% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by % François de Salvert % % % % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % % almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % % re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % % with this eBook or online at book.klll.cc % % % % % % Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides % % Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour % % Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques % % % % Author: François de Salvert % % % % Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083] % % % % Language: French % % % % Character set encoding: ISO-8859-1 % % % % *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\ebook{33083} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Packages and substitutions: %% %% %% %% book: Required. %% %% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% %% fontenc: Font encoding, for boldface smallcaps. Required. %% %% %% %% babel: French language features. Required. %% %% %% %% ifthen: Logical conditionals. 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Veuillez consulter le préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. } %% Re-set if ForPrinting=true \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} \renewcommand{\TransNoteText}{% Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection. \bigskip Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément reformater pour être lu sur un écran. 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similarly in other macros below] \settowidth{\TmpLen}{\bfseries\footnotesize PROFESSEURS HONORAIRES}% \parbox{\TmpLen}{{\bfseries\footnotesize\hangindent1em#1\dotfill}}% } \newcommand{\NameBox}[1]{% \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\bfseries MILNE EDWARDS, Professeur.}% \parbox{\TmpLen}{\footnotesize\textbf{#1}}% } \newcommand{\Name}[2][]{% \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\bfseries MILNE EDWARDS, Professeur.}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% \parbox{\TmpLen}{\footnotesize\textbf{#2}\dotfill}% }{% \parbox[b]{\TmpLen}{{\small\textbf{#1}}\\\footnotesize\textbf{#2}.}% }% } \newcommand{\Dept}[1]{% \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize \qquad Sciences Mathématiques.}% \parbox[t]{\TmpLen}{{\ \footnotesize\raggedright\hangindent1.5em#1\par}}% } % Macros for the Résumé analytique \newcommand{\ToCSection}[1]{% \subsection*{\normalfont\footnotesize\centering\scshape#1} } \newcommand{\ToCSubsection}[1]{% \subsubsection*{\normalfont\footnotesize\centering\itshape#1} } \newcommand{\ToCPg}[1]{\settowidth{\TmpLen}{999}\makebox[\TmpLen][r]{#1}} \newcommand{\ToCRow}[2]{% \noindent\makebox[\linewidth][c]{\hyperref[#2]{#1\dotfill\ToCPg{\pageref{#2}}}}% } % \Ditto{#1} sets ditto mark in a box of width #1, \newcommand{\Dittomark}{»} \newcommand{\Ditto}[1]{% \settowidth{\TmpLen}{#1}% \makebox[\TmpLen][c]{\Dittomark}% } % Cross-referencing \newcommand{\Tag}[2][]{% \phantomsection \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% \label{eqn:#2}% }{% \label{eqn:#1}% } \tag*{#2} } \newcommand{\Eqno}[2][]{% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% \hyperref[eqn:#2]{#2}% }{% \hyperref[eqn:#1]{#2}% }% } \newcommand{\Eqref}[2][équation]{\hyperref[eqn:#2]{#1~#2}} \newcommand{\Pagelabel}[1]{\phantomsection\label{#1}} \newcommand{\Pageref}[2][p.]{\hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}}} \newcommand{\Pagerefs}[3][p.]{% \ifthenelse{\equal{\pageref{#2}}{\pageref{#3}}}{% \hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}}% }{% \hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}} et~\pageref{#3}% }% } \newcommand{\ThmRef}[1]{% \hyperref[thm:#1]{théorème~#1}% } \newcommand{\LemRef}[1]{% \hyperref[lem:#1]{lemme~#1}% } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \pagestyle{empty} \pagenumbering{Alph} \phantomsection \pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire.}{Preliminaire} %%%% PG BOILERPLATE %%%% \phantomsection \pdfbookmark[0]{PG Boilerplate.}{Boilerplate} \begin{center} \begin{minipage}{\textwidth} \small \begin{PGtext} The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by François de Salvert This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at book.klll.cc Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques Author: François de Salvert Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083] Language: French Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** \end{PGtext} \end{minipage} \end{center} \clearpage %%%% Credits and transcriber's note %%%% \begin{center} \begin{minipage}{\textwidth} \begin{PGtext} Produced by Sébastien Blondeel, Joshua Hutchinson, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) \end{PGtext} \end{minipage} \end{center} \vfill \begin{minipage}{0.85\textwidth} \small \phantomsection \pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription.}{Transcription} \subsection*{\centering\normalfont\scshape% \normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% \raggedright \TransNoteText \end{minipage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \frontmatter \pagestyle{empty} \DPPageSep{001.png}{}% \iffalse Production Note Cornell University Library produced this volume to replace the irreparably deteriorated original. It was scanned using Xerox software and equipment at 600 dots per inch resolution and compressed prior to storage using CCITT Group 4 compression. The digital data were used to create Cornell's replacement volume on paper that meets the ANSI Standard Z39.48-1984. The production of this volume was supported in part by the Commission on Preservation and Access and the Xerox Corporation. 1990. \fi \DPPageSep{002.png}{}% \DPPageSep{003.png}{}% % Title page \begin{center} \noindent\makebox[\linewidth][c]{% \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\No d'ordre}% \rlap{\parbox[b]{\TmpLen}{\centering\footnotesize% \No d'ordre \\ \textbf{352} \\[-0.5\baselineskip] $\underbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}_{}$}} \hfill\MyHuge \textbf{THÈSES}\hfill} \setlength{\TmpLen}{6pt}% \footnotesize PRÉSENTÉES \\[2\TmpLen] \makebox[0pt][c]{\Large\bfseries À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS} \\[3\TmpLen] \scriptsize POUR OBTENIR \\[2\TmpLen] \small\bfseries LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES, \\[3\TmpLen] \normalsize\textbf{PAR M.~\textsc{François} DE SALVERT}, \\[2\TmpLen] \scriptsize ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. \\[2\TmpLen] \tb[2cm] \\[2\TmpLen] \small% \begin{tabular}{r@{\ }c@{\ }l} \textbf{\Ord{1}{re} THÈSE.} & --- & {\footnotesize \textsc{Étude sur le mouvement permanent des fluides. }}\\ \textbf{\Ord{2}{e\ } THÈSE.} & --- & {\footnotesize \textsc{Propositions données par la faculté.}}\\ \end{tabular} \\[3\TmpLen] \tb \\[2\TmpLen] \textbf{Soutenues le\qquad\qquad 1874, devant la Commission d'Examen}. \\[2\TmpLen] \tb \begin{align*}%[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces] \text{\footnotesize MM.\ } & \left.\text{\footnotesize PUISEUX,\quad \emph{Président}}\right. \\ & \left.\begin{aligned} &\text{\footnotesize BOUQUET,} \\ &\text{\footnotesize BONNET,} \end{aligned}\right\} \text{\emph{\footnotesize Examinateurs}} \end{align*} \tb \vfill \Large\textbf{PARIS,} \\[2\TmpLen] \large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE \\[2\TmpLen] \scriptsize DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES, \\[2\TmpLen] \footnotesize \textbf{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER},\\[2\TmpLen] Quai des Augustins, 55.\\ \tb[1cm]\\[2\TmpLen] \textbf{\Large 1874} \end{center} \DPPageSep{004.png}{}% \newpage \begin{center} \setlength{\TmpLen}{4pt}% \Large\textbf{ACADÉMIE DE PARIS} \\ \tb \\[2\TmpLen] \large\textbf{FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.} \\[\TmpLen] \tb[1cm] \vfill %[** TN: Force centering of wide box] \makebox[0pt][c]{% $ %[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces] \renewcommand{\arraystretch}{0.8}% Tighten vertical spacing \begin{aligned} \TitleRow{DOYEN} & \quad\begin{array}{l}\Name[MM.]{MILNE EDWARDS, Professeur}\end{array} \Dept{Zoologie, Anatomie, Physiologie comparée.} \\ % \TitleRow{PROFESSEURS HONORAIRES} & \left\{ \begin{array}{l}\NameBox{DUMAS.} \\\NameBox{BALARD.}\end{array} \right. \\[4pt] % \TitleRow{PROFESSEURS} & \left\{ \begin{array}{l} \Name{DELAFOSSE} \Dept{Minéralogie.} \\ \Name{CHASLES} \Dept{Géométrie supérieure.}\\ \Name{LE VERRIER}\Dept{Astronomie.} \\ \Name{P. DESAINS}\Dept{Physique.} \\ \Name{LIOUVILLE} \Dept{Mécanique rationnelle.} \\ \Name{PUISEUX} \Dept{Astronomie.} \\ \Name{HÉBERT} \Dept{Géologie.} \\ \Name{DUCHARTRE} \Dept{Botanique.} \\ \Name{JAMIN} \Dept{Physique.} \\ \Name{SERRET} \Dept{Calcul différentiel et intégral.} \\ \Name{H.~S\textsuperscript{te}-CLAIRE DEVILLE} \Dept{Chimie.} \\ \Name{PASTEUR} \Dept{Chimie.} \\ \Name{DE LACAZE-DUTHIERS} \Dept{Anatomie, Physiologie comparée, Zoologie.}\\ \Name{BERT} \Dept{Physiologie.} \\ \Name{HERMITE} \Dept{Algèbre supérieure.} \\ \Name{BRIOT} \Dept{Calcul des probabilités, Physique mathématique.}\\ \Name{BOUQUET} \Dept{Mécanique et physique expérimentale.} \end{array} \right. \\[4pt] % \TitleRow{AGRÉGÉS} & \left\{ \begin{array}{l} \left. \begin{aligned} & \Name{BERTRAND} \\ & \Name{J. VIEILLE} \end{aligned} \right\} \Dept{Sciences mathématiques.} \\ \Name{PELIGOT} \Dept{Sciences physiques.} \end{array} \right. \\ % \TitleRow{SECRÉTAIRE} %[** TN: Spacing hack] & \quad\begin{array}{l}\NameBox{PHILIPPON.}\end{array} \end{aligned} $} \vfill \noindent\hrule \medskip \footnotesize% \makebox[0pt][c]{\textsc{1067\quad Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de MALLET-BACHELIER,}} \\ \textsc{Quai des Augustins, 55.} \end{center} \DPPageSep{005.png}{}% \newpage % Dedication \setlength{\TmpLen}{12pt}% \begin{center} \null\vfill \small À MON VÉNÉRÉ PROFESSEUR \\[3\TmpLen] {\Huge \bfseries\scshape\hloose Le P.~JOUBERT,} \\[\TmpLen] \scriptsize DE L'ÉCOLE SAINTE-GENEVIÈVE, \end{center} \vspace*{6\TmpLen} \begin{flushright} \settowidth{\TmpLen}{\scriptsize D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.}% \parbox{\TmpLen}{\scriptsize\qquad HOMMAGE \\[4pt] D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.} \\[30pt] \small F.~DE SALVERT.\hspace*{2em} \end{flushright} \vfill \DPPageSep{006.png}{}% \DPPageSep{007.png}{}% \mainmatter \phantomsection\pdfbookmark[-1]{Matière Primaire.}{Main Matter} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \Chapter{Première Thèse.} {ÉTUDE \\[12pt] {\scriptsize SUR LE} \\[12pt] MOUVEMENT PERMANENT DES FLUIDES.} \Section{}{Introduction.}{} \marge[ExposeSujet]{Exposé du sujet} Nous n'envisageons dans ce travail que l'hypothèse particulière connue sous le nom de \emph{mouvement permanent des fluides}. Ce cas, en effet, en même temps qu'il est le plus fréquent dans la pratique et le plus intéressant au point de vue des applications, est aussi, par une coïncidence heureuse qui se présente dans un grand nombre de questions, beaucoup plus facile à étudier que le cas général, et cela par un double motif: d'abord, au point de vue analytique, la disparition des dérivées relatives au temps introduit une simplification notable dans les équations du mouvement, et la difficulté de leur intégration en est certainement diminuée, quoiqu'elle reste toujours fort grande; en second lieu, et c'est pour nous le point le plus important, la réduction des quatre variables indépendantes aux trois seules coordonnées $x$,~$y$,~$z$ permet de substituer aux procédés purement analytiques une étude géométrique fondée sur la considération \DPPageSep{008.png}% de surfaces représentatives, ainsi qu'on le fait dans une foule de questions de Mécanique ou de Physique mathématique, telles que la rotation des corps, l'équilibre des fluides, ou les problèmes de chaleur et d'électricité. En effet, supposons que l'on ait déterminé la fonction de $x$,~$y$ et~$z$, qui représente chacun des cinq éléments dont dépend la connaissance du mouvement, et soit, par exemple, \[ p = f(x,y,z) \] $p$~représentant la pression; on voit que, si l'on pose \[ f(x,y,z) = \const, \] on aura une famille de surfaces analogues aux \emph{surfaces de niveau}, auxquelles elles se réduisent dans le cas de l'équilibre, ou encore aux \emph{surfaces isothermes}, famille qui sera définie par cette propriété qu'en tous les points d'une même surface la pression aura la même valeur, et qu'on pourra appeler par conséquent \emph{surfaces d'égale pression}. On pourra considérer de même des surfaces d'égale densité, d'égale force vive, ou toute autre analogue définie par la constance d'un élément quelconque du mouvement, et l'on comprend que la considération directe de ces surfaces pourra, jusqu'à un certain point, remplacer les procédés analytiques pour arriver à la découverte des propriétés du mouvement. C'est à ce point de vue, à la fois géométrique et analytique, que nous allons nous placer dans ce travail, et nous baserons cette étude sur la considération des \emph{surfaces de nulle résistance}, que nous allons maintenant définir, et dont nous montrerons les propriétés remarquables. \Section{I.}{ --- Surfaces de Nulle Résistance} {Définitions; Propriétés Caractéristiques.} \marge[ResistanceMouvementFluide]{Résistance\\au mouvement\\d'un fluide.} Lorsqu'un fluide est en équilibre, et qu'on vient à introduire une paroi solide au sein de sa masse, la pression supportée par chaque élément de cette paroi est précisément égale a celle que supportait \DPPageSep{009.png}% la molécule fluide primitivement située au même point, et qu'on nomme \emph{pression hydrostatique} relative à ce point; mais, si le fluide est en mouvement, il n'en sera plus ainsi. Chaque élément de la paroi supportera, dans ce cas, non-seulement la pression hydrostatique~$p$, qui s'exerce sur ses deux faces (et qu'il supporterait seule, s'il participait au mouvement du fluide), mais encore un effort provenant du mouvement même du fluide, et dirigé suivant ce mouvement, lequel variera évidemment en chaque point avec la grandeur et la direction de la vitesse. Cet effort, qui tend à entraîner la paroi dans le mouvement du fluide, ou, ce qui est la même chose au sens près, la résistance qu'elle oppose au mouvement lorsqu'on la maintient fixe, ont tous deux pour expression, en grandeur absolue, $\rho\omega V^2 \cos\theta$,\Pagelabel{page:5} $\rho$~étant la densité, $V$~la vitesse, $\omega$~l'élément de paroi, et $\theta$~l'angle aigu que forme la normale à la paroi avec la vitesse du fluide\footnotemark. \footnotetext{Voir \bsc{Duhamel}, \textit{Cours de Mécanique}, 3\ieme~édition, liv.~IV, §~193 et suiv.} Il résulte immédiatement de cette expression, ce qui du reste est presque évident \textit{a~priori}, que si $\theta = 90°$, c'est-à-dire si le plan de la paroi contient la direction de la vitesse, la résistance dont nous parlons sera nulle, et, par conséquent, une surface dont tous les éléments satisferaient à cette condition n'opposerait aucune résistance au mouvement du fluide. Cette condition, en particulier, se trouve forcément remplie par les parois fixes du vase ou du réservoir qui contient un fluide en mouvement. \marge[SurfacesNulleResistance]{Surfaces\\de nulle résistance} D'après cela, nous appellerons \emph{surface de nulle résistance {\upshape«\;}une surface telle qu'en chacun de ses points la vitesse du fluide soit située dans le plan tangent{\upshape\;»}}. On conclura immédiatement de cette définition: \primo Que si l'on considère un point du fluide, une surface de nulle résistance passant par ce point, et la molécule qui y est actuellement, son mouvement tout entier s'effectuera sur cette surface, en sorte que les surfaces de nulle résistance contiennent les trajectoires de toutes les molécules fluides; \secundo Qu'aucune molécule fluide ne peut traverser cette surface, puisque, pour cela, il faudrait qu'au moment de son passage sa vitesse fit \DPPageSep{010.png}% un angle fini avec la surface, en sorte que toutes les molécules situées actuellement à l'intérieur de cette surface y resteront constamment, et de même les molécules actuellement extérieures le seront aussi indéfiniment. On peut donc dire qu'une surface de nulle résistance partage la masse fluide en deux portions telles, que le mouvement n'opère entre elles aucun échange d'éléments. \marge{Propriétés relatives:} Il résulte de là deux propriétés importantes que nous allons établir. \marge[ProprietesEllipsoideCentral]{(\textit{a}) à l'ellipsoïde\\central d'inertie} La considération du centre de gravité d'un système en mouvement est assez familière en Dynamique pour que nous n'ayons pas à la rappeler ici; mais nous pousserons plus loin l'analogie dans la même voie, et nous considérerons ce que nous appellerons \emph{plans principaux, moments}, et \emph{ellipsoïde d'inertie} d'un système à une époque donnée, c'est-à-dire les plans principaux, moments et ellipsoïde d'inertie qu'il y aurait lieu de considérer, si le système venait à être solidifié dans la figure qu'il offre à cette époque. D'après cela, de même que le centre de gravité du système, à une époque quelconque, sera déterminé par la condition que, en prenant ce point pour origine des coordonnées, les sommes \[ \opS mx, \quad \opS my, \quad \opS mz, \] étendues à toutes les molécules~$m$ du système, soient nulles à cette époque, de même les plans principaux d'inertie, relatifs au même point, seront déterminés par la condition jointe à la précédente que, en les prenant pour plans coordonnés, les sommes \[ \opS myz, \quad \opS mzx, \quad \opS mxy, \] soient également nulles à la même époque; enfin les sommes \[ \opS m(y^2+z^2), \quad \opS m(z^2+x^2), \quad \opS m(x^2+y^2), \] prises dans les mêmes conditions, seront pour nous les moments principaux d'inertie, relatifs au centre de gravité, pour la même époque. Si l'on applique maintenant ces considérations à une portion de la masse fluide délimitée actuellement par une surface choisie arbitrairement, \DPPageSep{011.png}% il est facile de voir qu'en général ces divers éléments varieront de grandeur ou de position avec le temps. En effet, supposons que l'on ait déterminé ces différents éléments pour la position actuelle de la masse considérée, et prenons le centre de gravité et les plans principaux d'inertie, relatifs à cette position, pour origine et plans fixes de coordonnées. Parmi les sommes ci-dessus, les six premières seront nulles par hypothèse; mais, si nous calculons leurs valeurs pour les époques successives, elles varieront forcément avec le temps; car, en raison de la continuité du fluide, ce sont en réalité des intégrales triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$ dont les limites varient à chaque instant avec la configuration extérieure de la masse considérée. Elles ne resteront donc pas constamment nulles, et, conséquemment, l'origine et les plans coordonnés ne seront pas constamment le centre de gravité et les plans principaux d'inertie du système considéré. La valeur des moments principaux d'inertie variera en même temps par la même raison, et, par conséquent, l'ellipsoïde central qu'il y aurait lieu de considérer variera à chaque instant de grandeur et de position. Il en serait tout autrement si nous considérions une portion de la masse fluide délimitée actuellement par des surfaces de nulle résistance; car, en vertu de la remarque faite plus haut, la configuration extérieure de cette masse restera invariablement la même, et, conséquemment, les limites d'intégration ne variant plus, les différentes sommes ci-dessus seront alors des constantes. L'origine et les plans coordonnés seront donc alors constamment le centre de gravité et les plans principaux d'inertie relatifs à ce point; et d'ailleurs les moments d'inertie relatifs au même point conserveront constamment la même grandeur. Nous pourrons, en conséquence, énoncer la propriété suivante: \begin{thm}{I} L'ellipsoïde central d'inertie, relatif à une portion du fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, reste invariable de forme et de position pendant le mouvement. \end{thm} Ces conclusions sont d'ailleurs presque évidentes dans ce cas, puisque, d'une part, en vertu de l'hypothèse de la permanence, les densités sont constantes en chaque point, et que, d'autre part, en vertu du choix de la surface limitative, on considère toujours les mêmes points \DPPageSep{012.png}% de l'espace. L'assimilation de la masse fluide à un solide invariable de position s'impose alors d'elle-même à l'esprit; le centre de gravité et l'ellipsoïde central du système sont, à un instant quelconque, le centre de gravité et l'ellipsoïde central de ce solide, et par conséquent, comme lui, invariables de position aussi bien que de grandeur. Nous allons maintenant montrer une seconde propriété des surfaces de nulle résistance qui est précisément relative à ce \emph{solide représentatif}. \marge[ProprietesSoliceRepresentatif]{(\textit{b}) au solide\\représentatif} Conformément à ce qui précède, nous appellerons \emph{solide représentatif} correspondant à une portion du fluide un solide continu qui, occupant la même étendue de l'espace, offrirait en chaque point la même densité que le fluide considéré, et nous énoncerons cette nouvelle propriété: \begin{thm}{II} Le solide représentatif correspondant à une portion de la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, serait en équilibre sous l'action des forces qui sollicitent cette masse. \end{thm} En effet, désignons par $m\scrX$,~$m\scrY$,~$m\scrZ$ les composantes de la force \emph{totale}~$m\scrF$, qui sollicite la molécule de masse~$m$, c'est-à-dire la résultante des actions tant intérieures qu'extérieures qui s'exercent sur cette molécule, en y comprenant les liaisons qui proviennent de la constitution même du fluide, en sorte que l'on puisse considérer chaque molécule comme entièrement libre; les équations de son mouvement seront \[ \Tag{(1)} \frac{d^2x}{dt^2} = \scrX, \quad \frac{d^2y}{dt^2} = \scrY, \quad \frac{d^2z}{dt^2} = \scrZ. \] Nous en conclurons, par une combinaison facile, \begin{align*} z \frac{d^2y}{dt^2} - y \frac{d^2z}{dt^2} &= \scrY z - \scrZ y, \\ x \frac{d^2z}{dt^2} - z \frac{d^2x}{dt^2} &= \scrZ x - \scrX z, \\ y \frac{d^2x}{dt^2} - x \frac{d^2y}{dt^2} &= \scrX y - \scrY x; \end{align*} puis, en multipliant par~$m$ et faisant la somme de ces différentes équations \DPPageSep{013.png}% pour toutes les molécules~$m$ de la masse considérée, nous obtiendrons celles-ci: \begin{gather*} \begin{aligned} \opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \opS m\scrX, \\ \opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \opS m\scrY, \\ \opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \opS m\scrZ; \end{aligned} \displaybreak[1] \\ \begin{aligned} \opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right) &= \opS m(\scrY z - \scrZ y),\\ \opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right) &= \opS m(\scrZ x - \scrX z),\\ \opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right) &= \opS m(\scrX y - \scrY x). \end{aligned} \end{gather*} Le fluide étant supposé continu, chacune de ces sommes est une intégrale triple, et, suivant une remarque déjà faite, les limites de l'intégration, c'est-à-dire la surface extérieure de la masse considérée, étant invariables avec le temps, ainsi que la masse de chaque molécule, on peut écrire \begin{gather*} \begin{aligned} \opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mx}{dt^2}, \\ \opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS my}{dt^2}, \\ \opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mz}{dt^2}; \end{aligned} \displaybreak[1] \\ \begin{aligned} \opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right) &= \frac{d}{dt} \opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\\ \opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right) &= \frac{d}{dt} \opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\\ \opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right) &= \frac{d}{dt} \opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right). \end{aligned} \end{gather*} Or, si l'on considère les sommes \begin{gather*} \opS mx,\quad \opS my,\quad \opS mz, \\ % \opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\quad \opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\quad \opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right) \end{gather*} \DPPageSep{014.png}% comme des intégrales triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$, elles seront évidemment indépendantes du temps, puisque d'une part le temps n'entre point explicitement sous le signe somme, et que d'autre part les limites de l'intégration n'en dépendent pas elles-mêmes. Les seconds membres des six équations que nous venons d'écrire sont donc nuls, et par conséquent aussi ceux des six autres qui les précèdent, d'où, en définitive, les six équations suivantes: \[ \Tag{(2)} \left\{ \begin{aligned} &\opS m\scrX = 0, & &\opS m\scrY = 0, & &\opS m\scrZ = 0, \\ &\opS m(\scrY z - \scrZ y) = 0 & &\opS m(\scrZ x - \scrX z) = 0 & &\opS m(\scrX y - \scrY x) = 0 \end{aligned} \right. \] On reconnaît immédiatement dans ces équations la forme très-connue des équations d'équilibre des solides. Ces équations, qui comprennent toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui sollicitent la masse fluide, expriment donc parfaitement l'équilibre du solide représentatif, supposé soumis à l'action de ces forces, ce qui justifie la proposition énoncée. Toutefois, il convient de remarquer, dès maintenant, que les forces \emph{intérieures}, c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules quelconques de la masse considérée, étant égales deux à deux, et de signes contraires, disparaîtront de ces équations, en sorte qu'il n'y entrera plus en réalité que les forces \emph{extérieures}, et les forces de liaison ou pressions, qui proviennent de la partie du fluide extérieure à celle que l'on aura considérée. Si, au lieu d'appliquer les six équations précédentes au solide représentatif, on les applique à la masse fluide elle-même, on arrive à une remarque intéressante déjà faite dans le Cours de Mécanique. On sait que les six équations dites d'\emph{équilibre des solides} sont nécessaires pour l'équilibre d'un système quelconque; mais elles ne sont suffisantes que dans le cas d'un système invariable\footnotemark. \footnotetext{Voir \bsc{Delaunay}, \textit{Traité de Mécanique rationnelle} (3\ieme~édition), §~183, p.~304, et §~185, p.~308.} Si l'on eût douté de cette dernière proposition, le résultat ci-dessus en aurait fourni une preuve péremptoire en montrant un système en mouvement, pour lequel elles sont néanmoins vérifiées. \DPPageSep{015.png}% \marge[ExamenCasGeneral]{Examen du cas\\général.} Afin de bien montrer que cette propriété est réellement caractéristique des surfaces de nulle résistance, nous allons l'établir d'une autre façon, en cherchant d'une manière générale quelles forces il faudrait appliquer à un solide représentatif quelconque, pour le maintenir en équilibre sous l'action de ces forces jointes à celles qui sollicitent le fluide. \marge[DemonstrationSynthetiqueI]{Démonstration synthétique.} Pour cela, appliquons d'abord aux molécules fluides contenues à l'intérieur d'une surface quelconque les deux théorèmes généraux de la Dynamique relatifs aux quantités de mouvement d'un système matériel. En effet, isolons par la pensée, au sein d'un fluide en mouvement, une portion de la masse circonscrite par une surface quelconque $ABCD\dots$; et soit $A'B'C'D'\dots$ la surface infiniment voisine qui renferme la même masse au bout du temps infiniment petit~$dt$. Les volumes compris sous ces deux surfaces se composeront d'une partie finie commune, et de calottes infiniment minces qui appartiendront exclusivement à l'une ou à l'autre. Parmi ces calottes, les unes renfermeront les molécules qui sont sorties de la première surface, les autres celles qui y sont entrées, de sorte que si, en chaque point de cette surface, on projette sur la normale \emph{intérieure} la vitesse du fluide relative à ce point, la projection ou \emph{vitesse normale}~$V_n$ sera positive pour tous les points de certaines calottes, et négative pour tous les points des autres, et par conséquent nulle pour tous les points des lignes de séparation, c'est-à-dire pour les intersections des deux surfaces. Cela posé, appliquons au déplacement infiniment petit que nous venons de définir le théorème des quantités de mouvements projetées sur un axe, lequel consiste en ce que l'accroissement de la somme des quantités de mouvement du système est égal à la somme des impulsions des forces extérieures appliquées au système pendant le temps considéré. Écrivons d'abord le second membre de cette équation, c'est-à-dire la somme de ces impulsions, qui se forme sans difficulté. Les forces extérieures sont ici: \primo Les forces extérieures données, qui s'exercent sur toute l'étendue de la masse considérée, et donneront par conséquent un terme tel, que \DPPageSep{016.png}% $\opS\varpi R_p\, dt$, $R_p$~étant la composante de ces forces dirigées suivant l'axe considéré, et rapportée à l'unité de masse, $\varpi$~désignant l'élément de masse, et $\opS$~une sommation s'étendant à tout le volume de la masse considérée. \secundo Les pressions provenant des molécules fluides extérieures à la masse que nous considérons. Ces forces, s'exerçant seulement sur la surface qui limite cette masse, donneront un terme tel, que $\tsum \omega p \cos\delta · dt$, où $\delta$~représente l'angle de la normale intérieure à cette surface avec l'axe considéré, $\omega$~l'élément de surface, et $\tsum$~une sommation s'étendant à toute la surface extérieure de la masse considérée. Le second membre de l'équation à former, ou la somme des impulsions, sera donc \[ \opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt. \] Passons maintenant au premier membre, ou à l'accroissement de la quantité de mouvement du système. Si l'on désigne par~$V_p$ la projection de la vitesse sur l'axe considéré, il faudra former la somme $\opS \varpi V_p$ relative aux deux positions successives de la masse fluide, et faire la différence des deux résultats. Or il est facile de voir que, en vertu de la permanence du mouvement, toute la portion commune aux deux surfaces n'interviendra pas dans ce résultat, car les molécules fluides reprenant par hypothèse la même vitesse et la même densité en passant au même point, les éléments correspondant à ces points seront les mêmes dans les deux sommes, et disparaîtront par conséquent du résultat. La différence cherchée se réduit donc à la différence entre la somme des quantités de mouvement des portions qui sont sorties de la surface, et la somme des quantités de mouvement des portions qui y sont entrées. Considérons les premières pour lesquelles, comme nous l'avons déjà remarqué, la vitesse normale~$V_n$ est négative. Si nous découpons la portion correspondante de la surface en éléments infiniment petits~$\omega$, on voit que le volume du fluide qui est sorti de la surface par un de ces éléments peut être considéré comme un cylindre droit de base~$\omega$, dont la hauteur serait $-V_n\,dt$, la masse $-\rho \omega V_n\, dt$, et par conséquent la quantité du mouvement projetée $-\rho \omega V_n\, dt\, V_p$. Or, comme la réunion de tous ces volumes élémentaires constitue évidemment la portion de la masse fluide qui est sortie de la surface, la quantité de mouvement correspondant à cette portion sera $-\tsum_1 \rho \omega V_n\, dt\, V_p$, en désignant par~$\tsum_1$ \DPPageSep{017.png}% une sommation s'étendant à toutes les portions de la surface par lesquelles il est sorti du fluide. Si nous calculons de même la quantité de mouvement correspondant à la portion de masse fluide qui est entrée dans la surface, il est évident que nous obtiendrons une expression tout analogue, sauf qu'ici $V_n$~étant positif, la longueur du cylindre sera $+V_n\, dt$, et par conséquent l'expression résultante sera $+\tsum_2 \rho\omega V_n\, dt\, V_p$, la sommation~$\tsum_2$ s'étendant cette fois aux portions de surface par lesquelles il est entré du fluide. Comme il faut faire maintenant la différence de ces deux expressions, nous trouverons en définitive que l'accroissement total de la quantité de mouvement du système sera \[ -\tsum_1 \omega\rho V_n\, dt\, V_p -\tsum_2 \omega\rho V_n\, dt\, V_p = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p, \] la sommation~$\tsum$ s'étendant désormais à toute la surface. En rapprochant les deux membres que nous avons ainsi évalués, l'équation que nous voulions établir sera \[ \opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p \] ou en faisant passer tous les termes dans le premier membre, et supprimant le facteur commun~$dt$, \[ \opS \varpi R_p + \tsum \omega p \cos\delta + \tsum \omega\rho V_n V_p = 0. \] Cela posé, si l'on désigne, conformément à l'usage, par $u$,~$v$,~$w$ les composantes de la vitesse suivant les axes coordonnés; par $X$,~$Y$,~$Z$ les composantes suivant ces axes de la force extérieure donnée, rapportées à l'unité de masse; enfin par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles que forme avec les mêmes axes la normale \emph{intérieure} à la surface considérée, et que l'on prenne successivement pour axe de projection les trois axes coordonnés, l'équation ci-dessus donnera lieu aux trois suivantes: \[ \Tag{(3)} \left\{ \begin{aligned} \opS \varpi X &+ \tsum \omega p \cos \alpha + \tsum \omega\rho u\, V_n = 0,\\ \opS \varpi Y &+ \tsum \omega p \cos \beta + \tsum \omega\rho v\, V_n = 0,\\ \opS \varpi Z &+ \tsum \omega p \cos \gamma + \tsum \omega\rho w V_n = 0. \end{aligned} \right. \] Ayant ainsi formé une première fois la quantité de mouvement et les impulsions des forces extérieures correspondant à chaque élément \DPPageSep{018.png}% de la masse considérée, si au lieu de les projeter sur les trois axes coordonnés nous en prenons les moments par rapport à ces axes, nous trouverons, à l'aide des mêmes raisonnements, et en appliquant l'autre théorème général de la Dynamique qui est relatif à cet objet, les trois autres équations suivantes: \[ \Tag{(4)} \left\{ \begin{aligned} \opS \varpi (Yz - Zy) &+ \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) + \tsum\omega\rho(vz\, - wy)V_n = 0,\\ \opS \varpi (Zx - Xz) &+ \tsum\omega p(x\cos\gamma - z\cos\alpha) + \tsum\omega\rho(wx -\, uz)V_n = 0,\\ \opS \varpi(Xy - Yx) &+ \tsum\omega p(y\cos\alpha - x\cos\beta) + \tsum\omega\rho(uy\, -\, vz)V_n = 0. \end{aligned} \right. \] Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)}, un peu longues à établir, sont intéressantes en ce qu'elles indiquent quelles forces il faudrait appliquer au solide représentatif correspondant à une surface quelconque, pour le maintenir en équilibre, conjointement avec les forces qui sollicitent la masse fluide. En effet, on reconnaît encore dans la forme de ces équations les conditions qui expriment l'équilibre des trois systèmes de force suivants: \primo Une force appliquée à chaque élément de la masse considérée, et dont les composantes seraient $\varpi X$,~$\varpi Y$,~$\varpi Z$, c'est-à-dire l'ensemble des forces extérieures données. \secundo Une force égale à~$p$ appliquée à chaque élément de la surface extérieure de la masse considérée, et suivant la normale intérieure à cette surface, c'est-à-dire l'ensemble des actions exercées par les parties extérieures du fluide sur la portion de masse considérée. Ces deux premiers systèmes réunis tiennent lieu dans les équations (3)~et~(4) de l'ensemble des forces qui sollicitent la masse considérée; car, en vertu d'une remarque déjà faite, les forces intérieures, c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules de cette masse ne donneraient aucun terme dans ces équations, comme étant deux à deux égales et de signes contraires, en sorte que l'ensemble des deux premiers termes de ces mêmes équations représente exactement le premier membre des \Eqref[équations]{(2)}\Pagelabel{EquationsDeux}. \tertio Enfin une force appliquée également à chaque élément de la surface, et dont les composantes seraient respectivement \[ \omega\rho u V_n,\quad \omega\rho v V_n,\quad \omega\rho w V_n. \] \DPPageSep{019.png}% Il est facile d'interpréter la signification de ce dernier système; car, si l'on désigne respectivement par $\lambda$,~$\mu$,~$\nu$ et~$\theta$ les angles de la vitesse avec les trois axes coordonnés et la normale intérieure de la surface, on aura \begin{gather*} \Tag{(5)} u = V \cos\lambda, \quad v = V \cos\mu, \quad w = V \cos\nu, \\ \DPtypo{V}{V_n} = V \cos \theta, \end{gather*} et, par conséquent, en substituant, \begin{align*} \omega \rho u V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\lambda, \\ \omega \rho v V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\mu, \\ \omega \rho w V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\nu. \end{align*} Or, si l'on se reporte à ce que nous avons dit \Pageref[page]{page:5}, sur la résistance d'un élément, de surface au mouvement du fluide, on voit que le facteur $\omega \rho V^2 \cos\theta$ représente en grandeur absolue la résistance de l'élément~$\omega$, et que, d'ailleurs, ce facteur sera positif ou négatif, suivant que l'angle~$\theta$ sera plus petit ou plus grand que $90$~degrés, ou, en d'autres termes, suivant que la vitesse sera dirigée vers l'intérieur de la surface ou vers l'extérieur. D'après cela, les trois composantes ci-dessus seront, dans tous les cas, celles d'une force égale à la résistance de l'élément, dirigée suivant la vitesse en ce point, et dans celui des deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface. Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)} pourront donc se traduire par le théorème suivant: \begin{thm}{III} Le solide représentatif correspondant à une portion quelconque de la masse fluide serait en équilibre sous l'action des forces qui sollicitent cette masse, si l'on appliquait sur chaque élément de la surface extérieure, suivant la direction de la vitesse en ce point, et dans celui des deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface, un effort égal à la résistance que cet élément supposé solidifié opposerait au mouvement du fluide. \end{thm} De cette proposition découle immédiatement comme corollaire la précédente, à savoir que \emph{pour les surfaces de nulle résistance le solide représentatif serait en équilibre sous l'action des forces qui sollicitent la masse fluide}. \DPPageSep{020.png}% Nous avons vu, en établissant le théorème qui précède, que, si l'on considère deux positions infiniment voisines d'une même masse fluide, la vitesse normale~$V_n$ sera nulle pour tous les points de leur intersection. Il en sera évidemment de même pour le lieu de ces intersections, d'où cette nouvelle propriété: \begin{thm}{IV} L'enveloppe des positions successives d'une même masse fluide est une surface de nulle résistance. \end{thm} Il est bien entendu d'ailleurs que la surface dont nous parlons n'appartient pas forcément à un type géométrique unique et déterminé, mais qu'elle pourra se composer de parties appartenant à des types ou des individualités distinctes, dont chacune vérifiera séparément la condition $V_n = 0$, et rentrera par conséquent dans la catégorie des surfaces de nulle résistance. \marge[DemonstrationAnalytiqueI]{Démonstration analytique.} Les théorèmes relatifs au solide représentatif, que nous venons de démontrer de deux manières différentes, ont été établis en invoquant seulement les principes généraux de la dynamique. Comme ils présentent une certaine importance, il ne sera pas indifférent de montrer comment on peut aussi les déduire analytiquement des équations du mouvement. Pour cela, rappelons d'abord que les quatre équations communes à tous les fluides sont les suivantes: \begin{gather*} \Tag{(6)} \left\{ \begin{aligned} \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} &= X - u\frac{du}{dx} - v\frac{du}{dy} - w\frac{du}{dz}, \\ \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} &= Y - u\frac{dv}{dx} - v\frac{dv}{dy} - w\frac{dv}{dz}, \\ \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} &= Z - u\frac{dw}{dx} - v\frac{dw}{dy} - w\frac{dw}{dz}; \end{aligned} \right. \\ \Tag{(7)} \frac{d · \rho u}{dx} + \frac{d · \rho v}{dy} + \frac{d · \rho w}{dz} = 0, \end{gather*} dont les trois premières résultent immédiatement du théorème de d'Alembert, et la quatrième exprime la continuité de la masse fluide. Pour compléter les données du problème, il faudrait y ajouter une cinquième équation définissant la nature du fluide; mais cette équation \DPPageSep{021.png}% n'intéresse pas l'objet que nous avons en vue, et qui doit s'appliquer à tous les fluides indistinctement. Cela posé, multiplions la première des \Eqref[équations]{(6)} par~$\rho$, \Eqref[l'équation]{(7)} par~$u$, et ajoutons en faisant passer tous les termes dans le second membre, nous obtiendrons ainsi \[ \rho X - \frac{dp}{dx} - \frac{d · \rho u^2}{dx} - \frac{d · \rho u v}{dy} - \frac{d · \rho u w}{dz} = 0; \] puis, ayant multiplié tous les termes de cette dernière équation par $dx\,dy\,dz$, intégrons-les dans l'intérieur d'une surface fermée quelconque, le résultat pourra s'indiquer de la façon suivante: \begin{multline*} \iiint \rho X\, dx\, dy\, dz - \iiint \frac{dp}{dx}\, dx\, dy\, dz - \iiint \frac{d · \rho u^2}{dx}\, dx\, dy\, dz \\ - \iiint \frac{d · \rho uv}{dy}\, dx\, dy\, dz - \iiint \frac{d · \rho uw}{dz}\, dx\, dy\, dz = 0. \end{multline*} La première de ces intégrales est ce que nous avons déjà désigné sous une notation plus simple par $\opS \varpi X$, c'est-à-dire la somme des projections sur l'axe des~$x$ de toutes les forces extérieures appliquées au système considéré. Dans chacune des autres intégrales triples, nous pourrons effectuer une intégration et écrire, par conséquent, l'équation précédente sous la forme suivante: \begin{multline*} \opS \varpi X - \iint (p)_{1}^{2}\, dy\, dz \\ - \iint (\rho u^2)_{1}^{2}\, dy\, dz - \iint (\rho u v)_{1}^{2}\, dz\, dx - \iint (\rho u w)_{1}^{2}\, dx\, dy = 0; \end{multline*} en indiquant, suivant une notation connue, par un crochet affecté de deux indices la différence des substitutions correspondant aux deux limites de l'intégration. Or, si nous appelons encore $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles de la normale intérieure avec les axes et $\omega$~un élément de surface, on pourra prendre dans ces équations \[ dy\,dz = \omega \cos\alpha,\quad dz\,dx = \omega \cos\beta, \quad dz\,dx = \omega \cos\gamma, \] \DPPageSep{022.png}% ou bien \[ dy\,dz = -\omega \cos\alpha,\quad dz\,dx = -\omega \cos\beta, \quad dx\,dy = -\omega \cos\gamma, \] suivant qu'on entrera dans la surface ou qu'on en sortira, en s'avançant à partir de l'élément~$\omega$ dans les directions respectives des~$x$, des~$y$ et des~$z$, ou, en d'autres termes, suivant que l'élément~$\omega$ appartiendra à la portion de la surface à laquelle se rapporte l'indice~$1$, ou à celle à laquelle se rapporte l'indice~$2$. Il suit de là que, si l'on désigne par~$\tsum$ un signe de sommation s'étendant à tous les éléments de la surface, l'équation précédente pourra s'écrire \[ \opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha + \tsum \omega\rho u^2\cos\alpha + \tsum \omega\rho uv \cos\beta + \tsum \omega\rho uw \cos\gamma =0, \] ou, en réunissant les termes semblables, \[ \opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha + \tsum \omega\rho u (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0; \] mais, comme nous avons appelé~$V_n$ la projection de la vitesse sur la normale intérieure, nous avons, par définition, \[ V_n = u \cos\alpha + v \cos\beta + w \cos\gamma, \] et, par conséquent, en reportant dans l'équation précédente, celle-ci prendra la forme \[ \opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha + \tsum \omega \rho u V_n = 0, \] ce qui est précisément la première des \Eqref[équations]{(3)}. On obtiendrait les deux autres par un calcul tout semblable. De même, pour obtenir la première des \Eqref[équations]{(4)}, multiplions la deuxième des \Eqref[équations]{(6)} par~$z$, la troisième par~$y$, et retranchons l'une de l'autre après avoir ajouté de part et d'autre le terme~$vw$, le résultat pourra se mettre sous la forme \[ \frac{1}{\rho} \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right) = Yz - Zy \\ - u\frac{d(vz - wy)}{dx} - v\frac{d(vz - wy)}{dy} - w\frac{d(vz - wy)}{dz}. \] Puis, multipliant cette dernière équation par~$\rho$, et l'ajoutant à \Eqref[l'équation]{(7)} \DPPageSep{023.png}% multipliée par le facteur $(vz - wy)$, on formera la suivante: \begin{multline*} \rho(Yz - Zy) - \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right) \\ - \frac{d · \rho u(vz - wy)}{dx} - \frac{d · \rho v(vz - wy)}{dy} - \frac{d · \rho w(vz - wy)}{dz} = 0, \end{multline*} qui, par l'intégration dans les mêmes conditions que précédemment, conduira à celle-ci: \begin{multline*} \opS \varpi (Yz - Zy) + \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) \\ + \tsum\omega \rho(vz - wy) (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0, \end{multline*} ou, sous une forme plus abrégée, \[ \opS \varpi (Yz - Zy) + \tsum \omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) + \tsum \omega \rho(vz - wy) V_n = 0, \] ce qui est la première des \Eqref[équations]{(4)}, et les deux autres s'obtiendraient évidemment d'une façon analogue. Nous retrouvons ainsi directement par le calcul les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)} qui constituent le \ThmRef{III}\@. Si maintenant nous y introduisons la supposition $V_n = 0$, ce qui revient à considérer une portion de la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, ces équations se réduiront par la disparition des derniers termes aux suivantes: \begin{gather*} \begin{aligned} \opS \varpi X + \tsum \omega p \cos\alpha &= 0, \\ \opS \varpi Y + \tsum \omega p \cos\beta &= 0, \\ \opS \varpi Z + \tsum \omega p \cos\gamma &= 0, \end{aligned} \displaybreak[1] \\ \begin{aligned} \opS \varpi (Yz - Zy) + \tsum\omega p (z\cos\beta - y\cos\gamma) &= 0, \\ \opS \varpi (Z x-X z) + \tsum\omega p (x\cos\gamma - z\cos\alpha) &= 0, \\ \opS \varpi (X y-Y x) + \tsum\omega p (y\cos\alpha - x\cos\beta) &= 0, \end{aligned} \end{gather*} lesquelles coïncident exactement avec le \Eqref[système]{(2)}, ainsi que nous avons eu déjà occasion de le remarquer (\Pageref{EquationsDeux}). On retrouve donc en même temps, par le calcul, la propriété caractéristique des surfaces de nulle résistance exprimée par le \ThmRef{II}, et c'est ainsi qu'au début de nos recherches nous avions établi cette \DPPageSep{023.png}% propriété dans une Note insérée aux \textit{Comptes rendus de l'Académie des Sciences} (t.~XL, séance du 29~mai 1865). Voyons maintenant comment on déterminera les surfaces de nulle résistance. \Section{II.}{ --- Recherche Analytique des Surfaces de Nulle Résistance.} {Équation aux Différences Partielles. --- Solutions Complètes. --- Équation Générale en Termes Finis.} \marge[EquationDifferencesPartielles]{Équation\\aux différences\\partielles.} La définition que nous avons donnée des surfaces de nulle résistance est susceptible d'une traduction analytique fort simple. En effet, en désignant, suivant l'usage, par $p$~et~$q$ les dérivées partielles $\dfrac{dz}{dx}$ et $\dfrac{dz}{dy}$ il faudra exprimer que, pour une pareille surface, la normale dont les cosinus sont proportionnels à $\mathrm{p}$,~$\mathrm{q}$ et~$-1$ est perpendiculaire à la droite dont les cosinus sont proportionnels à $u$,~$v$,~$w$, ce qui donne immédiatement l'équation \[ \Tag{(8)} u\mathrm{p} + v\mathrm{q} = w, \] équation aux différences partielles du premier ordre qui s'intégrera par les procédés habituels. Pour obtenir l'équation en $x$,~$y$,~$z$, il faudra donc préalablement connaître les expressions de $u$,~$v$,~$w$ à l'aide de ces mêmes variables, et, comme l'intégration des équations du mouvement est en général impossible, il semble tout d'abord qu'il n'y ait pas lieu de rechercher une équation générale qui convienne à ces surfaces. On aurait tort de s'arrêter là néanmoins, car il est possible que les équations de ces surfaces puissent s'exprimer à l'aide des éléments $u$,~$v$,~$w$, $p$,~$\rho$, ou tout autre défini à l'avance, sans qu'il soit nécessaire de connaître leur détermination en $x$,~$y$ et~$z$; et il y aurait dès lors intérêt, au point de vue géométrique, à connaître cette expression, bien qu'elle ne se prêtât à aucune application numérique. C'est pourquoi, au lieu de rechercher la solution générale de l'équation ci-dessus, laquelle doit renfermer une fonction arbitraire, nous envisagerons d'abord les \DPPageSep{025.png}% solutions particulières, connues sous le nom de \emph{solutions complètes}, c'est-à-dire celles qui renferment seulement une constante arbitraire, et qui, par conséquent, peuvent être mises sous la forme \[ \Phi(x,y,z) = \const, \] où $\Phi$~est une fonction parfaitement déterminée, mais actuellement inconnue, que nous allons nous proposer de rechercher. Pour cela, nous déduirons de cette dernière équation les valeurs de~$p$ et de~$q$, et nous les reporterons dans \Eqref[l'équation]{(8)}, ce qui nous donnera la suivante: \[ \Tag{(9)} u\frac{d\Phi}{dx} + v\frac{d\Phi}{dy} + w\frac{d\Phi}{dz} = 0, \] ainsi que nous aurions pu d'ailleurs l'écrire immédiatement. \marge[InterpretationMecanique]{Interprétation\\mécanique\\de cette équation.} Or cette seconde forme, outre sa symétrie, a un avantage considérable: elle exprime immédiatement une propriété importante du mouvement, à savoir que l'élément caractérisé par la fonction $\Phi(x,y,z)$ conserve invariablement la même grandeur pour une même molécule. En effet, le temps n'entrant pas explicitement dans la fonction~$\Phi$, sa dérivée totale, prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de~$t$, sera \[ \left(\frac{d\Phi}{dt}\right) = \frac{d\Phi}{dx}\, \frac{dx}{dt} + \frac{d\Phi}{dy}\, \frac{dy}{dt} + \frac{d\Phi}{dz}\, \frac{dz}{dt}\quad\footnotemark, \] \Pagelabel{TermeParentheses}% \footnotetext{Nous écrivons ce terme entre parenthèses pour marquer une dérivée totale prise par rapport au temps, lequel n'entre explicitement dans aucune des expressions considérées.}% ce qui n'est autre chose que le premier membre de \Eqref[l'équation]{(9)}, en raison des définitions admises \[ \Tag{(10)} u = \frac{dx}{dt},\quad v = \frac{dy}{dt},\quad w = \frac{dz}{dt}, \] et, par conséquent, la fonction~$\Phi$ considérée pour une même molécule ne varie pas avec le temps. La question est donc réduite à rechercher quels sont les éléments \DPPageSep{026.png}% caractéristiques d'une molécule qui restent invariables dans son mouvement. \marge[PremiereSolution]{Première solution complète.} Il en est un tout d'abord qui se présente tout naturellement à l'esprit: c'est sa masse; et il résulte immédiatement de ce qui précède qu'en égalant son expression à une constante nous obtiendrons une première famille de surfaces de nulle résistance. \marge[CasLiquides]{Cas des liquides.} En effet, si le fluide est incompressible, la molécule qui occupe actuellement le volume~$\vol$ conservera indéfiniment ce même volume; il s'ensuit qu'en un point quelconque de sa trajectoire sa masse aura pour expression~$\vol\rho$, laquelle expression devra, en vertu de la remarque faite plus haut, vérifier \Eqref[l'équation différentielle]{(9)}, et l'on doit avoir par conséquent, en supprimant le facteur constant~$\vol$, l'équation \[ \Tag{(11)} u\frac{d\rho}{dx} + v\frac{d\rho}{dy} + w\frac{d\rho}{dz} = 0, \] qui est bien effectivement une des équations du problème dans le cas des liquides hétérogènes. Il suit de là que l'équation \[ \Tag{(12)} \rho = \const \] est alors une des solutions cherchées, et que, par conséquent, les \emph{surfaces d'égale densité} constituent dans ce cas une première famille de surfaces de nulle résistance. \marge[CasFluides]{Cas des fluides compressibles.} Si, au contraire, le fluide est compressible, la molécule qui occupe actuellement le volume infiniment petit~$\vol$ occupera, au bout d'un certain temps, le volume $\vol' = \vol(1 + \Delta)$, la quantité~$\Delta$, qui peut être positive ou négative, mesurant la dilatation relative au déplacement considéré. Or, comme il y a intérêt à pouvoir comparer les dilatations correspondant à divers déplacements de la même molécule, ou même des différentes molécules entre elles, il convient de compter ces déplacements et les dilatations auxquelles ils donnent lieu, à partir d'une position définie pour chaque molécule, par exemple à partir de son passage sur une même surface, arbitrairement choisie, qui rencontre \DPPageSep{027.png}% toutes les trajectoires fluides, et que nous pourrons appeler, à cause de cela, \emph{surface origine des dilatations}. \marge[DefinitionDilatation]{Définition de la dilatation.} Nous définirons donc la quantité $\Delta$ par cette condition que, $\vol_0$~étant le volume de la molécule lors de son passage sur cette surface, son volume en un point quelconque de sa trajectoire soit exprimé par la quantité \[ \Tag{(13)} \vol = \vol_0 (1 + \Delta), \] qu'il s'agisse de positions antérieures ou postérieures à son passage sur cette surface. La quantité~$\Delta$, que nous appellerons \emph{dilatation}, aura alors une valeur parfaitement déterminée en chaque point, et nous montrerons tout à l'heure comment on obtiendra son expression en $x$,~$y$ et~$z$; mais on comprend dès maintenant que la connaissance de cette fonction permettra d'apprécier les dilatations correspondant à un déplacement quelconque; car, si nous considérons successivement deux positions de la même molécule, où les volumes soient respectivement $\vol$~et~$\vol'$, et les dilatations $\Delta$~et~$\Delta'$, des deux équations \[ \vol = \vol_0 (1 + \Delta) \quad\text{et}\quad \vol' = \vol_0 (1 + \Delta'), \] on tirera sans difficulté \[ \vol' - \vol = \vol_0 (\Delta' - \Delta), \] et par conséquent\Pagelabel{page:23} \[ \frac{\vol' - \vol}{\vol} = \frac{\Delta' - \Delta}{1 + \Delta}, \] rapport qui exprime la dilatation correspondant au déplacement considéré. Il convient en même temps de préciser le sens que nous devons attacher au mot \emph{molécule}, que nous avons employé jusqu'ici pour désigner une portion quelconque infiniment petite de la masse fluide; car, du moment que nous nous proposons de trouver une expression de la masse moléculaire en chaque point, il importe de définir comment nous comprenons la division de la masse fluide en portions infiniment petites, auxquelles nous attribuons le nom de \emph{molécules}. C'est ce que nous ferons, en entendant désormais par ce mot «\;\emph{toute portion de la \DPPageSep{028.png}% masse fluide qui occupait un même volume infiniment petit~$\vol_0$, lors de son passage sur la surface prise pour origine des dilatations}.\;» Il est évident, d'ailleurs, que cette définition correspondrait, pour le cas des liquides, à la division de la masse en volumes infiniment petits, tous égaux à~$\vol_0$. \marge[ExpressionMasseMoleculaire]{Expression\\de la\\masse moléculaire.} À l'aide de ces deux conventions, le volume de la molécule étant exprimé en un point quelconque par la quantité $\vol_0(1 + \Delta)$, sa masse\Pagelabel{MasseMoleculaire} le sera de même par la quantité $\rho \vol_0(1 + \Delta)$, $\rho$~et~$\Delta$ étant les valeurs de la densité et de la dilatation relatives à ce point. Cette quantité devant demeurer constante dans le mouvement de la molécule, il s'ensuit qu'on devra avoir, comme nous l'avons déjà expliqué, \[ u\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dx} + v\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dy} + w\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dz} = 0, \] ou, en supprimant le facteur commun~$\vol_0$, \[ \Tag{(14)} u\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dx} + v\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dy} + w\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dz} = 0. \] Cette équation donne lieu aux observations suivantes: En premier lieu, la dilatation~$\Delta$, dont la connaissance permet seule d'apprécier les variations de volume éprouvées par les différentes parties de la masse fluide, doit être considérée comme une nouvelle fonction inconnue de $x$,~$y$ et~$z$, analogue aux fonctions $u$,~$v$,~$w$, $p$~et~$\rho$, qui figurent dans les équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)}, et l'équation précédente, analogue à \Eqref[l'équation]{(11)} dans le cas des liquides, est précisément celle qui permettra d'arriver à sa détermination\footnotemark; \setlength{\TmpLen}{\parindent}%[** TN: Save manually for use in \footnotetext] \footnotetext{\setlength{\parindent}{\TmpLen}Si l'on développe \Eqref[l'équation]{(14)} de la façon suivante: \[ \frac{1}{1 + \Delta} \left[ u\frac{d(1 + \Delta)}{dx} + v\frac{d(1 + \Delta)}{dy} + w\frac{d(1 + \Delta)}{dz} \right] = -\frac{1}{\rho} \left(u\frac{d\rho}{dx} + v\frac{d\rho}{dy} + w\frac{d\rho}{dz} \right), \] et qu'on la rapproche de \Eqref[l'équation]{(7)} préparée de la même manière, c'est-à-dire mise sous la forme \[ \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz} = -\frac{1}{\rho} \left(u\frac{d\rho}{dx} + v\frac{d\rho}{dy} + w\frac{d\rho}{dz} \right), \] % [** TN: Next line indented in original] obtiendra immédiatement par comparaison la suivante: \[ \Tag[(14bis)]{(14 \textit{bis})} u\frac{d · l(1 + \Delta)}{dx} + v\frac{d · l(1 + \Delta)}{dy} + w\frac{d · l(1 + \Delta)}{dz} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz}, \] qui ne diffère de celle donnée par Cauchy (réduite au cas du mouvement permanent) que par le changement de~$\Delta$ en~$l(1 + \Delta)$, et se confond par conséquent avec elle, si l'on suppose~$\Delta$ très-petit (voir \textit{Exercices de Mathématiques}, t.~III, p.~130). Cette hypothèse est effectivement contenue dans les raisonnements que présente l'illustre géomètre pour établir cette équation, bien qu'il ne l'énonce pas explicitement. Pour le montrer, adoptons, pour un instant, ses notations, c'est-à-dire désignons, non plus par~$\Delta$, mais par~$\upsilon$ la \emph{dilatation} que nous nous proposons de déterminer, et par~$\Delta$ une simple caractéristique de différentiation. La fonction~$\upsilon$, pour avoir un sens, devra nécessairement exprimer une grandeur comptée pour chaque molécule à partir d'une position fixe et déterminée $(x_0, y_0, z_0)$; il en résulte que la dilatation correspondant à un déplacement fini, compté à partir d'un point quelconque $(x, y, z)$ jusqu'à un point $(x', y', z')$, sera exprimée par le rapport $\dfrac{\upsilon' - \upsilon}{1 + \upsilon}$, ainsi que nous l'avons établi, \Pageref[page]{page:23}; d'où il suit que la \emph{dilatation instantanée}, c'est-à-dire celle correspondant à un déplacement infiniment petit quelconque aura pour expression \[ \Tag[(14ter)]{(14 \textit{ter})} \theta\, \Delta t = \frac{\Delta \upsilon}{1 + \upsilon}, \] et l'on ne pourrait prendre $\theta\, \Delta t = \Delta\upsilon$, comme le fait Cauchy, que pour le premier instant, à partir de la position prise pour origine, ou à la condition de supposer $\upsilon$ constamment très-petit. Si l'on n'admet pas cette hypothèse, les raisonnements formulés par Cauchy conduisent alors avec la valeur~\Eqno[(14ter)]{(14~\textit{ter})} à l'équation ci-dessus~\Eqno[(14bis)]{(14~\textit{bis})}, qui concorde parfaitement, comme nous venons de le voir, avec \Eqref[l'équation]{(14)}, à laquelle nous avons été conduit par une autre méthode.} car, si l'on suppose connue l'expression de $u$,~$v$,~$w$ et~$\rho$, à l'aide des équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)}, $\Delta$~sera déterminé par la condition de vérifier \Eqref[l'équation]{(14)}, et, en \DPPageSep{029.png}% outre, de se réduire à zéro tout le long de la surface prise pour origine des dilatations. On peut dire de la sorte que le problème du mouvement d'un fluide comporte dans tous les cas la détermination de cinq inconnues, à l'aide des cinq équations \Eqno{(6)},~\Eqno{(7)} et~\Eqno{(14)}, puisque, dans le cas des liquides, la dilatation disparaissant, les équations \Eqno{(11)}~et~\Eqno{(14)} se confondent, et que, dans le cas des fluides compressibles, la pression et la densité étant fonction l'une de l'autre ne forment plus à proprement parler qu'une seule inconnue. \marge[SurfacesEgaleMasse]{Surfaces\\d'égale masse.} En second lieu, \Eqref[l'équation]{(14)} exprime que l'équation \[ \Tag{(15)} \rho(1 + \Delta) = \const \] satisfait à \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est-à-dire à l'équation différentielle des surfaces \DPPageSep{030.png}% de nulle résistance. Or, si l'on suppose dans cette équation $\rho$~et~$\Delta$ exprimés en $x$,~$y$,~$z$, on aura une famille de surfaces telles, que la masse moléculaire, dont nous avons donné tout à l'heure l'expression (\Pageref{MasseMoleculaire}), aura la même grandeur en tous les points d'une même surface, et qu'on pourra conséquemment appeler \emph{surfaces d'égale masse moléculaire}, ou simplement \emph{surfaces d'égale masse}. D'ailleurs, \Eqref[l'équation]{(15)} se réduisant à \Eqref[l'équation]{(12)} par la supposition $\Delta = 0$, la solution relative au cas des liquides se trouve comprise dans celle-ci, en sorte que l'on peut dire, dans tous les cas, que les \emph{surfaces d'égale masse}, représentées par \Eqref[l'équation]{(15)}, constituent une première famille de surfaces de nulle résistance. \marge{Définitions:} Avant d'en montrer une seconde, nous allons compléter les définitions qui précèdent par deux autres qui s'y rattachent immédiatement. \marge[DefinitionVolumePrimitif]{(\textit{a}) du volume\\primitif,} D'abord il résulte de \Eqref[l'équation]{(13)} que la molécule qui occupe actuellement le volume~$\vol$ occupait, lors de son passage sur la surface origine des dilatations, le volume \[ \vol_0 = \frac{\vol}{1 + \Delta}, \] qu'on peut appeler en raison de cela son volume primitif. Étendant cette même locution à une portion finie quelconque de la masse fluide, nous appellerons \emph{volume primitif}\Pagelabel{VolumePrimitif} de cette masse la somme des volumes primitifs de tous les éléments qui la composent, ou, en d'autres termes, l'intégrale $\ds\iiint\frac{dx\,dy\,dz}{1 + \Delta}$ étendue à tout le volume actuel de la masse considérée; on voit que ce volume est précisément celui qu'occuperait cette masse, si chacun des éléments qui la composent avait conservé le volume qu'il occupait lors de son passage sur la surface origine des dilatations. \marge[DefinitionDilatationTotale]{(\textit{b}) de la dilatation\\totale.} En second lieu, l'accroissement de volume subi par la molécule, depuis son passage sur la surface origine des dilatations jusqu'à sa position actuelle, est mesuré par la différence \[ \vol - \vol_0 = \vol - \frac{\vol}{1 + \Delta} = \vol \left(1 - \frac{1}{1 + \Delta}\right) = \vol \frac{\Delta}{1 + \Delta}. \] \DPPageSep{031.png}% La somme des accroissements analogues correspondant à tous les éléments d'une portion finie de la masse sera ce que nous appellerons la \emph{dilatation totale}\Pagelabel{DilatationTotale} de cette masse. On voit qu'elle aura pour expression l'intégrale $\ds\iiint \frac{\Delta}{1 + \Delta}\, dx\, dy\, dz$ étendue à tout le volume de la masse considérée, et qu'elle exprime la différence entre son volume actuel et ce que nous avons appelé son \emph{volume primitif}. Ces définitions posées, poursuivons maintenant la recherche des surfaces de nulle résistance. \marge[DeuxiemeSolution]{Deuxième solution complète.} Il existe un autre élément caractéristique de la molécule, qui reste invariable pendant le mouvement, et qui, par conséquent, devra fournir une nouvelle solution de \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est l'\emph{énergie}; car cette expression, empruntée à la théorie mécanique de la chaleur, est définie précisément par cet énoncé du théorème des forces vives que, \emph{dans le mouvement d'un point matériel, son énergie reste constante}. Nous n'aurons donc qu'à former l'équation des forces vives pour la molécule fluide, et, en égalant à un paramètre arbitraire l'ensemble des termes variables (ou énergie moléculaire), nous aurons une nouvelle famille de surfaces de nulle résistance. Or, si l'on conserve les notations déjà employées, celle équation est la suivante: \[ \frac{1}{2}\, m (V^2 - V_0^2) = \int_0^t m (\scrX\, dx + \scrY\, dy + \scrZ\, dz), \] en affectant de l'indice o les termes relatifs à la position initiale. La force totale qui sollicite la molécule, et dont les composantes figurent dans cette équation, se compose, comme l'on sait, de deux éléments: les forces extérieures qui s'exercent sur toute sa masse, et dont nous avons déjà représenté les composantes par $mX$,~$mY$,~$mZ$, et les forces intérieures ou pressions qui s'exercent sur la surface de la molécule seulement. Le procédé par lequel on évalue ces dernières forces est fort connu; nous ne le rappellerons donc pas ici, et nous poserons immédiatement \[ m\scrX = m\left(X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right),\quad m\scrY = m\left(Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right),\quad m\scrZ = m\left(Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right); \] \DPPageSep{032.png}% car c'est précisément en égalant ces composantes à zéro que l'on obtient les équations d'équilibre des fluides. Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation qui précède, on pourra faire sortir du signe~$\ds\int$ le facteur~$m$, qui est, par hypothèse, constant par rapport au temps, ce qui donnera l'équation \[ \frac{1}{2}\, m\left(V^2 - V_0^2 \right) = m\int_0^t \left[ \left( X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx + \left( Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy + \left( Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz \right], \] ou, sous une forme plus concise, \[ \Tag{(16)} \frac{1}{2}\, m(V^2 - V_0^2) = m(q - q_0), \] en posant, pour simplifier l'écriture, \[ q = \int \left[ \left(X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx + \left(Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy + \left(Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz \right], \] ou, ce qui revient au même, \[ q = \int (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) - \int \frac{1}{\rho} \left(\frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz \right). \] Or, si l'on considère les différentielles totales correspondant à un accroissement du temps~$dt$, et que l'on suppose, suivant l'usage, que les composantes des forces extérieures soient les dérivées partielles d'une même fonction $F(x, y, z)$, on aura \[ \Tag{(17)} \left\{ \begin{aligned} \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz &= dp, \\ X\, dx + Y\, dy + Z\, dz &= dF, \end{aligned} \right. \] de sorte que la fonction~$q$, à laquelle nous donnerons tout à l'heure un nom, pourra s'écrire simplement \[ \Tag{(18)} q = F(x, y, z) - \int \frac{dp}{\rho}, \] et il n'y aura qu'à substituer cette expression dans \Eqref[l'équation]{(16)} pour avoir l'équation des forces vives. \DPPageSep{033.png}% Il est à remarquer que l'intégrale qui figure dans cette dernière expression peut toujours s'exprimer en termes finis; car, d'une part, si le fluide est incompressible, le facteur~$\rho$ étant alors constant par rapport au temps pourra sortir du signe~$\ds\int$, en sorte que l'intégrale se réduira simplement à~$\dfrac{p}{\rho}$; et si, d'autre part, le fluide est compressible, la densité étant alors liée à la pression par une équation de la forme $\rho = f(p)$, l'intégrale $\ds\int \frac{dp}{\rho}$ a alors un sens parfaitement déterminé\Pagelabel{SensIntegrale}, qu'on peut supposer exprimé par une fonction finie~$\scrF(p)$. On voit d'ailleurs que, pour l'intelligence de la formule~(18), on peut faire abstraction de la considération du temps qui a servi à l'établir, et supposer dès lors que les signes $\ds\int$~et~$d$ qui y figurent se rapportent simplement à la variable~$p$, considérée pour un instant comme variable indépendante; car on obtient de cette façon pour la valeur de~$q$ les mêmes expressions que nous venons d'établir. L'expression~(18) de~$q$ prend alors une signification intrinsèque parfaitement précise, qui est celle que nous lui attribuerons désormais. \marge{Définitions:} Cela posé, arrêtons-nous quelques instants sur cette \Eqref[équation]{(16)}, pour établir encore quelques définitions qui nous seront utiles dans le paragraphe suivant: \marge[DefinitionForceVive]{(\textit{a}) de la force vive,} \primo Le premier membre de cette équation représentant le demi-accroissement de la force vive de la molécule de masse~$m$ dans le déplacement considéré, la force vive moléculaire a pour expression en un point quelconque~$mV^2$, et la somme d'expressions analogues correspondant à tous les éléments d'une portion finie du fluide constituerait la force vive totale\Pagelabel{ForceViveI} de cette masse; mais, afin de n'introduire dans notre analyse que des quantités finies, nous considérerons, au lieu et place de la force vive moléculaire, son rapport à la masse moléculaire~$m$, c'est-à-dire la quantité \[ \Tag{(19)} V^2 = u^2 + v^2 + w^2, \] que nous appellerons \emph{force vive au point} $(x, y, z)$, ou simplement la \emph{force vive}, de même que, dans l'évaluation des pressions, on appelle \DPPageSep{034.png}% \emph{pression au point} $(x, y, z)$ le rapport de la pression effective qui s'exerce sur un élément situé en ce point à l'aire de cet élément. D'ailleurs, la force vive moléculaire relative à un élément de masse quelconque $\varpi = \rho\, dx\, dy\, dz$ ayant ainsi pour expression \[ \varpi V^2 = \rho V^2\, dx\, dy\, dz, \] la \emph{force vive totale}\Pagelabel{ForceViveII} correspondant à une portion déterminée du fluide sera exprimée par la somme \[ \opS \varpi V^2 = \iiint \rho V^2\, dx\, dy\, dz, \] étendue à tout le volume de cette portion du fluide. \marge[DefinitionTravail]{(\textit{b}) du travail,} \secundo Le second membre de cette même \Eqref[équation]{(16)} exprime le travail accompli par la molécule~$m$ dans son déplacement. La quantité que nous avons appelée~$q$ étant une fonction parfaitement déterminée en $x$,~$y$ et~$z$, il suit de là que, si nous considérons l'ensemble des points $(x_0, y_0, z_0)$ qui satisfont à l'équation $q_{0} = 0$, le second membre de \Eqref[l'équation]{(16)}, qui se réduit alors à~$mq$, représentera le travail produit par la molécule de masse~$m$ en arrivant à sa position actuelle, à partir de son passage sur la surface $q_{0} = 0$, que nous appellerons à cause de cela \emph{surface origine du travail}. Si donc nous convenons de ne considérer que des déplacements comptés à partir de cette surface, le travail moléculaire aura pour expression~$mq$; et, si nous nous laissons guider par les mêmes considérations que précédemment à propos de la force vive, la quantité~$q$ pourra s'appeler le \emph{travail au point} $(x, y, z)$, ou simplement le \emph{travail}. Une somme de travaux moléculaires pris dans les mêmes conditions, ou, en d'autres termes, l'intégrale \[ \opS \varpi q = \iiint q\rho\, dx\, dy\, dz, \] étendue à tout l'intérieur d'une surface quelconque, sera par ailleurs ce que nous appellerons le \emph{travail total}\Pagelabel{TravailTotal} correspondant à cette surface. \marge[DefinitionEnergie]{(\textit{c}) de l'énergie.} \tertio Enfin, si l'on sépare dans \Eqref[l'équation]{(16)} les termes variables des termes constants, en l'écrivant de la façon suivante: \[ \Tag{(20)} m\left(\tfrac{1}{2} V^2 - q\right) = m\left(\tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0\right), \] \DPPageSep{035.png}% le premier membre sera ce que dans la théorie de la chaleur on appellerait l'\emph{énergie moléculaire}, et la somme d'expressions analogues, correspondant à tous les éléments d'un système, serait l'énergie du système. Adoptant donc cette locution et agissant comme nous l'avons fait pour la force vive et le travail, nous considérerons plus spécialement le rapport de l'énergie moléculaire à la masse moléculaire, c'est-à-dire la fonction \[ \Tag{(21)} \varphi = \tfrac{1}{2} V^2 - q, \] que nous appellerons \emph{énergie au point} $(x, y, z)$, ou simplement \emph{énergie}; et l'\emph{énergie totale}\Pagelabel{EnergieTotale}, correspondant à une partie définie du fluide, sera de même l'intégrale \[ \opS \varpi\varphi = \iiint \varphi\rho\, dx\, dy\, dz, \] étendue à tout le volume de la masse considérée. Si l'on remplace d'ailleurs, dans \Eqref[l'équation de définition]{(21)}, $q$~et~$V^2$ par leurs valeurs \Eqno{(18)}~et~\Eqno{(19)}, l'énergie~$\varphi$ sera exprimée au moyen des éléments habituellement considérés de la façon suivante: \[ \Tag{(22)} \varphi = \tfrac{1}{2} ( u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho}. \] \marge[SurfacesEgaleEnergie]{Surfaces\\d'égale énergie.} Ces nouvelles définitions étant admises, revenons à l'objet que nous avons plus particulièrement en vue dans ce paragraphe, qui est la recherche des surfaces de nulle résistance. Si l'on divise par~$m$ les deux membres de \Eqref[l'équation]{(20)}, cette équation pourra s'écrire \[ \tfrac{1}{2} V^2 - q = \tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0, \] ou plus simplement, à l'aide de la notation que nous venons d'adopter, \[ \Tag{(23)} \varphi = \const, \] la fonction~$\varphi$ étant définie par les équations \Eqno{(21)}~ou~\Eqno{(22)}. Si d'ailleurs on différentie cette dernière équation par rapport au \DPPageSep{036.png}% temps, on aura, en vertu des \Eqref[équations]{(10)} \[ \Tag{(24)} \left(\frac{d\varphi}{dt}\right) = u \frac{d\varphi}{dx} + v \frac{d\varphi}{dy} + w \frac{d\varphi}{dz} = 0\footnotemark, \] \footnotetext{Même remarque qu'à la \Pageref[page]{TermeParentheses}.}% c'est-à-dire que \Eqref[l'équation]{(23)} vérifiera \Eqref[l'équation différentielle]{(9)}; et par conséquent, en considérant~$\varphi$ comme une fonction déterminée de $x$,~$y$ et~$z$, la famille de surfaces représentée par cette équation, que l'on peut appeler \emph{surfaces d'égale énergie}, constituera une deuxième famille de surfaces de nulle résistance. \marge[IntegraleForcesVives]{Intégrale\\des forces vives.} Avant de déduire des résultats que nous avons déjà acquis les conséquences qu'ils renferment, revenons un instant sur ce qui précède pour établir d'une autre façon l'équation si importante des \emph{forces vives}. Nous l'avons formée immédiatement tout à l'heure, en appliquant le théorème du travail au mouvement de la molécule fluide; mais on sait que cette équation est une intégrale des équations du mouvement, toutes les fois que le temps n'entre pas explicitement dans l'expression des liaisons. Cette condition étant évidemment remplie dans le cas actuel, par suite de l'hypothèse de la permanence, il y a intérêt à montrer comment on peut obtenir analytiquement cette équation par l'intégration directe des équations du mouvement: c'est ce que nous allons faire en peu de mots. Pour cela il faut, comme l'on sait, multiplier les équations du mouvement respectivement par $dx$,~$dy$,~$dz$ et faire la somme, et l'on doit arriver ainsi à une différentielle exacte; mais, dans le cas actuel, cette forme n'apparaît pas immédiatement, parce que, pour établir les \Eqref[équations]{(6)}, on a remplacé partout dans l'expression des forces d'inertie $\dfrac{dx}{dt}$ par~$u$, $\dfrac{dy}{dt}$ par~$v$, $\dfrac{dz}{dt}$ par~$w$, il faut donc, pour que cette forme apparaisse, rétablir à la place de $u$,~$v$,~$w$ leurs valeurs~(10), ou, ce qui revient au même, remplacer dans le calcul $dx$,~$dy$,~$dz$ par leurs valeurs \[ dx = u\, dt,\quad dy = v\, dt,\quad dz = w\, dt; \] d'où, en conséquence, la série d'opérations suivantes. \DPPageSep{037.png}% Multiplions les \Eqref[équations]{(6)} respectivement par $u\, dt$, $v\, dt$, $w\, dt$, et ajoutons en rapprochant les termes situés sur une même colonne verticale, et, faisant ressortir les facteurs communs, nous obtiendrons ainsi \begin{align*}%[** TN: Re-breaking this display and next] \frac{1}{\rho} \left( \frac{dp}{dx} u\, dt + \frac{dp}{dy} v\, dt + \frac{dp}{dz} w\, dt \right) &= Xu\, dt + Yv\, dt + Zw\, dt \\ &\quad -u\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dt \\ &\quad -v\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dt \\ &\quad -w\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dt, \end{align*} ou, en remettant à présent $dx$,~$dy$,~$dz$ à la place de leurs valeurs $u\, dt$, $v\, dt$, $w\, dt$, \begin{align*} \frac{1}{\rho} \left( \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz \right) &= X\, dx + Y\, dy + Z\, dz \\ &\quad -\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dx \\ &\quad -\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dy \\ &\quad -\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dz, \end{align*} Si nous représentons maintenant par la caractéristique~$d$ une différentielle totale prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de la variable indépendante~$t$, et que nous ayons égard aux \Eqref[équations]{(17)}, celle qui précède pourra s'écrire simplement \[ \frac{dp}{\rho} = dF - d\tfrac{1}{2} (u^2 + v^2 + w^2). \] Sous cette forme, le caractère de différentielle exacte est manifeste, car $\rho$~étant, ainsi que nous l'avons déjà dit, ou constant par rapport au temps, qui est ici la variable indépendante, ou fonction de~$p$, le premier membre est, dans tous les cas, la différentielle de l'expression \DPPageSep{038.png}% $\ds\int\frac{dp}{\rho}$ entendue comme nous l'avons expliqué (\Pageref{SensIntegrale}), et par conséquent l'équation précédente donnera par l'intégration, en faisant passer tous les termes dans un même membre, \[ \int\frac{dp}{\rho} - F(x,y,z) + \tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) = \const, \] équation qui, eu égard à la valeur~(22) de~$\varphi$, se confond bien avec \Eqref[l'équation]{(23)}, à laquelle nous avions été conduit directement. \marge[EquationGeneraleTermesFinis]{Équation générale\\en termes finis.} Nous avons donc, en résumé, trouvé deux familles de surfaces de nulle résistance, les surfaces d'\emph{égale masse} et les surfaces d'\emph{égale énergie}, dont les équations constituent deux solutions complètes de l'équation différentielle de cette classe de surfaces. Or, cette équation étant du premier ordre, ce résultat suffit pour en obtenir l'intégrale générale. En effet, si l'on désigne par~$\Psi$ une fonction arbitraire, l'équation \[ \Psi\bigl[ \rho (1 + \Delta ), \varphi\bigr] = 0 \] donnera évidemment \begin{multline*} u\frac{d\Psi}{dx} + v\frac{d\Psi}{dy} + w\frac{d\Psi}{dz} \\ = \frac{d\Psi}{d · \rho (1 + \Delta)} \left[ u\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dx} + v\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dy} + w\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dz} \right] \\ + \frac{d\Psi}{d\varphi} \left( u\frac{d\varphi}{dx} + v\frac{d\varphi}{dy} + w\frac{d\varphi}{dz} \right) = 0; \end{multline*} car les deux facteurs entre parenthèses, qui figurent dans le second membre, sont identiquement nuls, en vertu des équations \Eqno{(14)}~et~\Eqno{(24)}. L'équation ci-dessus vérifie donc l'équation aux différences partielles \Eqno{(9)}~ou~\Eqno{(8)}, et comme elle renferme d'ailleurs une fonction arbitraire permettant de réduire~$z$ à une fonction donnée de~$y$ pour $x=0$, c'est bien l'intégrale générale de \Eqref[l'équation]{(8)}. Si on la résout par rapport à~$\varphi$, et qu'on remplace ensuite cette fonction par sa valeur~\Eqno{(22)}, cette même équation pourra s'écrire sous la \DPPageSep{039.png}% forme plus explicite \[ \tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho} = \psi\bigl[\rho (1 + \Delta)\bigr], \] en désignant par~$\psi$ une fonction arbitraire. Telle est l'équation générale des surfaces \emph{de nulle résistance}, exprimée à l'aide des éléments habituellement considérés du mouvement. \Section{III.}{ --- Étude Particulière des Surfaces D'égale Masse et D'égale Énergie.} {Représentation Géométrique Du Mouvement. --- Propriétés De Maximum et de Minimum.} \marge{Détermination géométrique:} Les deux grandes familles de surfaces que nous avons rencontrées dans le paragraphe précédent, et dont les équations sont les solutions complètes de l'équation différentielle des surfaces de nulle résistance, fournissent immédiatement une image très-nette du mouvement, ce qui était le but que nous nous étions proposé en commençant cette étude. \marge[DeterminationGeometriqueTrajectoire]{(\textit{a}) de la trajectoire,} En effet, chaque molécule étant assujettie à rester séparément sur l'une des surfaces appartenant à chacune des deux familles, puisque ce sont toutes deux des surfaces de \emph{nulle résistance}, nous pouvons formuler immédiatement la proposition suivante: \begin{thm}{V} La trajectoire de chaque molécule est l'intersection des deux surfaces d'égale masse et d'égale énergie, qui contiennent sa position initiale. \end{thm} \marge[DeterminationGeometriqueVitesse]{(\textit{b}) de la vitesse.} On voit ainsi comment ces deux familles de surfaces partagent la masse fluide en couches infiniment minces dont les intersections constituent précisément ces \emph{filets fluides}, constants de forme et d'apparence, qui ne sont autre chose que la succession des molécules soumises aux mêmes influences. %[** TN: Omit extra vertical space in original] La trajectoire de la molécule étant ainsi définie par l'intersection de deux surfaces, son mouvement serait complètement déterminé, si l'on \DPPageSep{040.png}% avait un moyen simple de se représenter la vitesse en chaque point. Cette seconde image nous sera fournie par le théorème suivant, que nous établirons, comme les précédents, de deux façons différentes: \begin{thm}{VI} La grandeur de la vitesse est moyenne proportionnelle entre le rayon de courbure de la section normale de la surface d'égale énergie qui contient sa direction, et la composante de la force totale qui sollicite l'unité de masse, dirigée suivant la normale à cette surface. \end{thm} \marge[DemonstrationSynthetiqueII]{Démonstration synthétique.} Pour établir cette proposition, décomposons dans le plan osculateur de la trajectoire a force totale~$m\scrF$ qui sollicite la molécule~$m$ en deux composantes, l'une \emph{tangentielle}, et l'autre \emph{normale} ou \emph{centripète}; on sait que cette dernière aura pour expression \[ m\scrF_{c} = \frac{mV^2}{R_0},\quad\text{ou pour l'unité de masse}\quad \scrF_{c} = \frac{V^2}{R_0}, \] $R_0$~étant le rayon de courbure de la trajectoire situé dans le plan osculateur. Or, si nous considérons en même temps que ce plan la section normale de la surface d'\emph{égale énergie} qui contient la direction de la vitesse, nous aurons, d'après le théorème de Meunier\footnotemark, \footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Sturm}, \textit{Cours d'analyse de l'École Polytechnique}, t.~II, \no 698, p.~202.}% en appelant~$R_n$ le rayon de courbure de cette section, et $\varepsilon$~l'angle de ces deux plans, ou encore l'angle de ces rayons entre eux, \[ R_0 = R_{n} \cos\varepsilon, \] et par conséquent, en substituant dans l'équation précédente, \[ \scrF_{c}=\frac{V^2}{R_{n} \cos\varepsilon},\quad\text{d'où}\quad V^{2}= R_{n} \scrF_{c} \cos\varepsilon. \] Or $\scrF_{c} \cos\varepsilon$ n'est autre chose que la composante de la force totale~$\scrF$ suivant la normale à la surface, et que nous représentons par~$\scrF_n$. En effet, pour obtenir la composante d'une force suivant une droite, on peut projeter d'abord cette force sur un plan quelconque passant par la droite, puis projeter ensuite cette projection sur la droite elle-même. Or si l'on considère le plan normal à la trajectoire au point considéré, \DPPageSep{041.png}% lequel contient à la fois la normale principale de la trajectoire et la normale à la surface d'égale énergie, $\scrF_c$~sera évidemment la projection de la force totale~$\scrF$ sur ce plan, et de même $\scrF_c \cos\varepsilon$ sera dans ce plan la projection de cette projection sur la normale à la surface au point considéré. L'équation précédente peut donc s'écrire \[ \Tag{(25)} V^2 = R_n \scrF_n, \] ce qui justifie la proposition énoncée. \marge[DemonstrationAnalytiqueII]{Démonstration analytique.} On peut aussi déduire ce résultat des équations du mouvement; car de même que \Eqref[l'équation]{(24)}, qui est la dérivée totale de \Eqref[l'équation]{(23)} par rapport au temps, exprime une propriété différentielle du premier ordre, c'est-à-dire relative au plan tangent des surfaces d'égale énergie, de même la dérivée seconde devra exprimer une propriété différentielle du second ordre, c'est-à-dire relative à la courbure des mêmes surfaces. On trouve, en effet, en différentiant \Eqref[l'équation]{(24)}, \begin{multline*} \qquad\qquad %[** TN: Squeeze to improve visual appearance] \left( \frac{d^2 \varphi}{dt^2} \right) = u\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx} \right)}{dt} + v\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy} \right)}{dt} + w\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz} \right)}{dt} \\ + \frac{du}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} + \frac{dv}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} + \frac{dw}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} = 0.\qquad\qquad \end{multline*} Or, comme on a, en vertu des équations \Eqno{(10)}~et~\Eqno{(1)}, \begin{gather*} \left\{ \begin{aligned} \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)}{dt} &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx^2} + v\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy} + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\ \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)}{dt} &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy} + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy^2} + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\ \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)}{dt} &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz} + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy\, dz} + w\, \frac{d^2 \varphi}{dz^2}, \end{aligned}\right. \\[4pt] \frac{du}{dt} = \scrX,\quad \frac{dv}{dt} = \scrY,\quad \frac{dw}{dt} = \scrZ, \end{gather*} \DPPageSep{042.png}% si l'on ajoute ces équations respectivement multipliées par $u$,~$v$,~$w$, $\dfrac{d\varphi}{dx}$, $\dfrac{d\varphi}{dy}$, $\dfrac{d\varphi}{dz}$, l'équation précédente pourra s'écrire \begin{multline*} u^2 \frac{d^2\varphi}{dx^2} + v^2\frac{d^2\varphi}{dy^2} + w^2\frac{d^2\varphi}{dz^2} + 2vw \frac{d^2\varphi}{dy\, dz} + 2wu \frac{d^2\varphi}{dz\, dx} + 2uv \frac{d^2\varphi}{dx\, dy} \\ + \scrX\frac{d\varphi}{dx} + \scrY\frac{d\varphi}{dy} + \scrZ\frac{d\varphi}{dz} = 0, \end{multline*} forme très-symétrique, analogue à celle de \Eqref[l'équation]{(24)}, mais d'un degré plus élevé. Pour trouver la signification de cette équation, il n'y a qu'à remplacer les composantes $u$,~$v$,~$w$ par leurs valeurs~(5), et à diviser tous les termes par $\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 +\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 +\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}$. On obtient ainsi, en séparant en deux membres et supposant que le radical emporte avec lui son signe, \begin{gather*} \makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide expression] $-V^2\, \dfrac{ \dfrac{d^2\varphi}{dx^2} \cos^2\lambda + \dfrac{d^2\varphi}{dy^2} \cos^2\mu + \dfrac{d^2\varphi}{dz^2} \cos^2\nu %\\ + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dy\, dz} \cos\mu \cos\nu + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dz\, dx} \cos\nu \cos\lambda + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dx\, dy} \cos\lambda \cos\mu} {\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}}$} \\ = \frac{\scrX\dfrac{d\varphi}{dx} + \scrY\dfrac{d\varphi}{dy} + \scrZ\dfrac{d\varphi}{dz}} {\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}} \end{gather*} Sous cette forme, on reconnaît au premier membre, dans le coefficient de~$V^2$, l'expression de la courbure de la section normale de la surface $\varphi = \const$, qui contient la direction $(\lambda, \mu, \nu)$, c'est-à-dire la vitesse\footnotemark, \footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Moigno}, \textit{Leçons de Calcul différentiel et de Calcul intégral}, t.~II (3\ieme~Leçon) §~186, p.~350.}% et dans le second membre la composante de la force totale suivant la normale à la même surface. Cette équation peut donc s'écrire, en empruntant la notation déjà usitée, \[ V^2\, \frac{1}{R_n} = \scrF_{n}, \] \DPPageSep{043.png}% et par conséquent coïncide avec \Eqref[l'équation]{(25)}, qui exprime le \ThmRef{VI}\@. Notons d'ailleurs que cette proposition n'a rien de spécial aux surfaces d'égale énergie, et nous eussions pu tout aussi bien, pour le but que nous avions en vue, considérer les surfaces d'égale masse, ou toute autre surface d'égale résistance. Si nous avons spécifié les surfaces d'égale énergie dans l'énoncé de notre théorème, c'est qu'elles sont les seules qui subsistent dans tous les cas, et que nous allons avoir à faire usage de cette propriété, spécialement dans le cas des liquides homogènes, où elles subsistent seules, et que nous allons maintenant examiner. \marge[CasParticulierLiquidesHomogenes]{Cas particulier des liquides homogènes.} La considération des surfaces d'égale masse et d'égale énergie, jointe à la connaissance de la force totale qui sollicite la molécule, fournira donc, en général, une représentation très-simple et très-nette du mouvement de cette molécule. Cette image fait malheureusement défaut, du moins telle que nous venons de la présenter dans le cas particulier des liquides homogènes; car alors, d'une part, la dilatation étant constamment nulle à cause de l'incompressibilité du fluide, et, de l'autre, la densité se réduisant à une constante à cause de son homogénéité, la première des deux familles de surfaces de nulle résistance disparaît; mais, même encore dans ce cas, il est facile d'obtenir une représentation très-simple du mouvement au moyen des mêmes éléments. Pour cela, remarquons tout d'abord que, d'une part, \Eqref[l'équation]{(21)} pouvant s'écrire $V^2 = 2(\varphi + q)$, et s'énoncer par cette formule: «\;\emph{La force % [** TN: \( \) = Upright ()] vive \(ou le carré de la vitesse\) est le double de la somme de l'\textsc{énergie} et du \textsc{travail}}\;»; que, d'autre part, le travail~$q$ étant alors le \emph{potentiel} de la force totale qui sollicite l'unité de masse, il en résulte qu'on connaîtra immédiatement la grandeur de la vitesse, si l'on suppose connues l'énergie et la force totale en chaque point. Il n'y a donc à déterminer réellement, dans ce cas, que la trajectoire. Or la connaissance de la grandeur de la vitesse suffit, par le moyen du \ThmRef{VI}, pour déterminer en même temps sa direction; car les surfaces d'égale énergie existant toujours, et la trajectoire de la molécule étant contenue tout entière sur l'une de ces surfaces, il est facile de \DPPageSep{044.png}% déterminer sa direction en chaque point par l'angle qu'elle forme avec une autre direction définie sur cette surface, par exemple celle des lignes de courbure. En effet, \Eqref[l'équation]{(25)} donnant immédiatement l'expression du rayon de courbure de la section normale qui contient la vitesse, savoir \[ R_n = \frac{V^2}{\scrF_n}, \] la connaissance de ce rayon de courbure suffit à déterminer la direction de cette section; car, si dans le plan tangent et du point considéré comme centre on trace d'une part l'\emph{indicatrice} relative à ce point, ayant pour axes les racines carrées des rayons de courbure principaux, et d'autre part un cercle avec la quantité~$\sqrt{R_n}$ pour rayon, la direction de la vitesse sera nécessairement l'un des deux diamètres communs à ces deux courbes: la continuité indiquant suffisamment, d'ailleurs, laquelle de ces deux directions on devra prendre en chaque point, puisqu'au point initial la direction de la vitesse est une des données de la question. En d'autres termes, si l'on désigne par $R'$~et~$R''$ les deux rayons de courbure principaux, et par~$r$ l'angle de la section normale considérée avec l'une des sections principales, on aura \[ \frac{1}{R_n} = \frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r; \] et par conséquent, eu substituant dans l'équation précédente, \[ \frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r = \frac{\scrF_n}{V^2}, \] ou, en résolvant par rapport à l'angle cherché~$r$, \[ \tang r = ± \sqrt{ \frac{\dfrac{\scrF_n}{V^2} - \dfrac{1}{R'}} {\dfrac{1}{R''} - \dfrac{\scrF_n}{V^2}}}, \] équation qui détermine en chaque point la direction de la vitesse par rapport aux lignes de courbure de la surface d'\emph{égale énergie}, et qu'on \DPPageSep{045.png}% peut considérer en quelque sorte comme l'équation de la trajectoire sur cette surface. On pourrait aussi appliquer ce dernier mode de représentation au cas des fluides compressibles, puisque le travail~$q$ est encore, dans ce cas, le potentiel relatif à la force totale qui sollicite la molécule; mais il vaut mieux se figurer le mouvement à l'aide du procédé que nous avons décrit tout d'abord, et qui est à la fois plus simple, plus élégant et plus général, et réserver celui que nous venons d'exposer pour le cas des liquides homogènes, qui est le seul pour lequel le premier procédé se trouve en défaut. \marge[ProprietesMaximumMinimum]{Propriétés\\de maximum\\et de minimum.} Enfin, outre les propriétés générales qui caractérisent toutes les surfaces de nulle résistance, et que nous avons exposées dans le premier paragraphe, les deux familles que nous nous sommes proposé d'étudier spécialement dans celui-ci possèdent encore des propriétés intéressantes de maximum et de minimum qui leur appartiennent en propre et que nous allons établir en terminant ce travail. Ces deux familles, en effet, en même temps qu'elles appartiennent à la classe importante des surfaces de \emph{nulle résistance}, rentrent aussi dans la catégorie des surfaces dites \emph{représentatives}, c'est-à-dire de celle dont l'équation s'obtient en égalant à un paramètre arbitraire une fonction déterminée de $x$,~$y$ et~$z$. Or ces différentes surfaces, que l'on est amené à considérer dans une foule de questions de Mécanique ou de Physique mathématique, telles que la théorie de l'attraction (surfaces de \emph{niveau} ou d'\emph{égal potentiel}), de la chaleur (surfaces \emph{isothermes} ou d'\emph{égale température}), offrent, par suite de leur origine commune, une même propriété, qui se traduit différemment suivant les différentes théories auxquelles elles sont relatives, et qui découle immédiatement des deux propositions suivantes, que nous allons maintenant démontrer. \begin{lem}{I} \MarginBox[LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives]{Lemmes relatifs\\aux surfaces\\représentatives.} Si $V$ représente une fonction de $x$,~$y$ et~$z$, et que l'on compare entre elles les valeurs que prend l'intégrale $\ds\iiint V\, dx\, dy\, dz$ à l'intérieur de différentes surfaces, la valeur maximum ou minimum de cette intégrale correspondra précisément à la surface $V = 0$. \end{lem} \DPPageSep{046.png}% En effet, posons \[ I = \iiint V\, dx\, dy\, dz, \] et calculons~$\delta I$ suivant les procédés habituels du calcul des variations; nous trouverons successivement \vspace*{\abovedisplayskip} \[ \makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide display] $\begin{aligned} \delta I &= \iiint \delta(V\, dx\, dy\, dz) \\ &= \iiint \bigl[\delta V · dx\, dy\, dz + V\, \delta(dx\, dy\, dz)\bigr] \\ &= \iiint \left[ \left( \frac{dV}{dx}\, \delta x + \frac{dV}{dy}\, \delta y + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz + V(dy\, dz\, \delta\, dx + dz\, dx\, \delta\,dy + dx\, dy\, \delta\,dz) \right] \\ &= \iiint \left( \frac{dV}{dx}\, \delta x + \frac{dV}{dy}\, \delta y + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz + \iiint V \left( \frac{d\, \delta x}{dx} + \frac{d\, \delta y}{dy} + \frac{d\, \delta z}{dz} \right) dx\, dy\, dz, \end{aligned}$} \] ou, en intégrant par parties le second terme et faisant la réduction avec le premier, \[ \delta I = \iint (V\, \delta x)_{1}^{2}\, dy\, dz + \iint (V\, \delta y)_{1}^{2}\, dz\, dx + \iint (V\, \delta z)_{1}^{2}\, dx\, dy, \] le crochet marqué des indices $1$~et~$2$ signifiant, suivant une notation connue, la différence des valeurs du terme qu'il renferme pour les deux limites de l'intégration. On peut mettre ces intégrations sous une forme plus saisissante, en remplaçant les intégrales qui y figurent par une sommation relative aux éléments de la surface elle-même. En désignant par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles de la normale extérieure avec les axes coordonnés, par~$\omega$ l'élément de surface, et par~$\tsum$ une sommation s'étendant à toute la surface considérée, une transformation déjà usitée permettra d'écrire \[ \delta I = \tsum \omega V(\delta x \cos\alpha + \delta y \cos\beta + \delta z \cos\gamma). \] Or, sous cette forme, la condition du maximum et du minimum est évidente. En effet, cette condition étant, comme l'on sait, que la variation~$\delta I$ soit nulle, quels que soient $\delta x$,~$\delta y$ et~$\delta z$, il s'ensuit qu'il faut que l'on ait $V = 0$, ce qui justifie la proposition énoncée. Il sera toujours facile, d'ailleurs, de distinguer si l'on obtient ainsi \DPPageSep{047.png}% un maximum ou un minimum, car on voit tout de suite que l'on aura l'un ou l'autre suivant que la fonction~$V$ prendra des valeurs négatives ou positives, pour les points extérieurs à la surface $V= 0$, et très-voisins de cette surface. En effet, ayant calculé la valeur de l'intégrale proposée à l'intérieur de cette surface, pour obtenir la valeur de la même intégrale à l'intérieur d'une autre surface infiniment voisine, il faudra ajouter les termes correspondant aux portions de la seconde surface \emph{extérieures} à la première et retrancher les termes correspondant aux portions \emph{intérieures} à la première surface, mais qui n'appartiennent pas à la seconde. Or, dans la première hypothèse, les premiers termes seront négatifs, les seconds positifs; la seconde valeur de l'intégrale sera donc toujours plus petite que la première et, par conséquent, on aura un maximum: ce serait le contraire dans l'autre cas. Ce raisonnement légèrement modifié suffirait, au reste, pour établir \textit{a~posteriori} l'existence de la proposition elle-même. La proposition que nous venons de démontrer n'est pas susceptible toutefois d'une application immédiate, sous la forme où nous l'avons établie, parce que le maximum ou le minimum qu'elle considère est un maximum ou minimum \emph{absolu}; mais elle devient féconde, en conséquence, pour les surfaces représentatives, si on la modifie par l'introduction des maxima et des minima \emph{relatifs}, qui se ramènent aux premiers, comme l'on sait, d'une façon fort simple. C'est ce que nous allons faire dans le lemme suivant: \begin{lem}{II} Si $U$~et~$W$ représentent deux fonctions déterminées de $x$,~$y$ et~$z$, et que l'on compare entre elles les valeurs que prend l'intégrale $\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$, à l'intérieur de différentes surfaces, sous la condition que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ prise entre les mêmes limites conserve une valeur constante, la valeur maximum ou minimum de cette intégrale correspondra à l'une des surfaces représentées par l'équation $\dfrac{U}{W} = \const$%[** TN: [sic], \const adds its own period] \end{lem} En effet, si l'on recherche à l'intérieur de quelle surface l'intégrale \DPPageSep{048.png}% $\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$ prend une valeur maximum ou minimum, sous la condition que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ ait une valeur donnée, il faudra, en vertu de la théorie des maxima ou minima relatifs, rechercher le maximum ou minimum absolu de l'expression \[ \iiint U\, dx\, dy\, dz + C \iiint W\, dx\, dy\, dz = \iiint (U + CW)\, dx\, dy\, dz, \] $C$~étant une constante. Or, pour l'obtenir, il n'y aura qu'à faire dans le lemme précédent \[ V = U + CW, \] et la solution nous sera fournie immédiatement par l'équation \[ U + CW = 0, \] où $C$~est une constante qui sera déterminée précisément par la condition donnée, relative à la seconde intégrale. On voit ainsi que le problème est résolu par l'une des surfaces appartenant à la famille de surfaces représentatives dont l'équation est \[ \Tag{(26)} \frac{U}{W} = \const \] Il est bien évident, d'ailleurs, que la proposition est réversible, et que l'on arriverait à la même conclusion si l'on cherchait le maximum ou le minimum de l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ sous la condition que l'intégrale $\ds\smash[t]{\iiint} U\, dx\, dy\, dz$ conservât une valeur donnée. \bigskip Pour montrer la fécondité de la proposition qui précède, et avant de revenir au mouvement des fluides, qui fait l'objet de ce travail, nous allons l'appliquer comme exemple à un problème emprunté à la théorie de la chaleur. Imaginons un corps ou milieu dont tous les points étaient originairement à une même température, que nous prendrons pour zéro, et qui, soumis ensuite à l'action de sources constantes de froid ou de chaleur, a fini par arriver à un état d'équilibre de température. Si nous \DPPageSep{049.png}% considérons en particulier une portion de ce corps limitée par une surface quelconque, et que nous désignions encore sa densité en chaque point par~$\rho$, sa masse sera exprimée par l'intégrale $\ds\iiint \rho\, dx\, dy\, dz$, et la quantité totale de chaleur perdue ou gagnée, en passant de l'état initial à l'état final, par l'intégrale $c\ds\iiint \rho\Theta\, dx\, dy\, dz$, $\Theta$~désignant la température et $c$~le calorique spécifique, que nous supposerons constant. Si l'on se propose de déterminer par quelle surface il faudrait limiter cette portion du corps, pour que, avec une masse donnée, la quantité de chaleur perdue ou gagnée soit maximum ou minimum, il n'y aura qu'à faire dans ce qui précède $U = c \rho\Theta$, et $W = \rho$, ce qui donnera pour solution $\Theta = \const$, c'est-à-dire une \emph{surface isotherme}. Ces surfaces jouissent donc de la propriété nouvelle et intéressante de limiter les portions du corps qui, offrant une masse donnée, ont gagné ou perdu dans les conditions précitées une quantité de chaleur maximum ou minimum. \marge{Application\\aux surfaces:} Ces préliminaires établis, appliquons les considérations qui précèdent aux diverses surfaces représentatives qui se présentent dans l'étude du mouvement permanent des fluides. Nous en déduirons sans peine une série de propriétés intéressantes, dont l'ensemble nous paraît jeter un nouveau jour sur la théorie si obscure du mouvement, et dont l'énumération terminera notre travail. \marge[ApplicationSurfacesEgaleDensite]{(\textit{a}) d'égale densité,} \primo Si l'on prend, pour les deux intégrales considérées dans le \LemRef{II}, la masse et le volume de la portion du fluide renfermée à l'intérieur d'une même surface, ou, en d'autres termes, si l'on prend $U = \rho$ et $W = 1$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\rho = \const$, d'où la conclusion: \begin{thm}{VII} Les surfaces d'égale densité sont celles qui, pour un volume donné, renferment une masse maximum ou minimum. \end{thm} \marge[ApplicationSurfacesEgaleDilatation]{(\textit{b}) d'égale dilatation,} \secundo Si, au lieu de la masse et du volume d'une portion du fluide, on prend pour les deux intégrales considérées les quantités que nous avons appelées \emph{dilatation totale} et \emph{volume primitif} (\emph{voir} \Pagerefs{DilatationTotale}{VolumePrimitif}) de cette \DPPageSep{050.png}% même masse, ou, en d'autres termes, si l'on prend $U = \dfrac{\Delta}{1 + \Delta}$ et $W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\Delta = \const$, d'où la conclusion: \begin{thm}{VIII} Les surfaces d'égale dilatation sont celles qui, pour un volume primitif donné, renferment une dilatation totale maximum ou minimum. \end{thm} Si l'on se rappelle, d'ailleurs, que d'après nos définitions la dilatation totale exprime la différence entre le volume actuel et le volume primitif d'une même masse, on voit immédiatement qu'on pourra énoncer la propriété précédente sous cette autre forme: %[** TN: Guillemets added by environment; mask newlines to prevent line breaks] \begin{theorem}% Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume primitif} donné, renferment un \textsc{volume} maximum ou minimum.% \end{theorem} Ou encore sous celle-ci: \begin{theorem}% Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume} donné, renferment une \textsc{dilatation totale} maximum ou minimum.% \end{theorem} Notons, en outre, que les surfaces d'\emph{égale dilatation} se confondraient évidemment avec les surfaces d'\emph{égale densité}, si l'on avait pris pour \emph{origine des dilatations} l'une de ces dernières surfaces. La première des deux propositions que nous venons d'énoncer s'applique évidemment aussi bien au cas de l'équilibre qu'au cas du mouvement permanent, et, dans ce cas, elle exprime une propriété nouvelle et intéressante des \emph{surfaces de niveau}, qui sont en même temps, comme l'on sait, surfaces d'\emph{égale pression}, et surfaces d'\emph{égale densité}. La seconde trouvera aussi son application à l'état d'équilibre, si on l'entend des modifications qu'a dû subir, pour arriver à cet état, un fluide compressible primitivement homogène, et soumis ensuite à des actions permanentes. Seulement, dans ce dernier cas, les surfaces d'égale dilatation se confondant évidemment avec les surfaces d'égale densité ou surfaces de niveau, les deux théorèmes ci-dessus n'expriment plus en réalité qu'une seule et même propriété, ainsi qu'il est facile de s'en convaincre avec un instant de réflexion. Les propositions suivantes, au contraire, n'ont de signification que dans le cas du mouvement. \DPPageSep{051.png}% \marge[ApplicationSurfacesEgaleForceVive]{(\textit{c}) d'égale force\\vive,} \tertio Prenons, pour les deux intégrales du \LemRef{II}, la \emph{force vive totale} (\Pagerefs{ForceViveI}{ForceViveII}) et la masse d'une même portion du fluide, c'est-à-dire prenons $U = \rho V^2$ et $W = \rho$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $V^2 = \const$; d'où la conclusion: \begin{thm}{IX} Les surfaces d'égale force vive \(ou d'égale vitesse\) %[** TN: \( \) = Upright ()] sont celles qui, pour une masse donnée, renferment une force vive totale maximum ou minimum. \end{thm} \marge[ApplicationSurfacesEgalTravail]{(\textit{d}) d'égal travail,} \quarto Prenant encore la masse pour l'une des deux intégrales, prenons pour l'autre ce que nous avons appelé le \emph{travail total} (\emph{voir} \Pageref{TravailTotal}), correspondant à la même portion du fluide, ou, en d'autres termes, faisons $U = q\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $q = \const$, et par conséquent, en nous reportant aux définitions de la \Pageref[page]{TravailTotal}, nous pourrons formuler cette proposition: \begin{thm}{X} Les surfaces d'égal travail sont celles qui, pour une masse donnée, renferment un travail total maximum ou minimum. \end{thm} Il est à remarquer que dans le cas des fluides compressibles, et aussi dans celui des liquides homogènes, $q$~est un potentiel, et les surfaces d'égal travail dont il est question dans ce théorème sont alors les surfaces de niveau relatives aux actions totales qui sollicitent la molécule fluide. \marge[ApplicationSurfacesEgaleMasse]{(\textit{e}) d'égale masse,} \FrenchEnumerate5 Pour revenir, en terminant, aux deux grandes familles de surfaces de nulle résistance qui font objet plus spécial de ce dernier paragraphe, considérons en même temps la masse et le volume primitifs d'une même portion du fluide, et faisons, dans le \LemRef{II}, $U = \rho$ et $W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$; \Eqref[l'équation]{(26)} deviendra $\rho (1 + \Delta) = \const$, et par conséquent, en nous reportant aux définitions du paragraphe précédent, nous pourrons énoncer cette propriété: \begin{thm}{XI} Les surfaces d'égale masse sont celles qui, pour un volume primitif donné, renferment une masse maximum ou minimum. \end{thm} Notons seulement que, dans le cas des liquides, les surfaces d'égale masse n'étant autres que les surfaces d'égale densité, cette propriété se confond pour ce cas avec le \ThmRef{VII}\@. \DPPageSep{052.png}% \marge[ApplicationSurfacesEgaleEnergie]{(\textit{f}) d'égale énergie.} \FrenchEnumerate6 Enfin considérons, en même temps que la masse, l'\emph{énergie totale} (\Pageref{EnergieTotale}) d'une certaine portion du fluide, c'est-à-dire faisons à la fois $U = \varphi\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $\varphi = \const$, ce qui nous donnera cette dernière proposition: \begin{thm}{XII} Les surfaces d'égale énergie sont celles qui, pour une masse donnée, renferment une énergie totale maximum ou minimum. \end{thm} \marge[Conclusion]{Conclusion.} Ces propriétés remarquables, jointes à la représentation que nous avons donnée du mouvement, font comprendre l'importance du rôle que les surfaces d'\emph{égale masse} et d'\emph{égale énergie} jouent dans la théorie, et l'intérêt qu'elles empruntent à leur double caractère de surfaces \emph{représentatives}, et de surfaces de \emph{nulle résistance}. C'est pourquoi nous nous sommes proposé, dans ce travail, d'appeler sur elles l'attention des géomètres, dans la pensée que peut-être leur considération pourrait servir de point de départ à un analyste plus habile, pour aborder le problème si difficile de l'intégration des équations de l'Hydrodynamique. \vfil \begin{center} \tb[3cm] \end{center} \vfil\vfil \DPPageSep{053.png}% \Chapter{Résumé Analytique.}{} \ToCRow{\textsc{Introduction}. --- Exposé du sujet}{ExposeSujet} \ToCSection{I\@. --- Surfaces de nulle résistance.} \ToCSubsection{Définitions. --- Propriétés caractéristiques.} \ToCRow{Résistance au mouvement d'un fluide}{ResistanceMouvementFluide} % \ToCRow{Surfaces de nulle résistance}{SurfacesNulleResistance} % \ToCRow{Propriétés relatives: (\textit{a}) à l'ellipsoïde central d'inertie}{ProprietesEllipsoideCentral} % \ToCRow{\Ditto{Propriétés relatives:} (\textit{b}) au solide représentatif}{ProprietesSoliceRepresentatif} % \ToCRow{Examen du cas général}{ExamenCasGeneral} % \ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueI} % \ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueI} \ToCSection{II\@. --- Recherche analytique des surfaces de nulle résistance.} \ToCSubsection{Équation aux différences partielles. --- Solutions complètes. --- Équation générale en termes finis.} \ToCRow{Équation aux différences partielles}{EquationDifferencesPartielles} % \ToCRow{Interprétation mécanique de cette équation}{InterpretationMecanique} % \ToCRow{Première solution complète}{PremiereSolution} % \ToCRow{Cas des liquides}{CasLiquides} % \ToCRow{Cas des fluides compressibles}{CasFluides} % \ToCRow{Définition de la dilatation}{DefinitionDilatation} % \ToCRow{Expression de la masse moléculaire}{ExpressionMasseMoleculaire} % \ToCRow{Surfaces d'égale masse}{SurfacesEgaleMasse} % \ToCRow{Définitions: (\textit{a}) du volume primitif}{DefinitionVolumePrimitif} % \ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) de la dilatation totale}{DefinitionDilatationTotale} % \ToCRow{Deuxième solution complète}{DeuxiemeSolution} \DPPageSep{054.png}% % \ToCRow{Définitions: (\textit{a}) de la force vive}{DefinitionForceVive} % \ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) du travail}{DefinitionTravail} % \ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{c}) de l'énergie}{DefinitionEnergie} % \ToCRow{Surfaces d'égale énergie}{SurfacesEgaleEnergie} % \ToCRow{Intégrale des forces vives}{IntegraleForcesVives} % \ToCRow{Équation générale en termes finis}{EquationGeneraleTermesFinis} \ToCSection{III\@. --- Étude particulière des surfaces d'égale masse et d'égale énergie.} \ToCSubsection{Représentation géométrique du mouvement. --- Propriétés de maximum et de minimum.} \ToCRow{Détermination géométrique: (\textit{a}) de la trajectoire}{DeterminationGeometriqueTrajectoire} % \ToCRow{\Ditto{Détermination géométrique:} (\textit{b}) de la vitesse}{DeterminationGeometriqueVitesse} % \ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueII} % \ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueII} % \ToCRow{Cas particulier des liquides homogènes}{CasParticulierLiquidesHomogenes} % \ToCRow{Propriétés de maximum et de minimum}{ProprietesMaximumMinimum} % \ToCRow{Lemmes relatifs aux surfaces représentatives}{LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives} % \ToCRow{Application aux surfaces (\textit{a}) d'égale densité}{ApplicationSurfacesEgaleDensite} % \ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{b}) d'égale dilatation}{ApplicationSurfacesEgaleDilatation} % \ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{c}) d'égale force vive}{ApplicationSurfacesEgaleForceVive} % \ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{d}) d'égal travail}{ApplicationSurfacesEgalTravail} % \ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{e}) d'égale masse}{ApplicationSurfacesEgaleMasse} % \ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{f}) d'égale énergie}{ApplicationSurfacesEgaleEnergie}\\[\baselineskip] \ToCRow{\textsc{Conclusion}}{Conclusion} \vfil \begin{flushright} \vloose\small% \settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}% \begin{minipage}{\TmpLen} \centering \textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break Le 16 juin 1873. \\ \textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\ \normalsize MILNE EDWARDS. \end{minipage} \end{flushright} \begin{flushleft} \vloose\small% \settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}% \begin{minipage}{\TmpLen} \centering \textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break \textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\ \normalsize A.~MOURIER. \end{minipage} \end{flushleft} \vfil \DPPageSep{055.png}% \Chapter{Seconde Thèse.}{PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.} \primo Démontrer qu'un ellipsoïde à trois axes inégaux peut être la figure d'une masse fluide qui tourne uniformément autour d'un axe fixe, et dont les molécules s'attirent mutuellement en raison inverse du carré de la distance. \bigskip \secundo Propriétés des fonctions doublement périodiques. \vfill \begin{flushright} \vloose\small% \settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}% \begin{minipage}{\TmpLen} \centering \textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break Le 16 juin 1873. \\ \textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\ \normalsize MILNE EDWARDS. \end{minipage} \end{flushright} \begin{flushleft} \vloose\small% \settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}% \begin{minipage}{\TmpLen} \centering \textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break \textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\ \normalsize A.~MOURIER. \end{minipage} \end{flushleft} \vfill \noindent\hrule \medskip \begin{center} \textsc{\footnotesize Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, Quai des Augustins, 55.} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage \backmatter \phantomsection \pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiere.}{Subsidiere} \phantomsection \pdfbookmark[0]{PG License.}{License} \fancyhead[C]{\textsc{LICENCE}} \begin{PGtext} End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by François de Salvert *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** ***** This file should be named 33083-pdf.pdf or 33083-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://book.klll.cc/3/3/0/8/33083/ Produced by Sébastien Blondeel, Joshua Hutchinson, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) 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Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. *** START: FULL LICENSE *** THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase "Project Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg-tm License (available with this file or online at http://gutenberg.org/license). Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. 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Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic works, and the medium on which they may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by your equipment. 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. 1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to the person you received the work from. If you received the work on a physical medium, you must return the medium with your written explanation. The person or entity that provided you with the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the work electronically, the person or entity providing it to you may choose to give you a second opportunity to receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem. 1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks of life. Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit http://pglaf.org While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including checks, online payments and credit card donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. Most people start at our Web site which has the main PG search facility: http://book.klll.cc This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. \end{PGtext} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des % Fluides, by François de Salvert % % % % *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** % % % % ***** This file should be named 33083-t.tex or 33083-t.zip ***** % % This and all associated files of various formats will be found in: % % http://book.klll.cc/3/3/0/8/33083/ % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \end{document} ### @ControlwordReplace = ( ['\\ieme', '^{e}'] ); @ControlwordArguments = ( ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'], ['\\DPPageSep', 1, 0, '', ''], ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], ['\\MarginBox', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''], ['\\marge', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''], ['\\begin{thm}', 1, 1, 'Théorème ', ''], ['\\begin{lem}', 1, 1, 'Lemme ', ''], ['\\Titlerow', 1, 1, '', ''], ['\\NameBox', 1, 1, '', ''], ['\\Name', 0, 1, '', '', 1, 1, '', ''], ['\\ToCSection', 1, 1, '', ''], ['\\ToCSubsection', 1, 1, '', ''], ['\\ToCRow', 1, 1, '', ' ..... 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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file \inpenc@prehook=\toks14 \inpenc@posthook=\toks15 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions \babel@savecnt=\count88 \U@D=\dimen103 ) Package babel Info: Making : an active character on input line 219. Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. \parindentFFN=\dimen104 \std@mcc=\count89 \dec@mcc=\count90 ************************************* * Local config file frenchb.cfg used * (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te xlive/tex/latex/base/ifthen.sty Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip43 For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks16 \ex@=\dimen105 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen106 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count91 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count92 \leftroot@=\count93 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count94 \DOTSCASE@=\count95 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen107 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count96 \c@MaxMatrixCols=\count97 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count98 \dspbrk@lvl=\count99 \tag@help=\toks17 \row@=\count100 \column@=\count101 \maxfields@=\count102 \andhelp@=\toks18 \eqnshift@=\dimen108 \alignsep@=\dimen109 \tagshift@=\dimen110 \tagwidth@=\dimen111 \totwidth@=\dimen112 \lineht@=\dimen113 \@envbody=\toks19 \multlinegap=\skip44 \multlinetaggap=\skip45 \mathdisplay@stack=\toks20 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) \symrsfs=\mathgroup6 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bigfoot/perpage.sty Package: perpage 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page \c@abspage=\count103 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) \calc@Acount=\count104 \calc@Bcount=\count105 \calc@Adimen=\dimen114 \calc@Bdimen=\dimen115 \calc@Askip=\skip46 \calc@Bskip=\skip47 LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75. LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76. \calc@Ccount=\count106 \calc@Cskip=\skip48 ) \MySkip=\skip49 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fix-cm.sty Package: fix-cm 2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty \fancy@headwidth=\skip50 \f@ncyO@elh=\skip51 \f@ncyO@erh=\skip52 \f@ncyO@olh=\skip53 \f@ncyO@orh=\skip54 \f@ncyO@elf=\skip55 \f@ncyO@erf=\skip56 \f@ncyO@olf=\skip57 \f@ncyO@orf=\skip58 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) \KV@toks@=\toks21 ) \Gm@cnth=\count107 \Gm@cntv=\count108 \c@Gm@tempcnt=\count109 \Gm@bindingoffset=\dimen116 \Gm@wd@mp=\dimen117 \Gm@odd@mp=\dimen118 \Gm@even@mp=\dimen119 \Gm@dimlist=\toks22 (/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX \@linkdim=\dimen120 \Hy@linkcounter=\count110 \Hy@pagecounter=\count111 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) ) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( HO) ) Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 8. Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. Implicit mode ON; LaTeX internals redefined Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty \Urlmuskip=\muskip11 Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. ) LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. \Fld@menulength=\count112 \Field@Width=\dimen121 \Fld@charsize=\dimen122 \Choice@toks=\toks23 \Field@toks=\toks24 Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. \Hy@abspage=\count113 \c@Item=\count114 ) *hyperref using driver hpdftex* (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX \Fld@listcount=\count115 ) \TmpLen=\skip59 \c@pp@a@footnote=\count116 \c@myunit=\count117 (./33083-t.aux) \openout1 = `33083-t.aux'. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 461. (/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern ) LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 461. LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 461. 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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX \Gread@gobject=\count118 (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex [Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] \scratchcounter=\count119 \scratchdimen=\dimen123 \scratchbox=\box28 \nofMPsegments=\count120 \nofMParguments=\count121 \everyMPshowfont=\toks25 \MPscratchCnt=\count122 \MPscratchDim=\dimen124 \MPnumerator=\count123 \everyMPtoPDFconversion=\toks26 ))) Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 461. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) ) \c@section@level=\count124 ) LaTeX Info: Redefining \ref on input line 461. LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 461. (./33083-t.out) (./33083-t.out) \@outlinefile=\write3 \openout3 = `33083-t.out'. Overfull \hbox (2.05862pt too wide) in paragraph at lines 477--477 []\T1/cmtt/m/n/9.2 The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Perman ent des Fluides, by[] [] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 500. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 500. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 500. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) ) [1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 ] [1 ] [2] [3] [4 ] [1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] Overfull \hbox (1.79578pt too wide) detected at line 1870 [] \OML/cmm/m/it/11 m [] \OT1/cmr/m/n/11 = \OML/cmm/m/it/11 m [][] [] ; [] [21] Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 1938--1948 [][][][] \T1/cmr/m/n/12 1$[]$Le pre-mier membre de cette équa-tion re-pré-sen-t ant le demi- [] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2869--2894 [] [39 ] [40] [41 ] [42 ] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [43 ] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [44] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [45] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [46] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [47] Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] [48] [49] (./33083-t.aux) *File List* book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file fontenc.sty t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package frenchb.ldf frenchb.cfg ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features amstext.sty 2000/06/29 v2.01 amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f mathrsfs.sty 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment perpage.sty 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page calc.sty 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) fix-cm.sty 2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file fancyhdr.sty geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) geometry.cfg hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO ) url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX supp-pdf.tex nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) 33083-t.out 33083-t.out umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) *********** ) Here is how much of TeX's memory you used: 5824 strings out of 94074 78652 string characters out of 1165154 147364 words of memory out of 1500000 8769 multiletter control sequences out of 10000+50000 44969 words of font info for 105 fonts, out of 1200000 for 2000 645 hyphenation exceptions out of 8191 26i,24n,43p,287b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s {/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} Output written on 33083-t.pdf (55 pages, 625839 bytes). PDF statistics: 806 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 228 named destinations out of 1000 (max. 131072) 113 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)