisb\"undels positiv, so werden alle seine Kreise von einem bestimmten Kreise rechtwinklig geschnitten; dieser {\glqq}Orthogonalkreis{\grqq} liegt auf der Orthogonalkugel des durch den Kreisb\"undel gehenden Kugelgeb\"usches (13.) und ist der Ort aller Punktkreise des B\"undels. Ist der Tr\"ager des Kreisb\"undels eine Kugel, so enth\"alt der Orthogonalkreis alle Punkte derselben, deren Ber\"uhrungsebenen durch das Centrum $C$ des B\"undels gehen. Alle Kreise einer Kugel oder Ebene, welche einen auf ihr liegenden Kreis rechtwinklig schneiden, geh\"oren zu einem Kreisb\"undel; derselbe ist durch seinen Tr\"ager und den gegebenen Orthogonalkreis v\"ollig bestimmt. --- Ist die Potenz eines Kreisb\"undels negativ, so schneidet jeder Kreis desselben alle \"ubrigen (13.). Ist die Potenz Null, so besteht der B\"undel aus allen durch einen Punkt $C$ gehenden Kreisen des Tr\"agers; der Punkt $C$ ist das Centrum des B\"undels, er geh\"ort zu jedem Punktenpaare desselben und auf ihn reducirt sich der Orthogonalkreis. Durch reciproke Radien, deren Centrum $C$ ist, verwandelt sich dieser specielle Kreisb\"undel in ein ebenes System, d.~h.\ in die Gesammtheit aller Geraden und Punkte einer Ebene. 61. Ein {\glqq}Kreisb\"uschel{\grqq} besteht aus allen Kreisen, welche zwei Kreis\-b\"un\-deln einer Kugel oder Ebene zugleich angeh\"oren. Die Gerade, welche die Centra der beiden B\"undel verbindet, heisst die {\glqq}Potenzaxe{\grqq} oder k\"urzer die {\glqq}Axe{\grqq} des Kreisb\"uschels; sie ist zugleich die Axe eines den Kreisb\"uschel enthaltenden und durch ihn bestimmten Kugelb\"undels (58.). Die Kreise des B\"uschels haben in jedem Punkte der Axe gleiche Potenz und ihre Ebenen gehen durch die Axe; jeder Punkt der Axe ist folglich das Centrum eines durch den B\"uschel gehenden Kreisb\"undels. Alle Kreise einer Kugel oder Ebene, welche zwei willk\"urlich auf derselben angenommene Kreise rechtwinklig schneiden, bilden einen Kreisb\"uschel (60.); ebenso alle Kreise einer Kugel, deren Ebenen durch eine gegebene Gerade gehen. Die Kreise eines Kugelb\"undels, welche auf einer Kugel oder Ebene desselben liegen, bilden einen Kreisb\"uschel, dessen Axe mit derjenigen des Kugelb\"undels zusammenf\"allt. 62. Ein Kugelb\"uschel wird von jeder nicht in ihm enthaltenen Kugel oder Ebene in einem Kreisb\"uschel geschnitten, %-----File: 040.png----------------------------------- weil er mit derselben durch einen Kugelb\"undel verbunden werden kann (51.). Alle Kugeln eines beliebigen Geb\"usches, welche durch die einzelnen Kreise des Kreisb\"uschels gehen, liegen in einem Kugelb\"uschel; in demselben durchdringen sich das Geb\"usch und der durch den Kreisb\"uschel bestimmte Kugelb\"undel. Alle Kugeln, welche einen beliebigen Punkt $M$ mit den Kreisen eines Kreisb\"uschels verbinden, schneiden sich deshalb entweder in einem Kreise oder ber\"uhren sich in $M$. Der Kreisb\"uschel, welcher durch zwei gegebene Kreise einer Ebene oder Kugel geht, ist hiernach leicht zu construiren und v\"ollig bestimmt. Durch jeden Punkt des Tr\"agers geht ein Kreis des B\"uschels. 63. Zu jedem Kreisb\"uschel erh\"alt man auf demselben Tr\"ager einen {\glqq}orthogonalen{\grqq} Kreisb\"uschel, dessen Kreise zu denjenigen des ersteren normal sind. N\"amlich die Orthogonalkugeln des Kugelb\"undels, welcher durch den Kreisb\"uschel bestimmt ist (61.), schneiden den Tr\"ager des B\"uschels in den Kreisen des zugeh\"origen orthogonalen Kreisb\"uschels. Jeder Kreis des einen von zwei orthogonalen B\"uscheln ist der Orthogonalkreis eines durch den anderen gehenden Kreisb\"undels. Wenn zwei und folglich alle Kreise des einen B\"uschels sich in zwei Punkten $M$, $N$ schneiden, so haben die Kreise des anderen B\"uschels keinen Punkt mit einander gemein und zwei von ihnen reduciren sich auf die Punkte $M$ und $N$. Wenn dagegen keine zwei Kreise des ersten B\"uschels einen Punkt mit einander gemein haben, so enth\"alt dieser B\"uschel zwei Punktkreise (48.), durch welche alle Kreise des anderen B\"uschels gehen. Wenn endlich die Kreise des einen B\"uschels sich in einem Punkte $M$ ber\"uhren, so schneiden sie in $M$ die Kreise des anderen B\"uschels rechtwinklig, und letztere ber\"uhren sich ebenfalls in $M$. 64. Wenn zwei orthogonale Kreisb\"uschel in einer Ebene liegen, so ist die Axe eines jeden von ihnen die Centrale des anderen; denn im Centrum eines Kreises des einen B\"uschels haben alle Kreise des anderen gleiche Potenz (4.) und der Ort jenes Centrums ist folglich die Potenzaxe dieses anderen B\"uschels. Zwei orthogonale Kreisb\"uschel einer Kugel haben zwei sich rechtwinklig kreuzende Axen, von welchen die eine zwei Punkte $M$, $N$ mit der Kugel gemein hat, w\"ahrend in der anderen die Ber\"uhrungsebenen von $M$ %-----File: 041.png--------------------------------- und $N$ sich schneiden (63.); jede dieser Axen steht normal auf der Ebene, welche die andere mit dem Mittelpunkte der Kugel verbindet; nur dann schneiden sich die beiden Axen rechtwinklig in einem Punkte $M$, wenn die eine und folglich (63.) auch die andere in $M$ die Kugel ber\"uhrt. 65. Durch reciproke Radien verwandeln sich zwei orthogonale Kreis\-b\"uschel allemal in zwei orthogonale Kreisb\"uschel; letztere liegen in einer Ebene, wenn auf dem Tr\"ager der ersteren das Centrum der Radien angenommen wird. W\"ahlt man dieses Centrum beliebig auf einem Kreise, welcher alle Kreise des einen B\"uschels in ihren beiden gemeinschaftlichen Punkten $M$, $N$ rechtwinklig schneidet, so verwandeln sich die orthogonalen B\"uschel in zwei andere, deren Kreise zu einander liegen wie die Meridiane und Parallelkreise der Erdkugel; sie verwandeln sich in einen B\"uschel concentrischer Kreise und deren Durchmesser, wenn das Centrum der reciproken Radien mit $M$ oder $N$ zusammenf\"allt. Wenn endlich alle Kreise der beiden orthogonalen B\"uschel durch einen Punkt $M$ gehen, so verwandeln sie sich durch reciproke Radien vom Centrum $M$ in zwei ebene B\"uschel paralleler Strahlen, deren Richtungen zu einander normal sind. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~7. \\[\parskip] Das sph\"arische und das cyklische Polarsystem.}\label{p7} \hspace{\parindent}% 66. Wenn durch reciproke Radien vom Centrum $C$ und der Potenz $p$ einem beliebigen Punkte $A$ des Raumes der Punkt $A'$ zugeordnet ist, so nennen wir diejenige Ebene $\alpha$, welche in $A'$ zu der Geraden $\overline{CA}$ normal ist, die {\glqq}Polar-Ebene{\grqq} oder k\"urzer die {\glqq}Polare{\grqq} des Punktes $A$; umgekehrt nennen wir $A$ den {\glqq}Pol{\grqq} dieser Ebene $\alpha$. Zu jedem Punkte geh\"ort eine bestimmte Polarebene und zu jeder Ebene geh\"ort ein Pol; und zwar ist dieser Pol durch die reciproken Radien demjenigen Punkte der Ebene zugeordnet, welcher dem Centrum $C$ am n\"achsten liegt. Die Gesammtheit aller dieser zusammengeh\"origen Pole und Polaren heisst ein {\glqq}r\"aumliches Polarsystem{\grqq}; wir bezeichnen dasselbe specieller als ein {\glqq}sph\"arisches{\grqq}, weil es, wie wir sehen werden, zu einer Kugel in inniger Beziehung steht. Der Punkt $C$ heisst das Centrum %-----File: 042.png--------------------------------- und die durch $C$ gehenden Geraden und Ebenen heissen {\glqq}Durchmesser{\grqq} und {\glqq}Durchmesser-Ebenen{\grqq} des Polarsystemes. R\"uckt ein Punkt nach irgend einer Richtung in's Unendliche, so f\"allt seine Polare mit der zu dieser Richtung normalen Durchmesser-Ebene zusammen. Die Polare des Centrums $C$ liegt unendlich fern. 67. Von zwei Punkten $A$, $B'$ liegt entweder keiner oder jeder in der Polare des anderen. Sind n\"amlich diesen Punkten die resp.\ Punkte $A'$, $B$ durch die reciproken Radien zugeordnet, so sind die Dreiecke $CA'B'$ und $CBA$ \"ahnlich (20.); wenn aber $B'$ in der Polare von $A$ liegt, so ist das Dreieck $CA'B'$ bei $A'$, also auch $CBA$ bei $B$ rechtwinklig, und der Punkt $A$ liegt folglich in der Polar-Ebene von $B'$, welche in $B$ zu der Geraden $\overline{CBB'}$ normal ist. --- Wir k\"onnen den eben bewiesenen Satz auch so aussprechen: Von zwei Ebenen geht entweder keine oder jede durch den Pol der anderen. Wenn also eine Ebene sich dreht um einen auf ihr liegenden Punkt, so bewegt sich ihr Pol in der Polar-Ebene dieses Punktes; und wenn umgekehrt ein Punkt eine Ebene beschreibt, so dreht sich seine Polare um den Pol dieser Ebene. Beschreibt ein Punkt eine Gerade $g$, bewegt er sich also in zwei durch $g$ gehenden Ebenen zugleich, so dreht sich seine Polare um die beiden Pole dieser Ebenen, d.~h.\ um die Verbindungslinie $g_1$ dieser beiden Pole; jede der beiden Geraden $g$, $g_1$ heisst die {\glqq}Polare{\grqq} der anderen. 68. In der Polare $g_1$ einer Geraden $g$ schneiden sich die Polar-Ebenen aller Punkte von $g$ und liegen die Pole aller durch $g$ gehenden Ebenen (67.). Wenn also zwei Gerade in einer Ebene liegen, so gilt dasselbe von ihren Polaren; denn diese gehen beide durch den Pol jener Ebene. Die Pole paralleler Ebenen liegen (66.) auf einem Durchmesser, welcher die Ebenen rechtwinklig schneidet; die Polaren paralleler Geraden liegen folglich auf einer Durchmesser-Ebene, welche die Geraden rechtwinklig schneidet, und eine beliebige Gerade kreuzt ihre Polare rechtwinklig. Die Polare eines Durchmessers $d$ liegt unendlich fern in den zu $d$ normalen Ebenen, und der Pol einer Durchmesser-Ebene $\delta$ liegt unendlich fern in den zu $\delta$ normalen Geraden. Die beiden Punkte einer Geraden und ihrer Polare, welche dem Centrum %-----File: 043.png--------------------------------- $C$ zun\"achst liegen, sind durch die reciproken Radien einander zugeordnet und liegen auf einem Durchmesser (vgl.\ 66.). 69. Ist die Potenz $p$ der reciproken Radien negativ, so giebt es keinen auf seiner eigenen Polare liegenden Punkt und keine ihre Polare schneidende Gerade. Ist dagegen $p$ positiv, so ist jeder Punkt der um das Centrum $C$ mit dem Radius $\sqrt{p}$ beschriebenen Kugel sich selbst zugeordnet und liegt auf seiner Polare, und jede Tangente dieser Kugel schneidet ihre Polare rechtwinklig in dem gemeinschaftlichen Ber\"uhrungspunkte. Wir bezeichnen in diesem Falle die Kugel als die {\glqq}Ordnungskugel{\grqq} des r\"aumlichen Polarsystemes; jeder Punkt derselben ist der Pol seiner eigenen Ber\"uhrungsebene. Durch den Pol einer Ebene, welche die Ordnungskugel schneidet, gehen die Ber\"uhrungsebenen aller Schnittpunkte (67.); alle Punkte der Kugel, deren Ber\"uhrungsebenen durch einen gegebenen Punkt gehen, liegen andererseits %sic in der Polare des Punktes. Die Schnittlinie von zwei beliebigen Ber\"uhrungsebenen der Kugel hat die Verbindungslinie der beiden Ber\"uh\-rungs\-punkte zur Polare, und umgekehrt. Die Axen von je zwei orthogonalen Kreisb\"uscheln der Kugel sind demnach reciproke Polaren (64.); umgekehrt sind eine Gerade und ihre Polare allemal die Axen von zwei orthogonalen Kreisb\"uscheln der Kugel. Das Centrum eines Kreisb\"undels der Kugel ist der Pol der Ebene, welche den Orthogonalkreis des B\"undels enth\"alt (60.). Das sph\"arische Polarsystem ist durch seine Ordnungskugel ebenso wie diese durch das Polarsystem v\"ollig bestimmt. Ein Punkt und seine Polare heissen deshalb auch Pol und Polare {\glqq}bez\"uglich dieser Kugel{\grqq}, und ebenso nennt man eine Gerade und ihre Polare zwei {\glqq}reciproke Polaren bez\"uglich der Kugel{\grqq}. 70. In der Polarebene eines Punktes $A$ liegen die Polaren aller durch $A$ gehenden Geraden (68.); zwei Ber\"uhrungsebenen der Ordnungskugel schneiden sich demnach in der Polare von $A$, wenn ihre Ber\"uhrungspunkte mit $A$ in einer Geraden liegen. Zwei sich schneidende Gerade, welche die Ordnungskugel in zwei Punkten einer durch $A$ gehenden Secante ber\"uhren, schneiden sich folglich in einem Punkte der Polare von $A$. Hat die Kugel mit einer Kegelfl\"ache, deren Mittelpunkt $A$ ist, zwei Kreise gemein, so schneiden %-----File: 044.png------------------------------- sich die Ebenen dieser Kreise in der Polare von $A$; denn der Schnittpunkt von je zwei in einer Ber\"uhrungsebene des Kegels enthaltenen Tangenten der beiden Kreise liegt in der Polare von $A$ und zugleich in den beiden Kreisebenen. Wir k\"onnen den einen Kreis durch drei beliebige Punkte $P$, $Q$, $R$ der Kugel legen, der andere geht dann (27.) durch die Punkte $P'$, $Q'$, $R'$, in welchen die Kugel von den Secanten $\overline{AP}$, $\overline{AQ}$, $\overline{AR}$ zum zweiten Male geschnitten wird; in der Polare von $A$ schneiden sich alsdann nicht blos die Ebenen $PQR$ und $P'Q'R'$, sondern ebenso $PQR'$ und $P'Q'R$, $PQ'R$ und $P'QR'$, sowie $P'QR$ und $PQ'R'$. 71. Bringt man also irgend zwei durch $A$ gehende Secanten mit der Kugel zum Durchschnitt in den Punktenpaaren $P, P'$ und $Q, Q'$, so schneiden sich die Geraden $\overline{PQ}$ und $\overline{P'Q'}$, ebenso aber $\overline{PQ'}$ und $\overline{P'Q}$ auf der Polare von $A$. Von den Mittelpunkten der beiden Kegelfl\"achen, durch welche zwei beliebig auf der Kugel angenommene Kreise verbunden werden k\"onnen (27.), liegt deshalb jeder in der Polare des anderen, und die Verbindungslinie beider hat die Schnittlinie der beiden Kreisebenen zur Polare. 72. Wir nennen {\glqq}conjugirt{\grqq} zwei Punkte, von denen jeder in der Polare des anderen liegt, ebenso zwei Ebenen, von denen jede durch den Pol der anderen geht, und zwei Gerade, von denen jede die Polare der anderen schneidet (67., 68.). Ein Punkt und eine Gerade heissen conjugirt, wenn die Gerade in der Polare des Punktes, also auch dieser in der Polare der Geraden liegt. Eine Gerade und eine Ebene endlich heissen conjugirt, wenn die Gerade durch den Pol der Ebene und folglich die Ebene durch die Polare der Geraden geht. Einem beliebigen Punkte $A$ sind hiernach alle in seiner Polarebene liegenden Punkte und Geraden conjugirt, einer Ebene alle durch ihren Pol gehenden Ebenen und Strahlen; einer Geraden dagegen sind alle Punkte und Ebenen ihrer Polare conjugirt, sowie alle Geraden, welche diese Polare schneiden oder ihr parallel sind. Wenn das Polarsystem eine Ordnungskugel hat, so sind alle Punkte, Tangenten und Ber\"uhrungsebenen derselben sich selbst conjugirt; denn z.~B.\ jede Ber\"uhrungsebene geht durch ihren eigenen Pol, den Ber\"uhrungspunkt. --- Zwei Kreise der %-----File: 045.png--------------------------------- Ordnungskugel schneiden sich nur dann rechtwinklig, wenn ihre Ebenen conjugirt sind (60.). 73. Ist dem Punkte $A$ durch die reciproken Radien der Punkt $A'$ zugeordnet und in dem zugeh\"origen Polarsystem der Punkt $B$ conjugirt, so liegt die Gerade $\overline{BA'}$ in der Polare von $A$ und schneidet den Durchmesser $\overline{CAA'}$ rechtwinklig in $A'$. Diejenige Kugel, welche die Strecke $AB$ zum Durchmesser hat, geht folglich auch durch $A'$ und hat im Centrum $C$ des Polarsystemes die Potenz $CA \centerdot CA' = p$. Folglich bilden alle Kugeln, welche eine gegebene Gerade in je zwei conjugirten Punkten rechtwinklig schneiden, einen Kugelb\"uschel, indem sie einerseits zu dem Kugelgeb\"usch vom Centrum $C$ und der Potenz $p$ geh\"oren, anderseits zu dem Kugelb\"undel, von dessen Kugeln die Gerade rechtwinklig geschnitten wird (45). Nun wird aber ein Kugelb\"uschel von einer Geraden in einer involutorischen Punktreihe geschnitten (53.), wenn nicht die Gerade durch einen allen Kugeln des B\"uschels gemeinschaftlichen Punkt geht. Die Paare conjugirter Punkte einer jeden Geraden, welche die Ordnungskugel des Polarsystemes nicht ber\"uhrt, bilden folglich eine involutorische Punktreihe. Die etwa vorhandenen Ordnungspunkte dieser Punktreihe liegen auf der Ordnungskugel des Polarsystemes (72.) und trennen je zwei conjugirte Punkte der Geraden harmonisch (31.). Zieht man also an eine Kugel aus einem Punkte $A$ Secanten und bestimmt auf jeder Secante den Punkt, welcher von $A$ durch die beiden Schnittpunkte harmonisch getrennt ist, so erh\"alt man Punkte der Polarebene von $A$ bez\"uglich der Kugel. --- In einer Tangente der Ordnungskugel ist jeder Punkt dem Ber\"uhrungspunkte conjugirt. 74. Weisen wir jedem Punkte $A$ einer nicht sich selbst conjugirten Ebene die Gerade $a$ zu, in welcher die Ebene von der Polare des Punktes $A$ geschnitten wird, so erhalten wir ein {\glqq}ebenes oder cyklisches Polarsystem{\grqq}. In demselben hat jeder Punkt $A$ die Gerade $a$ zur Polare, welche ihm in dem sph\"arischen Polarsysteme conjugirt ist, und ebenso hat jede Gerade den ihr conjugirten Punkt zum Pol. Zwei Punkte oder Gerade der Ebene sind in dem ebenen Polarsysteme conjugirt, wenn sie in dem r\"aumlichen conjugirt %-----File: 046.png--------------------------------- sind; und umgekehrt. Die Perpendikel, welche in der Ebene von den Punkten auf deren Polaren gef\"allt werden, schneiden sich in einem Punkte $C_1$, dem {\glqq}Centrum{\grqq} des ebenen Polarsystemes; dieser Punkt ist der Fusspunkt des Perpendikels, welches von dem Centrum $C$ des r\"aumlichen Polarsystemes auf die Ebene gef\"allt werden kann. Wenn im ebenen Polarsysteme ein Punkt eine Gerade beschreibt, so dreht sich seine Polare um den Pol dieser Geraden (67.). Die etwaigen sich selbst conjugirten Punkte des ebenen Polarsystemes liegen auf einem Kreise, dem {\glqq}Ordnungskreise{\grqq}; derselbe liegt auf der Ordnungskugel des r\"aumlichen Polarsystemes, und seine Tangenten sind die Polaren ihrer Ber\"uhrungspunkte. Ein dem Ordnungskreise eingeschriebenes Viereck ist ein harmonisches Kreisviereck, wenn seine Diagonalen conjugirt sind (31.). 75. Die Kugeln, welche die Strecken zwischen je zwei conjugirten Punkten des ebenen Polarsystemes zu Durchmessern haben, liegen in einem Kugelb\"undel; denn einerseits haben sie im Centrum $C$ des r\"aumlichen Polarsystemes die Potenz $p$ (73.), anderseits liegen sie in dem symmetrischen Kugelgeb\"usch, in dessen Orthogonalebene das ebene Polarsystem enthalten ist. Das Perpendikel $\overline{CC_1}$ aus dem Centrum $C$ auf diese Ebene ist die Axe des Kugelb\"undels. Ist $a$ die L\"ange und wie oben $C_1$ der Fusspunkt dieses Perpendikels und bezeichnen wir mit $r$ den Radius einer beliebigen Kugel des B\"undels, mit $d$ und $d_1$ die Abst\"ande ihres Mittelpunktes von $C$ und $C_1$, sowie mit $p$ und $p_1$ ihre Potenz in resp.\ $C$ und $C_1$, so ergiebt sich (2.): \[ p = d^2 - r^2 = a^2 + d_1^2 - r^2 \quad\text{und}\quad p_1 = d_1^2 - r_1^2, \] woraus folgt: \[ \quad\quad p_1 = p - a^2. \] Der Kreisb\"undel, in welchem der Kugelb\"undel von seiner Orthogonalebene geschnitten wird, hat demnach den Punkt $C_1$ zum Centrum und in ihm die Potenz $p_1 = p - a^2$. Durch reciproke Radien vom Centrum $C_1$ und der Potenz $p_1$ ist jedem Punkte in der Ebene sein ihm zun\"achst liegender conjugirter Punkt zugeordnet. Wenn also die Ebene sich selbst conjugirte Punkte enth\"alt, so ist der Ort derselben ein Kreis vom Centrum $C_1$ und dem Halbmesser $\sqrt{p_1\vphantom{a^2}} = \sqrt{p-a^2}$; derselbe ist der Ordnungskreis des ebenen Polarsystemes. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} %-----File: 047.png--------------------------------- \abschnitt{\S.~8. \\[\parskip] Kugeln und Kreise mit reellem Centrum und rein imagin\"arem Halbmesser.}\label{p8} \hspace{\parindent}% 76. Durch reciproke Radien vom Centrum $C$ und der Potenz $p$ ist einerseits ein Kugelgeb\"usch, anderseits ein sph\"arisches Polarsystem bestimmt; und zwar ist die Kugel, welche um den Mittelpunkt $C$ mit dem Radius $\sqrt{p}$ beschrieben wird, die Orthogonalkugel des Geb\"usches (13.) und zugleich die Ordnungskugel des Polarsystemes (69.). Diese Kugel ist der Ort aller Punktkugeln des Geb\"usches, aller sich selbst conjugirten Punkte und Ebenen des Polarsystemes und aller Punkte, welche durch die reciproken Radien sich selbst zugeordnet sind; durch sie sind die reciproken Radien, das r\"aumliche Polarsystem und das Kugelgeb\"usch v\"ollig bestimmt. 77. Wir wollen nun die Kugel als gegeben betrachten, wenn ihr Mittelpunkt $C$ und die Potenz $p$ der durch sie bestimmten reciproken Radien gegeben sind, und zwar auch dann, wenn $p$ negativ und folglich der Halbmesser $\sqrt{p}$ rein imagin\"ar ist. Freilich hat die Kugel in diesem Falle keine reellen Punkte, wohl aber sind das Kugelgeb\"usch, dessen Orthogonalkugel sie ist, und das zugeh\"orige r\"aumliche Polarsystem reell construirbar. Wir k\"onnen, wenn $p$ negativ ist, das Kugelgeb\"usch, das Polarsystem und die reciproken Radien als reelle Repr\"asentanten der Kugel vom Centrum $C$ und dem imagin\"aren Radius $\sqrt{p}$ auf\/fassen. Die Einf\"uhrung dieser imagin\"aren Orthogonalkugeln reeller Kugelgeb\"usche gestattet uns, viele Definitionen und S\"atze ganz allgemein auszusprechen, die sonst nur mit Einschr\"ankungen gelten w\"urden. So k\"onnen wir von zwei Punkten, die in einem Kugelgeb\"usch einander zugeordnet sind, nunmehr sagen, sie seien einander {\glqq}bez\"uglich einer Kugel{\grqq}, n\"amlich der Orthogonalkugel des Geb\"usches, zugeordnet. Von conjugirten Punkten, Geraden und Ebenen im sph\"arischen Polarsysteme k\"onnen wir ebenso sagen, sie seien conjugirt {\glqq}bez\"uglich einer Kugel{\grqq}, n\"amlich bez\"uglich der Ordnungskugel des Polarsystemes; auch nennen wir einen beliebigen Punkt den Pol seiner Polarebene in Bezug auf dieselbe Kugel. Von zwei %-----File: 048.png------------------------------------- durch reciproke Radien einander zugeordneten Figuren, Linien oder Fl\"achen endlich wollen wir sagen, sie seien einander zugeordnet oder invers {\glqq}in Bezug auf die Kugelfl\"ache{\grqq}, auf welcher alle sich selbst zugeordneten Punkte liegen. 78. In Uebereinstimmung mit Fr\"uherem (2.) setzen wir fest, dass eine Kugel vom Radius $\sqrt{p}$ in einem beliebigen Punkte $A$ die Potenz $d^2-p$ hat, wenn $d$ den Abstand des Punktes $A$ vom Centrum der Kugel bezeichnet. Ist $p$ negativ, so hat die Kugel in jedem Punkte des Raumes positive Potenz. --- Jeder Punkt $A$ des Raumes ist Mittelpunkt einer Kugel, welche in dem gegebenen Punkte $C$ die Potenz $p$ hat; ist n\"amlich $r$ der Radius dieser Kugel und $d$ der Abstand von $A$ und $C$, so haben wir f\"ur $r$ die Gleichung: \[ p = d^2 - r^2, \quad\text{woraus}\quad r = \sqrt{d^2 -p}. \] Der Radius $r$ ist reell, wenn $p$ negativ ist, oder positiv und kleiner als $d^2$ er wird nur dann imagin\"ar, wenn $p$ positiv und gr\"osser als $d^2$ ist. --- Die Mittelpunkte aller Kugeln eines Kugelgeb\"usches, welches keine Orthogonalebene hat, erf\"ullen demnach den ganzen unendlichen Raum. Ist die Potenz des Geb\"usches negativ, so sind alle seine Kugeln reell; ist sie dagegen positiv, so haben nur diejenigen Kugeln des Geb\"usches reelle Halbmesser, deren Mittelpunkte ausserhalb seiner Orthogonalkugel liegen. --- Jeder Punkt $A$ der Centralebene eines gew\"ohnlichen Kugelb\"undels oder der Centrale eines Kugelb\"uschels ist der Mittelpunkt einer Kugel desselben; n\"amlich alle Orthogonalkugeln des B\"undels oder B\"uschels haben in $A$ gleiche Potenz und die Quadratwurzel aus dieser Potenz ist der Radius jener Kugel. 79. Zwei Kugeln bestimmen auch dann, wenn einer oder jeder ihrer Radien imagin\"ar ist, einen durch sie gehenden Kugelb\"uschel. Unmittelbar n\"amlich bestimmen sie als Orthogonalkugeln von zwei Kugelgeb\"uschen einen Kugelb\"undel, in welchem diese beiden Geb\"usche sich durchdringen; die Orthogonalkugeln dieses B\"undels aber bilden den durch die beiden Kugeln gehenden B\"uschel (50.). Die Centralebene des B\"undels, welche auf der Centrale des B\"uschels normal steht, ist die Potenzebene der beiden Kugeln, denn letztere haben in dem Centrum einer jeden Kugel des B\"undels gleiche Potenz. Da demnach zwei beliebige Kugeln, %-----File: 049.png------------------------------------- auch wenn ihre Radien rein imagin\"ar sind, eine ganz bestimmte Potenzebene haben, so bleiben die fr\"uheren S\"atze (8., 9.), dass im Allgemeinen drei Kugeln eine Potenzaxe und vier Kugeln einen einzigen Potenzpunkt haben, nebst ihren Beweisen auch ferner g\"ultig. Im Allgemeinen bestimmen folglich auch dann drei Kugeln einen durch sie gehenden B\"undel und vier Kugeln ein sie enthaltendes Geb\"usch, wenn sie alle oder zum Theil imagin\"are Radien haben (vgl.\ 12., 47.). 80. Eine Punktkugel $M$ bestimmt mit einer beliebigen, nicht durch $M$ gehenden Kugel $\varkappa$ einen Kugelb\"uschel, welcher noch eine zweite Punktkugel $N$ enth\"alt (52.). Zu der Potenzebene des B\"uschels liegen die Punkte $M$ und $N$ symmetrisch (10.); ausserdem sind sie in Bezug auf die Kugel $\varkappa$ einander zugeordnet, weil die Potenz des Punktenpaares $M$, $N$ im Centrum von $\varkappa$ gleich dem Quadrate des Radius von $\varkappa$ ist (52.). Da nun die Polarebene des Punktes $M$ in Bezug auf $\varkappa$ die Centrale $\overline{MN}$ in dem zugeordneten Punkte $N$ rechtwinklig schneidet, so ergiebt sich der Satz: {\glqq}Die Potenzebene, welche eine Punktkugel $M$ mit einer beliebigen Kugel $\varkappa$ bestimmt, ist parallel zu der Polarebene des Punktes $M$ in Bezug auf $\varkappa$ und halbirt das von $M$ auf diese Polarebene gef\"allte Perpendikel{\grqq}. Alle Kugeln, in Bezug auf welche der Punkt $M$ eine gegebene Ebene $\mu$ zur Polare hat, bilden einen Kugelb\"uschel, von welchem $M$ und der Fusspunkt des von $M$ auf $\mu$ gef\"allten Perpendikels die beiden Punktkugeln sind. Alle Kugeln, in Bezug auf welche dem Punkte $M$ eine Gerade $m$ oder ein Punkt $M'$ conjugirt ist, bilden folglich einen Kugelb\"undel resp.\ ein Geb\"usch; die Orthogonalkugel des letzteren geht durch $M$ und $M'$ und hat die Strecke $MM'$ zum Durchmesser. 81. In der Ebene ist durch reciproke Radien vom Centrum $C'$ und der Potenz $p'$ einerseits ein Kreisb\"undel, anderseits ein ebenes Polarsystem bestimmt, und zwar ist der Kreis, welcher um den Mittelpunkt $C'$ mit dem Radius $\sqrt{p'}$ beschrieben wird, der Orthogonalkreis des B\"undels (60.) und zugleich der Ordnungskreis des Polarsystemes (74., 75.). Wir wollen diesen Kreis durch seine Ebene, seinen Mittelpunkt $C'$ und die Potenz $p'$ der reciproken Radien auch %-----File: 050.png--------------------------------- dann als gegeben betrachten, wenn $p'$ negativ, also der Kreisradius $\sqrt{p'}$ imagin\"ar ist. In diesem Falle sind die reciproken Radien in der Ebene, der ebene Kreisb\"undel und das ebene Polarsystem als reelle Repr\"asentanten des Kreises aufzufassen. 82. Eine Kugel vom Radius $\sqrt{p}$ hat mit einer Ebene, welche vom Centrum $C$ der Kugel den Abstand $a$ hat, einen Kreis vom Radius $\sqrt{p'\vphantom{a^2}} = \sqrt{p-a^2}$ gemein, welcher den Fusspunkt des von $C$ auf die Ebene gef\"allten Perpendikels zum Mittelpunkt hat (75.). Zwei Kugeln haben allemal einen in ihrer Potenzebene liegenden Kreis mit einander gemein, dessen Centrum $C'$ mit denjenigen der beiden Kugeln auf einer Geraden liegt. Denn die Potenzebene schneidet die Centrale der Kugeln rechtwinklig in $C'$ und hat mit ihnen folglich zwei Kreise gemein, die $C'$ zum Mittelpunkt haben; die Radien dieser Kreise sind $\sqrt{p-a^2}$ und $\sqrt{p_1-a_1^2}$, wenn $\sqrt{p}$ und $\sqrt{p_1}$ die Radien der beiden Kugeln und $a$ und $a_1$ die Abst\"ande ihrer Mittelpunkte von der Potenzebene bezeichnen; weil aber die Kugeln im Punkte $C'$ gleiche Potenz haben und folglich (78.) \[ a^2-p = a_1^2-p_1, \quad\text{also auch}\quad \sqrt{p-a^2} = \sqrt{p_1-a_1^2} \] ist, so haben jene beiden Kreise gleiche Radien und sind identisch. Es folgt aus dem soeben bewiesenen Satze, dass alle Kugeln eines Kugelb\"uschels einen Kreis mit einander gemein haben, welcher in der Potenzebene des B\"uschels liegt; der Radius dieses Kreises ist entweder reell oder imagin\"ar, das zu dem Kreise geh\"orige Polarsystem aber ist allemal reell. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~9. \\[\parskip] Lineare Kugelsysteme.}\label{p9} \hspace{\parindent}% 83. Die Gesammtheit aller Kugeln, Kreise und Punktenpaare des Raumes bezeichnen wir mit dem Namen {\glqq}Kugelsystem von vier Dimensionen oder vierter Stufe{\grqq}; die Kugelb\"uschel, Kugelb\"undel und -Geb\"usche dagegen wollen wir {\glqq}lineare Kugelsysteme von ein, zwei resp.\ drei Dimensionen{\grqq} oder {\glqq}lineare Systeme erster, zweiter resp.\ dritter Stufe{\grqq} nennen. Von anderen Kugelsystemen unterscheiden wir die %-----File: 051.png--------------------------------- eben genannten durch das Beiwort {\glqq}linear{\grqq}; denn w\"ahrend jene anderen den Curven und krummen Fl\"achen vergleichbar sind, haben diese linearen Systeme grosse Analogie mit den geraden Linien, den Ebenen und dem r\"aumlichen Punktsystem von drei Dimensionen. Wie eine Gerade durch zwei und eine Ebene durch drei beliebige Punkte bestimmt ist, so ist ein Kugelb\"uschel durch zwei, ein Kugelb\"undel durch drei und ein Kugelgeb\"usch durch vier beliebige Kugeln bestimmt (51., 47., 12.); und wie die drei eine Ebene bestimmenden Punkte nicht in einer Geraden liegen d\"urfen, so d\"urfen die drei einen B\"undel bestimmenden Kugeln nicht in einem Kugelb\"uschel, und die vier ein Geb\"usch bestimmenden Kugeln nicht in einem B\"undel liegen. 84. Wie eine Ebene durch jede Gerade geht, mit welcher sie zwei Punkte gemein hat, so geht ein lineares Kugelsystem zweiter oder dritter Stufe durch jeden Kugelb\"uschel, mit welchem es zwei Kugeln gemein hat (51.), und ein Kugelgeb\"usch durch jeden Kugelb\"undel, von welchem es drei nicht in einem B\"uschel liegende Kugeln enth\"alt (47.). Alle Geraden, welche einen Punkt mit den Punkten einer nicht durch ihn gehenden Geraden verbinden, liegen in einer Ebene; ebenso liegen alle Kugelb\"uschel, welche eine Kugel mit den verschiedenen Kugeln eines nicht durch sie gehenden Kugelb\"uschels oder -B\"undels verbinden, in einem linearen System zweiter resp.\ dritter Stufe. Wie zwei sich schneidende Gerade durch eine Ebene, so k\"onnen zwei Kugelb\"uschel, welche eine Kugel mit einander gemein haben, durch einen Kugelb\"undel verbunden werden. 85. Vier beliebige Kugelgeb\"usche haben allemal eine und im Allgemeinen nur eine Kugel mit einander gemein; ebenso zwei beliebige Kugelb\"undel, oder ein Kugelgeb\"usch und ein Kugelb\"uschel. Die Orthogonalkugeln der vier Geb\"usche haben n\"amlich einen Potenzpunkt $P$ (79.); derselbe ist der Mittelpunkt, und die Potenz der vier Orthogonalkugeln in $P$ ist das Quadrat des Radius jener gemeinschaftlichen Kugel. Dieser Radius ist nur dann imagin\"ar, wenn die vier Orthogonalkugeln alle reell sind und ihren Potenzpunkt $P$ einschliessen (78.). --- Zwei Kugelb\"undel haben dieselbe Kugel mit einander gemein, wie zwei Paar in ihnen sich schneidende Kugelgeb\"usche; und ein Kugelgeb\"usch hat %-----File: 052.png--------------------------------- mit einem Kugelb\"uschel dieselbe Kugel gemein, wie mit drei in dem B\"uschel sich schneidenden anderen Geb\"uschen. 86. Wie zwei oder drei beliebige Ebenen sich in einer Geraden resp.\ einem Punkte schneiden, so durchdringen sich zwei, drei oder vier beliebige Kugelgeb\"usche in einem Kugelb\"undel, einem Kugelb\"uschel resp.\ einer Kugel. Zwei Kugelb\"undel, die in einem Geb\"usche liegen, haben allemal einen Kugelb\"uschel mit einander gemein; in demselben wird das Geb\"usch von zwei durch die beiden B\"undel gelegten anderen Geb\"uschen geschnitten. Zwei in einem B\"undel liegende Kugelb\"uschel haben allemal eine Kugel mit einander gemein; denn ein Kugelgeb\"usch, welches den B\"undel in dem einen B\"uschel durchdringt, schneidet den anderen in jener gemeinschaftlichen Kugel (85.). Ebenso beweist man, dass ein Kugelb\"uschel und ein -B\"undel allemal dann eine Kugel mit einander gemein haben, wenn sie durch ein Geb\"usch verbunden werden k\"onnen. 87. Wie die gerade Linie einfach, die Ebene zweifach und der Raum dreifach unendlich viele Punkte enth\"alt, ebenso enth\"alt der Kugelb\"uschel einfach, der B\"undel zweifach und das Geb\"usch dreifach unendlich viele Kugeln (78.). In einem B\"undel gehen durch eine beliebige Kugel $\varkappa$ desselben einfach unendlich viele Kugelb\"uschel, von welchen jeder einfach unendlich viele Kugeln des B\"undels enth\"alt; man erh\"alt dieselben (86.), wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel eines B\"uschels, der dem B\"undel angeh\"ort, aber nicht durch $\varkappa$ geht, durch einen Kugelb\"uschel verbindet. L\"asst man $\varkappa$ nach und nach mit allen Kugeln eines B\"uschels zusammenfallen, so ergiebt sich sofort, dass der Kugelb\"undel doppelt unendlich viele Kugelb\"uschel und folglich auch doppelt unendlich viele Kreise enth\"alt. 88. In einem Kugelgeb\"usche gehen durch jede Kugel $\varkappa$ desselben doppelt unendlich viele Kugelb\"uschel und -B\"undel; man erh\"alt dieselben (86.), wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel und jedem B\"uschel eines B\"undels, welcher nicht durch $\varkappa$ geht, aber dem Geb\"usch angeh\"ort, durch einen B\"uschel resp.\ B\"undel verbindet. Das Geb\"usch enth\"alt, wie sich hieraus leicht ergiebt (vgl.\ 87.), dreifach unendlich viele Kugeln, vierfach unendlich viele Kugelb\"uschel und Kreise, und dreifach unendlich viele Kugelb\"undel und Punktenpaare. %-----File: 053.png----------------------------------- 89. Durch eine beliebige Kugel $\varkappa$ gehen dreifach unendlich viele Kugelb\"uschel, vierfach unendlich viele B\"undel und dreifach unendlich viele Geb\"usche; man erh\"alt dieselben, wenn man $\varkappa$ mit jeder Kugel, jedem B\"uschel und jedem B\"undel eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Geb\"usches durch einen B\"uschel, einen B\"undel resp.\ ein Geb\"usch verbindet (85., 86.). Das Kugelsystem vierter Stufe enth\"alt demnach vierfach unendlich viele Kugeln und Kugelgeb\"usche, sechsfach unendlich viele Kugelb\"uschel und Kreise und sechsfach unendlich viele Kugelb\"undel und Punktenpaare. --- Durch einen B\"undel gehen einfach und durch einen B\"uschel doppelt unendlich viele Kugelge\-b\"u\-sche; durch einen B\"uschel gehen auch doppelt unendlich viele B\"undel. 90. Die Gesammtheit aller Kreise und Punktenpaare einer Kugel oder Ebene nennen wir ein {\glqq}lineares Kreissystem dritter Stufe{\grqq}, die Kreisb\"uschel und Kreisb\"undel dagegen bezeichnen wir als {\glqq}lineare Kreissysteme erster resp.\ zweiter Stufe{\grqq}. Auch diese linearen Systeme sind den Geraden und Ebenen vergleichbar. Ein Kreisb\"uschel enth\"alt einfach unendlich viele Kreise und ist durch zwei derselben bestimmt. Ein Kreisb\"undel enth\"alt zweifach unendlich viele Kreise, Kreisb\"uschel und Punktenpaare; er ist bestimmt durch drei seiner Kreise, welche nicht in einem B\"uschel liegen. Das lineare Kreissystem dritter Stufe enth\"alt dreifach unendlich viele Kreise und Kreisb\"undel und vierfach unendlich viele Punktenpaare und Kreisb\"uschel. Ein lineares Kugelsystem $n^{\text{ter}}$ Stufe wird von jeder ihm nicht angeh\"origen Kugel in einem linearen Kreissystem $n^{\text{ter}}$ Stufe geschnitten. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~10.\\[\parskip] Reciproke und collineare Gebilde.}\label{p10} \hspace{\parindent}% 91. Construirt man in einem r\"aumlichen Polarsysteme zu jedem Punkte und jeder Geraden eines beliebigen Gebildes $\varSigma$ die Polare und zu jeder Ebene von $\varSigma$ den Pol, so erh\"alt man ein zu $\varSigma$ {\glqq}reciprokes{\grqq} Gebilde $\varSigma_1$. Die beiden reciproken Gebilde $\varSigma$ und $\varSigma_1$ sind auf einander {\glqq}bezogen{\grqq}, und zwar so, dass jedem Punkte des einen eine Ebene des anderen, n\"amlich die Polare des Punktes, entspricht, und jeder Geraden des einen eine Gerade des anderen. Wenn $n$ Punkte %-----File: 054.png----------------------------------- des einen Gebildes in einer Geraden liegen, so gehen die $n$ ihnen entsprechenden oder {\glqq}homologen{\grqq} Ebenen des reciproken Gebildes durch die entsprechende Gerade; und wenn zwei Gerade des einen Gebildes sich schneiden, so liegen auch die entsprechenden Geraden des andern in einer Ebene (68.). Ist insbesondere das eine Gebilde ein ebenes, so liegt das andere in einem Strahlenb\"undel. 92. Man nennt nun \"uberhaupt zwei B\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$ {\glqq}reciprok{\grqq}, wenn sie so auf einander bezogen sind, dass jedem Punkte von $\varSigma$ eine Ebene von $\varSigma_1$ entspricht, und jeder Geraden oder Ebene, welche beliebige Punkte von $\varSigma$ verbindet, eine Gerade resp.\ ein Punkt, durch welchen die entsprechenden Ebenen von $\varSigma_1$ gehen. Zwei Gebilde heissen reciprok, wenn sie in reciproken R\"aumen einander entsprechen. Die Beziehungen zwischen zwei reciproken R\"aumen $\varSigma$ und $\varSigma_1$ sind wechselseitige; auch jedem Punkte von $\varSigma_1$ entspricht eine Ebene in $\varSigma$, und wenn ein Punkt in $\varSigma_1$ eine Gerade oder Ebene beschreibt, so dreht sich die ihm entsprechende Ebene in $\varSigma$ um eine Gerade resp.\ einen Punkt. 93. Zwei reciproke Fl\"achen sind so auf einander bezogen, dass den Punkten der einen die Ber\"uhrungsebenen der anderen entsprechen, und den Be\-r\"uh\-rungs\-ebenen der ersteren die Punkte der letzteren. Ist also die eine Fl\"ache {\glqq}von der $n$ten Ordnung{\grqq}, d.~h.\ hat sie mit einer nicht auf ihr liegenden Geraden im Allgemeinen und h\"ochstens $n$ Punkte gemein, so ist die andere {\glqq}von der $n$ten Classe{\grqq}, d.~h.\ durch eine ihr nicht angeh\"orende Gerade gehen im Allgemeinen und h\"ochstens $n$ von ihren Ber\"uhrungsebenen. Da beispielsweise eine Kugelfl\"ache von der zweiten Ordnung und der zweiten Classe ist, so ist jede zu ihr reciproke Fl\"ache von der zweiten Classe und der zweiten Ordnung. 94. Wenn zwei R\"aume oder r\"aumliche Gebilde zu einem und demselben dritten reciprok sind, so sind sie auf einander {\glqq}collinear{\grqq} bezogen. Man nennt n\"amlich zwei R\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$ collinear, wenn jedem Punkte von $\varSigma$ ein Punkt von $\varSigma_1$ entspricht, und jeder Geraden oder Ebene, welche beliebige Punkte von $\varSigma$ verbindet, eine Gerade resp.\ Ebene, welche die entsprechenden oder {\glqq}homologen{\grqq} Punkte von $\varSigma_1$ enth\"alt. Ebenso nennt man zwei Gebilde collinear, wenn sie in collinearen R\"aumen einander entsprechen. Die Aehnlichkeit, %-----File: 055.png----------------------------------- die Congruenz und die Symmetrie sind sehr specielle F\"alle der Collineation. Zwei collineare Fl\"achen sind von derselben Ordnung und auch von gleicher Classe; den Punkten und Ber\"uhrungsebenen der einen entsprechen die Punkte resp.\ Ber\"uhrungsebenen der anderen. Wenn von zwei collinearen Curven die eine mit einer Ebene $n$ Punkte gemein hat, so hat die andere mit der entsprechenden Ebene gleichfalls $n$ Punkte, und zwar die homologen $n$, gemein; liegt die eine Curve in einer Ebene, so ist auch die andere eine ebene Curve. 95. Wenn der eine von zwei collinearen R\"aumen einem dritten R\"aume reciprok ist, so ist auch der andere diesem dritten reciprok. Denn jedem Punkte des dritten Raumes entspricht in dem ersten und dadurch auch in dem zweiten R\"aume eine Ebene; jede dieser beiden Ebenen aber dreht sich um eine Gerade oder einen Punkt, wenn der entsprechende Punkt im dritten Raume eine Gerade resp.\ eine Ebene beschreibt. --- Wenn von zwei collinearen oder insbesondere \"ahnlichen Gebilden das eine einem dritten Gebilde reciprok ist, so gilt dasselbe auch von dem anderen. Wenn zwei R\"aume auf einen dritten collinear bezogen sind, so sind sie auch zu einander collinear. 96. Zwei collineare R\"aume durchdringen sich gegenseitig, und es kann deshalb vorkommen, dass einander entsprechende oder {\glqq}homologe{\grqq} Elemente derselben, d.~h.\ homologe Punkte, Strahlen oder Ebenen, zusammenfallen. Von jedem mit seinem entsprechenden identischen Elemente der beiden R\"aume wollen wir sagen, die collinearen R\"aume haben das Element {\glqq}entsprechend gemein{\grqq}; und dasselbe sagen wir von jedem Gebilde der beiden R\"aume, welches mit seinem entsprechenden zusammenf\"allt. Beispielsweise haben zwei \"ahnliche und \"ahnlich liegende R\"aume jede Gerade und jede Ebene entsprechend gemein, welche durch den Aehnlichkeitspunkt geht. 97. Zwei collineare R\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$ haben {\glqq}perspective Lage{\grqq} und heissen {\glqq}perspectiv{\grqq}, wenn sie alle Punkte und Geraden einer Ebene $\varepsilon$, sowie alle Strahlen und Ebenen eines Punktes $C$ entsprechend gemein haben. Mit dem Punkte $C$, dem {\glqq}Collineationscentrum{\grqq}, liegen je zwei einander entsprechende Punkte der collinearen R\"aume in %-----File: 056.png--------------------------------- einer Geraden und je zwei homologe Gerade derselben in einer Ebene; dagegen auf der {\glqq}Collineationsebene{\grqq} $\varepsilon$ schneiden sich je zwei homologe Strahlen oder Ebenen der beiden perspectiven R\"aume $\varSigma$ und $\varSigma_1$, weil jeder Punkt von $\varepsilon$ mit seinem entsprechenden zusammenf\"allt. Sind $C$ und $\varepsilon$, sowie zwei beliebige einander entsprechende Elemente von $\varSigma$ und $\varSigma_1$, z.~B.\ zwei homologe Punkte $A$ und $A_1$ gegeben, so kann man hiernach leicht zu jedem anderen Punkte $B$ von $\varSigma$ den entsprechenden Punkt $B_1$ von $\varSigma_1$ construiren; man bringe die Gerade $\overline{AB}$ im Punkte $S$ zum Durchschnitt mit der Collineationsebene $\varepsilon$, dann ist $B_1$ der Schnittpunkt der beiden Geraden $\overline{SA_1}$ und $\overline{CB}$. Eben so leicht erh\"alt man zu jeder durch $B$ gelegten Geraden oder Ebene die entsprechende Gerade resp.\ Ebene; dieselbe geht n\"amlich durch $B_1$ und schneidet die erstere auf $\varepsilon$. --- R\"uckt die Collineationsebene in's Unendliche, so sind die perspectiven R\"aume \"ahnlich und \"ahnlich liegend, und das Collineationscentrum $C$ ist ihr Aehnlichkeitspunkt. 98. Man kann auch Ebenen collinear oder reciprok auf einander beziehen. Collineare Ebenen sind homologe Gebilde von collinearen R\"aumen; sie liegen perspectiv, wenn die collinearen R\"aume perspective Lage haben. Construirt man in einem ebenen Polarsysteme zu jedem Punkte eines darin angenommenen Gebildes $\varSigma$ die Polare und zu jeder Geraden von $\varSigma$ den Pol, so erh\"alt man ein zu $\varSigma$ reciprokes ebenes Gebilde $\varSigma_1$, und auch jedes zu $\varSigma$ collineare Gebilde ist zu $\varSigma_1$ reciprok. Sind zwei Ebenen auf irgend eine Weise reciprok auf einander bezogen, so entspricht jedem Punkte der einen eine Gerade der anderen, und jeder Geraden, welche zwei oder mehrere Punkte der einen Ebene verbindet, entspricht ein Punkt, durch welchen die entsprechenden Geraden der anderen Ebene gehen. Zwei Ebenen sind auf einander collinear bezogen, wenn sie zu einer und derselben dritten reciprok sind. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~11. \\[\parskip] Collineare und reciproke Gebilde in Bezug auf ein Kugelgeb\"usch.}\label{p11} \hspace{\parindent}% 99. Die Potenzebenen, welche eine beliebige Kugel $\varkappa$ mit allen Kugeln eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Kugelb\"uschels %-----File: 057.png----------------------------------- bestimmt, bilden einen Ebenenb\"uschel; sie gehen n\"amlich durch die Axe $a$ des Kugelb\"undels, welcher den Kugelb\"uschel mit $\varkappa$ verbindet. Jede durch $a$ gehende Ebene ist die Potenzebene von $\varkappa$ und einer bestimmten Kugel des B\"uschels (86., 51.); der Mittelpunkt dieser Kugel liegt mit demjenigen von $\varkappa$ auf einer zu der Ebene normalen Geraden und ist in der Centrale des B\"uschels leicht zu construiren. Die Axe $a$ liegt in der Potenzebene des Kugelb\"uschels, kreuzt also dessen Centrale rechtwinklig; denn durch die Axe eines Kugelb\"undels gehen die Potenzebenen aller in dem B\"undel enthaltenen Kugelb\"uschel. Die Axe $a$ r\"uckt in's Unendliche, wenn der Mittelpunkt von $\varkappa$ auf der Centrale des Kugelb\"uschels liegt oder wenn der B\"uschel aus concentrischen Kugeln besteht (8.). 100. Die Potenzebenen und Potenzaxen, welche eine Kugel $\varkappa$ mit allen Kugeln und Kreisen eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Kugelb\"undels bestimmt, bilden einen Ebenen- oder Strahlenb\"undel; sie gehen n\"amlich durch den Potenz- oder Mittelpunkt $C$ desjenigen Geb\"usches, welches den Kugelb\"undel mit $\varkappa$ verbindet. Man \"uberzeugt sich ohne Schwierigkeit (86.), dass jede durch $C$ gehende Ebene zu jenen Potenzebenen geh\"ort. Das Centrum $C$ liegt in der Axe des Kugelb\"undels. --- Zu den Potenzebenen, welche eine Kugel $\varkappa$ mit allen Kugeln eines nicht durch $\varkappa$ gehenden Geb\"usches bestimmt, geh\"ort jede Ebene $\varepsilon$ des Raumes; denn der Kugelb\"uschel, welcher $\varkappa$ mit $\varepsilon$ verbindet, hat mit dem Geb\"usch eine Kugel $\varkappa'$ gemein (85.), und $\varepsilon$ ist die Potenzebene von $\varkappa$ und $\varkappa'$. 101. Die Potenzebenen, welche zwei beliebige Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ mit den Kugeln eines nicht durch sie gehenden Geb\"usches bestimmen, sind homologe Ebenen von zwei perspectiv liegenden collinearen R\"aumen; und zwar ist die Potenzebene der Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ die Collineationsebene, und das Centrum des Geb\"usches das Collineationscentrum dieser perspectiven R\"aume (vgl.~97.). N\"amlich mit einer beliebigen Kugel $\gamma$ des Geb\"usches bestimmen $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei einander entsprechende Potenzebenen, welche sich in der Potenzebene von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ schneiden; wenn aber $\gamma$ in dem Geb\"usche einen Kugelb\"uschel oder -B\"undel beschreibt, so beschreiben die beiden Potenzebenen zwei homologe Ebenenb\"uschel oder %-----File: 058.png----------------------------------- Ebenenb\"undel (99., 100.), deren Axen resp.\ Mittelpunkte mit dem Centrum des Geb\"usches in einer Ebene oder Geraden liegen, n\"amlich in der Potenzebene des Kugelb\"uschels resp.\ in der Potenzaxe des Kugelb\"undels. 102. Der soeben bewiesene Satz gilt auch in dem besonderen Falle, wenn $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei dem Geb\"usche nicht angeh\"orige Punktkugeln sind. Nun ist aber die Potenzebene, welche eine Punktkugel $M$ mit der ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ bestimmt, parallel zu der Polarebene des Punktes $M$ in Bezug auf $\gamma$ und halbirt das von $M$ auf diese Polarebene gef\"allte Perpendikel (80.); diese Polar- und jene Potenzebene sind demnach homologe Ebenen von zwei \"ahnlichen und \"ahnlich liegenden R\"aumen, von welchen $M$ der Aehnlichkeitspunkt ist. Auch die Polarebenen von zwei Punkten in Bezug auf die einzelnen Kugeln $\gamma$ eines Geb\"usches, dessen Orthogonalkugel durch keinen der beiden Punkte geht, sind folglich homologe Ebenen von zwei collinearen B\"aumen, die aber nicht perspectiv liegen. --- Wenn ein Punkt auf der Orthogonalkugel eines Geb\"usches liegt, so gehen seine Polarebenen bez\"uglich aller Kugeln des Geb\"usches durch den ihm diametral gegen\"uber liegenden Punkt der Orthogonalkugel; denn im Centrum des Geb\"usches und dieser Orthogonalkugel schneiden sich die Potenzebenen, welche der Punkt als Punktkugel mit allen \"ubrigen Kugeln des Geb\"usches bestimmt. 103. Weist man dem Mittelpunkte $A$ einer ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ die Potenzebene $\alpha$ zu, welche $\gamma$ mit einer gegebenen Kugel $\varkappa$ bestimmt, so beschreiben $A$ und $\alpha$ als homologe Elemente zwei reciproke R\"aume, wenn $\gamma$ ein Kugelgeb\"usch beschreibt; doch darf dieses Geb\"usch weder durch $\varkappa$ gehen noch symmetrisch sein. Wenn n\"amlich $\gamma$ einen Kugelb\"uschel oder -B\"undel des Geb\"usches beschreibt, so durchl\"auft der Mittelpunkt $A$ eine Gerade oder Ebene und zugleich dreht sich die Potenzebene $\alpha$ um eine Gerade resp.\ einen Punkt. --- Ebenso erh\"alt man homologe Elemente von zwei reciproken R\"aumen, wenn man der Polarebene eines beliebigen Punktes in Bezug auf die ver\"anderliche Kugel $\gamma$ des Geb\"usches den Mittelpunkt von $\gamma$ als entsprechenden Punkt zuweist (102.). --- Die Potenzebenen einer Kugel $\varkappa$ und die Polarebenen eines Punktes $M$ bez\"uglich aller Kugeln $\gamma$ eines nicht durch $\varkappa$ oder $M$ gehenden Kugelb\"undels sind %-----File: 059.png--------------------------------- homologe Ebenen von zwei collinearen Strahlenb\"undeln; die Ebene, in welcher die Mittelpunkte der Kugeln $\gamma$ liegen, ist durch den Kugelb\"undel reciprok auf jene collinearen Strahlenb\"undel bezogen. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~12. \\[\parskip] Harmonische Kugeln und Kreise.}\label{p12} \hspace{\parindent}% 104. Vier Kugeln eines Kugelb\"uschels bestimmen entweder mit keiner oder mit jeder dem B\"uschel nicht angeh\"orenden Kugel $\varkappa$ vier harmonische Potenzebenen, und sollen im letzteren Falle {\glqq}vier harmonische Kugeln{\grqq} heissen. N\"amlich zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$, die mit dem B\"uschel nicht in einem und demselben Kugelb\"undel liegen, bestimmen mit jeder Kugel des B\"uschels zwei Potenzebenen, welche auf der Potenzebene von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ sich schneiden; diese letztere Potenzebene schneidet folglich die beiden Gruppen von je vier Potenzebenen, welche $\varkappa$ und $\varkappa_1$ mit irgend vier Kugeln des B\"uschels bestimmen, in den n\"amlichen vier Strahlen; und jenachdem diese Strahlen harmonisch sind oder nicht, bestehen jene beiden Gruppen aus je vier harmonischen Ebenen oder nicht (42.). 105. Vier harmonische Kugeln bestimmen mit einer beliebigen Kugel $\varkappa$ auch dann vier harmonische Potenzebenen, wenn $\varkappa$ eine Punktkugel $M$ ist. Nun sind aber die Polarebenen des Punktes $M$ bez\"uglich der vier Kugeln jenen Potenzebenen parallel und schneiden sich wie diese in einer Geraden (102.). Auch die Polarebenen eines beliebigen Punktes $M$ in Bezug auf vier harmonische Kugeln sind folglich vier harmonische Ebenen. Wenn die harmonischen Kugeln sich in $M$ schneiden, so werden sie in diesem Punkte von vier harmonischen Ebenen ber\"uhrt, n\"amlich von den Polarebenen des Punktes; sie verwandeln sich folglich durch reciproke Radien vom Centrum $M$ in vier harmonische Ebenen, und haben mit jedem durch $M$ gelegten Kreise ausser $M$ noch vier harmonische Punkte gemein (33., 42.). 106. Einem beliebigen Punkte $M$ sind in Bezug auf vier harmonische Kugeln vier harmonische Punkte einer durch $M$ gehenden Kreislinie oder Geraden zugeordnet; und zwar (105.) einer Geraden, wenn $M$ mit den Mittelpunkten der vier Kugeln in einer Geraden liegt. F\"allt man n\"amlich %-----File: 060.png----------------------------------- aus dem Punkte $M$ Perpendikel auf die Polarebenen von $M$ bez\"uglich der vier harmonischen Kugeln, so sind die Fusspunkte dieser vier Perpendikel dem Punkte M zugeordnet in Bezug auf die Kugeln (66.) und liegen im Allgemeinen auf einem durch $M$ und einen gemeinschaftlichen Punkt der vier Polarebenen gehenden Kreise, sind also (42.) vier harmonische Punkte. Eine Ausnahme tritt ein, wenn $M$ auf den vier Kugeln liegt oder eine Punktkugel des durch sie gehenden B\"uschels ist. --- Die vier Strahlen, welche den Punkt $M$ mit seinen vier zugeordneten Punkten verbinden, sind harmonisch und gehen durch die Mittelpunkte der vier Kugeln. Die Mittelpunkte von vier harmonischen Kugeln, welche nicht concentrisch sind, bilden folglich eine gerade harmonische Punktreihe. 107. Vier Kugeln eines Kugelb\"uschels sind harmonisch, wenn bez\"uglich derselben irgend einem Punkte $M$ vier harmonische Punkte oder vier harmonische Polarebenen zugeordnet sind, oder wenn ihre Mittelpunkte eine harmonische Punktreihe bilden; denn in jedem dieser F\"alle bestimmen die vier Kugeln, wie man leicht einsieht, vier harmonische Potenzebenen mit der Punktkugel $M$. --- Durch reciproke Radien verwandeln sich vier harmonische Kugeln wieder in vier harmonische Kugeln, die bei besonderer Lage des Centrums der Radien in harmonische Ebenen \"ubergehen (105.). Sie verwandeln sich n\"amlich in vier Kugeln eines B\"uschels (54.), und die vier harmonischen Punkte, welche in Bezug auf sie irgend einem Punkte $M$ zugeordnet sind, verwandeln sich in vier harmonische Punkte, welche in Bezug auf die anderen vier Kugeln einem Punkte $M'$ zugeordnet sind. --- Durch drei Kugeln eines Kugelb\"uschels ist die vierte harmonische bestimmt. 108. Die vier Kreise, welche vier harmonische Kugeln mit einer beliebigen Kugel oder Ebene gemein haben, sollen {\glqq}vier harmonische Kreise{\grqq} heissen; sie liegen in einem Kreisb\"uschel und ihre Ebenen bilden, wenn sie nicht zusammenfallen, einen harmonischen Ebenenb\"uschel (104.). Die vier Potenzaxen, welche vier harmonische Kreise mit einer beliebigen Kugel bestimmen, sind vier harmonische Strahlen. Daraus folgt (vgl.~62.), dass die Kugeln, welche vier harmonische Kreise mit einem beliebigen Punkte verbinden, vier %-----File: 061.png--------------------------------- harmonische Kugeln sind. Durch reciproke Radien verwandeln sich vier harmonische Kreise in vier harmonische Kreise oder Gerade. In Bezug auf vier harmonische Kreise einer Ebene sind einem beliebigen Punkte der Ebene vier harmonische Punkte und zugleich vier harmonische Polaren zugeordnet (105., 106.). Harmonische Kreise, welche sich schneiden, werden in jedem ihrer beiden Schnittpunkte von vier harmonischen Strahlen ber\"uhrt (105.). \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~13. \\[\parskip] Kugeln, die sich ber\"uhren. Aehnlichkeitspunkte von Kugeln.}\label{p13} \hspace{\parindent}% 109. Wenn zwei Kugeln oder eine Kugel und eine Ebene sich ber\"uhren, so reducirt ihr gemeinschaftlicher Kreis sich auf einen Punkt, ist also ein Punktkreis. Eine beliebige Kugel oder Ebene ber\"uhrt demnach h\"ochstens zwei Kugeln eines nicht durch sie gehenden Kugelb\"uschels; denn sie schneidet den B\"uschel in einem Kreisb\"uschel, welcher h\"ochstens zwei Punktkreise enth\"alt (62., 63.). Die Gesammtheit aller eine Kugel oder Ebene ber\"uhrenden Kugeln kann deshalb als ein {\glqq}quadratisches Kugelsystem dritter Stufe{\grqq} bezeichnet werden. 110. Durch drei gegebene Punkte oder durch einen Kreis k\"onnen h\"och\-stens zwei Kugeln gelegt werden, welche eine gegebene Kugel $\varkappa$ ber\"uhren. Um dieselben zu construiren, bringe man $\varkappa$ mit irgend zwei durch die Punkte gehenden Kugeln zum Durchschnitt, construire die Gerade $g$, welche die Ebenen der beiden Schnittkreise mit einander gemein haben, und lege durch $g$ Ber\"uhrungsebenen an $\varkappa$; die Kugeln, welche die drei Punkte mit den Ber\"uhrungspunkten dieser Ebenen verbinden, sind die gesuchten. Die Construction wird unm\"oglich, wenn $g$ und $\varkappa$ oder, was dasselbe ist, wenn der die drei Punkte verbindende Kreis und $\varkappa$ sich schneiden. 111. Alle Kugeln eines Geb\"usches, welche eine dem Geb\"usch nicht angeh\"orende Kugel $\varkappa$ ber\"uhren, werden von noch einer Kugel $\varkappa_1$ ber\"uhrt. N\"amlich durch die zu dem Geb\"usch geh\"origen reciproken Radien wird jede Kugel des Geb\"usches in sich selbst, die Kugel $\varkappa$ aber in eine andere $\varkappa_1$ transformirt, und der Punkt, in welchem $\varkappa$ von irgend einer %-----File: 062.png----------------------------------- Kugel $\gamma$ des Geb\"usches ber\"uhrt wird, verwandelt sich in den zugeordneten Punkt, in welchem $\varkappa_1$ dieselbe Kugel $\gamma$ ber\"uhrt. Ist die Potenz des Geb\"usches Null, so reducirt sich die Kugel $\varkappa_1$ auf das Centrum des Geb\"usches; ist anderseits das Geb\"usch ein symmetrisches, so liegen $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zu der Orthogonalebene desselben symmetrisch und haben gleiche Radien. Von diesen beiden speciellen F\"allen abgesehen, haben $\varkappa$ und $\varkappa_1$ das Centrum des Geb\"usches zum Aehnlichkeitspunkt, weil sie durch die zugeh\"origen reciproken Radien einander zugeordnet sind (25.). 112. Bei der Lehre von den Kugeln, welche zwei oder mehrere gegebene Kugeln ber\"uhren, spielen sonach die Aehnlichkeitspunkte der letzteren eine Rolle, und es ist zweckm\"assig, zun\"achst \"uber diese Aehnlichkeitspunkte das Wichtigste anzuf\"uhren. Sind $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei \"ahnliche und \"ahnlich liegende Fl\"achen, so liegen je zwei homologe Punkte derselben mit dem Aehnlichkeitspunkte in einer Geraden, und je zwei homologe Sehnen sind parallel und stehen zu einander in constantem Verh\"altnisse (vgl.~24.). Sind insbesondere $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei Kugeln, so muss demnach jeder gr\"ossten Sehne von $\varkappa$ eine zu ihr parallele gr\"osste Sehne von $\varkappa_1$ entsprechen, und die Endpunkte paralleler Durchmesser von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ sowie die Mittelpunkte der Kugeln m\"ussen homologe Punkte sein. 113. Zwei beliebige Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ haben deshalb nur zwei Aehnlichkeitspunkte, und zwar liegen diese auf der Centrale der Kugeln, und durch sie gehen die zwei Paar Geraden, welche die Endpunkte von zwei parallelen Durchmessern der Kugeln verbinden. Die Strecken, welche einer dieser Aehnlichkeitspunkte mit den Mittelpunkten der beiden Kugeln begrenzt, verhalten sich zu einander wie die Radien der Kugeln, und eben deshalb liegen die Endpunkte paralleler Radien allemal mit einem Aehnlichkeitspunkte in einer Geraden. 114. Man unterscheidet bei zwei Kugeln den \"ausseren Aehnlichkeitspunkt $A$ und den inneren $J$. Der \"aussere $A$ liegt mit den Endpunkten von je zwei gleichgerichteten parallelen Radien der Kugeln in einer Geraden, und folglich ausserhalb der Strecke, welche die Mittelpunkte der Kugeln begrenzen. Im inneren Aehnlichkeitspunkte $J$ dagegen %-----File: 063.png--------------------------------- schneiden sich die Geraden, welche die Endpunkte von je zwei entgegengesetzt gerichteten parallelen Radien verbinden; er liegt zwischen den Mittelpunkten der beiden Kugeln und zwischen je zwei homologen Punkten derselben. Sind $r$ und $r_1$ die Radien der Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$, so ist ihr Aehnlichkeitsverh\"altniss in Bezug auf den \"ausseren Aehnlichkeitspunkt $= r : r_1$ und in Bezug auf den inneren $= - r : r_1$; in diesem Verh\"altniss n\"amlich stehen mit R\"ucksicht auf ihren Sinn die Strecken zu einander, welche zwei homologe Punkte der Kugeln mit dem betreffenden Aehnlichkeitspunkte und mit anderen homologen Punkten bilden. 115. Eine gemeinschaftliche Ber\"uhrungs-Ebene von zwei Kugeln geht entweder durch den \"ausseren $A$ oder durch den inneren Aehnlichkeitspunkt $J$ derselben (114.); im letzteren Falle liegt sie zwischen den beiden Kugeln. Wenn die Kugeln sich \"ausserlich ber\"uhren, so f\"allt $J$ mit dem Ber\"uh\-rungs\-punkte zusammen; wenn sie sich schneiden, so wird $J$ von ihnen eingeschlossen, und wenn sie sich innerlich ber\"uhren, indem die eine von der anderen eingeschlossen wird, so f\"allt $A$ mit dem Ber\"uhrungspunkte zusammen. Umschliesst die eine Kugel die andere, so liegen beide Aehnlichkeitspunkte innerhalb der letzteren; sie vereinigen sich im Centrum, wenn die Kugeln concentrisch sind. Von zwei gleichen Kugeln liegt der \"aussere Aehnlichkeitspunkt unendlich fern, und halbirt der innere die Strecke zwischen den beiden Mittelpunkten. --- Zwei in einer Ebene liegende Kreise haben dieselben zwei Aehnlichkeitspunkte wie die beiden Kugeln, von denen sie gr\"osste Kreise sind. 116. Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von einer dritten $\gamma$ rechtwinklig geschnitten werden, so fallen ihre Aehnlichkeitspunkte zusammen mit den Mittelpunkten der beiden Kegelfl\"achen, durch welche (27.) die zwei Schnittkreise $k$ und $k_1$ verbunden werden k\"onnen. Verwandelt man n\"amlich die Kugel $\varkappa$ durch reciproke Radien, welche den Mittelpunkt von einer dieser Kegelfl\"achen zum Centrum haben und die Kugel $\gamma$ in sich selbst transformiren, so erh\"alt man eine Kugel, welche im Kreise $k_1$ die Kugel $\gamma$ rechtwinklig schneidet und deshalb mit $\varkappa_1$ identisch ist; jener Mittelpunkt ist folglich (25.) ein Aehnlichkeitspunkt von $\varkappa$ und $\varkappa_1$. Zugleich ergiebt sich der Satz: Zwei Kugeln k\"onnen durch reciproke %-----File: 064.png----------------------------------- Radien, deren Centrum $C$ ihr \"ausserer oder innerer Aehnlichkeitspunkt ist, in einander transformirt werden, vorausgesetzt dass sie sich nicht in $C$ ber\"uhren. Die beiden Kugeln, in Bezug auf welche demnach zwei gegebene Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ einander zugeordnet sind (77.) und deren Mittelpunkte mit den Aehnlichkeitspunkten von $\varkappa_1$ und $\varkappa_1$ zusammenfallen, liegen \"ubrigens in dem durch $\varkappa$ und $\varkappa_1$ gehenden Kugelb\"uschel, weil sie alle Orthogonalkugeln desselben rechtwinklig schneiden; sie halbiren, wenn $\varkappa$ und $\varkappa_1$ sich schneiden, die von diesen Kugeln gebildeten Winkel. 117. Wir wollen sagen, auf den Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ liegen zwei Punkte $P$ und $P'$ {\glqq}invers bez\"uglich des Aehnlichkeitspunktes $C${\grqq}, wenn sie mit $C$ in einer Geraden liegen, ohne sich zu entsprechen. Alle Paare von solchen inversen Punkten haben in $C$ gleiche Potenz (116.) und sind Punktenpaare eines Kugelgeb\"usches, welchem alle zu $\varkappa$ und $\varkappa_1$ rechtwinkligen Kugeln angeh\"oren. Es k\"onnen deshalb zwei Paare inverser Punkte allemal durch einen Kreis und drei Paare durch eine Kugel dieses Geb\"usches verbunden werden (15.); jede solche Kreislinie oder Kugel des Geb\"usches aber schneidet die Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter gleichen Winkeln (22.), weil sie durch die zum Geb\"usche geh\"origen reciproken Radien in sich selbst, zugleich aber $\varkappa$ in $\varkappa_1$ \"ubergeht. Die Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ werden in je zwei invers liegenden Punkten von einer dritten Kugel ber\"uhrt und von unendlich vielen anderen unter gleichen Winkeln geschnitten. 118. Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von einer dritten ber\"uhrt werden, so liegen die beiden Ber\"uhrungspunkte $P$ und $P$ mit einem Aehnlichkeitspunkte von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ in einer Geraden und bez\"uglich desselben invers. Denn alle Kugeln, welche $\varkappa$ in $P$ ber\"uhren, bilden einen Kugelb\"uschel, und es k\"onnen deshalb nur zwei von ihnen zugleich die Kugel $\varkappa_1$ ber\"uhren (109.); die Ber\"uhrungspunkte dieser beiden Kugeln aber liegen invers zu $P$ in Bezug auf die Aehnlichkeitspunkte von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ (117.). --- Wenn zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ von einer dritten $\gamma$ unter gleichen Winkeln geschnitten werden, so liegen die beiden Schnittkreise $k$ und $k_1$ invers bez\"uglich eines Aehnlichkeitspunktes von $\varkappa$ und $\varkappa_1$ und letzterer ist der Mittelpunkt von einer der beiden durch $k$ und $k_1$ gehenden Kegelfl\"achen. N\"amlich durch reciproke Radien, welche %-----File: 065.png----------------------------------- die Mittelpunkte dieser beiden Kegelfl\"achen zu Centren haben und die Kugel $\gamma$ in sich selbst transformiren, verwandelt sich $\varkappa$ in zwei andere Kugeln, welche die Kugel $\gamma$ im Kreise $k_1$ unter denselben Winkeln schneiden wie $\varkappa_1$ und von welchen folglich die eine mit $\varkappa_1$ zusammenf\"allt (vgl.~116.). Alle Kugeln, welche zwei gegebene Kugeln unter gleichen Winkeln schneiden oder auch ber\"uhren, geh\"oren also zu zwei Kugelgeb\"uschen, deren Centra die Aehnlichkeitspunkte der gegebenen Kugeln sind. 119. Drei Kugeln bestimmen paarweise sechs Aehnlichkeitspunkte, n\"am\-lich drei \"aussere und drei innere; dieselben liegen in der Central-Ebene der drei Kugeln, und zwar zu zweien auf den drei Centrallinien derselben. Die Endpunkte von irgend drei gleichgerichteten parallelen Radien der Kugeln liegen mit den drei \"ausseren Aehnlichkeitspunkten in einer Ebene (114.), und letztere liegen folglich in einer Geraden. Die Endpunkte von drei ungleich gerichteten, parallelen Radien dagegen liegen in einer Ebene, welche durch einen \"ausseren und zwei innere Aehnlichkeitspunkte geht; die beiden inneren Aehnlichkeitspunkte, welche eine der Kugeln mit den beiden anderen Kugeln bestimmt, liegen folglich mit dem \"ausseren Aehnlichkeitspunkte dieser beiden letzteren in einer Geraden. Ueberhaupt liegen die sechs Aehnlichkeitspunkte der drei Kugeln zu dreien in vier Geraden, den vier {\glqq}Aehnlichkeits-Axen{\grqq} der Kugeln; sie bilden die Eckpunkte eines vollst\"andigen Vierseits, dessen drei Diagonalen sich paarweise in den Mittelpunkten der drei Kugeln schneiden. Die vier Aehnlichkeits-Axen fallen zusammen, wenn die Mittelpunkte der drei Kugeln in einer Geraden liegen. --- Drei Kreise einer Ebene haben dieselben sechs Aehnlichkeitspunkte wie die drei Kugeln, von welchen sie gr\"osste Kreise sind. 120. Jede gemeinschaftliche Ber\"uhrungs-Ebene von drei Kugeln geht durch eine Aehnlichkeits-Axe derselben (115.). Wenn drei Kugeln von einer vierten ber\"uhrt werden, so gehen die Verbindungslinien der drei Ber\"uh\-rungs\-punkte durch drei Aehnlichkeits-Punkte, und geht folglich ihre Ebene durch eine Aehnlichkeits-Axe der Kugeln (118.). Alle Kugeln, welche drei gegebene ber\"uhren oder unter gleichen Winkeln schneiden, geh\"oren zu vier Kugelb\"undeln, deren Axen die Aehnlichkeits-Axen der drei gegebenen Kugeln sind (118.). %-----File: 066.png----------------------------------- 121. Vier Kugeln, deren Mittelpunkte nicht in einer Ebene liegen, bestimmen paarweise zw\"olf Aehnlichkeitspunkte; dieselben liegen zu sechsen in den vier Ebenen, welche die Mittelpunkte von je drei der vier Kugeln verbinden, und zu dreien in 16 Geraden (119.), den Aehnlichkeits-Axen. Die Endpunkte von vier parallelen Radien der Kugeln liegen zu zweien auf sechs Geraden, welche durch sechs Aehnlichkeitspunkte, und zu dreien in vier Ebenen, welche durch vier Aehnlichkeits-Axen der Kugel gehen; und zwar schneiden sich diese vier Aehnlichkeits-Axen in jenen sechs Aehnlichkeitspunkten und bilden mit ihnen zusammen ein vollst\"andiges ebenes Vierseit. Je nachdem nun die vier parallelen Radien gleichgerichtet sind oder nicht, ergiebt sich daraus Folgendes. Die sechs \"ausseren Aehnlichkeitspunkte der vier Kugeln liegen in einer Ebene und zu dreien in vier Geraden. Die drei inneren Aehnlichkeitspunkte, welche drei von den Kugeln mit der vierten, und die drei \"ausseren, welche sie mit einander bestimmen, liegen zusammen in einer Ebene und zu dreien in vier Geraden. Endlich die vier inneren Aehnlichkeitspunkte, welche zwei von den vier Kugeln mit den beiden anderen, und die beiden \"ausseren, welche diese zwei Kugelpaare f\"ur sich bestimmen, liegen zusammen in einer Ebene und zu dreien in vier Aehnlichkeits-Axen. 122. Die zw\"olf Aehnlichkeitspunkte von vier beliebigen Kugeln liegen also (121.) zu dreien in sechzehn Geraden, den Aehnlichkeits-Axen, und zu sechsen in zw\"olf Ebenen, welche je vier der 16 Geraden enthalten; vier von den zw\"olf Ebenen verbinden die Mittelpunkte der vier Kugeln, die \"ubrigen acht m\"ogen {\glqq}Aehnlichkeits-Ebenen{\grqq} der vier Kugeln genannt werden. Jede der 16 Aehnlichkeits-Axen geht durch drei von den zw\"olf Aehnlichkeitspunkten und liegt in drei von den 12 Ebenen. Und wie in jeder dieser 12 Ebenen sechs von den 12 Punkten und vier von den 16 Geraden liegen, ebenso gehen durch jeden von den 12 Punkten sechs von den 12 Ebenen und vier von den 16 Geraden. Ueberhaupt lehrt eine genauere Untersuchung, dass diese merkw\"urdige Configuration von 12 Punkten, 16 Geraden und 12 Ebenen sich selbst reciprok ist. 123. Wenn vier Kugeln, deren Mittelpunkte nicht in %-----File: 067.png----------------------------------- einer Ebene liegen, von einer f\"unften ber\"uhrt werden, so liegen die vier Ber\"uhrungspunkte zu zweien auf sechs Geraden, welche durch sechs Aehnlichkeitspunkte, und zu dreien in vier Ebenen, welche durch vier Aehnlichkeitsaxen der vier Kugeln gehen (118., 120.); diese sechs Aehnlichkeitspunkte und vier Axen liegen in einer Aehnlichkeits-Ebene der Kugeln (122.). Alle Kugeln, welche vier gegebene Kugeln ber\"uhren oder unter gleichen Winkeln schneiden, liegen in acht Kugelb\"uscheln, deren Potenz-Ebenen die acht Aehnlichkeits-Ebenen der vier Kugeln sind (118., 120.). Bestimmt man vier Punkte auf den vier Kugeln so, dass der eine von ihnen zu den drei anderen invers liegt in Bezug auf drei von den 12 Aehnlichkeitspunkten, so liegen diese vier Punkte auf einer zu jenen acht B\"uscheln geh\"origen Kugel; und zwar geh\"ort diese leicht construirbare Kugel zu demjenigen von den acht Kugelb\"uscheln, welcher die Ebene der drei Aehnlichkeitspunkte zur Potenz-Ebene hat. 124. Bringt man diese Ebene zum Durchschnitt mit den Ebenen der Kreise, welche die vier gegebenen Kugeln mit der f\"unften gemein haben, so erh\"alt man die Axen der vier Kreisb\"uschel, in welchen die vier gegebenen Kugeln den einen der acht Kugelb\"uschel schneiden\footnote{) % Construirt man bez\"uglich der vier Kugeln die Polar-Ebenen ihres Potenzpunktes, so gehen auch diese Ebenen durch die Axen der vier Kreisb\"uschel; denn die Orthogonalkugel der vier gegebenen Kugeln geh\"ort zu jedem der acht Kugelb\"uschel.}). Die vier Kugeln werden im Allgemeinen und h\"ochstens von zwei Kugeln des Kugelb\"uschels ber\"uhrt, und zwar in denjenigen leicht construirbaren Punkten, deren Ber\"uhrungs-Ebenen durch die Axen der vier Kreisb\"uschel gehen. Sonach giebt es im Allgemeinen und h\"ochstens sechzehn Kugeln, welche vier gegebene Kugeln ber\"uhren; dieselben haben paarweise die acht Aehnlichkeits-Ebenen der vier Kugeln zu Potenz-Ebenen. --- F\"unf gegebene Kugeln werden im Allgemeinen und h\"ochstens von sechzehn Kugeln unter gleichen Winkeln geschnitten; in jeder dieser sechzehn Kugeln durchdringen sich vier leicht angebbare Kugelgeb\"usche, in welchen die erste der f\"unf gegebenen Kugeln den vier \"ubrigen zugeordnet ist. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} %-----File: 068.png----------------------------------- \abschnitt{\S.~14.\\[\parskip] Ber\"uhrung und Schnitt von Kreisen auf einer Kugelfl\"ache.}\label{p14} \hspace{\parindent}% 125. Zwei sich nicht ber\"uhrende Kreise $k$, $k_1$ einer Kugel $\gamma$ k\"onnen durch zwei Kegelfl\"achen verbunden werden (27.). Die Mittelpunkte dieser beiden Kegelfl\"achen sind die Aehnlichkeitspunkte der beiden Kugeln, welche in $k$ und $k_1$ rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden (116.); sie sind conjugirt in Bezug auf $\gamma$ und liegen auf der Polare der Geraden, in welcher die Ebenen von $k$ und $k_1$ sich schneiden (71.). Wir wollen sie die {\glqq}Kegel-Centra{\grqq} der Kreise $k$, $k_1$ nennen. Da sie mit den Polen der beiden Kreis-Ebenen bez\"uglich der Kugel $\gamma$ in einer Geraden liegen, so k\"onnen sie auch folgendermassen construirt werden. Man bringe die Kreise $k$, $k_1$ mit einer durch ihre beiden Pole gehenden Ebene zum Durchschnitt und verbinde die vier Schnittpunkte; dann liegen zwei von den sechs Verbindungslinien in den Ebenen von $k$ und $k_1$, und die \"ubrigen vier schneiden sich paarweise in den Kegelcentren von $k$ und $k_1$. Nun liegt aber jeder zu $k$ und $k_1$ rechtwinklige Kreis der Kugel $\gamma$ mit jenen beiden Polen in einer Ebene (60., 72.). Von den Verbindungslinien der vier Punkte, welche die Kreise $k$ und $k_1$ mit irgend einem sie rechtwinklig schneidenden Kreise gemein haben, gehen folglich je zwei durch die beiden Kegelcentra von $k$ und $k_1$. --- Wenn $k$ und $k_1$ sich ber\"uhren, so f\"allt das eine ihrer Kegelcentren mit dem Ber\"uhrungspunkte zusammen, und die zugeh\"orige Kegelfl\"ache zerf\"allt in die Ebenen von $k$ und $k_1$. 126. Eine Ebene, welche durch ein Kegelcentrum der beiden Kreise $k$, $k_1$ geht und einen derselben ber\"uhrt, ber\"uhrt auch den anderen. Jeder die Kreise $k$ und $k_1$ ber\"uhrende Kreis liegt mit einem Kegelcentrum von $k$ und $k_1$ in einer Ebene; die Verbindungslinie seiner beiden Ber\"uhrungspunkte geht durch dieses Centrum (27.). Jedes Kegelcentrum von $k$ und $k_1$ ist das Centrum reciproker Radien, durch welche diese beiden Kreise sich in einander verwandeln; doch darf jenes Centrum kein gemeinsamer Ber\"uhrungspunkt von $k$ und $k_1$ sein. Die durch $k$ und $k_1$ gehende Kugel $\gamma$ und jeder Kreis derselben, welcher mit dem Kegelcentrum in einer Ebene liegt, wird durch die reciproken Radien in sich selbst verwandelt. Da nun die Winkel durch diese Transformation sich %-----File: 069.png----------------------------------- nicht \"andern, so ergiebt sich: Zwei Kreise $k$, $k_1$ einer Kugel $\gamma$ werden von denjenigen Kugelkreisen, deren Ebenen durch die Kegelcentra von $k$ und $k_1$ gehen, unter gleichen Winkeln geschnitten. 127. Wenn auf einer Kugel $\gamma$ zwei Kreise $k$, $k_1$ von einem dritten $l$ unter gleichen Winkeln geschnitten werden, so gehen durch eines oder jedes der beiden Kegelcentra von $k$ und $k_1$ zwei von den Verbindungslinien der vier Schnittpunkte; und zwar durch jedes, wenn die Winkel rechte sind. Transformirt man n\"amlich den Kreis $k$ durch zweierlei reciproke Radien, in deren Centren sich je zwei jener Verbindungslinien schneiden und welche den Kreis $l$ in sich selbst verwandeln, so erh\"alt man auf der Kugel $\gamma$ zwei Kreise $k'$ und $k''$, welche von $l$ in denselben Punkten und unter denselben Winkeln geschnitten werden wie $k_1$. Es muss deshalb einer, oder, wenn die Winkel rechte sind, jeder dieser beiden Kreise mit $k_1$ identisch sein, woraus der Satz folgt (vgl.\ 118.). --- Alle Kreise einer Kugel $\gamma$, welche zwei auf $\gamma$ liegende Kreise $k$, $k_1$ unter gleichen Winkeln schneiden oder ber\"uhren, liegen demnach in zwei Kreisb\"undeln, deren Centra die beiden Kegelcentra von $k$ und $k_1$ sind. 128. Die sechs Kegelcentra, welche drei Kreise einer Kugel $\gamma$ paarweise bestimmen, liegen zu dreien in vier Geraden und bilden die sechs Eckpunkte eines vollst\"andigen Vierseits; denn sie sind die Aehnlichkeitspunkte der drei Kugeln, welche in den drei Kreisen rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden (125., vgl.\ 119.). Die Ebene des Vierseits hat in Bezug auf $\gamma$ den Schnittpunkt der drei Kreis-Ebenen zum Pol, weil die Pole von je zwei dieser Ebenen mit zwei von den sechs Kegelcentren in einer Geraden liegen (125.). Die vier Geraden, welche je drei der sechs Kegelcentra enthalten, nennen wir die {\glqq}Kegel-Axen{\grqq} der drei Kreise; wenn die Ebenen der drei Kreise sich in einer Geraden schneiden, so fallen ihre vier Kegelaxen zusammen mit der Polare dieser Geraden. 129. Alle Kreise einer Kugel $\gamma$, welche drei beliebig auf $\gamma$ angenommene Kreise unter gleichen Winkeln schneiden oder ber\"uhren, liegen in vier Kreisb\"uscheln, deren Axen mit den vier Kegel-Axen der drei Kreise zusammenfallen (127.). Ein Kreis von $\gamma$, dessen Ebene durch eine dieser vier Kegel-Axen geht, schneidet entweder keinen der drei Kreise oder %-----File: 070.png----------------------------------- schneidet sie alle unter gleichen Winkeln (126.). Jede Ebene, welche durch eine der vier Kegel-Axen geht und einen der gegebenen Kreise ber\"uhrt, muss sie alle drei ber\"uhren. Auf einer Kugel $\gamma$ giebt es demnach im Allgemeinen und h\"ochstens acht Kreise, welche drei auf $\gamma$ gegebene Kreise ber\"uhren; die Construction derselben liegt auf der Hand. --- Ebenso giebt es im Allgemeinen und h\"ochstens acht Kreise, welche vier beliebig auf $\gamma$ angenommene Kreise unter gleichen Winkeln schneiden; die Ebenen derselben sind die acht Aehnlichkeits-Ebenen der vier Kugeln, welche in den vier Kreisen rechtwinklig von $\gamma$ geschnitten werden (vgl.\ 122.). Der Beweis ergiebt sich leicht aus dem Vorhergehenden. --- Die Construction aller Kreise, welche drei in der Ebene gegebene Kreise ber\"uhren oder vier Kreise der Ebene unter gleichen Winkeln schneiden, kann durch reciproke Radien auf die vorhergehenden Constructionen zur\"uckgef\"uhrt werden. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~15. \\[\parskip] Die Dupin'sche Cyclide.}\label{p15} \hspace{\parindent}% 130. Eine einfach unendliche Schaar von Kugeln, welche durch stetige Bewegung einer ver\"anderlichen Kugel beschrieben ist, wird im Allgemeinen von einer Fl\"ache $\Phi$ eingeh\"ullt, die eine Schaar von kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinien besitzt. N\"amlich jede Kugel der Schaar wird von $\Phi$ l\"angs der Kreislinie ber\"uhrt, welche sie mit der unmittelbar benachbarten Kugel der Schaar gemein hat; und weil die Normalen, welche in den Punkten dieser Linie auf $\Phi$ errichtet werden k\"onnen, sich im Centrum der Kugel schneiden, so ist die Kreislinie eine Kr\"ummungslinie\footnote{) % Jede Kr\"ummungslinie einer Fl\"ache hat die charakteristische Eigenschaft, dass die in ihren Punkten auf der Fl\"ache errichteten Normalen eine abwickelbare Fl\"ache bilden, dass also jede dieser Normalen die ihr unmittelbar benachbarte schneidet.}) von $\Phi$. Wird die Fl\"ache $\Phi$ durch reciproke Radien in eine andere $\Phi_1$ transformirt, so gehen jene Kr\"ummungslinien \"uber in kreisf\"ormige Kr\"ummungslinien von $\Phi_1$; denn $\Phi_1$ umh\"ullt diejenige Schaar von Kugeln, in welche die von $\Phi$ eingeh\"ullte Schaar sich verwandelt. Deshalb besitzen insbesondere diejenigen Fl\"achen, welche durch reciproke Radien in Rotationsfl\"achen verwandelt werden %-----File: 071.png--------------------------------- k\"onnen, ebenso wie die letzteren eine Schaar von kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinien. 131. Eine der merkw\"urdigsten unter diesen Fl\"achen ist die von \so{Dupin} entdeckte {\glqq}Cyclide{\grqq}. Dieselbe wird von einer ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ umh\"ullt, welche bei ihrer stetigen Bewegung drei gegebene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ fortw\"ahrend ber\"uhrt. Die Central-Ebene dieser drei Kugeln ist eine Sym\-metrie-Ebene der Cyclide, weil zu ihr die Kugeln symmetrisch liegen. Wenn die drei Kugeln, welche \"ubrigens nicht in einem Kugelb\"uschel liegen d\"urfen, eine gemeinschaftliche Centrale haben, so wird die Cyclide von einer um diese Centrale rotirenden Kugel $\gamma$ umh\"ullt, und ist eine Rotations-Cyclide, deren Rotations-Axe die Centrale ist. Die Cyclide wird zu einem geraden Kegel oder Cylinder, wenn die gegebenen drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ in Ebenen ausarten. 132. Eine Dupin'sche Cyclide verwandelt sich durch reciproke Radien allemal in eine Dupin'sche Cyclide; denn die ver\"anderliche Kugel $\gamma$, welche die drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ fortw\"ahrend ber\"uhrt und die Cyclide umh\"ullt, verwandelt sich in eine ver\"anderliche Kugel $\gamma'$, welche die zugeordneten drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ best\"andig ber\"uhrt, und folglich auch eine Dupin'sche Cyclide, die zugeordnete n\"amlich, umh\"ullt. Nun haben die drei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ entweder einen gemeinschaftlichen Orthogonalkreis $k$ oder sie schneiden sich in mindestens einem Punkte $M$ (47., 48.). Im ersteren Falle verwandeln sie sich durch reciproke Radien, deren Centrum beliebig auf $k$ angenommen wird, in drei andere Kugeln, deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen; die von der ver\"anderlichen Kugel $\gamma$ beschriebene Cyclide verwandelt sich folglich in eine Rotations-Cyclide (131.). Im zweiten Falle werden die Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ durch reciproke Radien vom Centrum $M$ in drei Ebenen transformirt, und die Cyclide verwandelt sich in einen geraden Kegel oder Cylinder. Letzterer kann als ein Specialfall der Rotations-Cyclide aufgefasst werden, weil er von einer um die Axe rotirenden Ebene umh\"ullt wird. 133. Jede Dupin'sche Cyclide kann also durch reciproke Radien, deren Centrum passend gew\"ahlt wird, in eine Rotations-Cyclide verwandelt werden; sie hat deshalb folgende, f\"ur die Rotations-Cyclide evidente Eigenschaften. Die Dupin'sche Cyclide wird von zwei verschiedenen Kugelschaaren %-----File: 072.png----------------------------------- umh\"ullt und besitzt zwei Schaaren kreisf\"ormiger Kr\"ummungslinien, in welchen sie von den Kugeln der beiden Kugelschaaren ber\"uhrt wird. Jede Kugel der einen Schaar ber\"uhrt alle Kugeln der anderen Schaar in den Punkten einer kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinie. Mindestens eine der beiden Kugelschaaren hat einen Orthogonalkreis, welcher alle ihre Kugeln rechtwinklig schneidet; derselbe entspricht der Axe der Rotations-Cyclide. Die Cyclide wird durch reciproke Radien, deren Centrum irgendwo auf diesem Orthogonalkreise angenommen wird, allemal in eine Rotations-Cyclide verwandelt. Zwei Kr\"ummungslinien der Cyclide k\"onnen durch eine Kugel verbunden werden, wenn sie zu derselben Schaar geh\"oren; im anderen Falle schneiden sie sich in einem Punkte rechtwinklig. In jedem Punkte der Cyclide schneiden sich zwei Kr\"ummungslinien der beiden Schaaren rechtwinklig. Jede durch eine Kr\"ummungslinie gehende Kugel oder Ebene hat mit der Cyclide noch eine zweite Kr\"ummungslinie von derselben Schaar gemein; dieselbe f\"allt nur dann mit der ersteren zusammen, wenn die Cyclide von der Kugel ber\"uhrt wird. 134. Wie die Rotations-Cyclide so hat auch jede andere Dupin'sche Cyclide entweder keinen Doppelpunkt, oder zwei {\glqq}Knotenpunkte{\grqq}, in welchen alle Kr\"ummungslinien der einen Schaar sich schneiden, oder einen {\glqq}Cuspidalpunkt{\grqq}, in welchem dieselben sich ber\"uhren. Von diesen drei Hauptarten der Cyclide erh\"alt man wesentlich verschiedene Formen, wenn man die zugeh\"orige Rotations-Cyclide transformirt durch reciproke Radien, deren Centrum einmal ausserhalb, einmal auf und einmal innerhalb der Rotations-Cyclide angenommen wird. Die zweite und dritte Hauptart k\"onnen durch reciproke Radien auf einem geraden Kegel oder Cylinder conform abgebildet werden (132.). In jedem Knotenpunkte der zweiten Hauptart werden die durch ihn gehenden Kr\"ummungslinien der Cyclide von den Strahlen eines Rotations-Kegels ber\"uhrt. Wenn eine Cyclide sich in das Unendliche erstreckt, was nach dem Vorhergehenden bei jeder der drei Hauptarten eintreten kann, so besitzt sie zwei gerade Kr\"ummungslinien, die sich rechtwinklig kreuzen; durch dieselben gehen die Ebenen aller \"ubrigen Kr\"ummungslinien (133.). 135. Die Kr\"ummungslinien einer Rotations-Cyclide heissen Meridiane oder Parallelkreise, jenachdem ihre Ebenen durch %-----File: 073.png----------------------------------- die Rotations-Axe gehen oder auf ihr senkrecht stehen. Die Meridiane haben in jedem Punkte der Rotations-Axe gleiche Potenz, liegen also in einem Kugelb\"undel, dessen Axe die Rotations-Axe ist; die Parallelkreise dagegen geh\"oren zu demjenigen B\"undel, dessen Kugeln von der Rotations-Axe rechtwinklig geschnitten werden. Jeder dieser beiden B\"undel geht durch die Orthogonalkugeln des anderen; denn die Orthogonalkugeln des zweiten B\"undels reduciren sich auf die Ebenen der Meridiane, und diejenigen des ersteren gehen durch die Parallelkreise, indem sie alle Meridiane rechtwinklig schneiden. Durch einen beliebigen Punkt gehen zwei Kugeln, welche die Rotations-Cyclide in Kreisen ber\"uhren; diese Kreise sind zwei Meridiane, wenn der Punkt von der Cyclide einfach eingeschlossen ist, zwei Parallelkreise, wenn er garnicht oder zweifach von ihr umschlossen wird, dagegen ein Meridian und ein Parallelkreis, wenn er auf der Cyclide liegt. Aus diesen S\"atzen ergeben sich die folgenden (vgl.\ 133. und 54.). 136. Alle Kr\"ummungslinien der Dupin'schen Cyclide, welche zu der einen oder der anderen Schaar geh\"oren, und alle durch sie gehenden Kugeln liegen in einem Kugelb\"undel; die Ebenen dieser Kr\"ummungslinien schneiden sich folglich in der Axe dieses B\"undels. Mit den Kugeln des B\"undels hat die Cyclide im Allgemeinen je zwei Kr\"ummungslinien der Schaar gemein (vgl.\ 133.); denn wenn eine dieser Kugeln durch einen Punkt $P$ der Cyclide geht, so enth\"alt sie auch den durch $P$ gehenden Kreis des B\"undels (44.). Die Orthogonalkugeln des B\"undels liegen mit den Kr\"ummungslinien der zweiten Schaar in einem zweiten Kugelb\"undel, dessen Orthogonalkugeln wiederum in dem ersten B\"undel liegen. Die Central-Ebene eines jeden der beiden B\"undel steht auf der Axe desselben normal und geht durch die Axe des anderen B\"undels; denn sie geh\"ort zu den Orthogonalkugeln des ersteren B\"undels; sie ist eine Symmetrie-Ebene dieses B\"undels und folglich auch der Cyclide. 137. Die Dupin'sche Cyclide hat demnach zwei zu einander normale Symmetrie-Ebenen (vgl.\ 131.). Jede derselben schneidet eine der beiden Schaaren von Kr\"ummungslinien und deren Potenz-Axe rechtwinklig, und geht durch zwei Kr\"ummungslinien und die Potenz-Axe der anderen Schaar. Durch eine der beiden Potenz-Axen gehen zwei singul\"are %-----File: 074.png----------------------------------- Ber\"uhrungs-Ebe\-nen, welche die Cyclide l\"angs zwei Kreisen ber\"uhren (135.); wenn aber die Cyclide sich in das Unendliche erstreckt (vgl.\ 134.), so wird sie in jeder der beiden Potenz-Axen von einer singul\"aren Ebene ber\"uhrt. Verbindet man die Kr\"ummungslinien der einen oder der anderen Schaar mit einem beliebigen Punkte $P$ durch Kugelfl\"achen, so schneiden sich diese in einem Kreise des zugeh\"origen Kugelb\"undels (44.); die beiden durch $P$ gehenden Kreise der zwei Kugelb\"undel aber schneiden sich rechtwinklig in $P$, weil jeder von ihnen auf einer Orthogonalkugel des anderen liegt. 138. Jede der beiden Kugelschaaren, welche eine Dupin'sche Cyclide umh\"ullen, kann durch eine ver\"anderliche Kugel $\gamma$ beschrieben werden, die bei ihrer stetigen Bewegung drei beliebige Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ der anderen Schaar fortw\"ahrend ber\"uhrt. Bei dieser Bewegung aber gehen die Verbindungslinien der drei Ber\"uhrungspunkte best\"andig durch drei Aehnlichkeitspunkte der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ und ihre Ebene geht durch eine Aehnlichkeits-Axe derselben (120.). Die drei Ber\"uhrungspunkte liegen auf der kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinie, in welcher die bewegliche Kugel $\gamma$ die Cyclide ber\"uhrt (133.); jene Aehnlichkeits-Axe der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ ist demnach die Potenz-Axe der von $\gamma$ beschriebenen Kugelschaar (136.). Die Ber\"uhrungspunkte beschreiben auf $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ drei Kr\"ummungslinien der anderen Schaar; der Schnittpunkt ihrer drei Ber\"uhrungsebenen ist Potenzpunkt von $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ und $\gamma$, und beschreibt, indem $\gamma$ sich bewegt, die Potenz-Axe von $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$. Construirt man also bez\"uglich irgend einer Kugel $\gamma$ (oder $\varkappa$) der einen Schaar die Polare der Potenz-Axe dieser Schaar, so liegt diese Polare mit dem Kreise, in welchem die Cyclide von der Kugel ber\"uhrt wird, und mit der Potenz-Axe der anderen Schaar in einer Ebene. 139. Die Potenz-Axen der beiden eine Dupin'sche Cyclide umh\"ullenden Kugelschaaren haben demnach folgende Eigenschaften. Sie sind conjugirt bez\"uglich aller Kugeln der beiden Schaaren und kreuzen sich rechtwinklig (137.). Jede von ihnen ist die Potenz-Axe von je drei Kugeln der einen Schaar und zugleich Aehnlichkeits-Axe von je drei Kugeln der anderen. Durch jede der beiden Potenz-Axen gehen die Ebenen aller zu einer Schaar geh\"origen Kr\"ummungslinien; auf ihr liegen die Mittelpunkte aller Kegelfl\"achen, welche die Cyclide %-----File: 075.png----------------------------------- in je einer Kr\"ummungslinie der anderen Schaar ber\"uhren oder in je zwei solchen schneiden. 140. Um eine Kugel $\gamma$ zu construiren, welche drei gegebene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ ber\"uhrt, suchen wir zun\"achst die Potenz-Axe und die vier Aehnlichkeits-Axen der drei Kugeln. Sodann bestimmen wir von einer dieser Aehnlichkeits-Axen die zu der Potenz-Axe parallelen Polaren in Bezug auf $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$, verbinden diese Polaren mit der Potenz-Axe durch drei Ebenen und bringen letztere mit resp.\ $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ zum Durchschnitt. Sind die drei Schnittkreise reell, so geht durch jeden Punkt derselben eine die Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ ber\"uhrende Kugel $\gamma$; und zwar liegen die drei Ber\"uhrungspunkte von $\gamma$ auf jenen drei Kreisen, ihre Ebene geht durch die Aehnlichkeits-Axe und ihre Verbindungslinien gehen durch die drei auf derselben liegenden Aehnlichkeits-Punkte von $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$. Die drei Ber\"uhrungspunkte und damit zugleich die ber\"uhrende Kugel $\gamma$ sind hiernach leicht zu construiren. 141. Die Construction eines Kreises, welcher drei in einer Ebene gegebene Kreise $k$, $k_1$, $k_2$ ber\"uhrt, wird auf die vorhergehende zur\"uckgef\"uhrt, indem man die Kreise als gr\"osste Kreise von drei Kugeln auf\/fasst. Man construire also bez\"uglich der drei Kreise die Pole von einer ihrer vier Aehnlichkeits-Axen, verbinde diese Pole mit dem Potenzpunkt von $k$, $k_1$ und $k_2$, und bringe die drei Verbindungslinien mit den resp.\ drei Kreisen zum Durchschnitt. Die Schnittpunkte, wenn solche existiren, k\"onnen zu dreien durch zwei Kreise verbunden werden, welche in ihnen die gegebenen drei Kreise ber\"uhren. Es giebt im Allgemeinen und h\"ochstens acht Kreise, welche drei in der Ebene beliebig angenommene Kreise ber\"uhren. 142. Es giebt im Allgemeinen und h\"ochstens sechzehn Kugeln, welche vier gegebene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ ber\"uhren (vgl.\ 124.). Um zwei derselben zu construiren, suche man bez\"uglich der vier Kugeln die Pole von einer ihrer acht Aehnlichkeits-Ebenen, verbinde diese vier Pole mit dem Potenzpunkte der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ und bringe die vier Verbindungslinien mit den resp.\ vier Kugeln zum Durchschnitt. Wenn Schnittpunkte existiren, so k\"onnen dieselben zu vieren durch zwei Kugeln verbunden werden, welche in ihnen die vier gegebenen Kugeln ber\"uhren. Der Beweis dieser %-----File: 076.png----------------------------------- Construction bleibe als n\"utzliche Uebung dem Leser \"uberlassen (vgl.\ 124., 140.). 143. Im Allgemeinen giebt es vier Dupin'sche Cycliden, welche drei beliebig angenommene Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ einh\"ullen (140.); die vier Aehnlichkeits-Axen dieser Kugeln sind die zweiten Potenz-Axen der vier Cycliden. Doch kann je nach der Lage der drei Kugeln auch der Fall eintreten, dass weniger als vier oder auch gar keine Schaaren sie ber\"uhrender Kugeln existiren. Wenn z.~B.\ eine der drei Kugeln die zweite ein- und die dritte ausschliesst, so giebt es keine Kugel, welche sie alle drei ber\"uhrt. 144. Alle Kugeln eines Kugelb\"undels, welche eine beliebige, nicht zu dem B\"undel geh\"orige Kugel $\varkappa$ ber\"uhren, umh\"ullen eine Dupin'sche Cyclide. Denn sie werden nicht blos von $\varkappa$, sondern von unendlich vielen Kugeln $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\ldots$ ber\"uhrt, welche eine zweite die Cyclide einh\"ullende Kugelschaar bilden, und zwar erh\"alt man eine dieser Kugeln $\varkappa_1, \varkappa_2, \ldots$, wenn man durch den Kugelb\"undel ein Geb\"usch legt und durch die zu dem Geb\"usche geh\"origen reciproken Radien die Kugel $\varkappa$ transformirt (111.). Die Kugeln $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\ldots$ der zweiten Schaar sind der Kugel $\varkappa$ zugeordnet in Bezug auf die Orthogonalkugeln des B\"undels. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~16.\\[\parskip] Lineare Kugelsysteme, die zu einander normal sind.}\label{p16} \hspace{\parindent}% 145. Ein Kugelb\"undel und der zu ihm geh\"orige B\"uschel orthogonaler Kugeln stehen in den folgenden Wechselbeziehungen zu einander. Alle Orthogonalkugeln des B\"undels bilden den B\"uschel und alle Orthogonalkugeln des B\"uschels bilden den B\"undel (50.). Jede Kugel von einem dieser beiden linearen Kugelsysteme ist die Orthogonalkugel eines durch das andere gehenden Geb\"usches; und jedes Geb\"usch, welches durch eines der beiden Systeme geht, hat eine in dem anderen liegende Orthogonalkugel. Mit anderen Worten: Wenn ein Kugelb\"uschel oder -B\"undel durch die Orthogonalkugel eines Geb\"usches geht, so geht das letztere durch alle Orthogonalkugeln des ersteren; und umgekehrt. Weil aber ein B\"undel der Schnitt von zwei Geb\"uschen ist, so ergiebt sich weiter: Wenn von zwei Kugelb\"undeln der eine durch %-----File: 077.png--------------------------------- zwei und folglich durch alle Orthogonalkugeln des anderen geht, so geht der letztere durch alle Orthogonalkugeln des ersteren. Von zwei Kugelgeb\"uschen geht entweder keines oder jedes durch die Orthogonalkugel des anderen; wenn n\"amlich das eine durch die Orthogonalkugel des anderen geht, so geht dieses durch alle Orthogonalkugeln eines seine Orthogonalkugel enthaltenden B\"undels des ersteren Geb\"usches und folglich auch durch die Orthogonalkugel dieses Geb\"usches. 146. Wir k\"onnen die vorhergehenden S\"atze in dem folgenden Satze zusammenfassen: Von zwei linearen Kugelsystemen geht entweder keines oder jedes durch alle Orthogonalkugeln des anderen. In dem letzteren Falle, wenn also das eine und folglich jedes der beiden Systeme alle Orthogonalkugeln des anderen enth\"alt, wollen wir diese linearen Kugelsysteme {\glqq}zu einander normal{\grqq} nennen. Zu einem Kugelgeb\"usche sind demnach normal alle durch seine Orthogonalkugel gehenden Kugelb\"uschel, B\"undel und Geb\"usche; durch jede andere Kugel geht ein bestimmter, zu dem Geb\"usche normaler Kugelb\"uschel, und durch jeden die Orthogonalkugel nicht enthaltenden B\"uschel kann allemal ein zu dem Geb\"usche normaler Kugelb\"undel gelegt werden. Ein Kugelb\"undel ist zu unendlich vielen anderen Kugelb\"undeln normal; dieselben durchdringen sich in den Orthogonalkugeln jenes B\"undels, und durch jede andere Kugel des Raumes geht einer von ihnen. Zu einem Kugelb\"uschel sind unendlich viele Geb\"usche normal; dieselben durchdringen sich in den Orthogonalkugeln des B\"uschels, und durch jede andere Kugel geht eines von ihnen. 147. Von zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln gehen durch einen beliebigen Punkt des Raumes zwei sich rechtwinklig schneidende Kreise; durch jeden dieser beiden Kreise geht n\"amlich eine Orthogonalkugel des anderen (44., 146.). Die Central-Ebene des einen B\"undels geh\"ort zu den Orthogonalkugeln desselben; sie ist folglich eine Ebene des anderen B\"undels und geht durch dessen Axe, w\"ahrend sie zu der Axe des ersteren B\"undels normal ist. Die beiden Axen der zu einander normalen B\"undel kreuzen sich demnach rechtwinklig, und ihre Central-Ebenen schneiden sich rechtwinklig; jede der beiden Axen liegt in einer der beiden Central-Ebenen und ist zu der anderen normal. Schneiden sich die Kugeln %-----File: 078.png--------------------------------- des einen B\"undels in zwei Punkten, die (48.) auch zusammenfallen k\"onnen, so hat der andere B\"undel einen durch diese Punkte gehenden Orthogonalkreis; denn auf die beiden Punkte reduciren sich zwei Orthogonalkugeln des ersteren B\"undels, sie sind also Punktkugeln des letzteren. Wenn anderseits jeder der beiden B\"undel einen Orthogonalkreis hat, so sind diese beiden Kreise zu einander orthogonal, weil jeder von ihnen die durch den anderen gehenden Kugeln rechtwinklig schneidet. In einem sehr speciellen Falle, den wir nicht weiter ber\"ucksichtigen wollen, reduciren sich die Orthogonalkreise beider B\"undel auf einen Punkt, in welchem sich die Axen der B\"undel rechtwinklig schneiden. --- Die beiden, eine Dupin'sche Cyclide einh\"ullenden Kugelschaaren liegen in zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln (136.). 148. Zwei zu einander normale lineare Kugelsysteme verwandeln sich durch reciproke Radien allemal wieder in zwei zu einander normale lineare Kugelsysteme (54.). Ueberhaupt bilden ja zwei sich schneidende Kugeln dieselben Winkel mit einander wie die beiden Kugeln oder Ebenen, in welche sie durch reciproke Radien \"ubergehen (22.). Nimmt man das Centrum der reciproken Radien auf dem Orthogonalkreise des einen von zwei zu einander normalen Kugelb\"undeln an, so verwandeln sich diese B\"undel in zwei andere zu einander normale B\"undel, die eine besonders einfache gegenseitige Lage haben; n\"amlich die Axe des einen derselben enth\"alt die Mittelpunkte aller Kugeln des anderen (54.), und durch Drehung um diese Axe \"andern sich die B\"undel nicht. Wenn insbesondere das Centrum der reciproken Radien mit einem Punkte zusammenf\"allt, durch welchen alle Kugeln des einen von den normalen B\"undeln gehen, so verwandelt sich dieser B\"undel in einen B\"undel von Strahlen und Ebenen, der andere aber in einen B\"undel von Kugeln und Kreisen, deren Mittelpunkte auf einem Strahle jenes Strahlenb\"undels liegen (147., 54.), und auch in diesem Falle \"andern sich die beiden B\"undel durch eine Drehung um diese Mittelpunktsgerade nicht. 149. Alle Kugeln eines B\"undels $B$, welche eine beliebige Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, bilden mit jeder sie schneidenden Kugel des durch $\varkappa$ gehenden und zu $B$ normalen B\"undels $B_1$ gleiche Winkel, %-----File: 079.png--------------------------------- und umh\"ullen im Allgemeinen eine Dupin'sche Cyclide, deren zweite Kugelschaar in dem B\"undel $B_1$ liegt. Bei dem Beweise dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, dass entweder die Axe $a$ des B\"undels $B$ durch die Mittelpunkte aller Kugeln von $B_1$ geht, oder dass der B\"undel $B_1$ ein Strahlenb\"undel ist und dass ein Strahl $s$ desselben die Mittelpunkte aller Kugeln von $B$ enth\"alt; denn auf diese beiden F\"alle l\"asst sich der allgemeine Fall durch reciproke Radien zur\"uckf\"uhren (148., 147.). In dem ersteren Falle erh\"alt man alle Kugeln des B\"undels $B$, welche mit $\varkappa$ den gegebenen schiefen Winkel bilden, wenn man eine beliebige derselben um die Axe $a$ rotiren l\"asst; jene Kugeln umh\"ullen eine Rotations-Cyclide, und die Richtigkeit des Satzes leuchtet ohne Weiteres ein. In dem zweiten Falle ist $\varkappa$ eine Ebene, welche den Strahl $s$ in dem Mittelpunkte $M$ des Strahlenb\"undels $B_1$ schneidet, und man erh\"alt alle jene Kugeln des B\"undels $B$, wenn man das Centrum von einer derselben den Strahl $s$ durchlaufen und zugleich ihren Radius proportional mit dem Abstande des Centrums vom Punkte $M$ sich \"andern l\"asst. Auch in diesem zweiten Falle leuchtet die Richtigkeit des Satzes sofort ein; jene Kugeln aber umh\"ullen im Allgemeinen einen Rotationskegel mit der Axe $s$ und dem Mittelpunkte $M$, welche nur dann nicht reell existirt, wenn der Punkt $M$ von den Kugeln eingeschlossen wird oder auf denselben liegt. 150. Alle Kugeln eines Geb\"usches $\varGamma$, welche eine beliebige Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, bilden mit jeder sie schneidenden Kugel des durch $\varkappa$ gehenden und zu $\varGamma$ normalen B\"uschels gleiche Winkel, und ber\"uhren im Allgemeinen zwei Kugeln dieses B\"uschels. Bei dem Beweise dieses Satzes unterscheiden wir zwei F\"alle, jenachdem n\"amlich $\varkappa$ mit der Orthogonalkugel $\omega$ des Geb\"usches einen Punkt gemein hat oder nicht. In dem ersteren Falle verwandeln wir $\varkappa$ und $\omega$ durch reciproke Radien in zwei Ebenen $\varkappa'$ und $\omega'$; dann geht das Geb\"usch \"uber in ein zu $\omega'$ symmetrisches Geb\"usch $\varGamma'$. Da nun die Radien aller Kugeln von $\varGamma'$, welche die Ebene $\varkappa'$ unter dem gegebenen Winkel schneiden, proportional sind den Abst\"anden ihrer Mittelpunkte von der Geraden $\overline{\varkappa'\,\omega'}$, so bilden diese Kugeln mit einer beliebig durch diese Schnittlinie von $\varkappa'$ und $\omega'$ gelegten Ebene gleiche Winkel, und ber\"uhren zwei %-----File: 080.png----------------------------------- durch $\overline{\varkappa'\;\omega'}$ gehende Ebenen, wenn sie mit $\overline{\varkappa'\;\omega'}$ keinen Punkt gemein haben. F\"ur diesen ersten Fall ist damit der obige Satz bewiesen. --- Wenn zweitens die Kugeln $\varkappa$ und $\omega$ keinen Punkt mit einander gemein haben, so enth\"alt der durch sie gehende Kugelb\"uschel zwei Punktkugeln $M$, $N$. Durch reciproke Radien vom Centrum $M$ verwandeln sich alsdann $\varkappa$ und $\omega$ in zwei concentrische Kugeln $\varkappa'$ und $\omega'$ (54.), und das Geb\"usch wird in ein anderes transformirt, welches den Mittelpunkt von $\varkappa'$ und $\omega'$ zum Centrum hat. Alle Kugeln dieses neuen Geb\"usches aber, welche $\varkappa'$ unter dem gegebenen Winkel schneiden, haben wie man leicht einsieht gleiche Radien, und der Ort ihrer Mittelpunkte ist eine mit $\varkappa'$ concentrische Kugel; sie ber\"uhren folglich zwei Kugeln und bilden gleiche Winkel mit jeder dritten sie schneidenden Kugel des durch $\varkappa'$ und $\omega'$ gehenden B\"uschels concentrischer Kugeln. Damit ist auch f\"ur diesen zweiten Fall, welcher insbesondere dann eintritt, wenn $\omega$ einen imagin\"aren Halbmesser hat, der Satz bewiesen. 151. Die Kugeln eines Geb\"usches, welche eine Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen Winkel schneiden, sind im Allgemeinen identisch mit denjenigen Kugeln des Geb\"usches, welche eine gewisse andere Kugel $\lambda$ ber\"uhren (150., vgl.\ 111.). Die Potenz-Ebenen, welche sie mit irgend zwei dem Geb\"usche nicht angeh\"orenden Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei collineare Fl\"achen (101.); die eine dieser Fl\"achen aber f\"allt mit $\lambda$ zusammen, wenn $\lambda$ die eine jener beiden Kugeln ist, und die andere Fl\"ache ist folglich eine zu der Kugel $\lambda$ collineare Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe (94.). Insbesondere umh\"ullen die Ebenen der Kreise, in welcher $\varkappa$ von jenen Kugeln unter dem gegebenen Winkel geschnitten wird, eine zu $\lambda$ collineare Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe. Auch die Polar-Ebenen eines beliebigen Punktes in Bezug auf alle jene Kugeln umh\"ullen eine zu $\lambda$ collineare Fl\"ache (102.); die Mittelpunkte der Kugeln aber liegen auf einer zu $\lambda$ reciproken Fl\"ache zweiter Classe und zweiter Ordnung (103.), falls das Geb\"usch kein symmetrisches ist. --- Ein beliebiger dem Geb\"usche angeh\"orender Kugelb\"uschel enth\"alt im Allgemeinen und h\"ochstens zwei Kugeln, welche $\lambda$ ber\"uhren (109.) und somit die Kugel $\varkappa$ unter dem gegebenen schiefen Winkel schneiden. %-----File: 081.png----------------------------------- 152. Weil die Kugeln eines B\"undels, welche eine beliebige Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, im Allgemeinen eine Dupin'sche Cyclide umh\"ullen (149.), so wollen wir ihre Gesammtheit eine {\glqq}Dupin'sche Kugelschaar{\grqq} nennen. Die Potenz-Ebenen, welche die Kugeln dieser Schaar mit beliebigen, dem B\"undel nicht angeh\"orenden Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei collineare Kegelfl\"achen (100., 101.); diese Kegelfl\"achen sind von der zweiten Ordnung und zweiten Classe, weil eine derselben ein Rotationskegel wird, wenn die eine der beiden Kugeln alle Kugeln der Schaar ber\"uhrt. Auch die Polar-Ebenen eines beliebigen Punktes bez\"uglich aller Kugeln der Dupin'schen Schaar umh\"ullen eine Kegelfl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe; die Mittelpunkte jener Kugeln aber liegen im Allgemeinen auf einer Curve zweiter Ordnung, welche auf jene Kegelfl\"achen reciprok bezogen ist. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~17. \\[\parskip] Kugeln, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden.}\label{p17} \hspace{\parindent}% 153. Alle Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, bilden ein {\glqq}quadratisches Kugelsystem dritter Stufe{\grqq}, d.~h.\ ein beliebiger Kugelb\"uschel enth\"alt im Allgemeinen und h\"ochstens zwei derselben. Bei dem Beweise dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, dass der B\"uschel entweder aus concentrischen Kugeln bestehe oder aus Ebenen, die alle durch eine Gerade gehen; denn durch reciproke Radien kann der allgemeine Fall auf diese besonderen beiden F\"alle zur\"uckgef\"uhrt werden (54.). In dem ersteren dieser F\"alle sei $M$ der Mittelpunkt der concentrischen Kugeln, $C$ derjenige von $\varkappa$ und $P$ ein beliebiger Punkt der Kugel $\varkappa$. Dann bildet $\varkappa$ mit der durch $P$ gehenden Kugel des B\"uschels dieselben Winkel, wie der Radius $CP$ mit der Geraden $MP$. Legt man also durch die Punkte $C$ und $M$ einen Kreis, dessen \"uber dem Bogen $CM$ stehenden Peripheriewinkel dem gegebenen Winkel $w$ gleich sind, und bestimmt sodann die Schnittpunkte $P$, $P'$ dieses Kreises und der Kugel $\varkappa$, so gehen durch $P$ und $P'$ die beiden einzigen Kugeln des B\"uschels, welche mit $\varkappa$ den Winkel $w$ bilden; man erh\"alt aber keine solche Schnittpunkte, wenn der Radius $r$ %-----File: 082.png----------------------------------- von $\varkappa$ gr\"osser als $CM$ und $\sin w > CM : r$ ist. --- In dem zweiten Falle legen wir durch das Centrum $C$ der Kugel $\varkappa$ eine Ebene, welche die Ebenen des B\"uschels rechtwinklig schneidet, und bezeichnen mit $M$ den gemeinschaftlichen Punkt der Schnittlinien, sowie mit $P$ einen der Punkte, welchen die Ebene mit $\varkappa$ gemein hat. Die Kugel $\varkappa$ bildet dann mit der durch $P$ gehenden Ebene des B\"uschels und mit der um $M$ mit dem Radius $MP$ beschriebenen Kugel zwei spitze Winkel, die sich zu einem rechten erg\"anzen; diejenigen zwei Lagen des Punktes $P$, f\"ur welche der erstere dieser Winkel einem gegebenen Winkel gleich wird, ergeben sich deshalb ebenso, wie im ersteren Falle. 154. Eine Kugel $\varkappa$ wird unter dem schiefen Winkel $w$ auch von unendlich vielen Ebenen geschnitten; dieselben umh\"ullen eine mit $\varkappa$ concentrische Kugel. Transformirt man diese Ebenen durch reciproke Radien, deren Centrum irgend ein Punkt $C$ ist und welche die Kugel $\varkappa$ in sich selbst verwandeln, so ergiebt sich: Alle durch einen Punkt $C$ gehenden Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter dem schiefen Winkel $w$ schneiden, umh\"ullen eine andere Kugel $\lambda$. Dieser Satz ist in einem fr\"uheren (150.) enthalten; denn alle durch $C$ gehenden Kugeln und Kreise bilden ein specielles Kugelgeb\"usch, und der Punkt $C$ kann als eine von ihnen ber\"uhrte Punktkugel aufgefasst werden. 155. Die Ebenen, welche zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter den respectiven schiefen Winkeln $w$ und $w_1$ schneiden, umh\"ullen im Allgemeinen zwei Rotationskegel; denn sie sind die gemeinschaftlichen Ber\"uhrungsebenen von zwei bestimmten, mit $\varkappa$ und $\varkappa_1$ concentrischen Kugeln (154.). Alle durch einen Punkt $C$ gehenden Kugeln, welche mit den Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ die resp.\ Winkel $w$ und $w_1$ bilden, umh\"ullen im Allgemeinen zwei Dupin'sche Cycliden, von welchen $C$ ein Knotenpunkt ist; denn durch reciproke Radien vom Centrum $C$ verwandeln sie sich in die gemeinschaftlichen Ber\"uhrungs-Ebenen von zwei anderen Kugeln, oder auch, wenn $C$ auf $\varkappa$ oder $\varkappa_1$ liegt, in diejenigen Ber\"uhrungs-Ebenen einer Kugel, welche eine Ebene unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden. Die beiden Dupin'schen Cycliden sind allemal reell vorhanden, wenn $C$ auf $\varkappa$ oder $\varkappa_1$ liegt. 156. Das quadratische Kugelsystem dritter Stufe, dessen %-----File: 083.png----------------------------------- Kugeln mit einer Kugel $\varkappa$ einen gegebenen Winkel bilden, hat mit einem Geb\"usche ein {\glqq}quadratisches Kugelsystem zweiter Stufe{\grqq} und mit einem Kugelb\"undel eine Dupin'sche Kugelschaar gemein (150., 152.). Von der Dupin'schen Kugelschaar liegen in einem beliebigen Kugelgeb\"usch im Allgemeinen und h\"och\-stens zwei Kugeln; denn das Geb\"usch schneidet den die Schaar enthaltenden B\"undel in einem Kugelb\"uschel, und dieser hat mit der Schaar dieselben Kugeln gemein wie mit dem quadratischen Kugelsystem dritter Stufe. Auf \"ahnliche Weise ergiebt sich, dass das quadratische Kugelsystem zweiter Stufe mit einem beliebigen Kugelb\"undel im Allgemeinen und h\"ochstens zwei Kugeln, mit einem Geb\"usche aber eine Dupin'sche Kugelschaar gemein hat. Insbesondere bilden alle durch einen Punkt $C$ gehenden Kugeln des quadratischen Systemes zweiter Stufe eine Dupin'sche Kugelschaar, weil sie dem Geb\"usche vom Centrum $C$ und der Potenz Null angeh\"oren. Die Kugeln dieses quadratischen Systemes zweiter Stufe umh\"ullen im Allgemeinen zwei Kugeln (150.). 157. Die Kugeln $\gamma$, welche zwei Kugeln $\varkappa$ und $\varkappa_1$ beziehungsweise unter den schiefen Winkeln $w$ und $w_1$ schneiden, bilden zwei quadratische Kugelsysteme zweiter Stufe; die beiden sie enthaltenden Kugelgeb\"usche sind normal zu dem durch $\varkappa$, und $\varkappa_1$ gehenden Kugelb\"uschel. Verbinden wir n\"amlich eine jener Kugeln $\gamma$ mit dem Kugelb\"undel, von welchem $\varkappa$ und $\varkappa_1$ zwei Orthogonalkugeln sind, durch ein Geb\"usch $\varGamma$, so ist dieses zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ normal; alle Kugeln von $\varGamma$, welche mit $\varkappa$ den Winkel w bilden, schneiden folglich $\varkappa_1$ unter demselben Winkel $w_1$, wie jene eine Kugel $\gamma$ (150.), und bilden ein quadratisches Kugelsystem zweiter Stufe. Die s\"ammtlichen Kugeln $\gamma$ aber bilden zwei solche Kugelsysteme und liegen in zwei verschiedenen Kugelgeb\"uschen, weil diejenigen unter ihnen, welche durch irgend einen Punkt von $\varkappa$ gehen, nicht blos eine, sondern zwei Dupin'sche Kugelschaaren bilden (155., 156.). 158. Alle Kugeln, welche drei in keinem B\"uschel liegende Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ unter den resp.\ schiefen Winkeln $w$, $w_1$, $w_2$ schneiden, bilden im Allgemeinen vier Dupin'sche Kugelschaaren und liegen in vier Kugelb\"undeln, welche zu dem durch $\varkappa$, $\varkappa_1$, und $\varkappa_2$ gehenden B\"undel normal sind. Sie liegen n\"amlich, weil sie $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter den Winkeln $w$ %-----File: 084.png----------------------------------- und $w_1$ schneiden, in zwei zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ normalen Geb\"uschen (157.), und weil sie $\varkappa$ und $\varkappa_1$ unter den Winkeln $w$ und $w_2$ schneiden, in zwei zu dem B\"uschel $\varkappa\varkappa_2$ normalen Geb\"uschen; sie liegen folglich in den vier Kugelb\"undeln, welche die ersteren beiden Geb\"usche mit den letzteren beiden gemein haben. Jeder dieser vier B\"undel geht durch die gemeinschaftlichen Orthogonalkugeln der B\"uschel $\varkappa\varkappa_1$ und $\varkappa\varkappa_2$. und ist folglich zu dem B\"undel $\varkappa\:\varkappa_1\:\varkappa_2$ normal; alle seine Kugeln aber, welche die Kugel $\varkappa$ unter dem Winkel $w$ schneiden, bilden eine Dupin'sche Kugelschaar (152.) und schneiden die Kugeln $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ unter dem resp.\ Winkeln $w_1$ und $w_2$. --- Uebrigens ist es, wie wir schon f\"ur den Fall der Ber\"uhrung, wenn $w = w_1 = w_2 = 0$ ist, hervorgehoben haben (143.), bei besonderer Lage der Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$ m\"oglich, dass weniger als vier oder dass garkeine Schaaren von Kugeln existiren, welche mit $\varkappa$, $\varkappa_1$ und $\varkappa_2$ die gegebenen Winkel bilden. 159. Vier in keinem B\"undel liegende Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$, $\varkappa_2$, $\varkappa_3$ werden im Allgemeinen und h\"ochstens von sechzehn Kugeln unter den respectiven schiefen Winkeln $w$, $w_1$, $w_2$, $w_3$ geschnitten. N\"amlich diese sechzehn Kugeln liegen, weil sie $\varkappa$, $\varkappa_1$, und $\varkappa_2$ unter den Winkeln $w$, $w_1$ und $w_2$ schneiden, in vier Dupin'schen Kugelschaaren, und zugleich, weil sie mit $\varkappa$ und $\varkappa_4$ die Winkel $w$ und $w_4$ bilden, in zwei Kugelgeb\"uschen; sie bilden also die acht Kugelpaare, welche diese beiden Geb\"usche mit jenen vier Schaaren gemein haben (156.). \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~18. \\[\parskip] Kreise auf einer Kugel, die sich unter gegebenen Winkeln schneiden.}\label{p18} \hspace{\parindent}% 160. Die Geometrie der Kreise auf einer Kugel (oder Ebene) $\gamma$ l\"asst sich zur\"uckf\"uhren auf die Geometrie des Kugelgeb\"usches, von welchem $\gamma$ die Orthogonalkugel ist. Insbesondere bilden zwei sich schneidende Kreise der Kugel $\gamma$ mit einander dieselben Winkel, wie die beiden durch sie gehenden und zu $\gamma$ rechtwinkligen Kugeln. Doch ziehen wir es vor, die n\"achstfolgenden S\"atze direct, anstatt mit H\"ulfe des Geb\"usches, zu beweisen. 161. Von zwei auf einer Kugel liegenden Kreisb\"undeln geht entweder keiner oder jeder durch den Orthogonalkreis %-----File: 085.png----------------------------------- des anderen; denn nur dann, wenn die Centra der beiden B\"undel conjugirt sind bez\"uglich der Kugel, tritt der letztere Fall ein (vgl.~69.). Wenn ein Kreisb\"undel und ein Kreisb\"uschel auf einer und derselben Kugel liegen, so geht entweder keiner oder jeder von ihnen durch alle Orthogonalkreise des anderen; der letztere Fall tritt ein, wenn das Centrum des B\"undels und die Axe des B\"uschels conjugirt sind in Bezug auf die Kugel (69., 72.). Wir wollen nun zwei Kreisb\"undel einer Kugel oder Ebene, und ebenso einen Kreisb\"undel und einen Kreisb\"uschel {\glqq}zu einander normal{\grqq} nennen, wenn der eine von ihnen durch jeden Orthogonalkreis des anderen geht. 162. Zwei solche zu einander normale Kreissysteme, m\"ogen sie nun auf einer Kugel oder in einer Ebene liegen, verwandeln sich durch reciproke Radien allemal wieder in zwei zu einander normale Kreissysteme. Zu einem Kreisb\"uschel k\"onnen einfach unendlich viele normale Kreisb\"undel construirt werden; dieselben durchdringen sich in den Orthogonalkreisen des B\"uschels, und durch jeden anderen Kreis ihres Tr\"agers geht einer von ihnen. Zu einem Kreisb\"undel sind doppelt unendlich viele Kreisb\"uschel normal; dieselben haben den Orthogonalkreis des B\"undels mit einander gemein, und durch jeden anderen Kreis ihres Tr\"agers geht einer von ihnen. 163. Wenn ein Kreisb\"undel und ein Kreisb\"uschel zu einander normal sind, so bilden alle Kreise des ersteren, welche irgend einen Kreis des letzteren unter einem gegebenen schiefen Winkel schneiden, auch mit jedem anderen sie schneidenden Kreise des B\"uschels gleiche Winkel, und ber\"uhren im Allgemeinen zwei Kreise des B\"uschels. Bei dem Beweise dieses Satzes d\"urfen wir annehmen, dass entweder der B\"uschel aus Parallelkreisen einer Kugel besteht oder ein gew\"ohnlicher Strahlenb\"uschel ist; denn auf diese beiden F\"alle l\"asst sich der allgemeine Fall zur\"uckf\"uhren (65.). Im ersteren Falle liegen die Mittelpunkte der Parallelkreise mit dem Centrum des Kreisb\"undels auf einem Durchmesser der Kugel; man erh\"alt alle Kreise des B\"undels, welche mit einem der Parallelkreise den gegebenen Winkel bilden, wenn man einen beliebigen derselben um jenen Durchmesser rotiren l\"asst, und die Richtigkeit des Satzes leuchtet ohne weiteres ein. In dem zweiten Falle liegt der Kreisb\"undel in der Ebene des Strahlenb\"uschels und enth\"alt alle Kreise der Ebene, deren Mittelpunkte auf %-----File: 086.png--------------------------------- einem bestimmten Strahle dieses B\"uschels liegen; die Radien derjenigen Kreise des B\"undels, welche mit irgend einem anderen Strahle des B\"uschels den gegebenen Winkel bilden, sind folglich proportional zu den Abst\"anden ihrer Mittelpunkte von dem Mittelpunkte des B\"uschels; diese Kreise bilden deshalb mit jedem sie schneidenden Strahle des B\"uschels gleiche Winkel, und werden, wenn sie das Centrum des B\"uschels nicht einschliessen, von zwei Strahlen desselben ber\"uhrt. 164. Alle Kugeln, welche eine Kugel $\varkappa$ unter dem schiefen Winkel $w$ und eine andere Kugel $\gamma$ rechtwinklig schneiden, bilden ein quadratisches Kugelsystem zweiter Stufe und umh\"ullen im Allgemeinen zwei Kugeln (156.). Daraus folgt (160.), wenn $\varkappa$ und $\gamma$ sich rechtwinklig schneiden: Alle Kreise der Kugel $\gamma$, welche einen auf $\gamma$ angenommenen Kreis $k$ unter dem schiefen Winkel $w$ schneiden, bilden ein quadratisches Kreissystem zweiter Stufe, d.~h.\ in einem Kreisb\"uschel von $\gamma$ liegen im Allgemeinen und h\"ochstens zwei derselben. Durch eine Drehung um den Durchmesser von $\gamma$, welcher zu der Ebene des Kreises $k$ normal ist, \"andert dieses quadratische Kreissystem sich nicht. Die Ebenen aller Kreise dieses Systemes umh\"ullen eine Fl\"ache zweiter Ordnung und zweiter Classe (151.); dieselbe ist eine Rotationsfl\"ache und hat den eben erw\"ahnten Durchmesser zur Rotationsaxe. 165. Alle Kugeln, welche zwei Kugeln $\varkappa$, $\varkappa_1$ unter den resp.\ schiefen Winkeln $w$, $w_1$ und eine dritte Kugel $\gamma$ rechtwinklig schneiden, liegen in zwei Kugelb\"undeln und bilden zwei Dupin'sche Kugelschaaren (157., 156.). Alle Kreise der Kugel $\gamma$, welche zwei auf $\gamma$ angenommene Kreise $k$, $k_1$ unter den resp.\ Winkeln $w$, $w_1$ schneiden, liegen folglich in zwei Kreisb\"undeln und bilden zwei quadratische Schaaren von Kreisen. Jede dieser beiden Schaaren hat mit einem beliebigen Kreisb\"undel von $\gamma$ im Allgemeinen und h\"ochstens zwei Kreise gemein (156.), ihre Kreise bilden mit jedem sie schneidenden Kreise des durch $k$ und $k_1$ gehenden B\"uschels gleiche Winkel und ber\"uhren im Allgemeinen zwei Kreise dieses B\"uschels (163.). 166. Drei beliebige Kreise $k$, $k_1$, $k_2$ einer Kugel $\gamma$ werden im Allgemeinen und h\"ochstens von acht Kreisen der Kugel unter den respectiven schiefen Winkeln $w$, $w_1$, $w_2$ geschnitten. Diese acht Kreise liegen, weil sie mit $k$ und $k_1$ die %-----File: 087.png----------------------------------- Winkel $w$ und $w_1$ bilden, in zwei quadratischen Kreisschaaren, zugleich aber, weil sie $k$ und $k_2$ unter den resp.\ Winkeln $w$ und $w_2$ schneiden, in zwei Kreisb\"undeln (165.); sie bilden also die vier Kreispaare, welche diese beiden B\"undel mit jenen beiden Kreisschaaren gemein haben. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \newpage \section*{\centering Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme.} %\abschnitt{\large \so{Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme.}} \abschnitt{\S.~19.\\[\parskip] Kugelcoordinaten. Complexe, Congruenzen und Schaaren von Kugeln.}\label{p19} \hspace{\parindent}% 167. Wir wollen nunmehr unseren Untersuchungen ein rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde legen. Es seien $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die Coordinaten des Mittelpunktes einer Kugel vom Radius $r$, und $x$, $y$, $z$ diejenigen eines Punktes $A$, welcher von jenem Mittelpunkte den Abstand $d$ hat. Dann wird die Potenz der Kugel im Punkte $A$ dargestellt durch: \[ d^2 - r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2 - r^2, \] und insbesondere die Potenz $p$ im Coordinaten-Anfange durch: \[ \tag{1} p = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - r^2. \] Wir haben also den Satz: \begin{list}{}{\leftmargin1em\rightmargin2em\topsep0em}\item {\glqq}Die Potenz einer Kugel im Punkte $(x, y, z)$ wird dargestellt durch: \[ \tag{2} (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2 - r^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p, \] wenn $(\xi,\eta,\zeta)$ ihr Mittelpunkt, $r$ ihr Radius ist und $p$ ihre Potenz im Anfangspunkte der Coordinaten.{\grqq} \end{list} Liegt der Punkt $(x, y, z)$ auf der Kugelfl\"ache, so ist $d = r$, die Potenz ist Null, und wir erhalten aus (2) die Gleichung der Kugel in der Form: \[ \tag{3} x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p = 0. \] 168. Die Kugel ist v\"ollig bestimmt, wenn die rechtwinkligen Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ihres Mittelpunktes und ihre Potenz $p$ im Anfangspunkte der Coordinaten gegeben sind. Wir k\"onnen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ und $p$ die vier {\glqq}bestimmenden Gr\"ossen{\grqq} %-----File: 088.png--------------------------------- oder {\glqq}Coordinaten{\grqq} der Kugel nennen, und mit $(\xi, \eta, \zeta, p)$ die Kugel selbst bezeichnen. Die Einf\"uhrung der vierten Kugelcoordinate $p$ anstatt des Radius $r$ empfiehlt sich schon deshalb, weil die Gleichung der Kugel in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ linear ist, in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $r$ dagegen quadratisch. Uebrigens kann der Radius $r$ leicht aus den Kugelcoordinaten berechnet werden mittelst der Gleichung (1): \[ r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p. \] Die Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ ist eine Punktkugel, wenn $p = \xi^2+\eta^2+\zeta^2$ ist; sie artet in eine Ebene aus, wenn ihre Coordinaten unendlich werden. 169. Zwei Kugeln $(\xi, \eta, \zeta, p)$ und $(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$ haben gleiche Potenz in einem Punkte $(x, y, z)$, wenn dessen Coordinaten der Gleichung: \[ -2\,\xi x - 2\,\eta y - 2\,\zeta z + p = -2\,\xi_1 x - 2\,\eta_1 y - 2\,\zeta_1 z + p_1 \] oder: \[ (\xi-\xi_1)\,x + (\eta-\eta_1)\,y + (\zeta-\zeta_1)\,z = \frac{(p-p_1)}{2} \] gen\"ugen. Diese Gleichung repr\"asentirt die Potenz-Ebene der beiden Kugeln, welche alle Potenzpunkte derselben enth\"alt und zu der Centrale der Kugeln normal ist. --- Die beiden Kugeln $(\xi, \eta, \zeta, p)$ und $(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$ schneiden sich rechtwinklig, wenn: \[ \tag*{(4)} \xi\xi_1 + \eta\eta_1 + \zeta\zeta_1 = \frac{p+p_1}{2} \] ist. Denn auf diese Gleichung reducirt sich die folgende: \begin{gather*} (\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p) + (\xi_1^2 + \eta_1^2 + \zeta_1^2 - p_1) \\ = (\xi-\xi_1)^2 + (\eta-\eta_1)^2 + (\zeta-\zeta_1)^2, \end{gather*} welche die Summe der Quadrate beider Kugelradien gleich dem Quadrate des Abstandes der Centra setzt; auch erh\"alt man jene Gleichung (4) leicht, wenn man die Potenz der einen Kugel im Centrum der anderen gleich dem Quadrate des Radius dieser anderen Kugel setzt. 170. Fassen wir die Kugelcoordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ als ver\"anderliche Gr\"ossen auf, so k\"onnen wir jede beliebige Kugel durch sie darstellen; nehmen wir insbesondere $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ unendlich gross an, aber so dass ihre Verh\"altnisse endliche Werthe erhalten, so stellen wir durch sie eine Ebene dar, %-----File: 089.png----------------------------------- welche auf den Coordinaten-Axen die Strecken $\frac{p}{2\xi}$, $\frac{p}{2\eta}$ und $\frac{p}{2\zeta}$ abschneidet. Da jede der vier Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ unabh\"angig von den \"ubrigen unendlich viele Werthe annehmen kann, so giebt es vierfach unendlich viele Kugeln, und alle Kugeln des Raumes bilden eine Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen. 171. Werden die ver\"anderlichen Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ irgend einer Bedingungsgleichung unterworfen, so k\"onnen sie nicht mehr jede beliebige Kugel, sondern nur noch dreifach unendlich viele Kugeln darstellen. Wir nennen die Gesammtheit aller Kugeln, deren Coordinaten einer gegebenen Gleichung gen\"ugen, ein Kugelsystem von drei Dimensionen oder dritter Stufe, oder auch nach Pl\"ucker einen {\glqq}Kugelcomplex{\grqq}, und wollen sagen, der Complex werde durch die Gleichung {\glqq}dargestellt{\grqq} oder {\glqq}repr\"asentirt{\grqq}. Der Complex heisst algebraisch oder transcendent, je nachdem die Gleichung algebraisch oder transcendent ist; im ersteren Falle nennen wir ihn linear, quadratisch, cubisch oder vom $n^{\text{ten}}$ Grade, wenn seine Gleichung in Bezug auf $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ linear, quadratisch, cubisch resp.\ vom $n^{\text{ten}}$ Grade ist. So z.~B.\ bilden alle Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer gegebenen Fl\"ache liegen, einen Kugelcomplex; derselbe wird durch die Gleichung der Fl\"ache dargestellt. Alle Kugeln vom gegebenen Radius $r$ bilden einen quadratischen Kugelcomplex, dessen Gleichung $p = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - r^2$ ist; insbesondere bilden alle Punktkugeln einen quadratischen Complex. 172. Alle Kugeln, deren Coordinaten zwei verschiedenen Gleichungen gen\"ugen, bilden im Allgemeinen ein Kugelsystem zweiter Stufe oder nach Pl\"ucker's Bezeichnung eine {\glqq}Kugelcongruenz{\grqq}. Diese Congruenz besteht aus allen gemeinschaftlichen Kugeln der beiden durch die Gleichungen repr\"a\-sen\-tirten Kugelcomplexe; letztere durchdringen oder {\glqq}schneiden{\grqq} sich in der Congruenz, falls sie sich nicht in derselben {\glqq}ber\"uhren{\grqq}. Drei Kugelcomplexe, welche keine Kugelcongruenz und auch keinen Theil einer Congruenz mit einander gemein haben, durchdringen sich in einem Kugelsystem erster Stufe, welches wir auch eine {\glqq}Kugelschaar{\grqq} nennen; diese Kugelschaar besteht aus den einfach unendlich vielen gemeinschaftlichen Kugeln der drei Complexe und wird durch die drei Gleichungen der Complexe dargestellt. %-----File: 090.png----------------------------------- 173. Ueberhaupt bilden alle Kugeln, deren Coordinaten $i$ Bedingungsgleichungen gen\"ugen, im Allgemeinen ein Kugelsystem von $4-i$ Dimensio\-nen oder $4-i^{\text{ter}}$ Stufe. Sie k\"onnen jedoch in besonderen F\"allen eine Mannigfaltigkeit von mehr als $4-i$ Dimensionen bilden, auch wenn, wie wir voraussetzen, keine der $i$ Gleichungen eine Folge der \"ubrigen ist. Diese Ausnahmef\"alle sind demjenigen vergleichbar, in welchem drei Fl\"achen eine krumme oder gerade Linie mit einander gemein haben anstatt discreter Punkte, wie in dem allgemeinen Falle. Ein Kugelsystem heisst algebraisch, wenn alle seine Gleichungen algebraisch sind; es heisst linear, wenn seine Gleichungen algebraisch und vom ersten Grade sind in Bezug auf die Kugelcoordinaten. 174. Ein linearer Kugelcomplex ist nichts anderes als ein Kugelgeb\"usch, und zwar insbesondere ein symmetrisches Geb\"usch, wenn seine Gleichung die Form: \[ A\xi + B\eta + C\zeta + D = 0 \] hat. Diese Gleichung n\"amlich repr\"asentirt die Symmetrie-Ebene des Ge\-b\"u\-sches, in welcher die Mittelpunkte aller seiner Kugeln liegen. Im Allgemeinen enth\"alt die Gleichung des linearen Complexes auch die vierte Kugel-Coordinate $p$, und kann auf die Form: \[ \tag{5} p = a\xi + b\eta + c\zeta + d \] gebracht werden; weil aber dann die Potenz einer beliebigen Kugel des Complexes im Punkte $(x,\, y,\, z)$ dargestellt wird durch: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + ( a\xi + b\eta + c\zeta + d ), \] so haben alle Kugeln des Complexes im Punkte $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ die Potenz \[ \textstyle\frac{1}{4} (a^2 + b^2 + c^2) + d. \] Die Gleichung~(5) stellt also ein Kugelgeb\"usch dar vom Centrum $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)$ und der Potenz $\frac{1}{4} (a^2 + b^2 + c^2) + d$; die Orthogonalkugel dieses Geb\"usches aber hat die Coordinaten $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}, -d \right)$ wie sich durch Vergleichung von (5) mit (4) ohne Weiteres ergiebt. Die Constanten $a$, $b$, $c$, $d$ der Gleichung (5) k\"onnen so bestimmt werden, dass das Geb\"usch durch vier %-----File: 091.png----------------------------------- beliebig angenommene Kugeln geht (vgl.~12.). --- Eine lineare Kugelcongruenz ist ein Kugelb\"undel, und eine lineare Kugelschaar ist ein Kugelb\"uschel; der Beweis folgt aus dem obigen Satze und aus den Definitionen der linearen Kugelsysteme. Dass vier Kugelgeb\"usche eine und im Allgemeinen nur eine Kugel mit einander gemein haben, beweist man durch Auf\/l\"osung ihrer vier linearen Gleichungen. Auch die \"ubrigen S\"atze des \S~9 \"uber lineare Kugelsysteme k\"onnen hier mittelst einfacher Rechnungen bewiesen werden. 175. Sind $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ und $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$, $p'$ die Coordinaten einer beliebigen Kugel in Bezug auf zwei verschiedene rechtwinklige Coordinaten-Systeme, so werden bekanntlich die Mittelpunkts-Coordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$ durch lineare Functionen von $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$ ausgedr\"uckt; aber auch die Potenz $p$ im Coordinatenanfangspunkte des ersten Systemes ist alsdann eine lineare Function von $\xi'$, $\eta'$, $\zeta'$ und $p'$. Denn es wird (167.) \[ p = a^2 + b^2 + c^2 - 2\xi'a + \eta'b + \zeta'c + p', \] wenn $a$, $b$, $c$ die Coordinaten jenes Anfangspunktes in Bezug auf das zweite Coordinatensystem bezeichnen. Bei dem Uebergange von einem rechtwinkligen Coordinatensysteme zu einem anderen bleibt deshalb der Grad der Gleichungen algebraischer Kugelsysteme unge\"andert. 176. Durch reciproke Radien, deren Potenz $= k$ und deren Centrum der Coordinaten-Anfang ist, wird jedem Punkte $(x,\, y,\, z)$ ein Punkt $(x_1,\, y_1,\, z_1)$ zugeordnet, so dass: \[ x: x_1 = y: y_1 = z: z_1 \text{ und } (x^2 + y^2 + z^2) \cdot (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) = k^2 \] und demgem\"ass: \[ \tag{6} x = \frac{kx_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}, \; y = \frac{ky_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}, \; z = \frac{kz_1}{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \] wird. Durch diese Substitution geht die Gleichung: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2\xi x - 2\eta y - 2\zeta z + p = 0, \] einer Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ \"uber in diejenige einer anderen Kugel $(\xi_1, \eta_1, \zeta_1, p_1)$, n\"amlich in: \[ p_1 - 2\xi_1 x_1 - 2\eta_1 y_1 - 2\zeta_1 z_1 + x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 0, \] wenn gesetzt wird: \[ \tag{7} \xi_1 = \frac{k\xi}{p}, \quad \eta_1 = \frac{k\eta}{p}, \quad \zeta_1 = \frac{k\zeta}{p}, \quad p_1 = \frac{k^2}{p}, \quad \] Die Kugel $(\xi, \eta, \zeta, p)$ wird also durch die reciproken Radien %-----File: 092.png----------------------------------- in die Kugel ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) transformirt, und wir erhalten aus (7) die Substitution: \[ \xi = \frac{k \xi_1}{p_1}, \quad \eta = \frac{k \eta_1}{p_1}, \quad \zeta = \frac{k \zeta_1}{p_1}, \quad p = \frac{k^2 }{p_1}. \] Setzen wir in irgend eine Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$ diese Werthe ein und multipliciren sodann die Gleichung mit $p_1^n$, so erhalten wir eine Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$. Ein Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades verwandelt sich also durch reciproke Radien in einen Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades. Dieser Satz gilt f\"ur jede beliebige Lage des Centrums der reciproken Radien, weil der Anfangspunkt der Coordinaten nach diesem Centrum hin verlegt werden kann\footnote{) Zwei Kugeln ($\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$) und ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) sind einander zugeordnet in Bezug auf eine beliebige dritte ($\xi_0$, $\eta_0$, $\zeta_0$, $p_0$), wenn: \[ \frac{\xi - \xi_0}{\xi_1 - \xi_0} = \frac{\eta - \eta_0}{\eta_1 - \eta_0} = \frac{\zeta-\zeta_0}{\zeta_1-\zeta_0} = \frac{ p - p_0}{ p_1 - p_0} = \frac{r_0^2}{k_1} = \frac{k}{r_0^2}, \] worin \[ r_0^2 = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 - p_0,\ k = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 - 2\xi\xi_0 - 2\eta\eta_0 - 2\zeta\zeta_0 + p \] und \[ k_1 = \xi_0^2 + \eta_0^2 + \zeta_0^2 - 2\xi_1\xi_0 + 2\eta_1\eta_0 - 2\zeta_1\zeta_0 + p_1 \] ist. Den Beweis dieser Formeln unterdr\"ucken wir der K\"urze wegen.}). 177. Ist die Gleichung einer Kugel gegeben in der Form: \[ \alpha_0(x^2 + y^2 + z^2) - 2\alpha_1 x - 2\alpha_2 y - 2\alpha_3 z + \alpha_4 = 0, \] so k\"onnen wir deren f\"unf Coefficienten $\alpha_i$ als die Coordinaten der Kugel auf\/fassen und die Kugel durch ($\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$) oder k\"urzer durch $\alpha$ darstellen; denn diese Coefficienten und sogar die Verh\"altnisse derselben bestimmen die Kugel vollst\"andig. Diese etwas allgemeineren Kugelcoordinaten $\alpha_i$ sind mit den vorigen verkn\"upft durch die einfachen Gleichungen: \[ \tag{8} \xi = \frac{\alpha_1}{\alpha_0}, \quad \eta = \frac{\alpha_2}{\alpha_0}, \quad \zeta = \frac{\alpha_3}{\alpha_0}, \quad p = \frac{\alpha_4}{\alpha_0}; \] wird $\alpha_0 = 1$ gesetzt, so werden $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$ identisch mit den gew\"ohnlichen Kugelcoordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$. Durch die reciproken Radien (6) verwandelt sich $\alpha$ in eine Kugel $\beta$, deren Coordinaten aus den Gleichungen: \[ \tag{9} \beta_0 = \alpha_4, \quad \beta_1 = k \alpha_1, \quad \beta_2 = k \alpha_2, \quad \beta_3 = k \alpha_3, \quad \beta_4 = k^2\alpha_0 \] berechnet werden k\"onnen. Ein Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades wird dargestellt durch eine \so{homogene} Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades %-----File: 093.png----------------------------------- zwischen $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$; er verwandelt sich durch die reciproken Radien in einen Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades, weil seine Gleichung durch die Substitution (9) in eine homogene Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\beta_0$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, $\beta_4$ \"ubergeht. 178. Die Kugel $\alpha$ hat den Punkt $\left(\frac{\alpha_1}{\alpha_0}, \frac{\alpha_2}{\alpha_0}, \frac{\alpha_3}{\alpha_0}\right)$ zum Centrum und ihr Radius $r$ ergiebt sich (168.) aus der Gleichung: \[ \tag{10} \alpha_0^2 r^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 - \alpha_0\alpha_4. \] Sie ist eine Punktkugel, wenn $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = \alpha_0\alpha_4$, und artet in eine Ebene aus, wenn $\alpha_0 = 0$ ist; im letzteren Falle schneidet die Ebene auf den Coordinatenaxen die Strecken $\frac{\alpha_4}{2\alpha_1}$, $\frac{\alpha_4}{2\alpha_2}$ und $\frac{\alpha_4}{2\alpha_3}$ ab. Zwei Kugeln $\alpha$ und $\beta$ schneiden sich rechtwinklig, wenn: \[ \tag{11} \alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 + \alpha_3\beta_3 = \textstyle\frac{1}{2} (\alpha_4\beta_0 + \alpha_0\beta_4) \] ist (169.). Eine Kugel $\alpha$ ist nur dann zu sich selbst rechtwinklig, wenn sie sich auf einen Punkt reducirt; denn f\"ur $\beta_i = \alpha_i$ geht (11) \"uber in $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = \alpha_0\alpha_4$. --- Alle Kugeln $\alpha$, deren Coordinaten der linearen homogenen Gleichung: \[ \tag{12} a_0\alpha_0 + a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + a_3\alpha_3 + a_4\alpha_4 = 0 \] gen\"ugen, bilden einen linearen Kugelcomplex, d.~h.\ ein Kugelgeb\"usch; f\"ur die Orthogonalkugel $\beta$ dieses Geb\"usches erhalten wir durch Vergleichung von (12) mit (11) die Coordinaten: \[ \tag{13} \beta_0 = -2 a_4,\quad \beta_1 = a_1,\quad \beta_2 = a_2,\quad \beta_3 = a_3,\quad \beta_4 = -2 a_0, \] und es ist $\left(-\frac{a_1}{2a_4}, -\frac{a_2}{2a_4}, -\frac{a_3}{2a_4}\right)$ das Centrum und $\frac{1}{4 a_4^2} (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - 4a_0a_4)$ die Potenz des Geb\"usches (vgl.\ 174.). 179. Eine Kugel $\gamma$ liegt mit zwei gegebenen Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ in einem Kugelb\"uschel, wenn ihre Coordinaten den Gleichungen: \[ \tag{14} \gamma_0 = \lambda\alpha_0 + \lambda' \alpha_0',\; \gamma_1 = \lambda\alpha_1 + \lambda' \alpha_1',\; \ldots,\; \gamma_4 = \lambda\alpha_4 + \lambda' \alpha_4' \] gen\"ugen. Denn durch Elimination der willk\"urlichen Constanten $\lambda$ und $\lambda'$ aus den f\"unf Gleichungen (14) ergeben sich drei lineare homogene Gleichungen f\"ur die Coordinaten von $\gamma$, und diese drei Gleichungen repr\"asentiren den durch $\alpha$ und $\alpha'$ gehenden Kugelb\"uschel. Die beiden Kugeln: \[ (\lambda\alpha_0\pm\lambda'\alpha_0', \; \lambda\alpha_1\pm\lambda'\alpha_1', \; \lambda\alpha_2\pm\lambda'\alpha_2', \; \lambda\alpha_3\pm\lambda'\alpha_3', \; \lambda\alpha_4\pm\lambda'\alpha_4') \] %-----File: 094.png--------------------------------- sind durch die Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt; denn man findet ohne Schwierigkeit, dass ihre Mittelpunkte durch diejenigen von $\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt sind, und dass die vier Kugeln mit einer f\"unften Kugel $\beta$ vier harmonische Potenz-Ebenen bestimmen. Uebrigens kann der Satz auch als Definition harmonischer Kugeln betrachtet werden. --- Wenn in (14) das Verh\"altniss der Parameter $\lambda$ und $\lambda'$ sich stetig \"andert, so beschreibt die Kugel $\gamma$ den durch $\alpha$ und $\alpha'$ gehenden Kugelb\"uschel. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~20. \\[\parskip] Projective Verwandtschaft linearer Kugelsysteme.}\label{p20} \hspace{\parindent}% 180. Wir wollen mit $R$ und $R'$ zwei R\"aume bezeichnen, in jedem derselben ein rechtwinkliges Coordinatensystem annehmen, und eine beliebige Kugel $\alpha$ von $R$ mittelst ihrer Coordinaten durch $(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ sowie eine Kugel $\alpha'$ von $R'$ durch $(\alpha_0', \alpha_1', \alpha_2',\alpha_3',\alpha_4')$ darstellen. Durch die bilineare Gleichung: \[ \tag*{(A)} \begin{Bmatrix} \phantom{+}(a_{00}\alpha_0 + a_{01}\alpha_1 + a_{02}\alpha_2 + a_{03}\alpha_3 + a_{04}\alpha_4)\,\alpha_0' \\ + (a_{10}\alpha_0 + a_{11}\alpha_1 + a_{12}\alpha_2 + a_{13}\alpha_3 + a_{14}\alpha_4)\,\alpha_1' \\ \hdotsfor{1} \\ \hdotsfor{1} \\ + (a_{40}\alpha_0 + a_{41}\alpha_1 + a_{42}\alpha_2 + a_{43}\alpha_3 + a_{44}\alpha_4)\,\alpha_4' \end{Bmatrix} = 0 \] sind dann mit jeder Kugel des einen Raumes unendlich viele Kugeln des anderen {\glqq}verkn\"upft{\grqq}, indem ihre Coordinaten der Gleichung (A) gen\"ugen. Und zwar sind mit einer bestimmten Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ alle Kugeln eines in $R'$ liegenden Geb\"usches verkn\"upft. Die Orthogonalkugel $\beta'$ dieses Geb\"usches hat (178.) die Coordinaten: \[ \tag*{(B)} \left\{ \begin{aligned} \beta_0' &= -2\,( a_{40}\alpha_0 + a_{41}\alpha_1 + \hdots + a_{44}\alpha_4), \\ \beta_1' &= \phantom{-2\,(}a_{10}\alpha_0 + a_{11}\alpha_1 + \hdots + a_{14}\alpha_4, \\ \beta_2' &= \phantom{-2\,(}a_{20}\alpha_0 + a_{21}\alpha_1 + \hdots + a_{24}\alpha_4, \\ \beta_3' &= \phantom{-2\,(}a_{30}\alpha_0 + a_{31}\alpha_1 + \hdots + a_{34}\alpha_4, \\ \beta_4' &= -2\,( a_{00}\alpha_0 + a_{01}\alpha_1 + \hdots + a_{04}\alpha_4); \end{aligned} \right. \] wir wollen sagen, diese Kugel $\beta'$ von $R'$ {\glqq}entspreche{\grqq} der Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ und sei ihr {\glqq}homolog{\grqq}. Ganz \"ahnliche lineare Gleichungen erh\"alt man f\"ur die Coordinaten %-----File: 095.png----------------------------------- der Kugel $\beta$ von $R$, welche einer beliebigen Kugel $\alpha'$ von $R'$ entspricht, wenn man die bilineare Gleichung (A) identificirt mit der Gleichung: \[ \tag{C} -\textstyle\frac{1}{2}\beta_4\alpha_0 + \beta_1\alpha_1 + \beta_2\alpha_2 + \beta_3\alpha_3 -\textstyle\frac{1}{2}\beta_0\alpha_4 =0; \] diese letztere Gleichung n\"amlich ist die Bedingung daf\"ur, dass die Kugel $\beta$ zu einer jeden mit $\alpha'$ verkn\"upften Kugel $\alpha$ normal ist (178.). 181. Durch die lineare Substitution (B), deren Determinante wir als von Null verschieden vorraussetzen, %[sic!] ist einer jeden Kugel $\alpha$ des Raumes $R$ die ihr entsprechende Kugel $\beta'$ von $R'$ zugewiesen, zugleich aber jedem Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades des einen Raumes ein ihm entsprechender Kugelcomplex $n^{\text{ten}}$ Grades des anderen. Denn eine homogene Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\beta_0'$, $\beta_1'$, $\beta_2'$, $\beta_3'$, $\beta_4'$ geht durch die Substitution (B) \"uber in eine homogene Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades f\"ur $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$. Wenn insbesondere eine der homologen Kugeln $\alpha$ und $\beta'$ ein Kugelgeb\"usch beschreibt, so beschreibt auch die andere ein Kugelgeb\"usch. Auch jedem Kugelb\"undel oder -B\"uschel des einen Raumes entspricht folglich ein Kugelb\"undel resp.\ -B\"uschel des anderen. Wir nennen diese eindeutige Beziehung, welche durch die Substitution (B) zwischen den vierfach unendlichen Kugelsystemen der R\"aume $R$ und $R'$ hergestellt wird, eine {\glqq}projective{\grqq}, und wollen auch von zwei einander entsprechenden Kugel-Complexen, -Congruenzen oder -Schaaren der R\"aume sagen, sie seien {\glqq}projectiv{\grqq} auf einander bezogen. --- Zwei Kugelsysteme vierter Stufe, welche zur Deckung gebracht werden k\"onnen, sind allemal projectiv; denn die Substitution: \[ \beta_0'=\alpha_0,\quad \beta_1'=\alpha_1,\quad \beta_2'=\alpha_2,\quad \beta_3'=\alpha_3,\quad \beta_4'=\alpha_4 \] ist in (B) enthalten. Ebenso sind zwei Kugelsysteme projectiv, wenn sie durch reciproke Radien in einander transformirt werden k\"onnen (177.). Auch beweist man leicht, dass zwei Kugelsysteme, welche zu einem und demselben dritten projectiv sind, zu einander projectiv sein m\"ussen. 182. Wenn die Coordinaten $\alpha_i$ in der Gleichung (C) dieselbe Kugel repr\"asentiren, wie in den f\"unf Gleichungen (B), so sind $\beta'$ und $\beta$ zwei Kugeln, denen zwei mit einander verkn\"upfte Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ entsprechen, und jede der Kugeln $\beta'$ und $\beta$ ist die Orthogonalkugel des Geb\"usches, welches mit %-----File: 096.png--------------------------------- der der anderen entsprechenden Kugel verkn\"upft ist. Wir erhalten aber in diesem Falle, indem wir die f\"unf Coordinaten $\alpha_i$ aus den sechs Gleichungen (B) und (C) eliminiren, f\"ur die Coordinaten $\beta_i$ und $\beta_i'$ die bilineare Gleichung: \[ \tag*{(D)} 0= \begin{vmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04} & - \frac{1}{2}\,\beta_4' \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \beta_1' \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \beta_2' \\ a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \beta_3' \\ a_{40} & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & - \frac{1}{2}\,\beta_0' \\ - \frac{1}{2}\,\beta_4 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & - \frac{1}{2}\,\beta_0 & 0 \end{vmatrix} \] Wenn also zwei Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ durch die Gleichung (A) verkn\"upft sind, so sind die ihnen entsprechenden Kugeln $\beta'$ und $\beta$ durch die bilineare Gleichung (D) verkn\"upft. Dieser Satz gilt auch umgekehrt, weil aus (B) und (D) die Gleichung (C) folgt. 183. Die bilineare Gleichung (A) z\"ahlt 25 Constanten $a_{ik}$, und die Verkn\"upfung der Kugeln von $R$ und $R'$ ist nebst der projectiven Beziehung der beiden Kugelsysteme vierter Stufe v\"ollig bestimmt, wenn die 24 Verh\"altnisse dieser 25 Constanten gegeben sind. Wir erhalten nun f\"ur diese Verh\"altnisse eine lineare Gleichung, wenn wir in (A) die Coordinaten von irgend zwei mit einander verkn\"upften Kugeln einsetzen. Die projective Beziehung der beiden Kugelsysteme ist deshalb im Allgemeinen v\"ollig bestimmt, wenn 24 Paare von mit einander verkn\"upften Kugeln der R\"aume $R$ und $R'$ willk\"urlich angenommen werden. Dabei ist zu bemerken, dass eine Kugel des einen Raumes mit einem Geb\"usche des anderen verkn\"upft ist und der Orthogonalkugel desselben entspricht, sobald sie mit vier beliebigen Kugeln des Geb\"usches verkn\"upft ist. Um zwei Kugelsysteme vierter Stufe projectiv auf einander zu beziehen, kann man demnach in jedem derselben sechs Kugeln, von welchen keine f\"unf in einem Kugelgeb\"usche liegen, willk\"urlich annehmen, und sodann den sechs Kugeln des einen Systemes die sechs des anderen beziehungsweise als entsprechende zuweisen; die projective Beziehung der Systeme ist dadurch v\"ollig bestimmt. 184. Wir k\"onnen diesen wichtigen Satz auch mit H\"ulfe der Gleichungen (B) beweisen. Dividiren wir n\"amlich durch %-----File: 097.png------------------------------------ die erste dieser f\"unf Gleichungen die vier \"ubrigen und setzen in die so gewonnenen vier Gleichungen die Verh\"altnisse der Coordinaten von zwei einander entsprechenden Kugeln $\alpha$ und $\beta'$ ein, so erhalten wir vier lineare Gleichungen f\"ur die 24 Verh\"altnisse der Constanten $\alpha_{ik}$; sechs Paare homologer Kugeln sind also im Allgemeinen ausreichend zur Bestimmung dieser 24 Verh\"altnisse und damit der projectiven Beziehung der beiden Kugelsysteme. --- Auf \"ahnliche Weise ergeben sich die folgenden S\"atze: Um zwei Geb\"usche, B\"undel oder B\"uschel von Kugeln projectiv auf einander zu beziehen, kann man in jedem derselben f\"unf, vier resp.\ drei Kugeln willk\"urlich annehmen und diese Kugeln einander paarweise als entsprechende zuweisen; die projective Beziehung ist dadurch im Allgemeinen v\"ollig bestimmt. N\"amlich durch die Gleichungen von zwei B\"uscheln z.~B., die projectiv auf einander bezogen werden sollen, sind je drei der Coordinaten $\alpha_i$ resp.\ $\beta_i'$ als lineare Functionen der \"ubrigen, etwa von $\alpha_0'$, $\alpha_1$ resp.\ $\beta_0'$, $\beta_1'$, bestimmt, so dass die ersten beiden Gleichungen (B) die Form annehmen: \[ \beta_0'=a\,\alpha_0+ b\,\alpha_1;\quad \beta_1'=c\,\alpha_0+d\,\alpha_1, \quad\text{woraus}\quad \frac{\beta_1'}{\beta_0'}=\frac{c\,\alpha_0+d\,\alpha_1}{a\,\alpha_0+b\,\alpha_1}. \] Setzen wir in diese letzte Gleichung die Coordinaten-Verh\"altnisse $\frac{\alpha_1}{\alpha_0}$ und $\frac{\beta_1'}{\beta_0'}$ von zwei einander entsprechenden Kugeln der B\"uschel ein, so erhalten wir f\"ur die drei Verh\"altnisse der Constanten $a, b, c, d$ eine lineare Gleichung; drei Paare homologer Kugeln der B\"uschel gen\"ugen deshalb zur Bestimmung dieser drei Verh\"altnisse und somit der projectiven Beziehung der B\"uschel. 185. Da congruente B\"uschel auch projectiv sind (181.), so folgt aus dem soeben bewiesenen Satze: Wenn zwei projective Kugelb\"uschel drei Kugeln {\glqq}entsprechend gemein{\grqq} haben, d.~h. wenn drei Kugeln des einen mit den ihnen entsprechenden Kugeln des anderen zusammen fallen, so haben die B\"uschel alle ihre Kugeln entsprechend gemein und sind identisch. Ebenso ergiebt sich: Zwei projective Kugelb\"undel sind identisch, wenn sie vier Kugeln, von welchen keine drei in einem B\"uschel liegen, entsprechend gemein haben. Zwei projective Geb\"usche endlich haben alle ihre Kugeln entsprechend gemein (sind also identisch), wenn f\"unf Kugeln %-----File: 098.png----------------------------------- des einen, von welchen keine vier in einem B\"undel liegen, mit den ihnen entsprechenden Kugeln des anderen zusammenfallen; denn die projective Beziehung der Geb\"usche ist durch die f\"unf Paare homologer Kugeln v\"ollig bestimmt (184.) und kann in dem vorliegenden Falle keine andere sein als die der Congruenz. 186. Nehmen wir nunmehr an, die R\"aume $R$ und $R'$ seien auf ein und dasselbe Coordinatensystem bezogen, so ergiebt sich ohne Weiteres: Alle mit sich selbst verkn\"upften Kugeln bilden einen quadratischen Kugelcomplex; derselbe wird durch die Gleichung (A) dargestellt, wenn darin $\alpha_i'=\alpha_i$ f\"ur $i = 0, 1, 2, 3, 4$ gesetzt wird. Nur dann erleidet dieser Satz eine Ausnahme, wenn $a_{ik} =-a_{ki}$ f\"ur $i$ und $k = 0, 1, 2, 3, 4$, und folglich $a_{ii} = 0$ ist; denn in diesem Falle ist durch (A) jede beliebige Kugel $\alpha$ mit sich selbst verkn\"upft und zu der ihr entsprechenden Kugel $\beta'$ normal. Wir k\"onnen den Satz auch so aussprechen: In zwei projectiven Kugelsystemen vierter Stufe bilden diejenigen Kugeln, welche zu den ihnen entsprechenden normal sind, im Allgemeinen je einen quadratischen Kugelcomplex. 187. In den projectiven Kugelsystemen der R\"aume $R$ und $R'$ f\"allt die Kugel $\alpha$ mit ihrer entsprechenden $\beta'$ zusammen, wenn die Coordinaten von $\beta'$ sich verhalten wie diejenigen von $\alpha$ (177.). Setzen wir nun in den Gleichungen (B): \[ \beta_0' = \varkappa\alpha_0, \quad \beta_1' = \varkappa\alpha_1, \quad \ldots \quad \beta_4' = \varkappa\alpha_4 \] und eliminiren sodann aus ihnen die Coordinaten $\alpha_i$ so erhalten wir f\"ur die Constante $\varkappa$ die Gleichung f\"unften Grades: \[ \left|\begin{array}{lllll} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04}+\frac{\varkappa}{2} \\ a_{10} & a_{11}-\varkappa & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22}-\varkappa & a_{23} & a_{24} \\ a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33}-\varkappa & a_{34} \\ a_{40}+\frac{\varkappa}{2} & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array}\right| =0 \] Zu jeder Wurzel dieser Gleichung geh\"ort eine sich selbst entsprechende Kugel $\alpha$, und zwar ergeben sich deren Coordinaten $\alpha_i$, abgesehen von einem gemeinschaftlichen Factor, aus vier der Gleichungen (B), wenn darin $\beta_i'=\varkappa\alpha_i$ gesetzt wird. Es giebt also im Allgemeinen f\"unf Kugeln, welche mit den ihnen entsprechenden zusammenfallen. %-----File: 099.png--------------------------------- 188. Eine beliebige Kugel $\gamma$ kann sowohl zum Raume $R$ als auch zu $R'$ gerechnet werden, und ihr entsprechen deshalb im Allgemeinen zwei verschiedene Kugeln: eine in $R'$ und eine in $R$. Nur dann fallen f\"ur jede Lage der Kugel $\gamma$ die beiden ihr entsprechenden Kugeln zusammen, wenn die bilineare Gleichung (A) bei einer Vertauschung von $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ mit resp.\ $\alpha_0', \alpha_1', \alpha_2', \alpha_3', \alpha_4'$ unge\"andert bleibt, wenn also entweder $a_{ik}=a_{ki}$ oder $a_{ik}=-a_{ki}$ ist f\"ur $i$ und $k = 0, 1, 2, 3, 4$. Mit dem ersteren dieser beiden F\"alle besch\"aftigen wir uns im n\"achsten $\S$, und beschr\"anken uns hier auf eine einzige Bemerkung zu demselben. N\"amlich wenn $\beta$ die Orthogonalkugel des Geb\"usches ist, welches durch die Gleichung (A) mit irgend einer Kugel $\alpha$ verkn\"upft ist, so ist umgekehrt $\alpha$ die Orthogonalkugel des durch die Gleichung (D), nicht aber durch (A) mit $\beta$ verkn\"upften Geb\"usches, mag nun $a_{ik}=a_{ki}$ sein oder nicht. \begin{center} \makebox[15em]{\hrulefill} \end{center} \abschnitt{\S.~21. \\[\parskip] Quadratische Complexe, Congruenzen und Schaaren von Kugeln.}\label{p21} \hspace{\parindent}% 189. Indem wir die Gleichungen (A), (B) und (D) des \S~20 auch ferner unseren Untersuchungen zu Grunde legen, nehmen wir nunmehr an, dass $a_{ik}=a_{ki}$ ist f\"ur $i$ und $k = 0, 1, 2, 3, 4$. Die Coordinaten aller Kugeln $\gamma$, welche durch die bilineare Gleichung (A) mit sich selbst verkn\"upft sind, gen\"ugen alsdann der quadratischen Gleichung: \begin{gather*} a_{00} \gamma_0^2 + 2 \, a_{01}\gamma_0\gamma_1 + 2 \, a_{02}\gamma_0\gamma_2 +\ldots \tag{E} \\ \ldots + a_{33}\gamma_3^2 + 2 \, a_{34}\gamma_3\gamma_4 + a_{44}\gamma_4^2 =0. \end{gather*} Diese Gleichung enth\"alt dieselben 15 Constanten $a_{ik}$, wie die Gleichungen (A), (B) und (D), und repr\"asentirt einen ganz beliebigen quadratischen Kugelcomplex. Wenn dieser Complex gegeben ist, so ist deshalb auch die durch (A) bewirkte Verkn\"upfung sowie die durch (B) hergestellte projective Beziehung der Kugeln v\"ollig bestimmt. Durch vierzehn willk\"urlich angenommene Kugeln kann ein quadratischer Kugelcomplex gelegt werden. 190. Von zwei durch die bilineare Gleichung (A) verkn\"upften Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ wollen wir sagen, sie seien {\glqq}conjugirt{\grqq} in Bezug auf den quadratischen Kugelcomplex (E), %-----File: 100.png--------------------------------- weil sie zu demselben in analoger Beziehung stehen, wie zu einer Fl\"ache zweiter Ordnung zwei bez\"uglich derselben conjugirte Punkte. Setzen wir n\"amlich in der Gleichung (E): \[ \gamma_i=\lambda\alpha_i + \lambda'\alpha_i' \quad\text{f\"ur}\quad i = 0, 1, 2, 3, 4 \quad\text{(vgl. 179.),} \] so erhalten wir f\"ur die Parameter $\lambda$, $\lambda'$ derjenigen %corrected misprinted index in line above ($lambda_1$ for $lambda$) Kugeln des Complexes, welche mit $\alpha$ und $\alpha'$ in einem B\"uschel liegen, eine quadratische Gleichung von der Form als $a\lambda^2+a'(\lambda')^2 = 0$; denn der Coefficient von $2\lambda\lambda'$ wird Null wegen der Gleichung %corrected misprinted 'Coefficiant' to 'Coefficient' in line above (A). Die quadratische Gleichung ergiebt f\"ur $\frac{\lambda'}{\lambda}$ zwei Werthe $\pm b$, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden; die zugeh\"origen Kugeln des Complexes aber haben die Coordinaten $\gamma_i=\lambda\alpha_i\pm b\lambda\alpha_i'$ und sind (179.) durch die Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ harmonisch getrennt. Also je zwei durch die Gleichung (A) verkn\"upfte Kugeln trennen diejenigen beiden Kugeln des Complexes (E) harmonisch, welche mit ihnen in einem B\"uschel liegen. 191. Wenn die Kugel $\alpha$ dem quadratischen Complexe (E) angeh\"ort, so verschwindet in der Gleichung $a\lambda^2 + a'(\lambda')^2 = 0$ der Coefficient $a$, und die Wurzeln $\pm b$ werden beide Null; der Kugelb\"uschel schneidet dann nicht den Kugelcomplex, sondern {\glqq}ber\"uhrt{\grqq} ihn in der Kugel $\alpha$. Liegen die conjugirten Kugeln $\alpha$ und $\alpha'$ beide in dem quadratischen Complexe, so enth\"alt dieses alle Kugeln des B\"uschels $\alpha\alpha'$; denn alsdann verschwindet sowohl $a$ wie $a'$, und $b$ wird ein willk\"urlicher Parameter. 192. Das Kugelgeb\"usch, dessen Kugeln in Bezug auf den Complex (E) einer gegebenen Kugel $\alpha$ conjugirt, d.~h.\ mit $\alpha$ durch die Gleichung (A) verkn\"upft sind, wollen wir die {\glqq}Polare{\grqq} von $\alpha$ bez\"uglich des quadratischen Complexes nennen. Liegt $\alpha$ in dem Complexe, so wird dieser von dem Geb\"usche, d.~h.\ von jedem durch $\alpha$ gehenden Kugelb\"uschel desselben (191.), in $\alpha$ {\glqq}ber\"uhrt{\grqq}. Mit diesem ber\"uhrenden Geb\"usche hat der Complex eine quadratische Kugelcongruenz gemein, welche entweder gar keine von $\alpha$ verschiedene reelle Kugel oder einfach unendlich viele durch $\alpha$ gehende Kugelb\"uschel enth\"alt und durch einen solchen B\"uschel beschrieben werden kann (191.). Wenn der Complex einen durch $\alpha$ gehenden Kugelb\"undel enth\"alt, so liegt dieser B\"undel auch in der quadratischen Congruenz, und letztere zerf\"allt in diesen und einen anderen B\"undel. %-----File: 101.png--------------------------------- 193. Die Polaren aller Kugeln eines B\"uschels durchdringen sich in einem B\"undel und die Polaren aller Kugeln dieses B\"undels durchdringen sich in jenem B\"uschel; wir wollen deshalb den B\"undel die {\glqq}Polare{\grqq} des B\"uschels und den B\"uschel die Polare des B\"undels nennen. Die Polaren aller Kugeln eines Geb\"usches gehen durch eine Kugel, von welcher das Geb\"usch die Polare ist. Die Richtigkeit dieser S\"atze folgt daraus, dass die Gleichung (A) sich nicht \"andert, wenn $\alpha_i$ mit $\alpha_i'$ vertauscht wird. --- Hat beispielsweise die Gleichung (A) die einfache Form: \[ -\frac{1}{2}\,\alpha_4\alpha_0' + \alpha_1\alpha_1' + \alpha_2\alpha_2' + \alpha_3\alpha_3' - \frac{1}{2}\,\alpha_0\alpha_4' = 0, \] so sind je zwei conjugirte Kugeln zu einander normal (178.), jede Kugel ist die Orthogonalkugel ihrer Polare, und ein beliebiger B\"uschel ist die Polare des zu ihm orthogonalen B\"undels; der quadratische Complex aber hat die Gleichung: \[ \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 - \alpha_0\alpha_4 =0 \] und besteht aus allen Punktkugeln des Raumes. 194. Im Allgemeinen erf\"ullen die Punktkugeln des quadratischen Kugelcomplexes nicht den ganzen unendlichen Raum, sondern eine Fl\"ache vierter Ordnung, welche von Casey\footnote{) Casey, on Cyclides and Sphero-Quartics (Philos.\ Transactions, vol.\ CLXI), London 1871.}) und Darboux\footnote{) Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces alg\'ebriques, Paris 1873.}) eine {\glqq}Cyclide{\grqq} genannt worden ist. Wir erhalten die Gleichung dieser Fl\"ache in rechtwinkligen Punktcoordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$, wenn wir (177.) in der Complexgleichung (E) setzen: \[ \frac{\gamma_1}{\gamma_0} = \xi, \quad \frac{\gamma_2}{\gamma_0} = \eta, \quad \frac{\gamma_3}{\gamma_0} = \zeta, \quad \frac{\gamma_4}{\gamma_0} = p = \xi^2+\eta^2+\zeta^2. \] Der Ort aller Punktkugeln des quadratischen Complexes wird demnach dargestellt durch die Gleichung vierten Grades: \[ u_2 + 2\,u_1 (\xi^2+\eta^2+\zeta^2) + a_{44} (\xi^2+\eta^2+\zeta^2)^2 = 0, \] worin: \begin{align*} u_2 &= a_{00} + 2\,a_{01}\xi + 2\,a_{02}\eta + 2\,a_{03}\zeta + a_{11}\xi^2 + \ldots + 2\,a_{23} \eta\zeta + a_{33}\zeta^2, \\ u_1 &= a_{04} + a_{14}\xi + a_{24}\eta + a_{34}\zeta \end{align*} %-----File: 102.png----------------------------------- ist. Von anderen Fl\"achen vierter Ordnung unterscheidet sich diese Cyclide vor Allem dadurch, dass sie mit einer beliebigen Kugel eine Raumcurve vierter Ordnung gemein hat, durch welche Fl\"achen zweiter Ordnung gelegt werden k\"onnen. Setzen wir n\"amlich $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2$ gleich einer linearen Function $u$ von $\xi$, $\eta$, $\zeta$, so haben wir die Gleichung einer beliebigen Kugel, zugleich aber geht die Gleichung der Cyclide \"uber in die Gleichung $u_2 + 2u_1 u + a_{44}\,u\,u =0$ einer Fl\"ache zweiter Ordnung, welche mit der Kugel eine auf der Cyclide liegende Raumcurve vierter Ordnung gemein hat. Diese Raumcurve kann in zwei Kreise zerfallen. 195. Die Ebenen eines quadratischen Kugelcomplexes umh\"ullen im Allgemeinen eine Fl\"ache zweiter Classe. Weil n\"amlich (190.) ein Kugelb\"uschel, der nicht ganz dem Complexe angeh\"ort, h\"ochstens zwei Kugeln desselben enth\"alt, so hat insbesondere ein Ebenenb\"uschel im Allgemeinen h\"ochstens zwei Ebenen mit dem Complexe gemein. Wird in der Complexgleichung $\gamma_0 = 0$ gesetzt, so erh\"alt man (178.) die Gleichung der Fl\"ache zweiter Classe in Ebenencoordinaten $2\gamma_1$, $2\gamma_2$, $2\gamma_3$, $-\gamma_4$. 196. Die Gleichung des quadratischen Kugelcomplexes kann nach einem bekannten algebraischen Satze\footnote{) % S.\ die Abhandlungen von Jacobi, Hermite und Borchardt in dem Journal f\"ur d.\ r.\ u.\ a.\ Mathematik Bd.~53, S.~270--283; vgl.\ Gundelfinger in Hesse's analyt.\ Geometrie des Raumes, 3.~Aufl., S.~449--461.}) auf unendlich viele Arten auf die kanonische Form: \[ k_0 P_0^2 + k_1 P_1^2 + k_2 P_2^2 + k_3 P_3^2 + k_4 P_4^2 = 0 \] gebracht werden, worin die $k_i$ reelle Constanten und die $P_i$ reelle lineare Functionen der Kugelcoordinaten bezeichnen; und zwar repr\"asentiren die Gleichungen $P_i = 0$ f\"unf Kugelgeb\"usche, von welchen ein jedes bez\"uglich des Complexes die Polare derjenigen Kugel ist, welche die \"ubrigen vier Geb\"usche mit einander gemein haben. Von diesen f\"unf Geb\"uschen kann das erste willk\"urlich angenommen, und das $i^{\text{te}}$ beliebig durch diejenigen Kugeln gelegt werden, von welchen die $i-1$ vorher angenommenen Geb\"usche die Polaren sind. Denn die f\"unf Geb\"usche durchdringen sich zu vieren in einer ganz beliebigen Gruppe von f\"unf bez\"uglich des Complexes conjugirten Kugeln. Wenn eine der Constanten $k_i$, etwa $k_0$, %-----File: 103.png----------------------------------- Null ist, so hat der quadratische Complex eine Doppelkugel; die Coordinaten derselben gen\"ugen den vier linearen Gleichungen: \[ P_1=0,\quad P_2 = 0,\quad P_3 = 0,\quad P_4 = 0. \] Sind zwei von den Constanten $k_i$ Null, so enth\"alt der Complex alle Kugeln eines B\"uschels doppelt. 197. Der quadratische Kugelcomplex enth\"alt entweder gar keine oder unendlich viele reelle Kugelb\"uschel resp.\ -B\"undel. Denn jedes Kugelgeb\"usch (resp.\ jeder B\"undel), welches durch einen reellen B\"undel (B\"uschel) des Complexes geht, hat mit demselben noch einen reellen B\"undel (B\"uschel) gemein. Zwei B\"undel des Complexes, die mit einem gegebenen dritten in zwei Geb\"uschen liegen, schneiden diesen dritten in zwei Kugelb\"uscheln, die eine Kugel mit einander gemein haben; die Polare dieser Kugel aber hat mit dem Complexe alle drei B\"undel gemein (192.) und enth\"alt folglich beide Geb\"usche, was nur m\"oglich ist, wenn die Kugel eine Doppelkugel des Complexes ist und ihre Polare unbestimmt wird. 198. Wir unterscheiden demnach drei Hauptarten des quadratischen Kugelcomplexes, n\"amlich: \begin{list}{}{\topsep0mm\itemsep0em\parsep0em\leftmargin2em} \item[1)] den imagin\"aren Kugelcomplex, dessen Gleichung $P_0^2 + P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 + P_4^2 = 0$ durch keine reellen Werthe der Kugelcoordinaten befriedigt wird; \item[2)] den elliptischen, $P_0^2 + P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 - P_4^2 = 0$, welcher mit jedem ihn ber\"uhrenden Geb\"usche nur eine reelle Kugel (deren Coordinaten n\"amlich reell sind) gemein hat; \item[3)] den hyperbolischen oder einfach geraden, $P_0^2 + P_1^2 + P_2^2 - P_3^2 - P_4^2 = 0$, welcher unendlich viele reelle Kugelb\"uschel, aber keinen reellen Kugelb\"undel enth\"alt. \end{list} Der specielle quadratische Complex, welcher eine Doppelkugel besitzt, ent\-h\"alt entweder keine weitere reelle Kugel, oder unendlich viele Kugelb\"uschel aber keinen B\"undel, oder drittens unendlich viele B\"undel; er ist also entweder imagin\"ar, oder einfach gerade, oder drittens zweifach gerade. Der noch speciellere Complex mit einem doppelten Kugelb\"uschel enth\"alt entweder keine reellen Kugeln ausser in diesem B\"uschel, oder unendlich viele reelle Kugelb\"undel. 199. Alle Kugeln von gegebenem Radius $r$ bilden einen %-----File: 104.png----------------------------------- elliptischen Complex zweiten Grades; die Gleichung desselben (178.) kann auf die Form: \[ \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + \left( \frac{\alpha_4}{2r} \right)^2 - \left( \frac{\alpha_4}{2r} + \alpha_0 r \right)^2 = 0 \] gebracht werden. Alle Kugeln ($\xi$, $\eta$, $\zeta$, $p$), welche eine gegebene Kugel ($\xi_1$, $\eta_1$, $\zeta_1$, $p_1$) unter dem gegebenen Winkel $\varphi$ schneiden, bilden einen quadratischen Complex, dessen Gleichung: \begin{gather*} \cos^2 \varphi \centerdot (\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - p) \centerdot (\xi_1^2 + \eta_1^2 + \zeta_1^2 - p_1) %--corrected misprint (p for p_1) ----^ \\ = \left( \xi\xi_1 + \eta\eta_1 + \zeta\zeta_1 - \frac{p+p_1}{2} \right)^2 , \end{gather*} wenn der Coordinatenanfang in das Centrum der gegebenen Kugel gelegt wird, auf die Form gebracht werden kann: \[ 4 p_1 \cos^2\varphi \;(\xi^2+\eta^2+\zeta^2) + (p - p_1 \cos 2\varphi)^2 + (p_1 \sin 2\varphi)^2 = 0 \] Da nun $p_1$ das negative Quadrat vom Radius der gegebenen Kugel ist, so ist dieser Kugelcomplex ein hyperbolischer. Zugleich ergiebt sich f\"ur $\varphi = 0$, dass alle Kugeln, welche eine gegebene Kugel ber\"uhren, einen einfach geraden quadratischen Complex bilden, und dass dieser die gegebene Kugel doppelt enth\"alt. --- Auch die Kugeln, in Bezug auf welche zwei gegebene Ebenen conjugirt sind, bilden einen hyperbolischen Complex zweiten Grades. 200. Eine quadratische Kugelcongruenz besteht im Allgemeinen aus allen Kugeln eines Geb\"usches, deren Mittelpunkte auf einer Fl\"ache zweiter Ordnung liegen. Denn sie wird dargestellt durch eine lineare und eine quadratische Gleichung zwischen den Kugelcoordinaten $(\xi,\eta,\zeta,p)$; die erstere Gleichung repr\"asentirt das Geb\"usch, und wenn man $p$ aus beiden Gleichungen eliminirt, so erh\"alt man die Gleichung der Fl\"ache zweiter Ordnung. Nur dann ist die Eliminirung unm\"oglich, wenn das Geb\"usch ein symmetrisches ist; doch kann dieser Fall durch reciproke Radien auf den allgemeinen zur\"uckgef\"uhrt werden. Die Punktkugeln der quadratischen Congruenz liegen auf der Raumcurve vierter Ordnung, welche die Fl\"ache zweiter Ordnung mit der Orthogonalkugel des Geb\"usches gemein hat; die Ebenen der Congruenz umh\"ullen im Allgemeinen einen Kegel zweiten Grades. Die Potenzebenen, welche die Kugeln der Congruenz mit zwei dem Geb\"usche nicht angeh\"orenden Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei Fl\"achen zweiter Classe, welche auf einander collinear %-----File: 105.png----------------------------------- und auf die Fl\"ache zweiter Ordnung reciprok bezogen sind (101., 103.). Durch neun beliebige Kugeln eines Geb\"usches kann allemal eine, und im Allgemeinen nur eine quadratische Congruenz gelegt werden. --- Was die Cyclide betrifft, welche auch bei der quadratischen Congruenz (als Umh\"ullungsfl\"ache der Kugeln derselben) auf\/tritt, so verweisen wir auf die oben genannten Werke von Casey und Darboux. --- Die Kugeln, welche eine Fl\"ache zweiter Ordnung doppelt ber\"uhren, bilden drei quadratische Congruenzen; ihre Mittelpunkte liegen in den drei Symmetrie-Ebenen der Fl\"ache. 201. Eine quadratische Kugelschaar besteht im Allgemeinen aus allen Kugeln eines B\"undels, deren Mittelpunkte auf einem in der Centralebene des B\"undels gegebenen Kegelschnitte liegen. Sie wird n\"amlich dargestellt durch zwei lineare und eine quadratische Gleichung zwischen den Coordinaten $(\xi, \eta, \zeta, p)$, und wenn man $p$ aus der quadratischen und aus der einen linearen Gleichung mit H\"ulfe der anderen eliminirt, so erh\"alt man die Gleichungen des Kegelschnittes. Die Eliminirung wird nur dann unm\"oglich, wenn der Orthogonalkreis des B\"undels in eine Gerade ausartet; doch kann dieser Specialfall auf den allgemeinen zur\"uckgef\"uhrt werden durch reciproke Radien. Die Punkte, welche der Kegelschnitt mit dem Orthogonalkreise des B\"undels gemein hat, sind Punktkugeln der Schaar; die Anzahl dieser Punktkugeln ist h\"ochstens vier. Die Kugelschaar enth\"alt keine, eine oder zwei reelle Ebenen, jenachdem der Kegelschnitt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist. Die Potenzebenen, welche die Kugeln der Schaar mit zwei beliebigen Kugeln bestimmen, umh\"ullen zwei collineare Kegelfl\"achen zweiten Grades, welche auf den Kegelschnitt reciprok bezogen sind (vgl.\ 200.). Durch f\"unf beliebige Kugeln eines B\"undels kann im Allgemeinen eine einzige quadratische Kugelschaar gelegt werden. Auch die quadratische Kugelschaar wird von einer Cyclide umh\"ullt, aber von einer ziemlich speciellen, welche eine Schaar von kreisf\"ormigen Kr\"ummungslinien besitzt (130.); die Ebenen dieser Kr\"ummungslinien gehen durch die Axe des Kugelb\"undels, in welchem die Kugelschaar liegt. \newpage \small \pagenumbering{gobble} \begin{verbatim} End of Project Gutenberg's Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme, by Theodor Reye *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYNTHETISCHE GEOMETRIE *** *** This file should be named 17153-t.tex or 17153-t.zip *** *** or 17153-pdf.pdf or 17153-pdf.pdf *** This and all associated files of various formats will be found in: https://book.klll.cc/1/7/1/5/17153/ Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net from images generously made available by Cornell University Digital Collections. Updated editions will replace the previous one--the old editions will be renamed. 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If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem. 1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS', WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks of life. Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at https://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at https://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at https://pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit https://pglaf.org While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including including checks, online payments and credit card donations. To donate, please visit: https://pglaf.org/donate Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. Professor Michael S. Hart was the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. Most people start at our Web site which has the main PG search facility: https://book.klll.cc This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. *** END: FULL LICENSE *** \end{verbatim} \end{document} --------------------------------------------------------- Below is appended the log from the most recent compile. You may use it to compare against a log from a new compile to help spot differences. --------------------------------------------------------- This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (MiKTeX 2.4) (preloaded format=latex 2005.4.4) 4 DEC 2005 13:13 entering extended mode **17153-t.tex (17153-t.tex LaTeX2e <2003/12/01> Babel and hyphenation patterns for english, french, german, ngerman, du mylang, nohyphenation, loaded. (C:\texmf\tex\latex\base\book.cls Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class (C:\texmf\tex\latex\base\leqno.clo File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) ) (C:\texmf\tex\latex\base\bk11.clo File: bk11.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) (C:\texmf\tex\latex\amsmath\amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip43 For additional information on amsmath, use the `?' option. (C:\texmf\tex\latex\amsmath\amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (C:\texmf\tex\latex\amsmath\amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks14 \ex@=\dimen103 )) (C:\texmf\tex\latex\amsmath\amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen104 ) (C:\texmf\tex\latex\amsmath\amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count88 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count89 \leftroot@=\count90 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count91 \DOTSCASE@=\count92 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen105 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count93 \c@MaxMatrixCols=\count94 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count95 \dspbrk@lvl=\count96 \tag@help=\toks15 \row@=\count97 \column@=\count98 \maxfields@=\count99 \andhelp@=\toks16 \eqnshift@=\dimen106 \alignsep@=\dimen107 \tagshift@=\dimen108 \tagwidth@=\dimen109 \totwidth@=\dimen110 \lineht@=\dimen111 \@envbody=\toks17 \multlinegap=\skip44 \multlinetaggap=\skip45 \mathdisplay@stack=\toks18 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. )) (C:\texmf\tex\generic\babel\babel.sty Package: babel 2004/02/19 v3.8a The Babel package (C:\texmf\tex\generic\babel\germanb.ldf Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system (C:\texmf\tex\generic\babel\babel.def File: babel.def 2004/02/19 v3.8a Babel common definitions \babel@savecnt=\count100 \U@D=\dimen112 ) \l@austrian = a dialect from \language\l@german Package babel Info: Making " an active character on input line 91. )) (C:\texmf\tex\latex\soul\soul.sty Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) \SOUL@word=\toks19 \SOUL@lasttoken=\toks20 \SOUL@cmds=\toks21 \SOUL@buffer=\toks22 \SOUL@token=\toks23 \SOUL@spaceskip=\skip46 \SOUL@ttwidth=\dimen113 \SOUL@uldp=\dimen114 \SOUL@ulht=\dimen115 ) (17153-t.aux) LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 93. LaTeX Font Info: ... okay on input line 93. [1 {psfonts.map}] [1 ] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 202. (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 202. (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) Overfull \hbox (2.66441pt too wide) in paragraph at lines 193--209 \OT1/cmr/m/n/10.95 Die syn-the-ti-sche Geo-me-trie der Krei-se und Ku-geln ver -dankt den Auf-schwung, [] [1 ] [2] [3] [4] Overfull \hbox (5.1156pt too wide) in paragraph at lines 385--385 []\OT1/cmr/m/n/10.95 Seite [] LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 386. (C:\texmf\tex\latex\base\omscmr.fd File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10.95> not available (Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 386. [5] LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/bx/n' in size <12> not available (Font) Font shape `OMS/cmsy/b/n' tried instead on input line 422. [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] (17153-t.aux) *File List* book.cls 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) bk11.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features amstext.sty 2000/06/29 v2.01 amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f babel.sty 2004/02/19 v3.8a The Babel package germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions *********** ) Here is how much of TeX's memory you used: 1782 strings out of 95512 18606 string characters out of 1189449 82856 words of memory out of 1080488 4830 multiletter control sequences out of 60000 14303 words of font info for 54 fonts, out of 500000 for 1000 14 hyphenation exceptions out of 607 27i,11n,24p,263b,296s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,32768s PDF statistics: 378 PDF objects out of 300000 0 named destinations out of 300000 1 words of extra memory for PDF output out of 65536 Output written on 17153-t.pdf (98 pages, 458660 bytes).