% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel            %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.net                          %
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%                                                                         %
% Title: Zahlentheorie                                                    %
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% Author: Kurt Hensel                                                     %
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% Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986]                          %
% Most recently updated: June 11, 2021                         %
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% Language: German                                                        %
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% Character set encoding: UTF-8                                           %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE ***             %
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\def\ebook{38986}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  T1 Font encoding. Required.                            %%
%% babel:    German language features. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% array:    Array enhancements. Required.                          %%
%%                                                                  %%
%% perpage:  Footnote enhancements. Required.                       %%
%% multicol: Multicolumn environment for index. Required.           %%
%% makeidx:  Indexing. Required.                                    %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Required. %%
%% icomma:   Make the comma a decimal separator in math. Required.  %%
%% soul:     Gesperrt text. Required.                               %%
%%                                                                  %%
%% fix-cm:   Larger title page fonts. Optional.                     %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Length calculations. Required.                         %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Changes are noted in this file in multiple ways.               %%
%%   1. \DPtypo{}{} for typographical corrections, showing original %%
%%      and replacement text side-by-side.                          %%
%%   2. \DPchg (stylistic uniformity) and \DPmod (modernization).   %%
%%   3. [** TN: Note]s for lengthier or stylistic comments.         %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%   Modernize (true by default):                                   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 473 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 5.25 x 7in (non-standard)                         %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Four overfull hboxes (<3.5pt too wide).                        %%
%% * Ten underfull vboxes.                                          %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% February, 2012: adhere (Andrew D. Hwang)                         %%
%%                 texlive2007, GNU/Linux                           %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x4                                                  %%
%%     makeindex                                                    %%
%%     pdflatex x3                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% February 2012: pglatex.                                          %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 38986-t.tex ..... FOUR times                          %%
%%   makeindex 38986-t.idx                                          %%
%%   pdflatex 38986-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)       %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05]

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[german]{babel}

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{array}[2005/08/23]

\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]
\usepackage{footmisc}[2005/03/17]

\usepackage{multicol}[2006/05/18]
\usepackage{makeidx}[2000/03/29]

\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
\usepackage{icomma}[2002/03/10]
\usepackage{soul}

\IfFileExists{fix-cm.sty}{%      %% For larger title page fonts
  \usepackage{fix-cm}[2006/03/24]%
  \newcommand{\MyHuge}{\fontsize{48}{60}\selectfont}%
}{% else
  \newcommand{\MyHuge}{\Huge}%
}

\usepackage{calc}[2005/08/06]

% for running heads
\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
\newboolean{ForPrinting}
%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

\newboolean{Modernize}
%% COMMENT the next line to retain original errors and inconsistencies
\setboolean{Modernize}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\ChapterSpace}{}
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser.}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung
  wurden stillschweigend vorgenommen. Alle Änderungen sind in der
  \LaTeX-Sourcedatei aufgeführt, die heruntergeladen werden kann von
  \begin{center}
    \texttt{book.klll.cc/ebooks/\ebook}.
  \end{center}

  Seitenzahlen im Text können um Eins zu niedrig sein.
  \bigskip
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon

  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  \LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\ChapterSpace}{\vspace*{1in}}
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon

    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des \LaTeX-Quelltextes.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,9in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{5.25in}%
  \setlength{\paperheight}{7in}%
  \usepackage[body={5in,6in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Zahlentheorie},
  pdfauthor={Kurt Hensel},
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, R. Stefan, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Library: Historical Mathematics
               Monographs collection},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

%%%% Global style parameters %%%%
\newlength{\ParIndent}
\setlength{\ParIndent}{2em} %** Should not be changed. Affects ToC.
\setlength{\parindent}{\ParIndent}

% No hrule in page header
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}

\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}
\widowpenalty=3000

% Loosen horizontal spacing
\setlength{\emergencystretch}{1.5em}

% Local spacing coercion
\newcommand{\Loosen}{\spaceskip 0.375em plus 0.75em minus 0.25em}

% Add parenthesis to footnote marker
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1}
\makeatother

% "Scratch pad" for length calculations
\newlength{\TmpLen}

%% Parametrized vertical space %%
\newcommand{\Strut}[1][12pt]{\rule{0pt}{#1}}

%%%% Corrections, modernizations, and in-line transcriber's notes %%%%
% Errors in the book's "Druckfehler"
\newcommand{\Errata}[2]{#2}

% Corrections found during digitization
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}

% Shorthand for missing punctuation, etc.
\newcommand{\Add}[1]{\DPchg{}{#1}}

\ifthenelse{\boolean{Modernize}}{%
  % Stylistic changes
  \newcommand{\DPchg}[2]{#2}

  \newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
  \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
}{% Else Modernize = false
  \newcommand{\DPchg}[2]{#1}% Discard changes made for stylistic uniformity

  \newcommand{\Ord}[2]{#1#2}% Ordinals not uniformly superscripted in the orig.
  \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
}

%%%% Running heads %%%%
\newcommand{\FlushRunningHeads}{%
  \clearpage
  \fancyhf{}
  \cleardoublepage
  \thispagestyle{empty}

  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
             {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}
             {\fancyhead[R]{\thepage}}
}

\newcommand{\SetCenterHeads}[1]{\fancyhead[C]{{#1}}}

\newcommand{\BookMark}[2]{\phantomsection\pdfbookmark[#1]{#2}{#2}}

%%%% Major document divisions %%%%
\newcommand{\FrontMatter}{%
  \cleardoublepage
  \frontmatter
  \BookMark{-1}{Anfang.}
}
\newcommand{\PGBoilerPlate}{%
  \pagenumbering{Alph}
  \pagestyle{empty}
  \BookMark{0}{PG Titelblatt.}
}
\newcommand{\MainMatter}{%
  \FlushRunningHeads
  \mainmatter
  \BookMark{-1}{Hauptteil.}
  \Loosen
}
\newcommand{\BackMatter}{%
  \backmatter
  \FlushRunningHeads
  \BookMark{-1}{Anhänge.}
}
\newcommand{\PGLicense}{%
  \FlushRunningHeads
  \pagenumbering{roman}
  \BookMark{-1}{Lizenz.}
  \SetCenterHeads{Lizenz}
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\newcommand{\TranscribersNote}[1]{%
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\PGBoilerPlate
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.net


Title: Zahlentheorie

Author: Kurt Hensel

Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: German

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\clearpage

%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and
the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (This file was produced from images
from the Cornell University Library: Historical Mathematics
Monographs collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\vfill
\TranscribersNote{\TransNoteText}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\PageSep{001}{}
\iffalse
Production Note

Cornell University Library
produced this volume to replace
the irreparably deteriorated
original. It was scanned using
Xerox Software and equipment at
600 dots per inch resolution
and compressed prior to storage
using CCITT Group 4
compression. The digital data
were used to create Cornell's
replacement volume on paper
that meets the ANSI Standard
Z39.48-1984. The production of
this volume was supported in
part by the Commission on
Preservation and Access and the
Xerox Corporation. 1991.
\fi
\PageSep{002}{}
% [Blank Page]
\PageSep{003}{}
% [Library stamp]
\iffalse
Cornell University Library
BOUGHT WITH THE INCOME
FROM THE
SAGE ENDOWMENT FUND
THE GIFT OF
Henry W. Sage
1891
\fi
\PageSep{004}{}
% [Blank Page]
\PageSep{005}{I}
\cleardoublepage
\pagenumbering{Roman}
\null\vfill
\begin{center}
\textbf{\Large Meiner lieben Frau gewidmet}
\end{center}
\vfill
\PageSep{006}{II}
% [Blank Page]
\PageSep{007}{III}
\cleardoublepage
\begin{center}
\textbf{\MyHuge Zahlentheorie}
\vfil\vfil
\Large Von
\vfil
\textbf{\Huge Dr.\ Kurt Hensel} \\
\footnotesize o. ö. Professor der Mathematik an \\
der Universität Marburg
\vfil\vfil\vfil
% [Illustration: Publisher's device: GJG 1785]
\vfil
\Large Berlin und Leipzig \\
\normalsize G.~J. Göschen'sche Verlagshandlung G.m.b.H. \\
1913
\end{center}
\PageSep{008}{IV}
% [Blank Page]
\PageSep{009}{V}


\Vorrede

%[** TN: Drop-cap]
Als die Aufgabe der elementaren Zahlentheorie kann die Aufsuchung
der Beziehungen bezeichnet werden, welche zwischen allen
rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ einerseits und einer
beliebig angenommenen festen Grundzahl~$g$ andererseits bestehen.
Man kann dieser Aufgabe in ihrem weitesten Umfange dadurch
genügen, daß man alle diese Zahlen~$m$ in unendliche Reihen
\[
m = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots
\]
entwickelt, welche nach ganzen Potenzen dieser Grundzahl fortschreiten.
Nur durch die Betrachtung dieser vollständigen Reihen
erhält man eine vollkommene Lösung unserer Aufgabe; beschränkt
man sich dagegen auf gewisse Anfangsglieder derselben, wie dies
gewöhnlich in der Zahlentheorie geschieht, so erhält man angenäherte
Resultate, welche für bestimmte Zwecke natürlich von großem Werte
sein werden. Niemals aber können durch solche Annäherungen die
Beziehungen der zu untersuchenden Zahlen~$m$ zu der Grundzahl~$g$
vollständig und genau ergründet werden.

Aus diesem Grunde habe ich in dem vorliegenden Werke die
Untersuchung der Zahlgrößen
\[
A = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots,
\]
welche ich \so{$g$-adische Zahlen} nenne, mit Vorbedacht in den Vordergrund
der Betrachtung gestellt. Für sie kann der Begriff der Gleichheit
so definiert werden, daß jede rationale Zahl~$m$ einer einzigen
$g$-adischen Zahl gleich ist, welche stets beliebig genau berechnet
werden kann, \dh\ so weit, als es der Zweck der betreffenden Untersuchung
erfordert. Ebenso läßt sich die Addition und die Multiplikation
der $g$-adischen Zahlen so definieren, daß die Summe oder
\PageSep{010}{VI}
das Produkt beliebiger rationaler Zahlen der Summe oder dem
Produkte der ihnen gleichen $g$-adischen Zahlen gleich wird.

Man erkennt dann leicht, daß diejenigen unter diesen $g$-adischen
Zahlen, welche rationalen Zahlen gleich sind, nur einen Teilbereich
von allen $g$-adischen Zahlen bilden. Und zwar steht das größere
Reich aller $g$-adischen Zahlen zu demjenigen aller rationalen Zahlen
in genau derselben Beziehung, wie bei der Untersuchung der reellen
Zahlen nach ihrer Größe der Bereich aller rationalen und irrationalen
Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen. Auch hier können
nämlich die allgemeinen $g$-adischen Zahlen als Größen definiert werden,
welche zwar nicht selbst rationalen Zahlen gleich zu sein brauchen,
welche aber mit jeder vorgegebenen Genauigkeit durch rationale
Zahlen approximiert werden können. Und ebenso, wie die eingehende
Untersuchung aller rationalen Zahlen nach ihrer Größe erst bei
Hinzunahme der irrationalen Zahlen begrifflich und tatsächlich einfach
wird, so ergibt die Betrachtung aller rationalen Zahlen in
bezug auf eine Grundzahl~$g$ erst bei der Adjunktion aller $g$-adischen
Zahlen einheitliche und allgemeine Resultate.

Die Durchführung dieser Untersuchung ergibt nun höchst einfach
das interessante Resultat, daß alle $g$-adischen Zahlen einen
sog.\ \so{Zahlenring} bilden, daß ihr Bereich nämlich so ausgedehnt
und dabei so in sich abgeschlossen ist, daß in ihm die Operationen
der Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig
in der Weise ausführbar sind, daß sie immer wieder zu
$g$-adischen Zahlen führen. Dagegen ist die vierte elementare Rechenoperation,
die Division, nur in dem einfachsten Falle ebenfalls immer
eindeutig ausführbar, wenn die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ ist;
nur dann bilden also alle $p$-adischen Zahlen
\[
a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots
\]
zusammengenommen einen sog.\ \so{Zahlkörper}, in welchem alle vier
elementaren Rechenoperationen stets ausgeführt werden können.

In jedem Körper sind nun die elementaren Rechengesetze
genau ebenso anwendbar und richtig wie \zB\ in dem speziellen
Körper aller rationalen Brüche oder in demjenigen aller reellen
rationalen und irrationalen Zahlen. In einem Ringe dagegen gelten
wichtige Sätze nicht, besonders der Satz, daß ein Produkt nur dann
\PageSep{011}{VII}
Null sein kann, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Es ist
deshalb ein Resultat von fundamentaler Bedeutung für die hier auseinandergesetzte
Zahlentheorie, daß sich jeder Ring von $g$-adischen
Zahlen auf die einfachste Weise aus denjenigen Körpern der $p$-adischen,
$q$-adischen,~\dots\ $r$-adischen Zahlen zusammensetzen läßt, deren
Grundzahlen $p$,~$q$, \dots\ $r$ die sämtlichen Primteiler von~$g$ sind. Damit
sind alle Fragen der Zahlenlehre, welche sich auf zusammengesetzte
Grundzahlen beziehen, vollständig und wunderbar einfach auf dieselben
Fragen für Primzahlen zurückgeführt, und die ganze Zahlentheorie
reduziert sich jetzt auf die Untersuchung eines beliebigen Körpers
von $p$-adischen Zahlen.

Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Untersuchung
dieser Zahlringe und ihre Reduktion auf die zugehörigen Zahlkörper
die einzige Aufgabe ist, welche die gesamte Zahlentheorie, sowohl
die hier behandelte elementare, als auch die höhere Theorie der
algebraischen Zahlen darbietet. In der Tat sind auch in dieser
letzten Theorie nur genau so wie hier gebildete Ringe $g$-adischer
Zahlen zu untersuchen, und die sonst einzuführende Theorie der
idealen Primfaktoren wird hier ersetzt durch die Zerlegung eines
solchen Ringes in die ihn zusammensetzenden Körper, eine Aufgabe,
welche schon in diesem Buche vollständig gelöst wird. Bei dieser
Auffassung treten also in der höheren Theorie der algebraischen
Zahlen absolut keine neuen prinzipiellen Schwierigkeiten auf.

Die Untersuchung der Körper $p$-adischer Zahlen, auf die sich
alles reduziert, wird nun dadurch prinzipiell besonders einfach, daß
man alle $p$-adischen Zahlen genau ebenso wie die ihrer Größe nach
untersuchten reellen Zahlen als Exponenten einer und derselben
Basis darstellen kann. Hierdurch reduzieren sich alle Fragen der
Multiplikation und Division, welche ja in der Zahlentheorie fast
allein behandelt werden und behandelt werden können, auf Fragen
der Addition und Subtraktion der zugehörigen Logarithmen, deren
Lösung dann völlig selbstverständlich ist. Diese wesentliche Vereinfachung
der Arithmetik beruht auf der Möglichkeit, die $p$-adischen
Zahlen in bestimmter Weise ihrer "`Größe"' nach so anzuordnen, daß
für sie die wesentlichsten Grundgesetze der Analysis in Geltung
bleiben, und daß so die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung,
der Logarithmus, auch in die Arithmetik eingeführt werden können.
\PageSep{012}{VIII}

Von den Fragen, welche nach der vollständigen Theorie der
linearen Gleichungen und Kongruenzen mit diesen neuen Methoden
behandelt werden, bezieht sich die erste auf die Auflösung der reinen
Gleichungen und der reinen Kongruenzen im Ringe der $g$-adischen
Zahlen; diese findet bei der speziellen Behandlung der quadratischen
Gleichungen im Reziprozitätsgesetze ihren natürlichen Abschluß. Mit
den hier gewonnenen Hilfsmitteln kann dann zweitens in kurzen
Zügen eine Darstellung der wichtigsten in diesen Rahmen gehörigen
Ergebnisse der Theorie der binären und ternären quadratischen Formen
gegeben werden; hier ergeben sich zuletzt die Sätze über die Darstellung
der rationalen Zahlen durch binäre Formen für den Bereich
einer jeden Primzahl und die auf dieser Grundlage beruhende Einteilung
dieser Formen in Geschlechter.

Die in diesem Buche gegebene Darstellung setzt keine Vorkenntnisse
voraus und ist so ausführlich gehalten, daß Studierende
der Mathematik dasselbe mit vollem Verständnis lesen können.
Möchte es mir darüber hinaus gelungen sein, dem Leser auch etwas
von der großen Freude an diesem reinsten und, ich möchte sagen,
mathematischsten Gebiete der Mathematik zu geben, welche ich
selbst bei der mehrjährigen Beschäftigung mit diesen Fragen
empfunden habe.

Bei der Redaktion dieses Werkes hat mir Herr stud.\ phil.\
\DPchg{\so{A.~Fraenkel}}{\Name{A.~Fraenkel}} in unermüdlicher Arbeit sehr dankenswerte und wertvolle
Unterstützung gegeben; bei der Herstellung des Sachregisters
hat mir Herr stud.\ phil.\ \DPchg{\so{Ostrowski}}{\Name{Ostrowski}} geholfen. Endlich gilt mein
Dank den Leitern des G.~J. Göschen'schen Verlages, die mir meine
Aufgabe durch verständnisvolles Eingehen auf meine Wünsche und
durch ihre bekannte Sorgfalt im Druck und in der Ausstattung
wesentlich erleichtert und verschönt haben.

\Signature{\so{Marburg}, den 7.~Juni 1913.}{K. Hensel.}
\PageSep{013}{IX}
\tableofcontents
\iffalse
Inhaltsverzeichnis.

                                                                 Seite

Vorrede                                                           V-VIII

Erstes Kapitel.

Die elementaren Rechenoperationen und die Zahlbereiche            1-16

§ 1. Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen
Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens                         1

§ 2. Die Körper                                                6

§ 3. Die Moduln                                                8

§ 4. Die Gruppen oder Strahlen                                10

§ 5. Die Ringe                                                13

Zweites Kapitel.

Der Körper der rationalen Zahlen. Die Primzahlen                 17-35

§ 1. Die Teilbarkeit der Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler  17

§ 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das kleinste
gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen                                20

§ 3. Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der rationalen
Zahlen in Primzahlen                                                28

Drittes Kapitel.

Die Beziehungen aller rationalen Zahlen zu einer Grundzahl g.
Die g-adische Darstellung der rationalen Zahlen                  36-56

§ 1. Die modulo g ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen    36

§ 2. Einteilung der modulo g ganzen Zahlen in Kongruenzklassen
und das Rechnen mit diesen Klassen                                  40

§ 3. Die g-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen. Ihre
Näherungswerte                                                      49

Viertes Kapitel.

Der Ring R(g) der allgemeinen g-adischen Zahlen für eine
beliebige Grundzahl g                                            57-69

§ 1. Definition der allgemeinen g-adischen Zahlen             57
\fi
\PageSep{014}{X}
\iffalse                                                                 Seite

§ 2. Die Addition und Multiplikation im Bereich der g-adischen
Zahlen                                                              63

Fünftes Kapitel.

Die Zerlegung des Ringes aller g-adischen Zahlen in seine einfachsten
Bestandteile                                                    70-106

§ 1. Inhalt und Ziel der Untersuchung                         70

§ 2. Die Beziehungen zwischen g-adischen Zahlen mit verschiedener
Grundzahl                                                           72

§ 3. Die Zerlegung des Ringes R(G) in die beiden Ringe R(P)
und R(Q)                                                            78

§ 4. Die Zerlegung des Ringes R(g) in die Ringe R(p), R(q), ...,
deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung der
g-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen
Normalform                                                          86

§ 5. Die Einteilung der ganzen g-adischen Zahlen in Zahlklassen
modulo g                                                            92

§ 6. Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche
Satz für endliche Gruppen                                           99

Sechstes Kapitel.

Der Körper K(p) der p-adischen Zahlen, deren Grundzahl
eine beliebige Primzahl ist                                    107-128

§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Körper K(p) der
p-adischen Zahlen                                                  107

§ 2. Die Anordnung der p-adischen Zahlen nach ihrer Größe    112

§ 3. Grenzwerte von Reihen p-adischer Zahlen                 114

§ 4. Die unendlichen Reihen mit p-adischen Gliedern und das
Kriterium für ihre Konvergenz                                      116

§ 5. Die Potenzreihen im Bereich der p-adischen Zahlen       118

§ 6. Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche   122

§ 7. Die unendlichen Produkte                                127

Siebentes Kapitel.

Die Elemente der Analysis und Algebra im Gebiete der p-adischen
Zahlen                                                         129-152

§ 1. Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit und
Differenzierbarkeit. Die p-adischen Potenzreihen sind in
ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare
Funktionen ihres Argumentes                                        129

§ 2. Die Exponentialfunktion im Bereiche der p-adischen
Zahlen                                                             131
\fi
\PageSep{015}{XI}
\iffalse
                                                                 Seite
§ 3. Der Logarithmus im Bereiche der p-adischen Zahlen       139

§ 4. Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell
im Körper der p-adischen Zahlen                                    145

Achtes Kapitel.

Die Elemente der Zahlentheorie im Körper der p-adischen
Zahlen                                                         153-187

§ 1. Die Einheitswurzeln im Körper der p-adischen Zahlen     153

§ 2. Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen
modulo p                                                           159

§ 3. Die Logarithmen der p-adischen Zahlen                   161

§ 4. Untersuchung der p-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz
p^{k} als Modul                                                      168

§ 5. Die primitiven Wurzeln modulo p^{k}. Die Theorie der Indizes
für eine Primzahlpotenz als Modul                                  173

§ 6. Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige
Primzahlpotenz. Lineare Kongruenzen im p-adischen Zahlkörper       181

Neuntes Kapitel.

Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe der g-adischen Zahlen  188-227

§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der g-adischen
Zahlen                                                             188

§ 2. Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die Haupteinheit
einer g-adischen Zahl                                              196

§ 3. Die Ordnungszahlen der g-adischen Zahlen               199

§ 4. Die Anordnung der g-adischen Zahlen nach ihrer Größe.
Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die
Exponentialfunktion und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus
der g-adischen Zahlen                                              202

§ 5. Die Elemente der Algebra im Ringe der g-adischen
Zahlen. Die g-adischen Einheitswurzeln                             208

§ 6. Die Logarithmen der g-adischen Zahlen                   215

§ 7. Untersuchung der g-adischen Zahlen für einen beliebigen
zusammengesetzten Modul                                            217

§ 8. Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul g. -- Die
Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo g              223

Zehntes Kapitel.

Die Auflösung der reinen Gleichungen und der reinen Kongruenzen.
Die quadratischen Gleichungen und Kongruenzen                  228-258

§ 1. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der g-adischen
Zahlen                                                             228
\fi
\PageSep{016}{XII}
\iffalse
                                                                 Seite
§ 2. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper der
p-adischen Zahlen                                                  234

§ 3. Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul g     236

§ 4. Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen      247

§ 5. Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen      253

Elftes Kapitel.

Das Reziprozitätsgesetz für die quadratischen Reste            259-291

§ 1. Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das
Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma                        259

§ 2. Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische Reziprozitätsgesetz   269

§ 3. Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes   273

§ 4. Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz              277

§ 5. Das Jacobi-Legendresche Symbol (Q/P)                    281

§ 6. Der Algorithmus zur Bestimmung von $$E (p)              289

Zwölftes Kapitel.

Die quadratischen Formen                                       292-352

§ 1. Der Körper K(p_$$) aller reellen Zahlen                 292

§ 2. Die quadratischen Formen und ihre Teiler                294

§ 3. Die binären, quadratischen Formen und ihre Teiler       300

§ 4. Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler       307

§ 5. Die Darstellung der p-adischen Zahlen durch die binären
Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine
Dekompositionssatz                                                 314

§ 6. Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären quadratischen
Formen                                                             321

§ 7. Über die Darstellung der rationalen Zahlen durch binäre
Formen                                                             326

§ 8. Einteilung der binären quadratischen Formen in Geschlechter   339

§ 9. Beispiele                                               346

Sachregister                                                   353-356
\fi
\PageSep{017}{1}
\MainMatter

\Chapter{Erstes Kapitel.}
{Die elementaren Rechenoperationen und
die Zahlbereiche.}

\Section{§ 1.}{Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen
Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens.}

Die Arithmetik stellt sich die Aufgabe, die Eigenschaften der
rationalen ganzen und gebrochenen Zahlen zu ergründen. Ich will
diese Zahlen selbst sowie auch die vier elementaren Rechenoperationen
der \so{Addition}, \so{Subtraktion}, \so{Multiplikation} und
\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}%
\so{Division}, durch die sie miteinander verknüpft werden, als bekannt
voraussetzen.

Ich muß aber gleich hier die \so{sieben Grundgesetze} hervorheben,
welche für die Addition und die Multiplikation und damit
von selbst für die beiden inversen Operationen, die Subtraktion und
die Division, gelten und aus denen alle übrigen die Addition und
Multiplikation betreffenden Rechengesetze für die rationalen Zahlen
als rein \emph{logische} Folgerungen hergeleitet werden können.

%[** TN: Colon not italic in original, but italic on subsequent pages]
\Axiom{I)}{Das assoziative Gesetz der Addition:} Es gilt für jede Summe
\index{Assoziatives!Gesetz der Addition}%
von beliebig vielen, \zB\ drei Summanden $a$,~$b$,~$c$:
\[
(a + b) + c = a + (b + c).
\]

Die Klammern können daher bei der Addition als bedeutungslos
für das Ergebnis weggelassen werden; es ist $(a + b) + c = a + (b + c)
= a + b + c$. \ZB~ist
\[
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 3 + 4 + 5,
\]
\PageSep{018}{2}
\dh\
\[
7 + 5 = 3 + 9.
\]

\Axiom{II)}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für jedes
\index{Assoziatives!Gesetz der Multiplikation}%
\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}%
Produkt von beliebig vielen, \zB\ drei Faktoren $a$,~$b$,~$c$:
\[
(ab)c = a(bc).
\]

Auch hier sind daher Klammern überflüssig; es ist $(ab)c = a(bc)
= abc$. \ZB~ist
\[
(3·4)·5 = 3·(4·5) = 3·4·5,
\]
\dh\
\[
12·5 = 3·20.
\]

\Axiom{III)}{Das kommutative Gesetz der Addition:} Es gilt für beliebig
\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Addition}%
viele Summanden:
\begin{gather*}
a + b = b + a, \\
a + b + c = c + b + a = \dots.
\end{gather*}

\Axiom{IV)}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für
\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Multiplikation}%
beliebig viele Faktoren:
\begin{gather*}
ab = ba, \\
abc = cba = \dots.
\end{gather*}

Nach dem dritten und dem vierten Gesetz kann also in jeder
Summe bzw.\ in jedem Produkt die Reihenfolge der Summanden
bzw.\ Faktoren beliebig vertauscht werden. So ist \zB\
\begin{gather*}
3 + 4 + 5 = 5 + 4 + 3 = 3 + 5 + 4 = \dots = 12\DPtypo{}{,} \\
3·4·5 = 5·4·3 = 3·5·4 = \dots = 60.
\end{gather*}

\Axiom{V)}{Das distributive Gesetz der Addition und Multiplikation:}
\index{Distributives Gesetz}%
\[
a(b + c) = ab + ac.
\]
\ZB~ist
\[
4(3 + 5) = 4·3 + 4·5, \quad\text{\dh}\quad 4·8 = 12 + 20.
\]

\Axiom{VI)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:}
\index{Subtraktion!Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen}%
Sind $a$~und~$b$ beliebige rationale Zahlen, so gibt es stets eine
einzige rationale Zahl~$x$, für die
\[
a + x= b
\]
\PageSep{019}{3}
ist. Diese Zahl~$x$ wird mit $b - a$ bezeichnet und die \so{Differenz}
von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Minuendus}, $a$~der \so{Subtrahendus}.
\index{Minuendus}%
\index{Subtrahendus}%
Nach dieser Definition ist also allgemein:
\[
a + (b - a) = b.
\]

\ZB~folgt aus
\begin{gather*}
5 + x = 8, \quad\text{bzw.}\quad 8 + y = 5 \\
x = 8 - 5 = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = 5 - 8 = -3;
\end{gather*}
ebenso folgt aus
\[
\frac{3}{4} + z = \frac{1}{3},\quad
z = \frac{1}{3} - \frac{3}{4}  = -\frac{5}{12}.
\]

\Axiom{VII)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:}
\index{Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen}%
Ist $a$ irgendeine von Null verschiedene, $b$~eine ganz beliebige rationale
Zahl, so gibt es stets eine einzige rationale Zahl~$x$, für die
\[
ax = b
\]
wird. Diese Zahl~$x$ wird mit $\dfrac{b}{a}$ oder $b:a$ bezeichnet und der \so{Quotient}
\index{Quotient}%
von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Zähler} oder \so{Dividendus},
$a$~der \so{Nenner} oder \so{Divisor}. Nach dieser Definition
ist also allgemein, sobald $a$~von Null verschieden ist:
\[
a·\frac{b}{a} = b.
\]

\ZB\ folgt aus
\begin{gather*}
2x = 6, \quad\text{bzw.}\quad \frac{2}{3} y = \frac{7}{12} \\
x = \frac{6}{2} = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = \frac{7}{12} : \frac{2}{3} = \frac{7}{8}.
\end{gather*}

Die Zahl Null, welche in dem siebenten Gesetz vorkommt,
kann in eindeutiger Weise als diejenige rationale Zahl charakterisiert
werden, für die bei \emph{jeder} rationalen Zahl~$a$
\[
\Tag{(1)}
a + 0 = a
\]
gilt, deren Addition zu einer beliebigen rationalen Zahl also diese
ungeändert läßt. Man kann daher die Zahl Null als das \so{Einheitselement
für die Addition} bezeichnen, wenn man
\index{Einheitselement für die Addition}%
\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}%
allgemein für eine beliebige Verknüpfungsoperation eine Zahl des
\PageSep{020}{4}
Bereichs, deren Verknüpfung mit jeder beliebigen Zahl desselben
diese ungeändert läßt, ein \so{Einheitselement} für die betreffende
Operation nennt. Bei dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz der
rationalen Zahl~$0$ folgendermaßen allein aus den Grundgesetzen}
und zwar \emph{ohne Benutzung des siebenten}:

Zunächst gibt es wegen \Iref{VI)} eine einzige rationale Zahl~$0_{a}$, welche
zu einer beliebigen, aber fest gegebenen rationalen Zahl~$a$ hinzugefügt
diese ungeändert läßt, für welche also die Gleichung:
\[
\Tag{(1^{a})}
a + 0_{a} = a
\]
gilt, sodaß $0_{a} = a - a$ ist. Für eine andere rationale Zahl~$b$ folgt
ebenso die Existenz einer einzigen rationalen Zahl~$0_{b}$, für welche
\[
\Tag{(2)}
b = 0_{b} = b,
\]
also $0_{b} = b - b$ ist. Nun muß stets $0_{a} = 0_{b}$ sein. Wird nämlich
eine dritte Zahl~$c$ so gewählt, daß
\[
\Tag{(3)}
a + c = b
\]
ist, was wiederum wegen \Iref{VI)} stets und auf eine einzige Weise möglich
ist, so folgt aus~\Eq{(1^{a})} durch Addition von~$c$ auf beiden Seiten und
unter Verwendung von \Iref{I)}~und~\Iref{III)}:
\[
(a + c) + 0_{a} = a + c, \quad\text{\dh\ nach~\Eq{(3)}:}\quad b + 0_{a} = b,
\]
also wegen \Eq{(2)}~und~\Iref{VI)}:
\[
0_{a} = 0_{b},
\]
womit die Behauptung bewiesen ist. Man kann daher den gemeinsamen
Wert $a - a = b - b = \dots = 0$ setzen.

Ersetzt man ferner in der unter dem fünften Grundgesetz stehenden
Gleichung~$c$ durch~$0$, so folgt nach der Definition von~$0$:
\[
a(b + 0) = ab = a·b + a·0,
\]
\dh\ \emph{es muß für jede rationale Zahl~$a$ stets $a·0 = 0$ sein}. Aus
diesem Grunde muß im siebenten Grundgesetz~$a$ als von Null verschieden
vorausgesetzt werden, da für $a = 0$, wie auch $x$ gewählt
werde, stets $0·x = x·0 = 0$ ist, also der in~\Iref{VII)} vorkommende Wert
$b$ dann nicht beliebig angenommen werden darf.
\PageSep{021}{5}

Ähnlich wie vorher die Null kann jetzt die Zahl~$1$ als diejenige eindeutig
bestimmte rationale Zahl definiert werden, deren Multiplikation
\emph{jede} rationale Zahl~$a$ ungeändert läßt, für die also stets
\[
a·1 = a
\]
ist. Hiernach kann~$1$ in dem oben angegebenen Sinn als \so{das
Einheitselement für die Multiplikation} bezeichnet
\index{Einheitselement für die Addition!für die Multiplikation}%
werden. Nach dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz von~$1$ direkt
aus den Grundgesetzen (hier unter Benutzung des siebenten)} ganz
entsprechend dem vorhin für die Existenz der Null geführten Beweise
folgendermaßen: Sind $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden, so folgt aus
\Iref{VII)} die Existenz je einer eindeutig bestimmten rationalen Zahl $1_{a}$
und~$1_{b}$, für welche
\[
\Tag{(4)}
a·1_{a} = a, \quad
b·1_{b} = b
\]
wird. Ist wieder $c$ so gewählt, daß $ac = b$ ist, so folgt aus der
ersten Gleichung~\Eq{(4)} nach Multiplikation beider Seiten mit~$c$ wegen
\Iref{II)} und~\Iref{IV)}:
\[
(ac)·1_{a} = ac \quad\text{oder}\quad b·1_{a} = b;
\]
es muß also notwendig für beliebige von $0$ verschiedene rationale
Zahlen $a$,~$b$,~\dots\ stets $1_{a} = 1_{b} = \dots = 1$ sein. Aber auch für $a = 0$ ist
$0·1 = 0$ nach dem Ergebnis des letzten Absatzes; also ist in der Tat
für jedes~$a$\; $a·1 = a$, \wzbw.

Es ist eine sehr reizvolle Aufgabe, die elementaren Rechengesetze
direkt als Folgerungen aus den soeben aufgestellten sieben Grundgesetzen
herzuleiten. Diese Aufgabe mag dem Leser überlassen
bleiben. Es werde hier nur auf den folgenden Satz aufmerksam gemacht,
welcher eine unmittelbare Folge jener Gesetze, insbesondere
des siebenten, ist.

\begin{Theorem}[\itshape]
Ein Produkt ist dann und nur dann Null, wenn mindestens
einer seiner Faktoren Null ist.
\end{Theorem}

Sind nämlich $a$ und $b$ zwei von Null verschiedene rationale Zahlen,
so ist $ab$ von $a·0 = 0$ verschieden, weil nach \Iref{VII)} nur eine einzige
Zahl~$x$ existiert, für welche $ax = 0$ ist. Daß für jedes rationale~$a$
stets $a·0 = 0·a = 0$ ist, wurde bereits bewiesen.
\PageSep{022}{6}

Endlich soll hier noch die folgende wichtige Bemerkung angeschlossen
werden: Für den Bereich der rationalen Zahlen sind die Addition
und die Multiplikation die gewöhnlich so bezeichneten bekannten
Operationen, und das Gleiche gilt von den inversen Operationen,
der Subtraktion und der Division. Da sich aber alle Gesetze
des elementaren Rechnens allein aus den sieben oben angegebenen
Grundgesetzen als rein logische Folgerungen ergeben, so bleiben diese
Rechengesetze unverändert bestehen, wenn man statt des Bereiches
der rationalen Zahlen irgendeinen anderen Bereich betrachtet und
Addition und Multiplikation irgendwie anders definiert, vorausgesetzt
nur, daß auch für diese anders definierten Operationen jene sieben
Grundgesetze gültig bleiben. Von dieser Tatsache wird im folgenden
sehr häufig Gebrauch gemacht werden.


\Section{§ 2.}{Die Körper.}

Der soeben betrachtete Bereich der rationalen Zahlen bietet das
\index{Korpor@{Körper}!Ka@{$K(a, b, \dots c)$}}%
erste Beispiel für einen sog.\ \so{Körper}. Wir werden diesem Begriff
in der Folge so häufig begegnen, daß es sich empfiehlt, gleich hier
eine ganz allgemeine Definition desselben zu geben. Es sei uns ein
Bereich
\[
K(a, b, c, \dots)
\]
von irgendwelchen Elementen gegeben (\zB~der vorher betrachtete
Bereich aller rationalen Zahlen oder der Bereich aller reellen Zahlen);
ferner seien für diese Elemente zwei Verknüpfungsoperationen definiert,
die wie vorher Addition und Multiplikation genannt werden sollen und
mittels derer aus je zwei beliebigen Elementen des Bereichs~$K$ stets
eindeutig abermals ein Element \emph{desselben Bereiches~$K$} gewonnen wird.
Gelten dann für diese beiden Operationen die sieben vorher angegebenen
Grundgesetze, so soll der Bereich~$K$ ein Körper genannt
werden. So bilden die rationalen Zahlen, wenn sie durch die gewöhnlichen
elementaren Rechenoperationen, die vier Spezies, miteinander
verknüpft werden, den sog.\ \so{Körper der rationalen
Zahlen}, dessen Elemente sämtlich offenbar aus dem Einheitselement~$1$
durch sukzessive Anwendung dieser Rechenoperationen erhalten
werden können. Aus diesem Grunde soll der Körper der rationalen
\PageSep{023}{7}
Zahlen auch kurz durch~$K(1)$ bezeichnet werden; die am Anfang
angegebene Aufgabe der elementaren Arithmetik kann daher als
die Untersuchung der Eigenschaften der Elemente von~$K(1)$ definiert
werden. Es gibt aber außer~$K(1)$ noch unendlich viele andere Körper,
und gerade die Erforschung der Eigenschaften verschiedener solcher
Zahlkörper wird später eine unserer Hauptaufgaben bilden.

Der einfachste Körper ist derjenige, welcher aus dem einzigen
Elemente Null bei Verwendung der gewöhnlichen Addition und Multiplikation
besteht; denn man erkennt leicht, daß für diesen Bereich alle
sieben Grundgesetze erfüllt sind, da $0 + 0 = 0$ und $0·0 = 0$ ist. Dieser
Körper werde \so{Nullkörper} genannt und durch $K(0)$ bezeichnet.
\index{Nullkörper~$K(0)$}%
Andere bekannte Körper sind \zB\ der Körper aller reellen Zahlen
oder der Körper aller reellen und komplexen Zahlen, beidemal bei
Erklärung der Addition und der Multiplikation im gewöhnlichen Sinn.
Es ist nicht nötig, daß ein Körper immer aus einer unendlichen
Anzahl von Elementen besteht; später werden wir vielmehr auch
Körper kennen lernen, welche nur eine endliche Anzahl von Elementen
besitzen.

Jeder Körper enthält, wie im §~1 allgemein bewiesen wurde, ein
Element Null und, falls er nicht der Nullkörper ist, auch ein von Null
verschiedenes Element Eins, also je ein Einheitselement für die Addition
und die Multiplikation; ferner gilt nach dem Beweise \aSeite{5}
für jeden Körper der Satz, daß ein Produkt~$ab$ stets und nur dann
Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Beim Beweis
dieses letzten Satzes wurde insbesondere von der Gültigkeit des
siebenten Grundgesetzes Gebrauch gemacht.

Der hier definierte und an die Spitze der ganzen Betrachtung
gestellte Begriff des Körpers ist nur einer von denjenigen allgemeinen
Begriffen, deren Einführung in die Arithmetik so fruchtbar geworden
ist; allerdings ist er für die Arithmetik wohl auch der wichtigste
unter ihnen. Man kann als eine Eigentümlichkeit der Zahlenlehre
das Bestreben bezeichnen, die einzelnen Zahlen als Elemente größerer
Zahlbereiche zu betrachten, welche, wie die Körper, durch bestimmte
Eigenschaften charakterisiert sind, und die Betrachtung der einzelnen
Zahlen durch die genaue Ergründung der Eigenschaften jener Bereiche
zu ersetzen.
\PageSep{024}{8}

Bei dieser Auffassung kann jeder Zahlkörper als ein Bereich
charakterisiert werden, in welchem alle vier elementaren Rechenoperationen,
\dh\ die Addition, Subtraktion, Multiplikation und die
Division, unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ihnen nahe
stehen nun solche Bereiche, innerhalb deren nur gewisse von diesen
vier Grundoperationen immer ausführbar sind, andere aber nicht.
Ich will gleich hier diejenigen unter diesen Bereichen hervorheben,
welche für die Arithmetik besonders wichtig geworden sind.


\Section{§ 3.}{Die Moduln.}

Es sei $M(a, b, c, \dots)$ wieder ein Bereich von Elementen, und es
sei für sie nur eine einzige Verknüpfungsoperation definiert, welche
\so{Addition} genannt werde und mittels derer aus je zwei Elementen
$a$~und~$b$ von~$M$ wieder ein Element $c = a + b$ \emph{desselben Bereiches} $M$
hervorgeht. Für diese Addition mögen wieder die drei Grundgesetze
gelten, welche für sie unter \Iref{I)},~\Iref{III)} und~\Iref{VI)} im §~1 aufgestellt waren,
nämlich:

\Axiom{I')}{Das assoziative Gesetz der Addition:}
\[
(a + b) + c = a + (b + c).
\]

\Axiom{II')}{Das kommutative Gesetz der Addition:} $a + b = b + a$.

%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original]
\Axiom{III')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:}
Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$M$, so gibt
es stets in~$M$ ein einziges Element $x = b - a$, für das
$a + x = b$ wird.

Jeder solche Zahlbereich~$M$ wird nach \Name{Dedekind} ein \so{Modul}
\index{Modul!$M(a, b, c, \dots)$}%
genannt. Aus \Iref{III')} folgt, daß jeder Modul notwendig das Element
$a - a = b - b = \dots = 0$ enthält. Jeder Körper ist natürlich ein
Modul, aber nicht umgekehrt jeder Modul ein Körper.

Sind \zB\ $a$~und~$b$ zwei beliebige ganze Zahlen, so bilden alle diejenigen
ganzen Zahlen einen Modul, welche aus $a$~und~$b$ durch beliebig
oft angewandte Addition und Subtraktion entstehen, also die Zahlen
$(0, ±a, ±2a, \dots, ±b, ±2b, \dots, ±a ± b, ±a ± 2b,~\dots)$, allgemein
also alle Zahlen
\[
(ma + nb),
\]
\PageSep{025}{9}
wo $m$~und~$n$ unabhängig voneinander alle positiven und negativen
ganzzahligen Werte durchlaufen. Ist \zB\ $a = 6$, $b = 10$, so erkennt
man leicht, daß in dem Modul $M = (6, 10) = (6m + 10n)$ alle und
nur die durch $2$ teilbaren ganzen Zahlen, also alle geraden Zahlen
enthalten sind. Ebenso enthält der Modul $(6l + 9m + 15n)$ alle
und nur die durch $3$ teilbaren Zahlen, wie man sich leicht überzeugt.

Der einfachste Modul ist auch hier der sog.\ Nullmodul~$M(0)$,
\index{Nullmodul~$M(0)$}%
welcher aus dem einzigen Elemente~$0$ besteht, denn für ihn sind ja
offenbar die Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} gültig. Jeder andere Modul
$M(a, b, \dots)$ muß das Element~$0$ enthalten, da in ihm sicher die
Größe $a - a = b - b = \dots = 0$ vorkommt.

Andere spezielle Moduln sind \zB\ der Bereich aller ganzen
Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, der Bereich aller reellen sowie derjenige
aller reellen und komplexen Zahlen, wobei jedesmal die Addition im
gewöhnlichen Sinn verstanden wird.

Ist allgemein $M$ ein beliebiger Modul, welcher von dem nur das
einzige Element Null enthaltenden \so{Nullmodul} verschieden ist, also
außer $0$ noch ein anderes Element~$a$ enthält, so enthält er außer $a$ nach
seiner Definition auch alle Elemente
\[
a + a,\quad
a + a + a,\ \dots,\quad
a + a + \dots + a,\ \dots
\]
welche abgekürzt durch die Symbole $2a$,~$3a$,~\dots, $ma$,~\dots\ bezeichnet
werden mögen. Enthält $M$ auch die gewöhnlichen positiven Zahlen
$1$,~$2$, $3$,~\dots, und darf man die Elemente von~$M$ speziell mit ihnen
multiplizieren, so sind jene Summen direkt gleich den Produkten~$m·a$;
anderenfalls sind die Symbole~$ma$ nur abgekürzte Bezeichnungen
für die in~$M$ vorhandenen Summen $a + a$, $a + a + a$,~\dots\ mit zwei,
drei,~\dots\ gleichen Summanden~$a$. Ferner werde das Nullelement,
welches nach der soeben gemachten Bemerkung ebenfalls in $M$ vorkommt,
durch $0·a$ bezeichnet. Ebenso enthält $M$ nach \Iref{III'\Add{)}} auch das
zu $a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, für das $a + \bar{a} = 0$ ist und welches
wieder durch $-a$ bezeichnet werden möge. Endlich kommen in $M$
auch die aus $-a$ durch wiederholte Addition zu sich selbst erzeugten
Elemente
\[
(-a) + (-a),\quad
(-a) + (-a) + (-a),\ \dots
\]
\PageSep{026}{10}
vor, die kurz durch $-2a$,~$-3a$,~\dots\ bezeichnet werden sollen. Alle
diese Elemente~$ma$, wo $m$~eine positive oder negative ganze Zahl
oder~$0$ bedeutet, heißen die \so{ganzzahligen Vielfachen
von}~$a$. Da ferner nach den soeben gegebenen Definitionen offenbar
stets $ma + na = (m + n)a$ ist, so erkennt man auf diese Weise,
daß nächst dem Nullmodul die einfachsten Moduln diejenigen~$M(a)$
sind, welche aus allen und nur den ganzzahligen Vielfachen eines
einzigen Elementes bestehen, und daß ein Modul, der ein von Null
verschiedenes Element~$a$ enthält, notwendig alle ganzzahligen Vielfachen
desselben, \dh\ den ganzen Modul~$M(a)$ enthalten muß.

Kommt in $M$ außer allen Elementen~$ma$ noch ein anderes Element~$b$
vor, so enthält $M$ auch alle ganzzahligen Vielfachen~$nb$ von~$b$
und also auch alle Elemente $ma + nb$, welche aus jenen additiv
zusammengesetzt werden können; alle diese Elemente $ma + nb$
bilden für sich einen Modul, welcher durch $M(a, b)$ bezeichnet
werde. Die Elemente $a$~und~$b$ sollen eine \so{Basis} für diesen Modul
\index{Basis eines Moduls}%
$M(a, b)$ genannt werden. Ist $c$ ein weiteres, nicht unter den Elementen
$ma + nb$ vorkommendes Element aus~$M$, so enthält $M$ auch
alle Elemente $ma + nb + rc$, wo $m$,~$n$,~$r$ unabhängig voneinander
alle ganzen Zahlen durchlaufen, \dh\ $M$ enthält den ganzen Modul
$M(a, b, c)$, dessen Basis die drei Elemente $a$,~$b$,~$c$ sind. Allgemein
bilden alle Elemente von~$M$
\[
e = ma + nb + rc + \dots + sd,
\]
in denen $m$,~$n$, $r$,~\dots~$s$ alle möglichen positiven oder negativen ganzen
Zahlen bedeuten und für welche die Produkte $ma$,~\dots\ wie oben
definiert sind, einen Modul $M(a, b, c, \dots d)$, und die Elemente
$(a, b, \dots d)$ heißen eine Basis für denselben. Jedes Element~$e$ dieses
Moduls wird eine \so{homogene lineare Funktion der Elemente}
$a$,~$b$,~$c$,~\dots\ \so{mit ganzzahligen Koeffizienten}
genannt; also ist \zB\ $4a - 3b - c + 9d$ eine homogene lineare
Funktion der Elemente $a$,~$b$,~$c$,~$d$ mit ganzzahligen Koeffizienten.


\Section{§ 4.}{Die Gruppen oder Strahlen.}
\index{Gruppen}%
\index{Strahlen}%

Es sei $G(a, b, c, \dots)$ ein System von Elementen, für die wiederum
nur eine einzige Verknüpfunsgoperation definiert ist, welche aber diesmal
\PageSep{027}{11}
\so{Multiplikation} genannt werden soll, und vermittelst derer
aus je zwei Elementen $a$~und~$b$ von~$G$ stets wieder ein eindeutig bestimmtes
Element $c = ab$ \emph{desselben Bereiches}~$G$ hervorgehen möge.
Für diese Multiplikation sollen wieder die drei Grundgesetze gelten,
welche für sie unter \Iref{II)},~\Iref{IV)} und~\Iref{VII)} im §~1 aufgestellt waren
(doch soll letzteres Gesetz hier \emph{ausnahmslos} \dh\ für jeden Divisor
gelten), nämlich:

\Axiom{I'')}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} $(ab)c = a(bc)$.

\Axiom{II'')}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} $ab = ba$.

%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original]
\Axiom{III'')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:}
Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$G$, so gibt es in~$G$
stets ein einziges Element $x = \dfrac{b}{a}$, für das $ax = b$ ist.

Jedes solche System~$G$ wird nach \Name{Weber} eine \so{Gruppe}, nach
\Name{Fueter} ein \so{Strahl} genannt. Da die hier gemachten Voraussetzungen,
abgesehen von der Bezeichnung der Operation (Multiplikation
statt Addition), Wort für Wort mit den für den Modul gemachten
übereinstimmen, so folgt sofort, daß für die Gruppen genau
die nämlichen Sätze gelten müssen wie für die Moduln. Wir würden
daher keine Veranlassung haben, jene Sätze getrennt aufzuführen,
wenn wir sie nicht auch auf die Untersuchung der rationalen Zahlen
anwenden und hierbei von diesen beiden Operationen die eine mit
der gewöhnlichen Addition, die andere mit der gewöhnlichen Multiplikation
identifizieren wollten. Zunächst sollen daher die für die
Moduln schon gefundenen Sätze jetzt für die Gruppen oder Strahlen
noch einmal ausgesprochen werden. Bemerkt sei vorher noch, daß
jeder Körper bei Ausscheidung seines Nullelements eine Gruppe
darstellt, daß aber keineswegs die Umkehrung gilt.

Auch hier würde das einzige Element~$0$ für sich eine Gruppe
bilden, da für dieses offenbar die drei Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II''\Add{)}},~\Iref{III''\Add{)}} erfüllt
sind. Enthält aber eine Gruppe~$G$ auch nur ein von Null verschiedenes
Element~$a$, so kann sie niemals die Null enthalten, da ja
anderenfalls keine Größe $x$ in~$G$ vorkommen kann, für welche $0·x = a$
ist; das Grundgesetz~\Iref{III''\Add{)}} wäre somit nicht ausnahmslos erfüllt.
Aus diesem Grunde wollen wir im folgenden die uneigentliche "`Nullgruppe"'
\PageSep{028}{12}
von der Betrachtung ausschließen. Dann enthält also jede
eigentliche Gruppe nur von Null verschiedene Elemente.

Jede Gruppe~$G$ enthält notwendig das Element~$1$, da die Gleichung
$ax = a$ eine Lösung $x = \dfrac{a}{a}$ in~$G$ besitzen muß. Das Element~$1$ bildet
für sich eine und zwar die einfachste Gruppe. Enthält $G$ außer $1$
noch wenigstens ein anderes Element~$a$, so enthält $G$ auch alle
Elemente $aa$,~$aaa$,~\dots, welche hier kürzer durch die Symbole
$a^{2}$,~$a^{3}$,~\dots\ bezeichnet werden mögen; ebenso enthält $G$ auch das zu
$a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, welches durch die Gleichung $a\bar{a} = 1$
eindeutig bestimmt ist und welches einfacher durch $a^{-1}$ oder~$\dfrac{1}{a}$ bezeichnet
werde. Außerdem kommen in~$G$ die Produkte $(a^{-1})(a^{-1})$,
$(a^{-1})(a^{-1})(a^{-1})$,~\dots\ vor, welche durch $a^{-2}$,~$a^{-3}$,~\dots\ bezeichnet
werden sollen. Enthält also $G$ ein von $1$ verschiedenes Element~$a$,
so enthält $G$ alle in der Reihe~$(a^{m})$ vorkommenden Elemente,
wobei $m$~alle positiven und negativen ganzzahligen Werte einschließlich~$0$
durchläuft und speziell $a^{0} = 1$ angenommen wird. Da
bei dieser Definition wiederum offenbar $a^{m}·a^{n} = a^{m+n}$ ist, so bilden
diese Elemente auch schon für sich eine Gruppe, welche die \so{zu} $a$
\so{gehörige Untergruppe} $G(a) = (\dots a^{m} \dots)$ heißen soll.
\index{Untergruppen}%

Kommt in $G$ außer den Elementen der Untergruppe~$G(a)$ noch
ein anderes Element~$b$ vor, so enthält $G$ auch sämtliche Elemente
der ganzen Untergruppe $G(b) = (\dots b^{m} \dots)$ und auch das aus $G(a)$
und~$G(b)$ zusammengesetzte System
\[
G(a, b) =(\dots a^{m}b^{n} \dots),
\]
welches ebenfalls eine Gruppe bildet, da $(a^{m} b^{n}) (a^{m'} b^{n'}) = a^{m+m'} b^{n+n'}$
ist. Hat $G$ allgemeiner die Elemente $a$,~$b$,~\dots~$c$, so enthält $G$ auch
die zu diesen Elementen gehörige Untergruppe
\[
G(a, b, \dots c)=(\dots, a^{m}b^{n} \dots c^{r}, \dots),
\]
welche aus allen Potenzprodukten $a^{m}b^{n}\dots c^{r}$ mit positiven oder
negativen ganzzahligen oder auch verschwindenden Exponenten besteht.

Beispiele spezieller Gruppen sind das System~$(1, -1)$, ferner das
System aller positiven rationalen Zahlen, endlich das System aller
\PageSep{029}{13}
positiven reellen Zahlen, wenn jedesmal die Multiplikation im gewöhnlichen
Sinn verstanden wird.


\Section{§ 5.}{Die Ringe.}

Es sei $R(a, b, c, \dots)$ ein Bereich von Elementen, für die zwei
Verknüpfungsoperationen definiert sind, welche Addition und Multiplikation
heißen mögen und vermittelst derer wieder aus irgendwelchen
zwei Elementen von $R$ je ein eindeutig bestimmtes Element \emph{desselben
Bereiches}~$R$ hervorgeht. Für diese Operationen sollen \emph{alle im
§~1 angegebenen Grundgesetze mit Ausnahme des siebenten} gelten,
\dh\ die Elemente mögen sich durch die Operationen der Addition,
der Subtraktion und der Multiplikation, nicht aber notwendig durch die
Division reproduzieren. Jedes solche System wird nach \Name{Hilbert} ein
\so{Ring} genannt. Ein Ring enthält notwendig das Element Null, braucht
\index{Ring}%
aber nicht das Element Eins zu enthalten, da das siebente Grundgesetz
nicht gelten muß. Jeder Körper ist zugleich ein Ring, jeder
Ring auch ein Modul, da in ihm ja die Addition und Subtraktion
unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind; die Umkehrungen gelten
aber natürlich nicht.

\ZB~bildet das System aller ganzen Zahlen offenbar einen Ring,
weil die Summe, die Differenz und das Produkt von ganzen Zahlen
wieder eine ganze Zahl ist. Aber auch das System aller geraden
Zahlen oder überhaupt jedes System $(\dots ma \dots)$ aller ganzzahligen
Vielfachen einer \emph{ganzen} Zahl~$a$ bildet einen Zahlring; dies ist aber
nicht mehr der Fall, wenn $a$~eine gebrochene Zahl darstellt. \ZB\
kommt das Element $\frac{1}{3}·\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ nicht in dem Bereich $(\dots m\frac{1}{3} \dots)$ vor,
der daher nur einen Modul bildet.

Auf die folgende Art kann man aus zwei beliebig gegebenen
Körpern einen Ring bilden: Es seien
\[
K(a, b, c, \dots) \quad\text{und}\quad K'(a', b', c', \dots)
\]
zwei beliebige Körper; $0$~und~$1$ bzw.\ $0'$~und~$1'$ mögen für sie das
Null- und das Einselement bezeichnen. Sind dann $a$,~$b$ bzw.\ $a'$,~$b'$ je
zwei beliebige Elemente von $K$~und~$K'$, so sind
\[
a + b,\quad a - b,\quad ab,\quad \frac{a}{b} \quad\text{bzw.}\quad
\DPtypo{a}{a'} + b',\quad a' - b',\quad a'b',\quad \frac{a'}{b'},
\]
\PageSep{030}{14}
eindeutig bestimmte Elemente innerhalb $K$ bzw.\ $K'$, mit der Maßgabe,
daß bei der Division der Nenner $b$ bzw.\ $b'$ nicht Null sein darf.

Ich bilde nun einen neuen Bereich:
\[
R(A, B, C, \dots) = R(K, K'),
\]
dessen Elemente
\[
A = (a, a'),\quad
B = (b, b'),\ \dots\quad
D = (d, d')
\]
aus allen und nur den Systemen $(d, d')$ bestehen sollen, deren erster
und zweiter Bestandteil $d$,~$d'$ je ein beliebiges Element von $K$ bzw.\
$K'$ ist. Zwei Elemente $A = (a, a')$ und $B = (b, b')$ sollen dann und
nur dann gleich heißen, wenn sie identisch sind, wenn also
\[
a = b, \quad a' = b'
\]
ist.

Für diesen Bereich definiere ich nun zwei Verknüpfungsoperationen,
die Addition und die Multiplikation, durch die beiden folgenden
Gleichungen:
\begin{gather*}
A + B = (a + b, a' + b'), \\
AB = (ab, a'b').
\end{gather*}
Dann erkennt man ohne weiteres, daß für diesen Bereich und die
so definierten Verknüpfungsoperationen die fünf ersten im §~1 aufgestellten
Grundgesetze bestehen, weil sie \ndV~für die Körper
$K$~und~$K'$ erfüllt sind. So ist \zB\
\begin{align*}
&A + B = (a + b, a' + b') = (b + a, b' + a') = B + A, \\
&(AB)C = ((ab)c, (a'b')c') = (a(bc), a'(b'c')) = A(BC), \\
&A(B + C) = (a(b + c), a'(b' + c')) = (ab + ac, a'b' + a'c') = AB + AC
\end{align*}
usw. Aber auch das sechste Gesetz ist für $R$ erfüllt. Sind nämlich
$A$~und~$B$ beliebige Elemente von~$R$, so gibt es ein einziges Element
$X = (x, x')$, für welches:
\[
A + X = B
\]
ist, welches also mit $B - A$ bezeichnet werden kann, nämlich das Element
\[
X = (b - a, b' - a').
\]
Endlich besitzt $R$ je ein Element Null und Eins, nämlich die Systeme
\PageSep{031}{15}
\[
O = (0,0') \quad\text{und}\quad I = (1,1'),
\]
denn allein für sie ist ja bzw.:
\[
A + O = A \quad\text{und}\quad AI = A.
\]
Hieraus folgt also, daß der Bereich $R(K, K')$ wirklich ein Ring ist,
\index{Ring!aus zwei Körpern komponierter}%
da für ihn die sechs ersten Grundgesetze bestehen. Wir wollen ihn
\so{den aus den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten
Ring} nennen.

Man erkennt aber sofort, daß $R$ sicher kein Körper ist, daß also
für seine Elemente nicht auch das siebente Grundgesetz, das der unbeschränkten
und eindeutigen Division, besteht. Sind nämlich
\[
A = (a, a'), \quad B = (b, b')
\]
zwei beliebige Elemente von~$R$, so besitzt die Gleichung
\[
\Tag{(1)}
AX = B
\]
dann und nur dann eine Lösung $X = (x, x')$, wenn man zwei Elemente $x$
und $x'$ von $K$ und $K'$ so bestimmen kann, daß:
\[
\Tag{(2)}
(ax, a'x') = (b, b')
\]
ist, daß also die beiden Gleichungen:
\[
\Tag{(2^{a})}
ax = b, \quad a'x' = b'
\]
in $K$ und $K'$ eine Lösung besitzen. Dies ist stets und zwar nur auf
eine Weise möglich, wenn weder $a = 0$, noch auch $a' = 0'$ ist;
denn dann sind, wie auch $b$ und $b'$ gewählt seien, $x = \dfrac{b}{a}$, $x' = \dfrac{b'}{a'}$
die eindeutig bestimmten Lösungen der beiden Gleichungen~\Eq{(2^{a})}. Die
Gleichung~\Eq{(2)} besitzt dann also stets die eindeutig bestimmte Lösung:
\[
\Tag{(2^{b})}
X = \left(\frac{b}{a}, \frac{b'}{a'}\right),
\]
welche wir durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnen, und den \so{Quotienten von
$B$~und~$A$} nennen können.
\index{Quotient}%

Ist dagegen nur einer der Bestandteile von~$A$, etwa der erste,
\PageSep{032}{16}
gleich Null, der andere $a'$ aber von Null verschieden, so ist $A = (0, a')$
nicht gleich Null, aber trotzdem hat die Gleichung:
\[
AX = B, \quad\text{\dh}\quad (0\Add{·}x, a'x') = (0, a'x') = (b, b')
\]
nur dann eine Lösung, wenn auch in $B = (0, b')$ der erste Bestandteil
gleich Null ist, und in diesem Falle hat jene Gleichung nicht eine,
sondern unendlich viele Lösungen, da die beiden Gleichungen:
\[
0·x = 0,\quad a'x' = b'
\]
offenbar durch jedes Wertsystem $X = \left(x, \dfrac{b'}{a'}\right)$ befriedigt wird, dessen
erster Bestandteil~$x$ innerhalb $K$ ganz beliebig angenommen werden
kann.

\begin{Theorem}
Der Bereich $R(K, K')$ stellt also in der Tat stets einen Ring
dar, da in ihm dann und nur dann die Division einer Zahl~$B$
durch eine andere $A$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist,
wenn in dem Divisor $A = (a, a')$ keiner der beiden Bestandteile
$a$~und~$a'$ gleich Null ist.
\end{Theorem}

Ich bin absichtlich schon an dieser Stelle etwas ausführlicher auf
diese Art der Ringbildung aus zwei beliebigen Zahlkörpern $K$~und~$K'$
eingegangen, weil sich zeigen wird, daß alle in der Zahlentheorie
zu betrachtenden Zahlenringe sich im wesentlichen in dieser Weise
aus zwei oder mehr Zahlkörpern zusammensetzen lassen, so daß
sich die kompliziertere Untersuchung dieser Ringe vollständig und
höchst einfach auf die Betrachtung der sie zusammensetzenden Zahlkörper
zurückführen lassen wird.
\PageSep{033}{17}


\Chapter{Zweites Kapitel.}
{Der Körper der rationalen Zahlen.
Die Primzahlen.}

\Section{§ 1.}{Die Teilbarkeit der Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler.}

%[** TN: Upright K in the original; elsewhere italic]
Ich wende mich nun zuerst der Untersuchung der rationalen
Zahlen oder der Zahlen des Körpers~$K(1)$ zu und betrachte hier
besonders ihre Eigenschaften in bezug auf ihre \emph{multiplikative}
Zusammensetzung aus einfachen Elementen. Eigentlich sollte man
diese Untersuchung für jede der beiden elementaren Rechenoperationen,
also sowohl für die additive wie auch für die multiplikative
Komposition und Dekomposition führen. Aber die bei der additiven
Zerlegung auftretenden Fragen sind entweder zu trivial oder zu
schwierig; wir besitzen noch keine eigentlich wissenschaftliche und
systematisch aufgebaute additive Zahlentheorie. Dagegen ist die
multiplikative Arithmetik von \Name{Gauß} in seinen \textit{Disquisitiones arithmeticae},
die er bereits als 19jähriger Jüngling im wesentlichen
vollendet hatte, wundervoll einfach und systematisch entwickelt
worden. Mit dieser multiplikativen Zahlentheorie werden wir uns
in der Folge beschäftigen. Dabei wollen wir uns vorläufig auf den
Bereich $(0, ±1, ±2, \dots)$ der ganzen positiven und negativen Zahlen
einschließlich Null beschränken, da ja jede gegebene rationale Zahl
als Quotient von zwei ganzen Zahlen auf multiplikativem Wege dargestellt
werden kann.

Wie schon oben erwähnt wurde, bilden die ganzen rationalen
Zahlen einen Zahlring~$R(1)$, da in ihrem Bereiche die Addition, die
\PageSep{034}{18}
Subtraktion und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig
ausführbar ist.

Wir wollen uns die ganzen Zahlen in der üblichen Weise \emph{ihrer
Größe nach geordnet} denken und für ihre Vergleichung nach der
Größe die Bezeichnungen $a > b$ und $b < a$ im gewöhnlichen Sinn
verwenden. Unter dem \so{absoluten Wert} einer Zahl~$a$ verstehen
\index{Absoluter Wert einer Zahl}%
wir die Zahl~$a$ selbst oder die Zahl~$-a$, je nachdem $a$~positiv oder
negativ ist; der absolute Wert einer beliebigen positiven oder negativen
Zahl ist also stets positiv. Der absolute Wert von~$a$ soll durch
$|a|$ bezeichnet werden. So ist \zB\ $|-6| = 6$, $|7| = 7$. Ferner
sei $|0| = 0$.

Sind $a$ und $b$ zwei beliebige ganze Zahlen, von denen nur $b$ von
Null verschieden sein muß, so kann man $a$ durch $b$ dividieren und
erhält dabei neben einem ganzzahligen Quotienten~$m$ einen Divisionsrest~$c$;
man kann diesem Rest die Bedingung auferlegen, entweder
daß er positiv oder negativ, aber seinem absoluten Werte nach
möglichst klein sein, oder daß er einen möglichst kleinen nicht
negativen Wert haben soll; doch mag zunächst von einer solchen
speziellen Vorschrift abgesehen und nur verlangt werden, daß der
Rest~$c$ seinem absoluten Wert nach kleiner als der absolute Wert
des Divisors~$b$ sei, wodurch $c$ im allgemeinen zweideutig bestimmt
ist. Es besteht also stets eine Gleichung
\[
a = mb + c, \quad\text{wo } |c| < |b|
\]
ist. So ist \zB: für $a = 212$, $b = 13$
\[
212 = 16·13 + 4 = 17·13 - 9,
\]
und beide Male sind die Divisionsreste $c = 4$, $c' = -9$ absolut genommen
kleiner als~$13$.

Ist der Divisionsrest $c = 0$, also $a = mb$, so heißt $a$ ein \so{Vielfaches}
oder \so{Multiplum} von~$b$, $b$~ein \so{Teiler} von~$a$. Nur
dann ist $\dfrac{a}{b} = m$ eine ganze Zahl. Allein in diesem Falle ist die
Division im Ringe~$R(1)$ der ganzen Zahlen ausführbar. Es gilt
der Satz:

Ist $a$ teilbar durch~$b$, $b$~teilbar durch~$c$, so ist $a$ teilbar durch~$c$.
\PageSep{035}{19}
Denn aus den beiden Beziehungen $a = mb$, $b = nc$ folgt ja
$a = (mn)c$.

Ist eine Zahl~$\delta$ in mehreren Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, so heißt
$\delta$~ein \so{gemeinsamer Teiler} von $a$,~$b$,~\dots~$c$. Da zugleich mit $\delta$
auch $-\delta$ gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, so wollen und können
wir uns im folgenden immer auf die Betrachtung der positiven Teiler
beschränken.

\begin{Examples}
Beispiele: \Item{1)} $24$ und $36$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$,
$3$, $4$, $6$, $12$ und keine anderen.

\Item{2)} $30$, $45$ und $75$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $3$, $5$,~$15$.

\Item{3)} $120$, $180$ und $300$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$,
$3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$,~$60$.
\end{Examples}

Die wichtigste Aufgabe dieses Kapitels ist nun folgende:
\begin{Theorem}
Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ von beliebig vielen gegebenen
ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ gefunden werden.
\end{Theorem}

Ist $\delta$ irgend ein gemeinsamer Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, ist also
$a = a_{0}\delta$, $b = b_{0}\delta$,~\dots $c = c_{0}\delta$, so ist auch jede Zahl, welche aus
$a$,~$b$,~\dots~$c$ durch Addition oder Subtraktion hervorgeht, also jede Zahl
\[
ra + sb + \dots + tc = (ra_{0} + sb_{0} + \dots + tc_{0})\delta
\]
des durch die Basis $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls $M(a, b, \dots c)$ durch
$\delta$~teilbar. Wir können also die obige Aufgabe auch so aussprechen:
\begin{Theorem}
Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ sämtlicher Elemente
eines durch die ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls
$M(a, b, \dots c)$ gefunden werden.
\end{Theorem}

Jeder solche durch eine beliebige Basis bestimmte ganzzahlige
Modul $M(a, b, \dots c)$ ist nun gleich einem eingliedrigen Modul~$M(d)$.
Ist nämlich $d$ die kleinste positive Zahl, welche in $M(a, b, \dots c)$
vorkommt, so beweise ich, daß dieser Modul gleich dem eingliedrigen
Modul~$M(d)$ ist, welcher aus allen und nur den Vielfachen
von $d$ besteht. Einmal nämlich enthält ja $M(a, b, \dots c)$
nach der Definition des Moduls sicher alle Vielfachen von~$d$, da er
dieses Element selbst enthält. Zweitens aber kann dieser Modul
auch nicht ein einziges Element enthalten, das kein Vielfaches von $d$
\PageSep{036}{20}
ist; denn ist \zB\ $a$ nicht durch $d$ teilbar, also $a = md + d_{0}$, wo
$d_{0}$ positiv und kleiner als $d$ angenommen werden darf, so kann $a$
nicht dem Modul $M(a, b, \dots c, d)$ angehören, weil sonst auch
$d_{0} = a - md < d$ ihm angehören müßte, während doch nach Voraussetzung
$d$ die kleinste positive Zahl des Moduls ist. Es besteht
also der Satz:
\begin{Theorem}
Jeder ganzzahlige Modul $M(a, b, \dots c)$ ist gleich einem eingliedrigen
Modul~$M(d)$, dessen Grundelement die kleinste positive
Zahl ist, welche in $M(a, b, \dots c)$ vorkommt.
\end{Theorem}

Hiernach sind alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$
identisch mit den gemeinsamen Teilern aller Zahlen $(0, ±d, ±2d, \dots)$
des eingliedrigen Moduls~$M(d)$, diese aber sind offenbar einfach die
sämtlichen Divisoren der einen Zahl~$d$, diese selbst eingeschlossen.
$d$~ist demnach der \so{größte gemeinsame Teiler} jener
\index{Gemeinsamer Teiler, größter}%
Zahlen. Wir können somit den folgenden Fundamentalsatz
aussprechen, der die vollständige Lösung des oben gestellten
Problemes ergibt:
\begin{Theorem}
Alle gemeinsamen Teiler von beliebig vielen ganzen Zahlen
$a$,~$b$,~\dots~$c$ sind die sämtlichen Divisoren des größten unter ihnen;
dieser größte gemeinsame Teiler ist die kleinste positive Zahl, die
in dem Modul $M(a, b, \dots c)$ vorkommt. Der größte gemeinsame
Teiler~$d$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ soll kurz mit $d = (a, b, \dots c)$ bezeichnet
werden.
\end{Theorem}

So ist \zB\
\[
12 = (24, 36);\quad
15 = (30, 45, 75);\quad
60 = (120, 180, 300);
\]
man sieht aus den \aSeite{19} gegebenen Beispielen, daß wirklich alle
gemeinsamen Teiler \zB\ von $120$, $180$ und $300$ in der Zahl~$60$,
ihrem größten gemeinsamen Teiler, enthalten sind und zwar sämtliche
Teiler dieses größten gemeinsamen Divisors darstellen.


\Section{§ 2.}{Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das
kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.}

Es gibt ein einfaches Verfahren, um die kleinste in einem Modul
$M(a, b, \dots c)$ vorkommende positive Zahl~$d$, also den größten gemeinsamen
\PageSep{037}{21}
Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$ zu bestimmen. Hierzu sei nur noch
der folgende, auch sonst in diesem Paragraphen öfters benutzte
Satz vorausgeschickt:
\begin{Theorem}
Ein Modul $M(a, b, \dots c)$ bleibt ungeändert, wenn von einem
Elemente seiner Basis ein \DPtypo{ganzahliges}{ganzzahliges} Vielfaches eines anderen
abgezogen oder zu ihm hinzugefügt wird. Es ist also:
\[
M(a, b, \dots c) = M(a', b, \dots c), \quad\text{wenn $a' = a - tb$}
\]
ist.
\end{Theorem}

Da nämlich $a' = a - tb$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$ und $a = a' + tb$
dem Modul $M(a', b, \dots c)$ angehört, so stimmt offenbar die Gesamtheit
aller durch die Basis $(a, b, \dots c)$ und der durch die Basis $(a', b, \dots c)$
homogen und linear darstellbaren Zahlen überein.

Ist speziell $a = tb$ ein Vielfaches von~$b$, so ist $M(a, b, \dots c)
= M(a - tb, b, \dots c) = M(0, b, \dots c)$, und da in jeder Basis das
Element~$0$ offenbar fortgelassen werden kann, so ist in diesem Falle:
\[
M(a, b, \dots c) = M(b, \dots c).
\]
\begin{Theorem}
In einem Modul kann also jedes Element seiner Basis einfach
fortgelassen werden, welches ein Multiplum eines anderen
Basiselementes ist.
\end{Theorem}

Wir denken uns nun die Basiselemente $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$ des Moduls~$M$,
die alle positiv angenommen werden können, ihrer Größe nach geordnet,
so daß $a < b < c < \dots < e$ ist. Dann kann man zunächst
ein geeignetes Vielfaches~$ta$ von $a$~derart finden, daß die Differenz
$b' = b - ta$ nicht negativ und kleiner als $a$ wird; in dem nach dem
letzten Satz mit dem ursprünglichen übereinstimmenden Modul
$M(a, b', c, \dots e)$ ordne man die Elemente $a$,~$b'$,~\dots\ wieder ihrer
Größe nach an, wozu nur $b'$ mit $a$ zu vertauschen ist. In dieser
Weise fahre man sukzessive fort; ergibt sich einmal die Differenz
Null, so kann man diese einfach fortlassen. Da das jeweils kleinste
der betrachteten Elemente bei jedem Schritt verkleinert wird, so
kann dieses Verfahren nicht ins Unendliche fortgesetzt werden;
man muß also nach einer endlichen Zahl von Schritten zu einem
dem ursprünglichen Modul äquivalenten System mit nur einem
einzigen Element~$d$ gelangen. Dieses Element ist daher der größte
gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$.
\PageSep{038}{22}

Die Anwendung dieser Methode auf die Bestimmung des größten
gemeinsamen Teilers $d = (a, b)$ von nur \emph{zwei} positiven ganzen Zahlen
führt auf das altberühmte \so{Euklidische Verfahren} (\Name{Euklid's}
Elemente Buch~VII Satz~2). Ist etwa $a > b$, so bilden wir durch
\index{Euklidisches Teilerverfahren}%
sukzessive Division die folgenden Gleichungen:
\[
\Tag{(1)}
\begin{alignedat}{2}
a &= mb &&+ c\\
b &= nc &&+ d\\
c &= pd &&+ e\\
\PadTo{c}{\vdots} & \\
f &= sg &&+ h\\
g &= th;
\end{alignedat}
\]
dann bilden die Zahlen $a$,~$b$ zusammen mit den ganzen positiven
Divisionsresten $c$,~$d$,~\dots~$h$ eine abnehmende Reihe positiver Zahlen,
welche notwendig abbricht, so daß sich zuletzt der Divisionsrest
Null ergibt. Der letzte \emph{positive} Divisionsrest~$h$ ist dann die
gesuchte kleinste Zahl des Moduls~$(a, b)$. In der Tat ist, da
$c = a - mb$, $d = b - nc$,~\dots $h = f - sg$ alle dem Modul~$(a, b)$ angehören,
\[
M(a, b) = M(a, b, c) = \dots = M(a, b, c, \dots g, h) = M(h);
\]
die letzte Beziehung folgt daraus, daß man aus dem Gleichungssystem~\Eq{(1)}
von der letzten Gleichung ausgehend sukzessive erschließen
kann, daß $g$,~$f$,~\dots $c$,~$b$,~$a$ Multipla von~$h$ sind.

Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so läßt
sich diese Zahl, da sie dem Modul $M(a, b, \dots c)$ angehört, als
homogene lineare Funktion von $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen Koeffizienten
darstellen, wobei sich diese Koeffizienten für den besonderen
Fall des größten gemeinsamen Teilers von nur zwei Zahlen leicht
aus den Gleichungen~\Eq{(1)} des Euklidischen Verfahrens ergeben. Es
gilt also der Satz:
\begin{Theorem}
Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so kann
man stets ganze Zahlen $m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß die Beziehung
\[
ma + nb + \dots + rc = d
\]
\PageSep{039}{23}
besteht. Offenbar können diese Multiplikatoren auf unendlich
viele verschiedene Arten bestimmt werden.
\end{Theorem}

Da auch jedes Multiplum von~$d$ dem Modul~$M(d)$ angehört, so
kann \emph{jede} durch $d$ teilbare Zahl in dieser Form dargestellt werden.
Aber auch \emph{nur} die Multipla von~$d$ lassen eine solche Darstellung
zu, da ja eine Gleichung von der Form
\[
Ma + Nb + \dots + Rc = D
\]
dann und nur dann besteht, wenn $D$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$
angehört; und da dieser Modul gleich dem Modul~$M(d)$ ist, so
muß $D$~ein Multiplum von~$d$ sein.

\begin{Examples}%[** Colon outside italics in the original]
\emph{Beispiel:} Es sei der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $1551$
und $984$ gesucht. Das Euklidische Verfahren gestaltet sich folgendermaßen:
\begin{align*}
1551 &= 1·984 + 567\\
984 &= 1·567 + 417\\
567 &= 1·417 + 150\\
417 &= 2·150 + 117\\
150 &= 1·117 + 33\\
117 &= 3·33 + 18\\
33 &= 1·18 + 15\\
18 &= 1·15 + 3\\
15 &= 5·3.
\end{align*}
Daher ist $(1551, 984) = 3$. Kürzer ergibt sich übrigens dieses
Resultat, wenn man stets die ihrem absoluten Wert nach kleinsten
positiven oder negativen Reste aufsucht. Man erhält dann:
\begin{align*}
1551 &= 2·984 - 417\\
984 &= 2·417 + 150\\
417 &= 3·150 - 33\\
150 &= 5·33 - 15\\
33 &= 2·15 + 3\\
15 &= 5·3.
\end{align*}
Der erhaltene größte gemeinsame Teiler~$3$ läßt sich \zB\ der letzten
Gleichungsreihe gemäß in der Form $3 = 93·984 - 59·1551 = 91512 - 91509$
\PageSep{040}{24}
durch $984$ und $1551$ homogen und linear mit den
Koeffizienten $93$ und $-59$ darstellen.
\end{Examples}

Besonders wichtig ist der Fall, daß der größte gemeinsame Teiler
\index{Teilerfremde Zahlen}%
der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ den kleinsten möglichen Wert~$1$ hat, daß also
der zugehörige Modul $M(a, b, \dots c)$ aus \emph{allen} ganzen Zahlen besteht.
Alsdann nennt man jene Zahlen \so{teilerfremd} oder \so{relativ prim}.
In diesem Fall allein kann man demnach ganzzahlige Multiplikatoren
$m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß
\[
\Tag{(2)}
ma + nb + \dots + rc = 1
\]
wird. \ZB\ ist $(12, 15, 10) = 1$, und es besteht die Gleichung
$-12·12 + 9·15 + 1·10 = 1$. Da jede ganze Zahl ein Vielfaches
von~$1$ ist, so kann man überhaupt jede ganze Zahl als homogene
lineare Funktion teilerfremder Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen
Koeffizienten darstellen.

Ist $(a, b, \dots c) = d$, so daß die Elemente
\[
a = da_{0},\quad
b = db_{0},\ \dots\quad
c = dc_{0}
\]
sämtlich Multipla von $d$ sind, so sind die komplementären Zahlen
$a_{0}$,~$b_{0}$~\dots~$c_{0}$ zueinander teilerfremd; denn hätten diese Zahlen noch
einen gemeinsamen Teiler~$d'$, so wäre ja $dd'$ gemeinsamer Teiler
von $a$,~$b$,~\dots~$c$ gegen die Voraussetzung, daß $d$ der größte gemeinsame
Teiler dieser Zahlen ist.

Wir beweisen nun leicht einige wichtige Folgerungen der gefundenen
Sätze über den größten gemeinsamen Teiler.
\begin{Theorem}
Ist $(a, b, \dots c) = d$ und $r$~eine zu $b$,~\dots~$c$ teilerfremde, sonst
völlig beliebige ganze Zahl, so ist auch $(ra, b, \dots c) = d$.
\end{Theorem}

Sicher ist zunächst $\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Vielfaches von~$d$, da ja
wegen der Voraussetzung die Zahlen $ra$,~$b$,~\dots~$c$ sämtlich $d$ enthalten.
Da aber $(r, b, \dots c) = 1$ ist, so kann man wie in~\Eq{(2)} eine Reihe
ganzer Zahlen $\rho$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ so bestimmen, daß
\[
\rho r + \beta b + \dots + \gamma c = 1
\]
wird, woraus durch Multiplikation mit~$a$ folgt:
\[
\rho (ra) + (\beta a) b + \dots + (\gamma a) c = a.
\]
\PageSep{041}{25}
Substituiert man diesen Wert in $d = (a, b, \dots c)$, so ergibt sich:
\[
d = (\rho ra + (\beta a)b + \dots + (\gamma a)c, b, \dots c) = (\rho ra, b, \dots c),
\]
weil nach dem auf \Seite{21} oben bewiesenen Satz aus dem ersten Glied
die Vielfachen von $b$,~\dots~$c$ fortgelassen werden dürfen. Da schließlich
$\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Teiler von $(\rho ra, b, \dots c) = d$ sein muß,
während dieselbe Zahl sich vorher als Vielfaches von~$d$ erwies, so ist
notwendig wirklich $d = \bar{d}$, \wzbw.

Speziell \emph{ist stets $(ra, b) = (a, b)$, sobald $(r, b) = 1$ ist}. Man
kann daher bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers
von zwei ganzen Zahlen aus der einen jeden Faktor fortlassen, der
zur andern teilerfremd ist. So ist \zB\ $(840, 256) = (3·5·7·8, 256)
= (8, 256) = 8$, weil die Zahlen $3$,~$5$,~$7$ sämtlich zu $256$ relativ prim
sind.

Aus diesem Hauptsatz ergeben sich sofort drei wichtige Folgerungen:
\begin{Theorem}
\Item{I)} Das Produkt von zwei zu $c$ teilerfremden Zahlen $a$~und~$b$
ist selbst zu $c$ teilerfremd.
\end{Theorem}

Denn nach dem letzten Satz folgt ja aus $(b, c) = (a, c) = 1$ stets
$(ab, c) = (a, c) = 1$. \ZB~ergibt sich aus $(5, 6) = 1$, $(7, 6) = 1$:
$(35, 6) = 1$.

\begin{Theorem}
\Item{II)} Ist $r$ teilerfremd zu~$b$, aber $ar$ durch $b$ teilbar, so ist
notwendig $a$ durch $b$ teilbar.
\end{Theorem}

Denn nach der Voraussetzung $(ar, b) = b$ folgt aus dem obigen
Satze: $b = (ar, b) = (a, b)$. \ZB~ergibt sich aus der Voraussetzung,
daß $48 = 3·16$ durch $8$ teilbar ist, daß $8$ in $16$ enthalten
sein muß, weil $(3, 8) = 1$ ist.

Durch wiederholte Anwendung des Satzes~\Iref{I)} folgt:
\begin{Theorem}
\Item{III)} Ist von den Zahlen
\[
a, b, c, d, \dots \quad\text{und}\quad a', b', c', d', \dots
\]
jede ungestrichene zu jeder gestrichenen teilerfremd, so sind auch
die Produkte
\[
abcd\dots \quad\text{und}\quad a'b'c'd'\dots
\]
\PageSep{042}{26}
zueinander teilerfremd.
\end{Theorem}

Nimmt man in diesem Satz sämtliche Elemente jeder Zahlenreihe
als gleich an, so ergibt sich:
\begin{Theorem}
\Item{IV)} Sind $a$ und $a'$ \DPtypo{relativprim}{relativ prim}, $m$~und~$m'$ beliebige ganze
positive Zahlen, so sind auch stets die Potenzen $a^{m}$~und~$a'^{m'}$
relativ prim.
\end{Theorem}
\ZB~folgt aus $(3, 5) = 1$: $(3^{6}, 5^{4}) = 1$ oder $(729, 625) = 1$.

Aus dem letzten Satz läßt sich noch eine interessante Folgerung
ziehen:
\begin{Theorem}
\Item{V)} Die \Ord{$m$}{-te}~Wurzel aus einer ganzen Zahl~$A$ kann niemals
eine gebrochene Zahl sein; diese ist also entweder ebenfalls ganz
oder irrational.
\end{Theorem}

Wäre nämlich $\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ eine gebrochene Zahl, so könnten wir
Zähler und Nenner als teilerfremd voraussetzen, da anderenfalls
$d = (a, b)$ durch das Euklidische Verfahren bestimmt und aus Zähler
und Nenner weggehoben werden könnte. Aus der Voraussetzung
$\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ würde sich aber $A = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$ ergeben, so daß $a^{m}$ durch $b^{m}$ teilbar
wäre, während doch nach~\Iref{(IV)} $a^{m}$ zu $b^{m}$ teilerfremd sein muß.

In engem Anschluß an die soeben behandelte Frage nach den
gemeinsamen Teilern mehrerer Zahlen betrachten wir nun diejenige
nach ihren gemeinsamen Vielfachen. Eine Zahl~$\mu$ heißt ein \so{gemeinsames
Vielfaches} mehrerer Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$, wenn sie
\index{Gemeinsames Vielfaches, kleinstes}%
durch jede von ihnen teilbar, wenn also
\[
\mu = \alpha a = \beta b = \dots = \gamma c
\]
ist. Der Bereich aller gemeinsamen Vielfachen von $a$,~$b$,~\dots~$c$ bildet
offenbar einen Modul $M(\mu, \mu', \dots)$; denn sind $\mu$~und~$\mu'$ beide durch
jede der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ teilbar, so gilt ja dasselbe von ihrer Summe
und ihrer Differenz. Ist aber~$m$ die kleinste positive Zahl dieses
Moduls, \dh\ das \so{kleinste gemeinsame Vielfache} von
$a$,~$b$,~\dots~$c$, so folgt aus dem auf \Seite{20} oben bewiesenen Satze, daß jedes
andere gemeinsame Vielfache ein Multiplum von~$m$ ist. Es besteht
also der Satz:
\PageSep{043}{27}
\begin{Theorem}
Alle gemeinsamen Vielfachen beliebig vieler Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$
sind die sämtlichen Multipla des kleinsten unter ihnen. Dieses
kleinste gemeinsame Vielfache soll durch
\[
m = [a, b, \dots c]
\]
bezeichnet werden.
\end{Theorem}

Nur dieses kleinste gemeinsame Multiplum braucht man also zu
bestimmen, und zwar genügt es ersichtlich, dies für den Fall von
nur zwei Zahlen $a$,~$b$ zu tun. Diese Frage wird durch den folgenden
Satz völlig gelöst:
\begin{Theorem}
Ist $d = (a, b)$ der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$,
so gilt für ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches $m$ die Gleichung:
\[
m = \frac{ab}{(a, b)} \quad\text{oder}\quad md = ab.
\]
\end{Theorem}

Ist nämlich $a = a_{0}d$, $b = b_{0}d$, wo $(a_{0}, b_{0}) = 1$ ist, so ist eine
Zahl~$\mu$ dann und nur dann gemeinsames Multiplum von $a$~und~$b$,
wenn $\dfrac{\mu}{a_{0}d}$ und $\dfrac{\mu}{b_{0}d}$ ganze Zahlen sind. Zunächst muß also
$\mu$ ein Vielfaches von~$d$ sein: $\mu = \mu_{0}d$, und auch die beiden Quotienten
$\dfrac{\mu_{0}}{a_{0}}$ und $\dfrac{\mu_{0}}{b_{0}}$ müssen ganz sein. Da aber $a_{0}$~und~$b_{0}$ teilerfremd
sind, so folgt aus $\mu_{0} = ka_{0}$ nach Satz~\Iref{II)} auf \Seite{25}: $k = lb_{0}$,
also $\mu_{0} = l(a_{0}b_{0})$ \dh\ $\mu = l(a_{0}b_{0}d) = l\dfrac{ab}{d}$. Das \emph{kleinste} gemeinsame
Vielfache folgt hieraus für $l = 1$: $m = \dfrac{ab}{d}$.

\ZB\ ist $(12, 15) = 3$, $[12, 15] = 60$, und es ist wirklich $60·3
= 12·15$.

Sind speziell $a$~und~$b$ teilerfremd, also $d = 1$, so ist das kleinste
gemeinsame Vielfache gleich~$ab$. Allgemein sieht man leicht die
Richtigkeit des folgenden Satzes ein, dessen einfacher Beweis dem
Leser überlassen bleibe:
\begin{Theorem}
Sind $a$,~$b$, $c$,~\dots~$d$ beliebig viele Zahlen, von denen je zwei
stets zueinander teilerfremd sind, so ist ihr kleinstes gemeinsames
Vielfaches gleich ihrem Produkt.
\end{Theorem}
\PageSep{044}{28}


\Section{§ 3.}{Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der
rationalen Zahlen in Primzahlen.}

Der Begriff der Teilbarkeit ermöglicht uns die wichtigsten Zahlen
der Zahlentheorie, die sog.\ \so{Primzahlen}, zu definieren:
\index{Primzahlen}%
\begin{Definition}
Eine ganze Zahl~$p$, welche außer den selbstverständlichen
(uneigentlichen) Teilern $p$~und~$1$ keinen Divisor besitzt, heißt eine
Primzahl. Jede andere ganze Zahl, die also mindestens einen
\emph{eigentlichen} Teiler hat, wird eine \so{zusammengesetzte
Zahl} genannt.
\end{Definition}

Man kann offenbar stets durch eine endliche Zahl von Versuchen
feststellen, ob eine vorgelegte Zahl~$a$ eine Primzahl ist oder nicht.
Da nämlich ein eigentlicher Teiler von $a$ kleiner als $a$ sein muß, so
braucht man höchstens zu probieren, ob $a$ durch eine der Zahlen
$2$,~$3$,~\dots~$a - 1$ teilbar ist. Man braucht mit diesen Versuchen sogar
nur bis $\sqrt{a}$ bzw.\ bis zur nächst kleineren ganzen Zahl zu gehen; ist
nämlich $d$ ein eigentlicher Teiler von~$a$, also $a = dd'$, so kann hier
ohne Beschränkung der Allgemeinheit $d \leqq d'$ angenommen werden,
da man andernfalls $d$ mit $d'$ vertauschen könnte; aus $d \leqq d'$ folgt
aber $a = dd' \geqq d^{2}$, also wirklich $d \leqq \sqrt{a}$. Hat also $a$ keinen
zwischen $1$~und~$\sqrt{a}$ (dieses ev.\ eingeschlossen) liegenden Teiler, so
ist $a$ eine Primzahl. Um \zB\ zu entscheiden, ob $131$ eine Primzahl
ist, hat man nur die Teilbarkeit von~$131$ durch $2$,~$3$,~\dots~$11$
zu prüfen.

Auf dieser Tatsache kann man ein einfaches Verfahren begründen,
um aus der Reihe aller ungeraden Zahlen (die geraden Zahlen sind ja
mit Ausnahme der Primzahl~$2$ alle zusammengesetzt) alle Primzahlen
auszusondern. Es ist dies das sog.\ \emph{Sieb des Eratosthenes} (276--194
\index{Sieb d.\ Eratosthenes}%
v.~Chr.). Um nämlich zu entscheiden, welche positiven ungeraden
Zahlen Primzahlen sind, schreibe man alle ungeraden Zahlen der
Reihe nach hin und durchstreiche zunächst, von $3^{2} = 9$ ausgehend,
jede dritte Zahl, dann von $5^{2} = 25$ ausgehend jede fünfte Zahl usw.,
allgemein vom Quadrat der nächsten noch nicht durchstrichenen
Zahl~$p$ ausgehend jede \Ord{$p$}{-te}~Zahl, wobei allemal die bereits durchstrichenen
Zahlen beim Weiterzählen mitzurechnen sind. Hat man
\PageSep{045}{29}
dieses Verfahren bis zu einer Zahl~$b$ durchgeführt, so stellen die
undurchstrichen gebliebenen Zahlen alle Primzahlen unter $b^{2}$ dar,
wenn man noch die einzige gerade Primzahl~$2$ ihnen hinzufügt.
Die Begründung dieses Verfahrens ist so einfach, daß es hierüber
keiner Ausführung mehr bedarf.

Im ersten Hundert ergeben sich so die $25$~Primzahlen:
\begin{gather*}
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\\
71,\ 73,\ 79\DPtypo{}{,}\ 83\DPtypo{}{,}\ 89\DPtypo{}{,}\ 97;
\end{gather*}
im zweiten Hundert findet man $21$~Primzahlen:
\begin{gather*}
101,\ 103,\ 107,\ 109,\ 113,\ 127,\ 131,\ 137,\ 139,\ 149,\ 151,\ 157,\ 163,\ 167,\\
173,\ 179,\ 181,\ 191,\ 193,\ 197,\ 199.
\end{gather*}
Außer den Zahlen $3$,~$5$,~$7$ existieren offenbar keine \emph{drei} benachbarten
Primzahlen, da ja von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen
stets eine durch drei teilbar sein muß.

Das Gesetz, nach welchem die so einfach bestimmbaren Primzahlen
aufeinander folgen, kennen wir nicht. Sicherlich weist die
Reihe aller Primzahlen beliebig große Lücken auf, sobald man sie
nur genügend weit verfolgt; denn ist $n$ eine noch so große gegebene
Zahl, so ist von den $n - 1$ aufeinander folgenden Zahlen
\[
n! + 2,\quad
n! + 3,\quad
n! + 4,\ \dots \quad
n! + n,
\]
wo $n! = 1·2·3 \dots n$ ist, keine einzige eine Primzahl, da für jedes
$i = 2$, $3$,~\dots~$n$ offenbar \zB\ $n! + i$ durch $i$ teilbar ist.

Man hat bei den Primzahlen gewisse merkwürdige Tatsachen
beobachtet, deren Beweis mit den heutigen Mitteln unserer Wissenschaft
noch nicht gelungen ist, obgleich sie wohl sicher richtig sind.
Hier seien nur zwei derartige Sätze erwähnt:
\begin{Theorem}
Jede gerade Zahl kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt
werden.
\end{Theorem}

Dieses Theorem wurde zuerst von \Name{Goldbach}, dann von \Name{Waring}
\index{Goldbachs Theorem}%
aufgestellt, aber nicht bewiesen. Die Prüfung der ersten geraden
Zahlen, etwa bis~$1000$, lehrt sogar, daß die Anzahl der Darstellungen
von~$2n$ in dieser Form, abgesehen von kleineren Schwankungen,
\PageSep{046}{30}
mit wachsendem $n$ beständig zunimmt, wodurch die Wahrscheinlichkeit,
daß dieser Satz zutrifft, erhöht wird.

\begin{Theorem}
Jede gerade Zahl kann auf unendlich viele verschiedene
Arten als Differenz zweier Primzahlen dargestellt werden. Insbesondere
müssen sich daher in der Reihe aller Primzahlen, wie
weit man auch in ihr fortschreiten mag, stets noch Paare von
Primzahlen finden, wie \zB\ die Paare $(3, 5)$, $(11, 13)$, $(29, 31)$,
$(71, 73)$, $(137, 139)$,~\dots, deren Differenz gleich zwei ist, die sich
also nur um zwei Einheiten unterscheiden.
\end{Theorem}

Natürlich nimmt aber die Häufigkeit solcher Paare benachbarter
Primzahlen um so mehr ab, je weiter man in der Reihe aller
Primzahlen fortgeht. So finden sich \zB\ im ersten Hundert neun,
im zweiten nur sieben solche Paare, wie sich aus der Tabelle auf
\Seite{29} ergibt.

Besonders merkwürdig ist auch, daß bei mehreren Sätzen über
die Primzahlen und ihre Verteilung, deren allgemeiner Nachweis
schließlich gelungen ist, doch ein höchst auffallendes Mißverhältnis
zwischen der Einfachheit und Verständlichkeit der Theoreme und
dem mühsamen Wege und den schwierigen Hilfsmitteln besteht,
deren man zu ihrer Herleitung bedurfte.

Daß \emph{die Anzahl aller Primzahlen nicht endlich sein kann},
hat bereits \Name{Euklid} auf die folgende wunderbar einfache und scharfsinnige
Art bewiesen: Angenommen, es gäbe nur eine endliche Anzahl
von Primzahlen, $2$,~$3$, $5$,~\dots~$p$, so daß $p$ die größte existierende
Primzahl wäre, so gibt die Zahl
\[
m = 2·3·5 \dots p + 1
\]
bei der Division durch jede einzelne Primzahl $2$,~$3$,~\dots~$p$ den Rest~$1$;
da $m$ demnach durch keine dieser Primzahlen teilbar ist, so muß
$m$ entweder selbst eine neue Primzahl sein oder lauter neue Primzahlen
enthalten. Dieser Euklidische Beweis ist auch deshalb besonders
schön und wertvoll, weil er gleich ein endliches Intervall ergibt,
in welchem eine neue Primzahl liegen muß; in der Tat folgt
ja unmittelbar aus dem Euklidischen Beweise:
\begin{Theorem}
Ist $p$ eine beliebig gegebene Primzahl, so muß in dem
\PageSep{047}{31}
Intervall von~$p + 1$ bis $2·3·5 \dots p + 1$ (inkl.)\ mindestens \emph{eine}
neue Primzahl vorhanden sein.
\end{Theorem}

Es sei hier nur erwähnt, daß es den Bemühungen der Mathematiker
gelungen ist, anstatt dieser großen Intervalle wesentlich
kleinere aufzufinden. Am schönsten und einfachsten ist wohl in
dieser Beziehung der folgende von \Name{Tschebyscheff} herrührende Satz,
\index{Tschebyscheffs Primzahlsatz}%
dessen Beweis aber wesentlich höhere Hilfsmittel erfordert:
\begin{Theorem}
Ist $a$ irgend eine oberhalb von $3$,~$5$ gelegene reelle Zahl, so
liegt stets zwischen den Grenzen $a$ und $2a - 2$ mindestens eine
Primzahl.
\end{Theorem}

\ZB\ muß also zwischen $4$~und~$6$, $5$~und~$8$, $6$~und~$10$, $12$~und~$22$
usw.\ jeweils mindestens eine Primzahl liegen.

Da es nur die einzige gerade Primzahl~$2$ gibt, so besagt der
Euklidische Satz über die unendliche Anzahl der Primzahlen, daß insbesondere
die Reihe
\[
1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \dots
\]
aller ungeraden Zahlen unendlich viele Primzahlen enthält. Teilt
man diese Reihe dadurch in zwei Partialreihen, daß man in ihr von
$1$ bzw.\ $3$ ausgehend immer je eine Zahl überspringt, so erhält man
die Reihen
\[
1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \dots \quad\text{und}\quad 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots
\]
aller derjenigen Zahlen, welche durch $4$ geteilt den kleinsten positiven
Rest $1$ bzw.\ $3$ lassen, \dh\ alle Zahlen von der Form $4n + 1$ bzw.\
$4n + 3$. Überspringt man in der obigen Reihe aller ungeraden
Zahlen in gleicher Weise von $1$,~$3$,~$5$ oder~$7$ ausgehend immer je vier
Zahlen unserer Reihe, so erhält man die vier Partialreihen
\[
1,\ 9,\ 17,\ \dots;\quad
3,\ 11,\ 19,\ \dots;\quad
5,\ 13,\ 21,\ \dots;\quad
7,\ 15,\ 23,\ \dots
\]
der Zahlen von den Formen $8n + 1$, $8n + 3$, $8n + 5$, $8n + 7$. In
gleicher Weise kann man die Reihe der ungeraden Zahlen in andere
Partialreihen zerlegen. Es liegt nun nahe, zu fragen, ob jede dieser
Partialreihen ebenso wie die ganze Reihe der ungeraden Zahlen unendlich
viele Primzahlen enthält, oder ob dies nur für gewisse unter
ihnen gilt.
\PageSep{048}{32}

So werden wir darauf geführt, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen
eine arithmetische Reihe
\[
r,\ r + m,\ r + 2m,\ \dots
\]
unendlich viele Primzahlen enthält. Hierüber verbreitet der folgende,
von \Name{Dirichlet} zuerst streng bewiesene Satz volle Klarheit:
\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}%
\begin{Theorem}
Alle und nur die arithmetischen Reihen $r + km$, für die
das Anfangsglied~$r$ und die Differenz~$m$ teilerfremd sind, enthalten
unendlich viele Primzahlen.
\end{Theorem}

Daß dies sicher nicht der Fall sein kann, wenn $(r, m) = d > 1$
ist, ist unmittelbar klar, da ja dann jede Zahl der arithmetischen
Reihe durch $d$ teilbar ist. Den schwierigen Beweis der positiven Behauptung
für den Fall $(r, m) = 1$ hingegen konnte \Name{Dirichlet} nur mit
Benützung der Mittel der höheren Analysis führen; sein Ziel ist dabei
der Nachweis, daß, wenn $p_{1}$,~$p_{2}$, $p_{3}$,~\dots\ alle Primzahlen der zu
untersuchenden arithmetischen Reihe sind, die Summe der Reihe
\[
\frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{p_{2}} + \frac{1}{p_{3}} + \dots
\]
ins Unendliche wächst, woraus sich ergibt, daß diese Reihe gewiß
unendlich viele Glieder besitzt.

Die wichtigste Eigenschaft der Primzahlen ist aber die, daß sie
gewissermaßen die Elemente sind, aus denen sich jede ganze Zahl
in eindeutiger Weise multiplikativ zusammensetzen läßt. Daß zunächst
jede ganze positive Zahl~$a$ (für die negativen Zahlen kommt
ja nur noch die Multiplikation mit~$-1$ dazu) überhaupt in Primzahlen
dekomponiert werden kann, sieht man leicht ein: Entweder
ist nämlich $a$ eine Primzahl, dann ist der gewünschte Beweis schon
geführt; oder aber $a$ hat mindestens einen eigentlichen Teiler~$d$,
\dh\ es ist $a = dd'$, dann ist die ursprüngliche Aufgabe auf die andere
der Zerlegung der Zahlen $d$~und~$d'$, die beide kleiner als $a$ sind, zurückgeführt.
Verfährt man ebenso mit $d$~und~$d'$ usw., so muß man, da
bei jedem Schritt jede der vorkommenden Zahlen verkleinert wird,
schließlich zu einer Dekomposition von~$a$ in lauter Primzahlen gelangen;
für jede zusammengesetzte ganze Zahl kann demnach eine
Zerlegung in lauter Primzahlen durch eine endliche Anzahl von
\PageSep{049}{33}
Versuchen gefunden werden. Es wäre aber sehr wohl denkbar, daß
man für die nämliche Zahl~$a$ auf andere Weise eine Zerlegung in
\index{Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren}%
ganz andere Primzahlen erhalten könnte; wirklich ist dies zwar
nicht im Körper der rationalen Zahlen, wohl aber in anderen
Körpern der Fall.

Der fundamentale Beweis für die in~$K(1)$ herrschende Eindeutigkeit
der Zerlegung läßt sich leicht mit Hilfe der zwei folgenden
Sätze führen:
\begin{Theorem}
Eine Primzahl~$p$ ist in einer beliebigen ganzen Zahl~$a$ entweder
als Teiler enthalten oder zu ihr teilerfremd.
\end{Theorem}

In der Tat ist ja der größte gemeinsame Teiler $d = (p, a)$ ein
Teiler der Primzahl~$p$, es muß also entweder $d = p$ oder $d = 1$ sein.
Im ersten Fall ist $p$ in $a$ enthalten, im zweiten zu $a$ teilerfremd.

\begin{Theorem}
Ein Produkt ist dann und nur dann durch eine Primzahl~$p$
teilbar, wenn diese in mindestens einem der Faktoren enthalten ist.
\end{Theorem}

Wäre nämlich $p$ in keiner der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, also
nach dem letzten Satz $(a, p) = (b, p) = \dots = (c, p) = 1$, so folgte
nach Satz~\Iref{III)} auf \Seite{25} $(a·b \dots c, p) = 1$ in Widerspruch mit der
Voraussetzung, daß $a·b \dots c$ durch $p$ teilbar ist.

Wir zeigen jetzt, daß eine ganze positive Zahl~$a$ nicht auf zwei
verschiedene Arten (abgesehen von multiplikativer Hinzufügung von
Einsen) als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Wären
nämlich einmal zwei verschiedene Primzahlprodukte einander gleich,
bestünde also eine Beziehung
\[
pp' \dots p^{(k)} = qq' \dots q^{(l)},
\]
wo nicht alle Primzahlen~$p$ mit allen Primzahlen~$q$ übereinstimmten,
so könnte man offenbar voraussetzen, daß kein Faktor~$p$ einem
Faktor~$q$ gleich ist; denn solche gleiche Primzahlen könnten ja durch
Heben auf beiden Seiten fortgeschafft werden, wobei nach der
Voraussetzung noch wenigstens auf einer Seite, etwa der linken,
mindestens ein Faktor~$p$ übrig bliebe. Da demnach $p$ in dem rechts
übrig gebliebenen Produkt enthalten wäre, so müßte nach dem zuletzt
bewiesenen Satze rechts mindestens eine durch $p$ teilbare Zahl~$q$
stehen geblieben sein, welche, da sie selbst als Primzahl keinen
\PageSep{050}{34}
eigentlichen Teiler enthalten könnte, notwendig mit $p$ identisch wäre.
Diese Folgerung widerspricht aber der Voraussetzung, nach der alle
gleichen Primzahlen bereits ursprünglich auf beiden Seiten fortgeschafft
waren; daher war die Annahme, es sei hierbei mindestens
ein Faktor auf einer Seite stehen geblieben, notwendig falsch. Bedenkt
man noch, daß gleiche Primzahlen bei der Zerlegung einer
zusammengesetzten Zahl miteinander vereinigt werden können, so
hat man den folgenden, \emph{für die ganze multiplikative Zahlenlehre
grundlegenden}
\begin{Theorem}
\textit{Fundamentalsatz:} Jede ganze positive Zahl~$m$ läßt sich
stets und nur auf eine einzige Weise als Produkt von Primzahlpotenzen,
\dh\ in der Form
\[
m = p^{a} q^{b} \dots r^{c}
\]
darstellen.
\end{Theorem}

Hierbei sind die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auf ganzzahlige positive
Werte beschränkt, ausgenommen den trivialen Fall $m = 1$. Da jede
negative Zahl aus einer positiven durch Multiplikation mit~$-1$ entsteht
und sich jede gebrochene Zahl eindeutig als Quotient von zwei teilerfremden
ganzen Zahlen darstellen läßt, von denen jede in ihre Primfaktoren
zerlegt werden kann, so bleibt der soeben bewiesene Fundamentalsatz
\emph{für jede positive oder negative rationale Zahl} gültig,
sobald man die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auch ganzzahlige negative
Werte annehmen läßt und die eventuelle Hinzufügung von~$-1$ gestattet.
So ist~\zB:
\[
1400 = 2^{3}5^{2}7, \quad
-\frac{189}{220} = (-1)·2^{-2}3^{3}5^{-1}7 · 11^{-1}.
\]

Benutzt man die Tatsache, daß sich jede ganze Zahl eindeutig
als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen läßt, so ergeben sich die
im vorigen Paragraphen bewiesenen Sätze über den größten gemeinsamen
Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen
höchst einfach. Hier sollen nur noch zwei Sätze über die Teiler
einer Zahl bewiesen werden.

\begin{Theorem}
Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen
positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Anzahl aller
Teiler von~$m$ ($1$~und~$m$ eingeschlossen) gleich
\PageSep{051}{35}
\[
(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1).
\]
\end{Theorem}

Denn soll $\delta$ ein Teiler von $m$ sein, so muß $\dfrac{m}{\delta}$ ganz sein, \dh\ $\delta$
kann keinen Primteiler von~$m$ in höherer Potenz als $m$ selbst enthalten;
$\delta$~muß daher stets die Form besitzen:
\[
\delta = p^{\alpha} q^{\beta} \dots r^{\gamma} \qquad
\begin{Conditions}
\left(
\begin{aligned}
\alpha &= 0,\ 1,\ \dots\ a\\
\beta  &= 0,\ 1,\ \dots\ b\\
\PadTo{\beta}{\vdots} \\
\gamma &= 0,\ 1,\ \dots\ c
\end{aligned}
\right)
\end{Conditions}.
\]
Die Anzahl aller dieser Teiler ist aber in der Tat
\index{Anzahl der Divisoren einer Zahl}%
\[
(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1).
\]
\ZB~besitzt $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$ genau $32 = 4·4·2$ verschiedene Teiler.

Auch die Summe $S_{d}(m)$ aller Teiler von~$m$ läßt sich leicht bestimmen.
\index{Summe!der Divisoren e.\ Zahl}%
Es ergibt sich nämlich durch eine einfache Überlegung:
\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original]
S_{d}(m)
  &= \sum \delta
   = \sum_{\alpha=0}^{a} \sum_{\beta=0}^{b} \dots \sum_{\gamma=0}^{c} (p^{\alpha}q^{\beta} \dots r^{\gamma})\\
  &= (1 + p + p^{2} + \dots + p^{a})
    (1 + q + \dots + q^{b}) \dots
    (1 + r + \dots + r^{c})\\
  &= \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1}
   · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots
     \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}.
\end{align*}

Wir haben also gefunden:
\begin{Theorem}
Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen
positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Summe aller
Teiler von~$m$
\[
S_{d}(m)
  = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1}
  · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots
    \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}.
\]
\end{Theorem}

\ZB\ ist für $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$
\[
S_{d}(1080)
  = \frac{2^{4} - 1}{1}
  · \frac{3^{4} - 1}{2}
  · \frac{5^{2} - 1}{4}
  = 15·40·6 = 3600.
\]

In ähnlicher Weise läßt sich die Summe von beliebig hohen Potenzen
sämtlicher Teiler einer gegebenen Zahl sehr leicht berechnen.
\PageSep{052}{36}


\Chapter{Drittes Kapitel.}
{Die Beziehungen aller rationalen Zahlen
zu einer Grundzahl~$g$. Die $g$-adische
Darstellung der rationalen Zahlen.}

\Section{§ 1.}{Die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen.}

Nachdem wir im vorigen Kapitel die Hauptsätze über die multiplikative
\index{Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$}%
Zerlegung rationaler Zahlen kennen gelernt haben, sollen
jetzt die Beziehungen zwischen allen rationalen Zahlen und einer
willkürlich aber fest angenommenen ganzen positiven Zahl $g > 1$, der
sog.\ \so{Grundzahl} oder dem \so{Modul},\footnote
  {Diese Bedeutung des Wortes, das hier eine spezielle \emph{Zahl} bezeichnet,
  ist zu unterscheiden von der anderen, in §~3 des I.~Kap.\ eingeführten,
  wo unter Modul ein besonderer \emph{Zahlbereich} verstanden wurde; beide Bedeutungen
  haben nichts miteinander zu tun.} %[** TN: Moved comma before footnote mark]
genauer untersucht werden.
Analog der früher gemachten Unterscheidung zwischen ganzen und
gebrochenen Zahlen teilen wir auch jetzt die rationalen Zahlen ein
in die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen, definieren aber
jetzt wesentlich anders als vorher:
\begin{Definition}
Eine rationale Zahl $A = \dfrac{m}{n}$, die wir uns in der Folge stets in
der reduzierten Form (\dh~nach Wegschaffung etwaiger gemeinsamer
Teiler in Zähler und Nenner) gegeben denken, heißt
\so{modulo~$g$ ganz} oder \so{für den Bereich von~$g$
ganz}, wenn ihr Nenner~$n$ zu $g$ teilerfremd ist, also mit~$g$
keinen einzigen Primteiler gemeinsam hat. Dabei ist natürlich
auch die Zahl Null als modulo~$g$ ganz zu betrachten. Jede
\PageSep{053}{37}
\index{Ring!aller modulo~$g$ ganzen Zahlen}%
andere Zahl~$A$, deren Nenner also mindestens einen der Primteiler
von $g$ enthält heißt eine \so{modulo~$g$ gebrochene} Zahl.
\end{Definition}

Ist speziell die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ oder eine Primzahlpotenz~$p^{k}$,
so sind alle und nur die reduzierten Brüche modulo~$g$
ganz, deren Nenner nicht $p$ enthält.

Bei dieser Definition der modulo~$g$ ganzen und gebrochenen
Zahlen abstrahiert man also von allen Primteilern des Nenners mit
alleiniger Ausnahme derjenigen, die in $g$ enthalten sind. Zum
Unterschied sollen die bisher betrachteten gewöhnlichen ganzen
Zahlen $0$,~$±1$,~$±2$,~\dots\ auch als \so{absolut ganz} bezeichnet
werden.

In diesem Kapitel werden die absolut ganzen Zahlen durch
kleine, die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen durch große
lateinische Buchstaben bezeichnet werden. Unter einer ganzen Zahl
schlechthin soll jetzt immer eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ verstanden
werden. Alle absolut ganzen Zahlen sind natürlich auch
für \emph{jeden} Modul~$g$ ganz, aber für den Bereich von $g$ kommen zu
ihnen eben noch alle unendlich vielen Brüche $A = \dfrac{m}{n}$ hinzu, für
welche $(n, g) = 1$ ist.

\ZB~sind die beiden Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $-\dfrac{12}{17}$ modulo~$12$ ganz, weil
ihre Nenner weder durch $2$ noch durch $3$ teilbar sind.

\begin{Theorem}
Alle modulo~$g$ ganzen Zahlen bilden ebenso wie alle absolut
ganzen Zahlen einen Zahlenring, dessen Elemente sich durch Addition,
Subtraktion und Multiplikation wieder erzeugen.
\end{Theorem}

In der Tat, sind $A = \dfrac{m}{n}$ und $A' = \dfrac{m'}{n'}$ modulo~$g$ ganz, so gilt das
gleiche für $A + A'$, $A - A'$ und~$AA'$; denn die Nenner der (eventuell
noch nicht reduzierten) Brüche
\[
\frac{m}{n} ± \frac{m'}{n'} = \frac{mn' ± nm' }{ nn'} \quad\text{und}\quad
\frac{m}{n}·\frac{m'}{n'} = \frac{mm'}{nn'}
\]
sind ja zu $g$ teilerfremd, wenn dies für $n$~und~$n'$ gilt, um so mehr
also die Nenner der hieraus entstehenden reduzierten Brüche.
\PageSep{054}{38}

\ZB~sind die Zahlen
\[
\frac{7}{5} + \frac{12}{17} = \frac{179}{85}, \quad
\frac{7}{5} - \frac{12}{17} = \frac{59}{85} \quad\text{und}\quad
\frac{7}{5} · \frac{12}{17} = \frac{84}{85}
\]
modulo~$12$ ganz, weil dies von $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{12}{17}$ gilt.

\begin{Theorem}
Jede modulo~$g$ gebrochene Zahl kann als Quotient von zwei
modulo~$g$ ganzen Zahlen dargestellt werden, und zwar kann
\index{Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl}%
man es (bei Verzicht auf reduzierte Darstellung) immer so
einrichten, daß der Nenner gerade eine Potenz der Grundzahl~$g$
wird.
\end{Theorem}

Schreibt man nämlich eine beliebige gebrochene Zahl~$A$ in der
Form $A = \dfrac{m}{\gamma·n}$, wo $\gamma$~das Produkt aller derjenigen Primfaktoren
des Nenners darstellt, die auch in $g$ enthalten sind, so daß also
$n$ zu $g$ teilerfremd ist, so sei $g^{\nu}$~die niedrigste Potenz von~$g$, welche
durch $\gamma$ teilbar ist, und es sei $g^{\nu} = \gamma·\gamma'$. Da man nunmehr~$A$ in
der Form
\[
\Tag{(1)}
A = \frac{\;\dfrac{m\gamma'}{n}\;}{g^{\nu}}
  = \frac{G}{g^{\nu}}
\]
schreiben kann, wo $G = \dfrac{m\gamma'}{n}$ modulo~$g$ ganz ist, so ist unsere Behauptung
erwiesen. Die Form~\Eq{(1)}, in der jede modulo~$g$ gebrochene
Zahl~$A$ dargestellt werden kann, soll die \so{normierte Darstellung
von~$A$} heißen.

\ZB~hat $\dfrac{4}{9}$ modulo~$6$ die normierte Darstellung~$\dfrac{16}{6^{2}}$.

\begin{Definition}
Definition: Eine Zahl $E = \dfrac{m}{n}$, die selbst modulo~$g$ ganz
ist und deren reziproker Wert $\dfrac{1}{E} = \dfrac{n}{m}$ ebenfalls modulo~$g$ ganz
ist, soll eine \so{Einheit für den Bereich von~$g$} genannt
\index{Einheit modulo~$g$!rationale für d.\ Bereich von~$g$}%
werden.
\end{Definition}

Dies entspricht genau der Definition der absoluten Einheiten~$±1$;
denn diese und nur sie sind ja zugleich mit ihren Reziproken
\PageSep{055}{39}
\index{Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten}%
absolut ganz. Ein reduzierter Bruch ist hiernach offenbar stets
und nur dann eine Einheit modulo~$g$, wenn sowohl sein Zähler als
auch sein Nenner zu $g$ teilerfremd ist. Für eine Primzahl $g = p$
als Grundzahl sind also alle und nur die reduzierten Brüche Einheiten
modulo~$p$, deren Zähler und Nenner~$p$ nicht enthalten.

\begin{Theorem}
Alle Einheiten modulo~$g$ bilden einen Zahlstrahl oder eine
Zahlgruppe, weil das Produkt und der Quotient zweier Einheiten
ersichtlich wieder Einheiten sind.
\end{Theorem}

\ZB~sind für den Modul~$12$ die Zahlen $\dfrac{5}{7}$ und $\dfrac{55}{49}$ Einheiten,
weil jede der vier Zahlen $5$,~$7$, $55$,~$49$ zu $12$ relativ prim ist. Infolgedessen
müssen auch ihr Produkt $\dfrac{275}{343}$ und ihr Quotient $\dfrac{7}{11}$ Einheiten
für den Bereich von~$12$ sein; in der Tat enthält auch keiner
dieser Zähler und Nenner $2$ oder $3$ als Faktor. Dagegen ist \zB\
$\dfrac{10}{7}$ modulo~$12$ zwar ganz, aber keine Einheit, weil der Zähler mit
$12$ den Primfaktor~$2$ gemeinsam hat, der reziproke Wert $\dfrac{7}{10}$ also
modulo~$12$ gebrochen ist.

\begin{Definition}
Definition: Von zwei modulo~$g$ ganzen Zahlen $A$~und~$B$ heißt
$A$ durch $B$ \so{modulo~$g$ teilbar}, wenn der Quotient $G = \dfrac{A}{B}$
modulo~$g$ ganz ist, wenn also $A = B·G$ ist, wo $G$~eine ganze
Zahl darstellt. Dann nennen wir auch $A$ ein \so{Vielfaches}
oder \so{Multiplum von~$B$ für den Bereich von~$g$}.
\end{Definition}

Wir werden besonders die Teilbarkeit einer modulo~$g$ ganzen Zahl
\index{Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$}%
$A = \dfrac{m}{n}$ durch eine Potenz~$g^{\nu}$ des Moduls zu untersuchen haben.
Soll $\dfrac{m}{ng^{\nu}}$ modulo~$g$ ganz sein, wobei nach Voraussetzung $(n, g) = 1$
ist, so muß $m$ durch $g^{\nu}$ teilbar sein. Es ergibt sich also:
\begin{Theorem}
Eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ ist stets und nur dann
durch $g^{\nu}$ teilbar, wenn ihr Zähler~$m$ ein Vielfaches von $g^{\nu}$ ist.
Ferner ist offenbar jede ganze Zahl~$A$ durch jede Einheit~$E$ modulo~$g$
teilbar.
\end{Theorem}
\PageSep{056}{40}

Denn ist $A$ ganz, so ist auch $\dfrac{A}{E} = A·\dfrac{1}{E}$ ganz, da $\dfrac{1}{E}$ ganz ist.

So ist \zB\ $\dfrac{4}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ teilbar, nicht aber durch~$\dfrac{3}{5}$,
weil $\dfrac{4}{7} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{20}{21}$ modulo~$12$ gebrochen ist, da der Nenner~$21$ mit
$12$ den Primteiler~$3$ gemeinsam hat; $\dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{5}·\dfrac{10}{7}$ ist modulo~$12$ ein
Vielfaches von~$\dfrac{2}{5}$. Dagegen ist $\dfrac{11}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ nicht teilbar,
wohl aber durch~$\dfrac{1}{5}$, weil $\dfrac{1}{5}$ eine Einheit modulo~$12$ ist.


\Section{§ 2.}{Einteilung der modulo~$g$ ganzen Zahlen in Kongruenzklassen
und das Rechnen mit diesen Klassen.}

Wir wollen nunmehr die modulo~$g$ ganzen Zahlen nach eben
\index{Einsklasse modulo~$g$}%
\index{Kongruente!Zahlen modulo~$g$}%
\index{Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$}%
\index{Korpor@{Körper}!Ko@{$K(1)$ d.\ rationalen Zahlen}}%
\index{Nullklasse modulo~$g$}%
diesem Modul in Klassen, die sog.\ \so{Kongruenzklassen},
\index{Modul!einer Kongruenz}%
einteilen, indem wir \emph{in eine und dieselbe Klasse alle und nur die
ganzen Zahlen rechnen, welche sich von einander additiv um ein Vielfaches
von $g$ unterscheiden}. So gehören alle Multipla von~$g$ selbst
in die nämliche Klasse~$C_{0}$, die sog.\ \so{Nullklasse}; ebenso befinden
sich alle Zahlen von der Form $gN + 1$ in derselben Klasse~$C_{1}$, die
wir die \so{Einsklasse} nennen wollen, und allgemein gilt:
\begin{Theorem}
In eine und dieselbe Klasse~$C_{A}$ gehören alle und nur die
Zahlen von der Form~$gN + A$, wenn $A$~eine beliebige Zahl
dieser Klasse bezeichnet, $N$~aber alle modulo~$g$ ganzen Zahlen
durchläuft.
\end{Theorem}

Wir wollen nun festsetzen:
\begin{Definition}
Definition: Irgend zwei Zahlen $A$~und~$A'$ der nämlichen
Klasse sollen \so{kongruent für den Modul~$g$} heißen,
wofür wir schreiben:
\[
\Tag{(1)}
A' \equiv A\ (\mod.~g)\quad
\text{(gelesen: $A'$ ist kongruent $A$ modulo~$g$).}
\]
\end{Definition}

Diese Kongruenz vertritt also lediglich eine Gleichung
\[
\Tag{(1^{a})}
A' = A + Ng,
\]
\PageSep{057}{41}
in der $N$ eine ganze Zahl ist; oder, was dasselbe ist, sie besagt,
daß die Differenz $A' - A$ durch $g$ teilbar ist.

So ist \zB\
\[
7 \equiv 31 \ (\mod.~12),
\]
weil $31 - 7 = 24$ durch $12$ teilbar ist, also $7 = 31 + (-2)·12$ sich
in der nämlichen Klasse wie $31$ befindet. Ebenso ist:
\[
  9 \equiv  23 \ (\mod.~7);\quad
-11 \equiv   7 \ (\mod.~9);\quad
-13 \equiv -25 \ (\mod.~6).
\]
Aber auch für die modulo~$12$ ganzen Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{169}{35}$ besteht
die Kongruenz
\[
\frac{7}{5} \equiv \frac{169}{35} \ (\mod.~12),
\]
weil ihre Differenz $\dfrac{169}{35} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{24}{7} = 12·\dfrac{2}{7}$ ein Multiplum des
Moduls~$12$ ist. Ferner ist \zB\
\[
\frac{1}{7} \equiv -2 \ (\mod.~5); \quad
\frac{2}{3} \equiv \frac{12}{13} \ (\mod.~10),
\]
weil $\dfrac{1}{7} + 2 = \dfrac{15}{7}$ durch~$5$, $\dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{13} =-\dfrac{10}{39}$ durch $10$ teilbar ist.

\begin{Theorem}
Jede zu einer Einheit kongruente Zahl ist wieder eine
\index{Einheitsklassen modulo~$g$}%
Einheit. Eine Klasse~$C_{A}$, welche auch nur eine Einheit enthält,
besteht also aus lauter Einheiten. Eine solche Klasse soll
\so{eine Einheitsklasse} genannt werden.
\end{Theorem}

In der Tat, ist $A = \dfrac{m}{n}$ eine Einheit, so gilt auch für jede zu $A$
kongruente Zahl
\[
A' = A + Ng = \frac{m}{n} + g·\frac{m'}{n'} = \frac{mn' + gm'n}{nn'}
\]
dasselbe; denn da nach Voraussetzung $(m, g) = (n, g) = (n'\DPtypo{}{,} g) = 1$ ist,
so ist sowohl $(nn', g) = 1$ als auch $(mn' + g·m'n, g) = (mn', g) = 1$,
\wzbw.

Beschränken wir uns für den Augenblick auf den Bereich der
\emph{absolut} ganzen Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, so sind zwei solche
\PageSep{058}{42}
$a$~und~$a'$ nach unserer Definition offenbar stets und nur dann kongruent
modulo~$g$, wenn $a' = a + gn$ ist, wo $n$~eine absolut ganze
Zahl bedeutet. Da jede absolut ganze Zahl~$a$ auf eine einzige Weise
in der Form
\[
a = a_{0} + gn
\]
geschrieben werden kann, wenn $a_{0}$~eine der Zahlen $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$
ist, so folgt, daß jede absolut ganze Zahl einer und nur einer unter
diesen $g$ Zahlen kongruent ist. Die absolut ganzen Zahlen zerfallen
also modulo~$g$ in genau $g$ Klassen inkongruenter Zahlen, welche jetzt
nach den eindeutig bestimmten kleinsten nicht negativen Resten
ihrer Elemente durch
\[
\Tag{(2)}
C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ \dots\ C_{g-1}
\]
bezeichnet werden sollen.

Man erkennt aber leicht, daß sich auch alle \emph{modulo~$g$} ganzen
Zahlen $A = \dfrac{m}{n}$ vollständig auf diese $g$~Klassen verteilen, daß also
\emph{jede solche Zahl~$A$ einer und nur einer Zahl der Reihe
$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent ist}. Da nämlich nach Voraussetzung
$(n, g) = 1$ ist, so enthält nach \Seite{24} oben der Modul $M(n, g)$
alle absolut ganzen Zahlen, also sicher auch den Zähler~$m$ von~$A$.
Man kann also zwei absolut ganzzahlige Multiplikatoren $\bar{a}_{0}$~und~$m_{0}$
so bestimmen, daß
\[
m = n\bar{a}_{0} + gm_{0},
\]
also
\[
\Tag{(3)}
A = \frac{m}{n} = \bar{a}_{0} + g \frac{m_{0}}{n} = \bar{a}_{0} + gN
\]
ist, wo $N = \dfrac{m_{0}}{n}$ wieder eine modulo~$g$ ganze Zahl ist. Demnach
besteht die Kongruenz
\[
\Tag{(3^{a})}
A \equiv \bar{a}_{0} \ (\mod.~g),
\]
\dh\ jede modulo~$g$ ganze Zahl~$A$ ist sicher einer absolut ganzen
Zahl~$\bar{a}_{0}$ modulo~$g$ kongruent und zugleich hiermit auch allen und
nur den absolut ganzen Zahlen $\bar{a}_{0} + gn$ derjenigen Zahlklasse,
\PageSep{059}{43}
welcher $\bar{a}_{0}$ angehört. Ist $a_{0}$ unter diesen Zahlen die kleinste nicht
negative, so ist also auch
\[
\Tag{(3^{b})}
A \equiv a_{0} \ (\mod.~g), \quad\text{\dh}\quad A = a_{0} + N'g,
\]
wo $a_{0}$ der Reihe $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ angehört. Diese kleinste ganze
Zahl~$a_{0}$, der $A$~kongruent ist, ist eindeutig bestimmt, da ja die
Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ inkongruent sind; hiermit ist unsere
Behauptung vollständig bewiesen.

So bestehen \zB, wie eine leichte Rechnung lehrt, die Kongruenzen
\begin{alignat*}{2}
\frac{2}{3} &\equiv 4 \ (\mod.~10), \quad&-\frac{1}{3} &\equiv 3 \ (\mod.~10). \\
\frac{3}{8} &\equiv 1 \ (\mod.~5),       &-\frac{1}{8} &\equiv 3 \ (\mod.~5).
\end{alignat*}

Aus dem soeben bewiesenen folgt unmittelbar, daß man die
Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots\ $C_{g-1}$ statt durch die kleinsten nicht negativen
absolut ganzen Zahlen, die in ihnen vorkommen, auch durch je ein
beliebiges ihrer modulo~$g$ ganzen Elemente $r_{0}$, $r_{1}$,~\dots\ $r_{g-1}$ vollständig
charakterisieren kann. Auch diese bilden dann ein vollständiges
System modulo~$g$ inkongruenter Zahlen oder ein \so{vollständiges
Restsystem modulo~$g$}, \dh\ jede modulo~$g$ ganze
\index{Restsystem, vollständiges, modulo~$g$}%
Zahl ist einer und nur einer dieser Zahlen kongruent.

So bilden \zB\ für den Modul $g = 10$ nicht nur die Zahlen
$(0, 1, 2, \dots 9)$, sondern ebensowohl etwa auch die Zahlen
\[
\left(20, 11, 2, -\frac{1}{3}, 4, 75, \frac{12}{7}, -3, -\frac{2}{11}, 99\right)
\]
ein vollständiges Restsystem, da sie modulo~$10$ den Zahlen
$(0, 1, 2, \dots 9)$ der Reihe nach kongruent sind.

Das Rechnen mit Kongruenzen gestaltet sich fast ebenso einfach,
wie das Rechnen mit Gleichungen. Es bestehen nämlich auch
hier die Sätze:
\begin{Theorem}
Kongruentes zu Kongruentem addiert oder von Kongruentem
subtrahiert oder mit Kongruentem multipliziert gibt Kongruentes.
\end{Theorem}
\PageSep{060}{44}

In der Tat, ist
\[
A' \equiv A \quad\text{und}\quad
B' \equiv B \quad\text{für denselben Modul~$g$,}
\]
so daß die Differenzen $A' - A$ und $B' - B$ beide durch $g$ teilbar
sind, so sind auch die drei Differenzen
\[
\Tag{(4)}
%[** TN: Explicit space to center contents better]
\hspace*{-2em}
\begin{gathered}[t]
(A' ± B') - (A ± B) = (A' - A) ± (B' - B)\\
A'B' - AB = A'(B' - B) + B(A' - A)
\end{gathered}
\]
Multipla von $g$, \dh\ es gelten für den Modul~$g$ wirklich die Kongruenzen:
\[
A' ± B' \equiv A ± B,\quad
A'B' \equiv AB, \ (\mod.~g)
\]
\wzbw\ Dagegen ist man, was den Quotienten anlangt, nur dann
sicher, bei der Division von Kongruentem durch Kongruentes wieder
Kongruentes zu erhalten, wenn die Divisoren \emph{Einheiten} modulo~$g$
sind. Ist nämlich modulo~$g$\; $A' \equiv A$ und $B' \equiv B$, wobei~$B$, also
auch die kongruente Zahl~$B'$ eine Einheit ist, so ergibt sich wirklich
\[
\Tag{(5)}
\frac{A'}{B'} \equiv \frac{A}{B} \ (\mod.~g),
\]
weil die Differenz
\[
\Tag{(5^{a})}
\frac{A'}{B'} - \frac{A}{B} = \frac{A'B - AB'}{BB'}
  = \frac{1}{B'} (A' - A) - \frac{A}{BB'} (B' - B)
\]
ersichtlich ein Vielfaches von $g$ ist; denn der Voraussetzung wegen
sind ja $\dfrac{1}{B'}$ und $\dfrac{A}{BB'}$ modulo~$g$ ganze Zahlen.

\ZB~folgt aus den modulo~$10$ bestehenden Kongruenzen $\dfrac{2}{3} \equiv 34$
und $-2 \equiv 8$ durch Addition, Subtraktion und Multiplikation:
\[
-\frac{4}{3} \equiv 42,\quad
 \frac{8}{3} \equiv 26,\quad
-\frac{4}{3} \equiv 272 \ (\mod.~10),
\]
während die Quotienten $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\;-2\;} = -\dfrac{1}{3}$ und $\dfrac{34}{8} = \dfrac{17}{4}$, von denen der
zweite ja modulo~$10$ gebrochen, der erste aber ganz ist, natürlich
nicht kongruent sind. Hingegen folgt aus
\PageSep{061}{45}
\[
\frac{2}{3} \equiv 34 \quad\text{und}\quad
-1 \equiv 9 \ (\mod.~10),
\]
wo $-1$ und also auch $9$ Einheiten sind, die Kongruenz der
Quotienten $-\dfrac{2}{3}$ und~$\dfrac{34}{9}$.

Durchläuft $A$ alle Zahlen einer beliebigen, aber fest angenommenen
Klasse~$C_{A}$, $B$~alle Zahlen einer anderen festen Kongruenzklasse~$C_{B}$,
so sind alle zweifach unendlich vielen Summen $A + B$
nach dem soeben bewiesenen Satz untereinander modulo~$g$ kongruent;
alle diese Summen gehören demnach einer und derselben
Klasse~$C_{s}$ an, die wir auch als $C_{A+B}$ bezeichnen wollen. Umgekehrt
läßt sich auch jedes Element~$S$ der Klasse~$C_{s}$ als Summe von je
einer Zahl~$\bar{A}$ aus~$C_{A}$ und $\bar{B}$ aus~$C_{B}$ darstellen; denn ist $A_{0}$ ein beliebiges
Element aus~$C_{A}$, $B_{0}$~ein beliebiges Element aus~$C_{B}$, so ist ja
nach der Definition von $C_{A+B} = C_{s}$:
\[
S \equiv A_{0} + B_{0}, \quad\text{also}\quad
S = A_{0} + B_{0} + Ng = (A_{0} + Ng) + B_{0} = \bar{A} + \bar{B},
\]
wenn etwa $\bar{A} = A_{0} + Ng$, $\bar{B} = B_{0}$ angenommen wird; es ist also $S$
in der verlangten Weise dargestellt. Auf genau entsprechende Weise
ergibt sich, daß auch alle Differenzen $A - B$ und ebenso alle Produkte~$AB$
untereinander modulo~$g$ kongruent sind, also gleichfalls
alle einer Klasse~$C_{A-B}$ bzw.\ einer Klasse~$C_{AB}$ angehören, deren sämtliche
Elemente auch als Differenzen bzw.\ als Produkte je einer Zahl
aus $C_{A}$~und~$C_{B}$ dargestellt werden können.

Ich betrachte jetzt diese $g$~Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ selbst als
die Elemente eines \emph{Bereiches} $R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definiere für
sie zwei Verknüpfungsoperationen, die ich wieder \so{Addition} und
\so{Multiplikation} nennen will:
\begin{Definition}
\Item{1)} Unter der Summe $C_{a} + C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ verstehe
ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle
Summen $A + B$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet
wird.

\Item{2)} Unter dem Produkt $C_{a}C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$
verstehe ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle
Produkte~$AB$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet
wird.
\end{Definition}
\PageSep{062}{46}

Diese Definitionen ergeben sofort den folgenden wichtigen Satz:
\begin{Theorem}
Bezeichnet der Index einer Klasse ein beliebiges ihrer Elemente,
so gilt:
\[
C_{A} + C_{B} = C_{A+B}, \quad
C_{A}C_{B} = C_{AB};
\]
die hierdurch für den Bereich aller Kongruenzklassen modulo~$g$
festgelegten Operationen der Addition und Multiplikation sind
innerhalb dieses Bereiches unbeschränkt und eindeutig ausführbar
und genügen den sechs Grundgesetzen \Iref{I)}--\Iref{VI)} in Kap.~I, §~1.
\end{Theorem}

Die ersten Behauptungen dieses Satzes fließen unmittelbar aus
den gegebenen Definitionen und den ihnen vorausgegangenen Bemerkungen;
aus diesen folgt aber auch die Gültigkeit der Grundgesetze
\Iref{I)}--\Iref{VI)}, weil ja denselben Gesetzen die jene Klassen
bestimmenden ganzen Zahlen genügen. Hervorgehoben sei nur noch,
daß bei Bezeichnung der Klassen durch beliebige ihrer Elemente
als Indizes \emph{jede Gleichung zwischen Klassen durch die entsprechende
Kongruenz zwischen ihren Indizes ersetzt werden kann und umgekehrt};
dies folgt aus der alsdann allgemein gültigen Beziehung
$C_{A} = C_{A+Ng}$ in Verbindung mit den für Addition und Multiplikation
getroffenen Definitionen. Insbesondere ergibt sich aus der Gültigkeit
des VI.~Grundgesetzes für die Klassenaddition:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
A + X \equiv B \ (\mod.~g)
\]
besitzt immer eine Lösung $X \equiv B - A$ (und also auch unendlich
viele modulo~$g$ kongruente Lösungen).
\end{Theorem}

Das siebente \DPtypo{Grundgsetz}{Grundgesetz} der unbeschränkten und eindeutigen
Division (mit Ausnahme der Division durch das Nullelement) ist
hingegen nicht immer erfüllt; denn die Gleichung
\[
C_{A}C_{X} = C_{B}
\]
oder, was dasselbe ist, die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ besitzt ja
nach \Seite{44}~\Eq{(5)} nur dann für jedes $C_{B}$ sicher eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A} \
(\mod.~g)$ oder $C_{X} = C_{B}·\dfrac{1}{C_{A}}$, wenn $A$~eine Einheit modulo~$g$, \dh\
$C_{A}$~eine Einheitsklasse ist.
\PageSep{063}{47}

\begin{Theorem}
Nur dann besitzt also die Gleichung $C_{A}C_{X} = C_{B}$ für jedes~$C_{B}$
sicher eine eindeutig bestimmte Lösung $C_{X} = \dfrac{C_{B}}{C_{A}}$, also auch
die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A}$,
wenn $A$~eine Einheit, \dh\ $C_{A}$ eine Einheitsklasse ist.
\end{Theorem}

Es sollen denn auch stets nur solche Klassenquotienten als
definiert zu betrachten sein, deren Nenner Einheitsklassen sind.

Man erkennt leicht, daß für den Fall eines Primzahlmoduls~$p$
sämtliche Klassen mit einziger Ausnahme der Nullklasse Einheitsklassen
sind; denn der Nenner einer modulo~$p$ gebrochenen Zahl
ist ja notwendig durch $p$ teilbar, \dh\ jede nicht durch $p$ teilbare
absolut ganze Zahl, also \zB\ jede der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, ist
eine Einheit modulo~$p$. Demnach ist in diesem Fall die Division
durch jede Klasse außer der Nullklasse gestattet.

Ist aber $g$ eine zusammengesetzte Zahl, etwa $g = g_{1}·g_{2}$, so sind
\zB\ die beiden in der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$g - 1$ vorkommenden Zahlen $g_{1}$
und $g_{2}$ keine Einheiten, weil $\dfrac{1}{g_{1}}$ und $\dfrac{1}{g_{2}}$ modulo~$g$ gebrochen sind.
Es gibt in diesem Fall also sicher noch außer der Nullklasse
Klassen, die keine Einheitsklassen sind. Man erkennt daher, wenn
man sich die Definitionen des Körpers und des Rings ins Gedächtnis
zurückruft, die Richtigkeit des folgenden Satzes:
\begin{Theorem}
Ist der Modul $g = p$ eine Primzahl, so bildet bei der angegebenen
\index{Korpor@{Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$}}%
Definition von Addition und Multiplikation der Bereich
$R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{p-1})$ aller Kongruenzklassen einen Körper, da in
ihm die Division mit Ausnahme der Division durch die Nullklasse
unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. Daher ist insbesondere
das Produkt von zwei modulo~$p$ ganzen Zahlen dann und
nur dann nach diesem Modul kongruent Null, wenn dasselbe
schon von einem der Faktoren gilt.

Ist der Modul~$g$ hingegen eine zusammengesetzte Zahl, so
\index{Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$}%
bildet der Bereich aller Kongruenzklassen nur einen Ring,
nicht auch einen Körper. In diesem Fall kann man nur
durch die Einheitsklassen unbeschränkt und eindeutig dividieren.
Für eine zusammengesetzte Zahl als Modul kann sehr wohl
\PageSep{064}{48}
ein Produkt $g_{1}g_{2}$ von Faktoren, deren keiner durch $g$ teilbar
ist, kongruent Null sein.

In beiden Fällen ist die Nullklasse das Nullelement, die
Einsklasse das Einheitselement.

Bei beliebigem $g$ bilden die sämtlichen Einheitsklassen eine
Gruppe oder einen Strahl in bezug auf die definierte Multiplikation.
\end{Theorem}

Die letzte Behauptung folgt daraus, daß das Produkt und
der Quotient zweier Einheiten wieder Einheiten sind.

Hiermit haben wir zum erstenmal Körper, Ringe und Gruppen
kennen gelernt, die nur eine \emph{endliche} Zahl von Elementen enthalten.

\begin{Examples}
\emph{Beispiel: Die Kongruenzklassen $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$,~\dots\ $C_{11}$ modulo~$12$:}
Die Nullklasse~$C_{0}$ enthält alle Vielfachen von~$12$, die Einsklasse~$C_{1}$
alle Zahlen von der Form $12·N + 1$, wo $N$~alle modulo~$12$ ganzen
Zahlen durchläuft, also \zB\ auch die Zahl $-\dfrac{5}{7} = 1 + 12·\left(-\dfrac{1}{7}\right)$.
Beispiele für die Addition, Subtraktion und Multiplikation der
Klassen sind:
\begin{gather*}
C_{3} + C_{5} = C_{8}, \quad
C_{9} + C_{6} = C_{3}; \quad
C_{7} - C_{10} = C_{9};\\
C_{3}C_{4} = C_{0},\quad
C_{5}C_{8} = C_{4}.
\end{gather*}

In Kongruenzform lauten diese Beziehungen:
\[
3 + 5 \equiv 8,\quad
9 + 6 \equiv 3,\quad
7 - 10 \equiv 9,\quad
3·4 \equiv 0,\quad
5·8 \equiv 4 \ (\mod.~12);
\]
$x \equiv 6$ ist also die Lösung der Kongruenz $9 + x \equiv 3 \ (\mod.~12)$.

Einheitsklassen sind $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ daher hat \zB\ die Kongruenz
$5x \equiv 7 \ (\mod.~12)$ bzw.\ die Gleichung $C_{5}C_{x} = C_{7}$ die
Lösung
\[
x \equiv \frac{7}{5} \equiv 11 \quad\text{bzw.}\quad
C_{x} = \frac{C_{7}}{C_{5}} = C_{11},
\]
während es keine Klasse~$C_{x}$ gibt, die der Gleichung $C_{x}·C_{9} = C_{2}$
genügt. Dagegen bilden die Klassen $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ eine Gruppe,
weil das Produkt zweier Einheitsklassen wieder eine solche ist.
\PageSep{065}{49}

Im Gegensatz hierzu bilden die Kongruenzklassen für den
Primzahlmodul~$5$: $C_{0}'$,~$C_{1}'$, $C_{2}'$, $C_{3}'$,~$C_{4}'$ einen Körper; \zB\ ist
$\dfrac{C_{2}'}{C_{4}'} = {C_{3}'}$, weil $\dfrac{2}{4} \equiv 3 \ (\mod.~5)$ ist.
\end{Examples}


\Section{§ 3.}{Die $g$-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen.
Ihre Näherungswerte.}

Die im letzten Paragraphen durchgeführten Betrachtungen geben
\index{g-adische@{$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen}}%
uns die Möglichkeit, für gewisse Untersuchungen eine modulo~$g$ ganze
Zahl~$A$ durch ihren kleinsten ganzzahligen nicht negativen Rest~$a_{0}$
für diesen Modul zu ersetzen. Für weitergehende Betrachtungen
über die Beziehungen von~$A$ zu $g$ würde aber diese Reduktion noch
nicht ausreichen; man müßte vielleicht den kleinsten Rest von~$A$
modulo~$g^{2}$ oder~$g^{3}$ oder für eine noch höhere Potenz von~$g$ als
Modul kennen. Die allgemeinste Frage dieser Art kann nun
durch die folgende Darstellung von~$A$ für den Bereich von~$g$ beantwortet
werden:

Es sei $a_{0}$ der kleinste nicht negative ganzzahlige Rest von~$A$
modulo~$g$; dann besteht, wie wir in~\Eq{(3^{b})} auf \Seite{43} sahen, die
folgende eindeutig bestimmte Gleichung:
\[
\Tag{(1)}
A = a_{0} + gA_{1},
\]
wo $A_{1}$ wieder modulo~$g$ ganz ist. Daher gilt für $A_{1}$ eine genau
ebenso gebildete Gleichung. Schreitet man in derselben Weise fort,
so erhält man eine Reihe von Gleichungen:
\[
\Tag{(1^{a})}
\begin{alignedat}{2}
A_{1} &= a_{1} &&+ gA_{2}\\
A_{2} &= a_{2} &&+ gA_{3}\\
\PadTo{A_{\rho}}{\vdots}\\
A_{\rho} &= a_{\rho} &&+ gA_{\rho+1}
\end{alignedat}.
\]
Multipliziert man die Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} bzw.\ mit $1$,~$g$, $g^{2}$,~\dots~$g^{\rho}$
und addiert sie, so heben sich die Produkte $A_{1}g$, $A_{2}g^{2}$,~\dots~$A_{\rho} g^{\rho}$
auf beiden Seiten fort, und man erhält die folgende Darstellung
jeder beliebigen modulo~$g$ ganzen Zahl:
\[
\Tag{(2)}
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1},
\]
\PageSep{066}{50}
wo die Koeffizienten~$a_{i}$ eindeutig bestimmte Zahlen der Reihe
$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ sind, und $A_{\rho+1}$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bedeutet.
Also:
\begin{Theorem}
Jede modulo~$g$ ganze Zahl läßt sich für den Bereich von
$g$ in eindeutiger Weise nach positiven ganzen Potenzen von $g$
mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln und zwar
mit einem Reste, der bei genügend weiter Fortsetzung der
Reihe durch eine beliebig hohe Potenz von~$g$ teilbar ist.
\end{Theorem}

Es erübrigt noch, die Eindeutigkeit dieser Darstellung nachzuweisen.
Gäbe es zwei verschiedene Darstellungen
\[
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1}
\]
und
\[
A = a'_{0} + a'_{1}g + a'_{2}g^{2} + \dots  + a'_{\rho}g^{\rho} + A'_{\rho+1}g^{\rho+1}
\]
derselben Zahl~$A$, so folgte durch Subtraktion
\begin{gather*}
0 = (a_{0} - a'_{0})
  + (a_{1} - a'_{1})g
  + (a_{2} - a'_{2})g^{2} + \dots
  + (a_{\rho} - a'_{\rho})g^{\rho}\\
  + (A_{\rho+1} - A'_{\rho+1})g^{\rho+1};
\end{gather*}
wäre hier $a_{k} - a'_{k}$ der erste von Null verschiedene Koeffizient,
so müßte $(a_{k} - a'_{k})g^{k}$ durch $g^{k+1}$ teilbar sein, woraus sich gegen
die Voraussetzung $a_{k} = a'_{k}$ ergäbe, da ja alle Koeffizienten $a_{i}$ und
$a'_{i}$ der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören. Es kann also nicht zwei
verschiedene derartige Darstellungen für die nämliche Zahl geben.

\begin{Theorem}
Auch die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen können in entsprechender
Weise nach Potenzen von $g$ entwickelt werden, nur
daß dann jede Reihe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern
beginnt, die negative ganzzahlige Potenzen von $g$ enthalten:
\begin{align*}%[** Not aligned in the orignal]
\Tag{(3)}
B &= \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}}
   + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots
   + \frac{b_{-1}}{g}\\
  &+ b_{0} + b_{1}g + \dots
   + b_{\rho} g^{\rho}
   + B_{\rho+1}g^{\rho+1}.
\end{align*}
\end{Theorem}

Ist nämlich $B = \dfrac{A}{g^{\nu}}$ die normierte Darstellung einer modulo~$g$
gebrochenen Zahl (vgl.\ \Seite{38} unten), und entwickelt man die modulo~$g$
ganze Zahl~$A$ für sich bis zu einem Restglied genügend
\PageSep{067}{51}
hoher Ordnung, so erhält man nach Division durch $g^{\nu}$ die obige Entwicklung,
welche ebenso wie diejenige von $A$ eindeutig ist.

Wir wollen nunmehr die Kongruenz zweier Zahlen für eine
\index{Kongruenz!modulo $g^{\rho}$}%
\emph{beliebige auch negative} Potenz von $g$ als Modul genau so definieren,
wie dies auf \Seite{40} unten für die beliebig gewählte Zahl~$g$ geschah:
\begin{Theorem}
Zwei Zahlen $A$~und~$B$ heißen \so{kongruent für den Modul~$g^{\rho}$},
oder es besteht für sie die Kongruenz:
\[
\Tag{(3)}
A \equiv B \ (\mod.~g^{\rho}),
\]
wo $\rho$~eine absolut ganze positive oder auch negative Zahl bedeutet,
wenn die Differenz~$A - B$ durch $g^{\rho}$ teilbar ist, wenn also
\[
\Tag{(3^{a})}
A = B + Ng^{\rho}
\]
gilt, wo $N$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bezeichnet.
\end{Theorem}

In der Folge wollen wir, um nicht immer bei der Entwicklung
einer Zahl~$A$ in eine nach Potenzen der Grundzahl fortschreitende
Reihe an ein Restglied bestimmter Ordnung gebunden
zu sein, statt der abbrechenden Reihe mit ihrem Restglied die
\emph{beliebig verlängerte Reihe ohne Restglied} betrachten und diese
\so{die $g$-adische Entwicklung der Zahl~$A$} oder die
\so{$g$-adische Reihe für~$A$} nennen. Wir können daher folgenden
Satz aussprechen:
\begin{Theorem}
Jede rationale Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in
eine $g$-adische Reihe
\[
\Tag{(4)}
A = a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + a_{n+2}g^{n+2} + \dots
  + a_{n+\rho}g^{n+\rho} + \dots
\]
mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln.
\end{Theorem}

Diese zwischen der Zahl~$A$ und ihrer $g$-adischen Entwicklung
definierte Gleichung ist so aufzufassen, daß $A$ sich von dem Aggregate
der $\rho + 1$~ersten Glieder obiger Reihe um ein Restglied
$A_{n+\rho+1}g^{n+\rho+1}$ unterscheidet, welches für genügend groß gewähltes
$\rho$ durch eine beliebig hohe gegebene Potenz von $g$ teilbar ist; für
jede noch so hohe positiv ganzzahlige Potenz~$g^{r+1}$ von~$g$ gilt
danach eine Kongruenz:
\[
\Tag{(5)}
A \equiv a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots + a_{r}g^{r} \ (\mod.~g^{r+1}).
\]
\PageSep{068}{52}

Ist $A = a$ eine positive absolut ganze Zahl, so bricht ihre
$g$-adische Entwicklung nach einer endlichen Zahl von Gliedern
ab, \dh\ die Koeffizienten~$a_{k}$ werden von einem bestimmten ab
alle Null. Dies folgt unmittelbar aus der Reduktionsgleichung~\Eq{(1)},
welche hier die Form erhält:
\[
a = a_{0} + ga_{1}^{(1)},
\]
weil hier ersichtlich $a_{1}^{(1)}$ wieder eine positive absolut ganze Zahl bedeutet,
die \emph{kleiner als} $a$ ist, und das Entsprechende für alle weiteren
Gleichungen~\Eq{(1^{a})} gilt. Ebenso haben offenbar alle diejenigen
modulo~$g$ gebrochenen Zahlen~$\dfrac{a}{g^{r}}$, deren Zähler in der normierten
Form positiv und absolut ganz sind, abbrechende Entwicklungen.
Die $g$-adischen Reihen für alle anderen Zahlen hingegen, insbesondere
also für diejenigen modulo~$g$ ganzen Zahlen, die negativ oder gebrochen
sind, können niemals abbrechen, da ja die abbrechenden
$g$-adischen Reihen bestimmte positive ganze Zahlen darstellen.

Wir werden eine $g$-adische Reihe oft auch abgekürzt folgendermaßen
bezeichnen:
\[
\Tag{(6)}
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots
  = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2}\,a_{3} \dots\ (g)
\]
oder, falls eine modulo~$g$ gebrochene Zahl dargestellt wird:
\begin{gather*}
\Tag{(6^{a})}
B = \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}} + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots
  + \frac{b_{-1}}{g} + b_{0} + b_{1}g + \dots \\
  = b_{-\nu}\,b_{-(\nu-1)} \dots b_{-1}\,b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots\ (g),
\end{gather*}
sodaß also das Komma immer hinter dem von $g$ freien Gliede~$b_{0}$
steht.

\begin{Examples}
\emph{Beispiele:} Es ist:
\begin{gather*}
5673 = 3 + 7·10 + 6·10^{2} + 5·10^{3}
  = 3\MathOrd{,}7650\dots
  = 3\MathOrd{,}765\ (10).\\
523\,000 = 0\MathOrd{,}00325\ (10);
\end{gather*}
ferner ist
\[
-3 = 7\MathOrd{,}9999 \dots\ (10),
\]
wie sich aus den Identitäten
\[
-3 = 7 + 10·(-1),\
-1 = 9 + 10·(-1),\ \dots\
-1 = 9 + 10·(-1)
\]
\PageSep{069}{53}
ergibt, aus denen folgt:
\[
-3 = 7 + 10·9 + 10^{2}·9 + \dots  + 10^{\rho}·9 + 10^{\rho+1}·(-1).
\]
Ebenso bestätigt man leicht die Richtigkeit der folgenden Gleichungen:
\begin{align*}
\tfrac{2}{3}   &= 4\MathOrd{,}333\dots                     \ (10).\\
\tfrac{172}{5} &= \tfrac{344}{10} = 44\MathOrd{,}3         \ (10).\\
-\tfrac{7}{5}  &= -\tfrac{14}{10} = 68\MathOrd{,}999\dots  \ (10).\\
-\tfrac{5}{12} &= -\tfrac{15}{36} = 335\MathOrd{,}555\dots \ (6).\\
\tfrac{3}{8}   &= 1\MathOrd{,}\overline{30}\,30\,30\dots   \ (5).\\
216 &= 1\MathOrd{,}331                                     \ (5).\\
-\tfrac{4}{7}  &= \overline{3,02\,142}\,302\,142\dots      \ (5);
\end{align*}
die letzte Gleichung folgt \zB\ aus den Relationen:
\begin{gather*}
-\tfrac{4}{7} = 3 + 5·(-\tfrac{5}{7}),\quad
-\tfrac{5}{7} = 0 + 5·(-\tfrac{1}{7}),\quad
-\tfrac{1}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{3}{7}),\\
%
-\tfrac{3}{7} = 1 + 5\Add{·}(-\tfrac{2}{7}),\quad
-\tfrac{2}{7} = 4 + 5\Add{·}(-\tfrac{6}{7}),\quad
-\tfrac{6}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{4}{7}),\\
-\tfrac{4}{7} = 3 + 5\Add{·}(-\tfrac{5}{7}) \quad\text{usw.}
\end{gather*}
\end{Examples}

Die nämliche Zahl wird in bezug auf verschiedene Grundzahlen
gänzlich verschiedene Entwicklungen besitzen, wie folgende Beispiele
im Vergleich zu den beiden zuletzt gegebenen lehren:
\begin{align*}
216 &= 0\MathOrd{,}0011011                                 \ (2).\\
-\tfrac{4}{7} &= \overline{2\MathOrd{,}01021}\,201021\dots \ (3).
\end{align*}

Bei der pentadischen Entwicklung von $\dfrac{3}{8}$ und der pentadischen
sowie der triadischen Entwicklung von $-\dfrac{4}{7}$ soll der wagerechte
Strich andeuten, daß die aus den betreffenden Ziffern gebildete
Periode sich immer wiederholt.

Ich habe schon auf \Seite{42} bei der Ableitung der Gleichung~\Eq{(3)}
darauf aufmerksam gemacht, daß man bei der Division von $A$
durch $g$ statt des kleinsten nicht negativen absolut ganzen
Restes~$a_{0}$, welchem $A$ modulo~$g$ kongruent ist, auch irgendeine zu
$a_{0}$ kongruente Zahl~$\bar{a}_{0}$ als Divisionsrest wählen kann. Tut man
dies, so ergeben sich statt der Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} \aSeite{49}
die allgemeineren
\PageSep{070}{54}
\[
A = \bar{a}_{0} + g\bar{A}_{1},\quad
\bar{A}_{1} = \bar{a}_{1} + g\bar{A}_{2},\ \dots,
\]
und durch dieselben Schlüsse wie \aaO\ erhält man eine
\emph{allgemeinere $g$-adische Darstellung von~$A$}, die sich, falls $A$ modulo~$g$
ganz ist, folgendermaßen schreiben läßt:
\[
\Tag{(7)}
A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \bar{a}_{2}g^{2} + \dots + \bar{a}_{\rho}g^{\rho} + \bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1},
\]
wo auch jetzt die Koeffizienten~$\bar{a}_{i}$ modulo~$g$ ganz sind, aber
nicht der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ anzugehören brauchen. Auch jetzt
besteht für jede noch so hohe Potenz von $g$ eine Kongruenz:
\[
\Tag{(7^{a})}
A \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \dots + \bar{a}_{\rho} g^{\rho} \ (\mod.~g^{\rho+1}).
\]
Wir wollen daher hier ebenfalls $A$ der ins Unendliche verlängert
gedachten $g$-adischen Reihe gleichsetzen; die Gleichung
\[
A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} g + \bar{a}_{2} g^{2} + \dots \ (g)
\]
soll also wieder besagen, daß sich $A$ von dem Aggregat der $\rho + 1$
ersten Glieder der rechtsstehenden Reihe um ein Restglied $\bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1}$
unterscheidet, welches für genügend großes $\rho$ durch eine vorgegebene
beliebig hohe Potenz von $g$ stets noch teilbar ist. Eine solche
Reihe, die wir auch hier in der abgekürzten Form
\[
\Tag{(7^{b})}
A = \bar{a}_{0}\MathOrd{,}\bar{a}_{1}\,\bar{a}_{2} \dots \ (g)
\]
schreiben, wollen wir eine \so{nicht reduzierte $g$-adische
Reihe für~$A$} oder eine \so{nicht reduzierte $g$-adische
Entwicklung von~$A$} nennen, während die bisher behandelte
\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}%
Reihendarstellung, bei der alle Koeffizienten modulo~$g$ reduziert
sind, die \so{reduzierte} Darstellung von $A$ heißen soll.

Die zuletzt gegebenen Entwicklungen übertragen sich ersichtlich
sofort auch auf die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen.

\begin{Definition}
% [** TN: Heading gesperrt in the original, but not elsewhere]
Definition: Ist
\[
A = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + \dots
\]
die Darstellung einer beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Zahl
für den Bereich von $g$ in der reduzierten oder auch in einer
nicht reduzierten Form, so sollen die rationalen Zahlen
\[
\Tag{(8)}%[** TN: Set on one line in the original]
\begin{gathered}
A^{(0)} = a_{0},\quad
A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\
A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots
\end{gathered}
\]
\PageSep{071}{55}
die \so{Näherungswerte nullter, erster},~\dots\ \Ord{$k$}{-ter}
\so{Ordnung} oder kürzer \so{der nullte, erste},~\dots \Ord{$k$}{-te}
\so{Näherungswert dieser Entwicklung von~$A$}
\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}%
genannt werden. Daher besteht für jeden \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswert
$A^{(k)}$ von $A$ die Kongruenz:
\[
\Tag{(9)}
A \equiv A^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}).
\]
Eben diese Näherungswerte sollen auch für jede modulo~$g$ gebrochene
Zahl
\[
A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots
  + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} + a_{1}g + \dots
\]
definiert sein; der einzige Unterschied ist der, daß in diesem Fall
auch Näherungswerte negativer Ordnung:
\[
\Tag{(10)}
\begin{gathered}
A^{(-\rho)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}},\quad
A^{(-\rho+1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}},\ \dots \\
A^{(-1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + \frac{a_{-1}}{g}
\end{gathered}
\]
zu denjenigen nicht negativer Ordnung
\[
\Tag{(10^{a})}
A^{(0)}
  = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}}
  + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots
  + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} \quad\text{usw.}
\]
hinzutreten. Die Kongruenz~\Eq{(9)} bleibt dann auch für die Werte
$k = -\rho$, $k = -(\rho - 1)$,~\dots\ $k = -1$ richtig.
\end{Definition}

\ZB~hat die Zahl $A = 216 = 0\MathOrd{,}0011011\ (2)$ die Näherungswerte
\begin{gather*}
A^{(0)} = A^{(1)} = A^{(2)} =0,\quad
A^{(3)} = 2^{3} = 8,\quad
A^{(4)} = A^{(5)} = 8 + 16 = 24,\\
A^{(6)} = 88,
\end{gather*}
während $A^{(7)}$ und alle weiteren Näherungswerte mit der Zahl
$A = 216$ selbst identisch sind. Die Zahl $A = -\dfrac{7}{5} = 68\MathOrd{,}999\dots\ (10)$
besitzt die Näherungswerte
\[
A^{(-1)} = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5},\quad
A^{(0)} = \tfrac{3}{5} + 8 = 8\tfrac{3}{5},\quad
A^{(1)} = 98\tfrac{3}{5} \quad\text{usw.;}
\]
wirklich ist~\zB
\PageSep{072}{56}
\[
98\tfrac{3}{5} \equiv -\tfrac{7}{5} \ (\mod.~10^{2})
\]
weil $98\frac{3}{5} + \frac{7}{5} = 100$ durch $10^{2}$ teilbar ist. Schließlich hat beispielsweise
die nichtreduzierte pentadische Darstellung der Null:
$A = 0 = 5\MathOrd{,}444\dots\ (5)$ die Näherungswerte
\[
A^{(0)} = 5,\quad
A^{(1)} = 25,\quad
A^{(2)} = 125,\quad
A^{(3)} = 625,\ \dots,
\]
die offenbar durch beliebig hohe Potenzen von $5$ teilbar werden.
\PageSep{073}{57}


\Chapter{Viertes Kapitel.}
{Der Ring $R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen
Zahlen für eine beliebige Grundzahl~$g$.}

\Section{§ 1.}{Definition der allgemeinen $g$-adischen Zahlen.}

Die bisher durchgeführten Betrachtungen haben gezeigt, daß man
\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}%
jeder rationalen Zahl $A =\dfrac{m}{n}$ eine und bei Verzicht auf ausschließlich
reduzierte Darstellungen auch beliebig viele untereinander gleichwertige
Reihen $a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots$ zuordnen kann, deren Koeffizienten
wohldefiniert sind und, soweit man will, berechnet werden
können. Diese unendlichen Reihen oder, genauer gesagt, ihre Näherungswerte
entsprechend hoher Ordnung geben uns die Möglichkeit,
alle Eigenschaften, welche $A$ in bezug auf die Grundzahl~$g$ besitzt,
mit jeder gewünschten Genauigkeit zu erkennen. Nun werden wir
später sehen, daß wir auch die nicht rationalen, insbesondere die
sog.\ algebraischen Zahlen in ihren Beziehungen zur Grundzahl~$g$ in
gleicher Weise durch die Näherungswerte jeweils eindeutig bestimmter
$g$-adischer Reihen charakterisieren können. Wir wollen
daher sogleich an dieser Stelle die \emph{allgemeine Definition der
$g$-adischen Zahlen} aufstellen und gleichzeitig nachweisen, daß und
wie man mit ihnen, genau wie mit den gewöhnlichen Zahlen
rechnen kann, sobald einmal auch für sie die elementaren
Rechenoperationen definiert sind.

\begin{Definition}
Definition: Wir wollen von jetzt an jede Reihe
\[
\Tag{(1)}
A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1}g^{\rho+1} + \dots
\]
\PageSep{074}{58}
mit beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Koeffizienten
$a_{\rho}$,~$a_{\rho+1}$,~\dots\ eine \so{$g$-adische Zahl} nennen, sobald eine Vorschrift
\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}%
\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}%
gegeben ist, nach der diese Koeffizienten, soweit man
will, berechnet werden können. Auch jetzt wollen wir die abgekürzte
Schreibweise
\[
\Tag{(1^{a})}
A = 0\MathOrd{,}0 \dots 0\,a_{\rho}\,a_{\rho+1} \dots
\]
benutzen.
\end{Definition}

So sind die Reihen, die wir jeder rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$ zuordnen
konnten, $g$-adische Zahlen.

Ich unterscheide die \so{reduzierten $g$-adischen Zahlen}
von den \so{nicht reduzierten}. Bei den ersteren sollen die
\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}%
Koeffizienten~$a_{i}$ stets modulo~$g$ reduzierte Zahlen sein, also der Reihe
$0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören, während sie bei den letzteren durch beliebige
modulo~$g$ ganze rationale Zahlen gebildet werden können. Eine
reduzierte Zahl:
\[
A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1} g^{\rho+1} + \dots
\]
soll \so{ganz} oder \so{gebrochen} heißen, je nachdem sie mit einer
nicht negativen oder einer negativen Potenz von $g$ beginnt, je
nachdem also $\rho \geqq 0$ oder $\rho < 0$ ist. Die einer rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$
zugeordnete $g$-adische Zahl ist also ganz oder gebrochen, je
nachdem $\dfrac{m}{n}$ selbst modulo~$g$ ganz oder gebrochen ist.

Bricht man die Entwicklung einer ganzen $g$-adischen Zahl
$A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots$ hinter dem ersten, zweiten,~\dots\ $(k + 1)$-ten Gliede
ab, so erhält man auch hier eine gesetzmäßige Folge von modulo~$g$
ganzen rationalen Zahlen
\[
\Tag{(2)}%[** TN: Set on one line in the original]
\begin{gathered}
A^{(0)} = a_{0},\quad
A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\
A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots,
\end{gathered}
\]
die wir wieder den \so{nullten}, \so{ersten},~\dots \Ord{$k$}{-ten}~\so{Näherungswert
der $g$-adischen Zahl~$A$} nennen wollen.
Beginnt
\[
A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots
\]
\PageSep{075}{59}
mit negativen Potenzen von~$g$, so beginnt auch die Reihe der Näherungswerte
$A^{(-\rho)}$,~$A^{(-\rho+1)}$,~\dots\ mit solchen von negativer Ordnung,
und alle Näherungswerte
\[
A^{(k)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \dots + a_{k} g^{k}
\]
sind modulo~$g$ gebrochene rationale Zahlen, deren Nenner in der
normierten Darstellung $g^{\rho}$ ist. Im folgenden werde ich der Einfachheit
wegen öfter ganze $g$-adische Zahlen der Betrachtung zugrunde
legen, bemerke aber, daß die abgeleiteten Sätze und ihre
Beweise für alle $g$-adischen Zahlen gültig sind.

\begin{Definition}
Definition: Zwei $g$-adische Zahlen
\[
A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k} \dots \quad\text{und}\quad
A' = a_{0}'\MathOrd{,}a_{1}'\,a_{2}' \dots a_{k}' \dots
\]
heißen \so{kongruent modulo~$g^{k+1}$}, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte
nach der \aSeite{51} gegebenen Definition modulo~$g^{k+1}$
kongruent sind, wenn also gilt:
\[
A^{(k)} \equiv A'^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}),
\]
oder ausgeschrieben
\[
a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}
  \equiv a_{0}' + a_{1}'g + \dots + a_{k}'g^{k} \ (\mod.~g^{k+1}).
\]
\end{Definition}

Aus dieser Kongruenz folgt sofort, daß sicher dann $A \equiv A' \
\DPtypo{}{(}\mod.~g^{k+1})$ ist, wenn $A$~und~$A'$ in ihren $k + 1$~ersten Ziffern übereinstimmen.
\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}%
Ferner erkennt man aus der nämlichen Kongruenz
unmittelbar, daß sie, falls sie modulo~$g^{k+1}$ erfüllt ist, auch für
jede niedrigere Potenz von $g$ als Modul besteht. Endlich sieht man
leicht, daß zwei reduzierte $g$-adische Zahlen auch \emph{nur} dann
modulo~$g^{k+1}$ kongruent sein können, wenn ihre $k + 1$~ersten Ziffern
bezüglich gleich sind. In der Tat, besteht jene Kongruenz, und sind
etwa in den beiden Reihen der $k + 1$ Anfangskoeffizienten $a_{i}$ und
$a_{i}'$ die beiden ersten voneinander verschiedenen, so kann man zunächst
auf beiden Seiten die $i$~ersten Glieder fortlassen; betrachtet man die
sich so ergebende Kongruenz nur modulo~$g^{i+1}$ statt modulo~$g^{k+1}$,
so erhält man
\[
a_{i}g^{i} \equiv a_{i}' g^{i} \ (\mod.~g^{i+1}),
\]
\dh\ die Differenz $a_{i}' - a_{i}$ muß durch $g$ teilbar sein. Da nach
\PageSep{076}{60}
Voraussetzung $a_{i}$~und~$a_{i}'$ beide modulo~$g$ reduziert sind, so muß
dazu wirklich $a_{i} = a_{i}'$ sein.

Auf diese Betrachtungen gründe ich nun die fundamentale
\emph{Definition der Gleichheit zweier $g$-adischen Zahlen:}
\index{Gleichheit!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}%
\begin{Definition}
Zwei $g$-adische Zahlen sollen dann und nur dann \so{gleich}
heißen, wenn sie für jede noch so hohe Potenz der Grundzahl~$g$
kongruent sind.
\end{Definition}
Diese Definition erfüllt ersichtlich die an jede Definition einer
Gleichheit zu stellenden Anforderungen, da nach ihre jede Zahl sich
selbst gleich ist, ferner aus $A = B$ stets $B = A$ folgt und schließlich
die erklärte Gleichheit auch, wie man sagt, \so{transitiv} ist, insofern
sich aus $A = B$ und $B = C$ stets $A = C$ ergibt.

Insbesondere sind hiernach zwei \emph{reduzierte} $g$-adische Zahlen
dann und nur dann gleich, wenn sie identisch sind; denn für
jedes noch so große $k$ müssen ja nach dem zuletzt Bewiesenen
ihre $k$~ersten Koeffizienten bezüglich gleich sein, damit die Zahlen
selbst gleich seien.

Es besteht nun der wichtige Satz:
\begin{Theorem}
Jede $g$-adische Zahl ist einer eindeutig bestimmten reduzierten
Zahl gleich.
\end{Theorem}

Sei nämlich
\[
\bar{A} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1}
  + \bar{a}_{k}g^{k} + \bar{a}_{k+1}g^{k+1} + \dots
\]
beliebig gegeben; $\bar{a}_{k}$~sei die erste Ziffer, die noch nicht reduziert ist.
Dann ist nach \Seite{42} Mitte $\bar{a}_{k}$ einer eindeutig bestimmten Zahl~$a_{k}$
aus der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent, \dh\ es besteht
eine Gleichung
\[
\bar{a}_{k} = a_{k} + \epsilon_{k+1} g,
\]
wo $\epsilon_{k+1}$ rational und modulo~$g$ ganz ist. Setzt man diesen Wert in
die Reihe für $\bar{A}$ ein und vereinigt dabei das Produkt~$\epsilon_{k+1}g^{k+1}$
mit dem Glied $\bar{a}_{k+1}g^{k+1}$, so erhält man die neue $g$-adische Zahl
\[
\bar{A}' = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}
  + (\bar{a}_{k+1} + \epsilon_{k+1}) g^{k+1} + \dots,
\]
die nach unserer Definition gleich $\bar{A}$ ist, weil alle ihre Näherungswerte
\PageSep{077}{61}
bezüglich denen von $\bar{A}$ kongruent sind. Da aber $A'$ ein reduziertes
Glied mehr als $A$ besitzt, so ergibt sich, da das Verfahren in gleicher
Weise beliebig weit fortgesetzt werden kann, in der Tat die Existenz
einer reduzierten Zahl, die gleich $\bar{A}$ ist. Mehr als \emph{einer} reduzierten
Zahl kann $A$ aber nicht gleich sein; denn zwei solche
reduzierte Zahlen müßten ja auch untereinander gleich sein, und
dies ist, wie wir wissen, nur dann möglich, wenn sie in allen
ihren Ziffern einzeln übereinstimmen.

Das angegebene Verfahren, durch welches eine nicht reduzierte
Zahl in die ihr gleiche reduzierte übergeführt wird, ist praktisch
außerordentlich einfach durchzuführen; man erhält der Reihe nach
die Gleichungen
\[
\Tag{(3)}
\begin{alignedat}{2}
                 \bar{a}_{k}   &= a_{k}   &&+ \epsilon_{k+1}g \\
\epsilon_{k+1} + \bar{a}_{k+1} &= a_{k+1} &&+ \epsilon_{k+2}g \\
\epsilon_{k+2} + \bar{a}_{k+2} &= a_{k+2} &&+ \epsilon_{k+3}g \quad\text{usw.,}
\end{alignedat}
\]
aus denen sich sukzessive die Koeffizienten $a_{k+1}$,~$a_{k+2}$,~\dots\ der reduzierten
Zahl bestimmen, für welche die Gleichung besteht:
\[
a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,\bar{a}_{k}\,\bar{a}_{k+1}\,\bar{a}_{k+2} \dots =
a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,a_{k}\,a_{k+1}\,a_{k+2} \dots.
\]

Auf Grund der soeben gewonnenen Ergebnisse wollen wir die
\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}%
Definition der ganzen und der gebrochenen $g$-adischen Zahlen so
erweitern, daß sie auch für die nicht reduzierten Zahlen gilt:
\begin{Definition}
Eine $g$-adische Zahl heißt \so{ganz} oder \so{gebrochen}, je nachdem
die ihr gleiche reduzierte ganz oder gebrochen ist.
\end{Definition}

Jede nicht reduzierte $g$-adische Zahl~$A$ kann durch das soeben
angegebene Verfahren so umgeformt werden, daß ihr Anfangsglied
eine modulo~$g$ reduzierte Zahl ist.  Da sich dieses bei der
weiteren Reduktion nicht mehr ändert, so entscheidet dieses allein
darüber, ob $A$ ganz oder gebrochen ist.  Wir können also auch
die nicht reduzierten Zahlen~$A$ von vornherein so gegeben denken,
daß ihr Anfangsglied modulo $g$ reduziert ist.

\begin{Examples}
\emph{Beispiele} für die Verwandlung von beliebigen $g$-adischen
Zahlen in reduzierte:
\PageSep{078}{62}
\begin{gather*}
8\MathOrd{,}30976
  = 3\MathOrd{,}40976
  = 3\MathOrd{,}40486
  = 3\MathOrd{,}40437
  = 3\MathOrd{,}404321 \ (5). \\
75\MathOrd{,}8295 = 10\MathOrd{,}33301 \ (6). \\
1\MathOrd{,}\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10\,11\,12\,13 \dots
  = 1\MathOrd{,}\overline{2\,3\,4\,0}\,2\,3\,4\,0\,2\,3\,4\,0 \dots \ (5). \\
g\MathOrd{,}g{-}1\ g{-}1\ g{-}1 \dots
  = 0\MathOrd{,}00 \dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots
  = 0 \ (g). \\
g\MathOrd{,}2g{-}1\ 3g{-}2\ 4g{-}3 \dots = 0 \ (g). \\
g^{2}\MathOrd{,}2g^{2}{-}2g\ 3g^{2}{-}4g{+}1\ 4g^{2}{-}6g{+}2 \dots = 0 \ (g).
\end{gather*}
\end{Examples}
Gleich an dieser Stelle möchte ich darauf hinweisen, wie wichtig es
ist, die wenigen einfachen Regeln für das Rechnen mit $g$-adischen
Zahlen an möglichst vielen selbstgewählten Beispielen einzuüben.
Besonders mag noch einmal die für jede Zahl bestehende Gleichung
ausdrücklich hervorgehoben werden:
\[
a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}\,a_{i+1} \dots
  = a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}{+}g\ a_{i+1}{-}1 \dots,
\]
welche bei anderer Bezeichnung der Koeffizienten auch so geschrieben
werden kann:
\[
b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}{-}g\ b_{i+1}{+}1 \dots
  = b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}\,b_{i+1} \dots.
\]
Aus diesen zwei Identitäten können die beiden folgenden, bei allen Reduktionen
immer wieder angewandten Sätze abgelesen werden:
\begin{Theorem}
Jede $g$-adische Zahl bleibt ungeändert, wenn man von
irgendeiner ihrer Ziffern eine Einheit borgt und dafür die nächstvorhergehende
Ziffer um $g$~Einheiten vermehrt. Jede $g$-adische
Zahl bleibt ungeändert, wenn man eine ihrer Ziffern um $g$~Einheiten
vermindert und dafür die nächstfolgende um eine Einheit
vermehrt.
\end{Theorem}

Auch nach der hier gegebenen Definition der Gleichheit zweier
$g$-adischen Zahlen ist jede \so{rationale} Zahl~$A$ der ihr in~\Eq{(4)}
\aSeite{51} zugeordneten Reihe $a_{n} g^{n} + a_{n+1} g^{n+1} + \dots$ gleich; denn ihre
Näherungswerte genügend hoher Ordnung sind den Näherungswerten
von~$A$, die ja alle gleich $A$ selbst sind, für jede noch so hohe
Potenz von $g$ als Modul kongruent.

Wir wollen endlich noch die vorher gegebene Definition der
$g$-adischen Zahlen in der Weise erweitern, daß wir von jetzt an auch
jede unendliche Reihe:
\[
A = A_{0} + A_{1}g + A_{2}g^{2} + \dots
\]
\PageSep{079}{63}
\index{Addition der Logarithmen!$g$-adischer Zahlen}%
eine \so{$g$-adische Zahl} nennen wollen, deren Koeffizienten $A_{0}$,~$A_{1}$,~\dots\
selber ganze \emph{$g$-adische Zahlen} sind, wenn nur wieder eine Vorschrift
gegeben ist, nach der diese Koeffizienten~$A_{i}$, soweit man will, berechnet
werden können. Auch für diese Zahlen, können wir die
Definition ihrer Näherungswerte
\[
A^{(0)} = A_{0},\quad
A^{(1)} = A_{0} + A_{1}g,\ \dots
\]
ungeändert beibehalten und auch wieder zwei solche Zahlen $A$~und~$A'$
\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}%
\index{Gleichheit!g-adhischer@{$g$-adischer Zahlen}}%
\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}%
\index{Multiplikation $g$-adischer Zahlen}%
\so{modulo~$p^{k+1}$ kongruent} nennen, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte
modulo~$p^{k+1}$ kongruent sind. Nennen wir also auch jetzt zwei solche
Zahlen \so{für den Bereich von $g$ gleich}, wenn sie für jede noch
so hohe Potenz von $g$ als Modul kongruent sind, so erkennt man,
daß durch diese Erweiterung der Definition einer $g$-adischen Zahl
der Bereich dieser Zahlen nicht vergrößert worden ist, daß nämlich
auch jede von diesen allgemeineren $g$-adischen Zahlen einer einzigen
reduzierten Zahl $a_{0}$,~$a_{1}$, $a_{2}$~\dots\ für den Bereich von $g$ gleich ist. In
der Tat gilt ja auch für jede $g$-adische Zahl $A_{0}$,~$A_{1}$, $A_{2}$,~\dots, welche
in den Koeffizienten von $A$ auftritt, \zB\ für~$A_{0}$, stets eine
Gleichung von der Form:
\[
A_{0} = a_{0} + g\epsilon_{1},
\]
wo $a_{0}$ eine Zahl der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ bedeutet, und wo $\epsilon_{1}$~wieder
eine ganze $g$-adische Zahl ist. Wendet man also genau das auf
\Seite{60} auseinandergesetzte Verfahren auf diese Zahlen an, so erhält
man auch hier eine Reihe von Gleichungen:
\[
A = A_{0}\MathOrd{,}A_{1}\, A_{2} \dots
  = a_{0}\MathOrd{,}A_{1}{+}\epsilon_{1}\ A_{2} \dots
  = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,A_{2}{+}\epsilon_{2} \dots,
\]
durch welche $A$ sukzessive in eine eindeutig bestimmte reduzierte Zahl
übergeführt wird. Alle bisher über die $g$-adischen Zahlen bewiesenen
Sätze bleiben hiernach auch für diese allgemeineren Zahlen gültig.


\Section{§ 2.}{Die Addition und Multiplikation im Bereich der
$g$-adischen Zahlen.}

Wir definieren die beiden Verknüpfungsoperationen der Addition
und der Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen folgendermaßen:
\begin{Theorem}
Sind $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen
wir unter ihrer \so{Summe} $A + B$ bzw.\ unter ihrem \so{Produkt}~$AB$
\PageSep{080}{64}
eine Zahl~$C$ bzw.\ $D$ verstehen, deren Näherungswerte
genügend hoher Ordnung für jede noch so hohe Potenz der
Grundzahl als Modul der Summe bzw.\ dem Produkt der Näherungswerte
von $A$~und~$B$ kongruent sind. Es soll also, eine
wie große Zahl~$k'$ immer vorgegeben sein mag, möglich sein,
die Zahl~$k$ so groß zu bestimmen, daß für die \Ord{$k$}{-ten} und
alle späteren Näherungswerte die folgenden Kongruenzen gelten:
\[
\Tag{(1)}
\begin{alignedat}{2}
C^{(k)} &= (A+B)^{(k)} \equiv A^{(k)} + B^{(k)}\quad &&(\mod.~g^{k'}) \\
D^{(k)} &= (A B)^{(k)} \equiv A^{(k)}   B^{(k)}      &&(\mod.~g^{k'}).
\end{alignedat}
\]
\end{Theorem}

Man erkennt hiernach leicht die Richtigkeit des folgenden
Fundamentalsatzes:
\begin{Theorem}
Im Bereich der $g$-adischen Zahlen ist die Addition und die
Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar.
\end{Theorem}

Zunächst sieht man sehr leicht, daß sich \emph{eine} den Definitionsbedingungen
genügende und unbeschränkt ausführbare Art der
Addition und Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen sofort angeben
läßt: Sind nämlich
\[
A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad
B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots
\]
irgend zwei ganze $g$-adische Zahlen, so bestehen für die Zahlen
\[
\Tag{(2)}
\begin{aligned}
C &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + (a_{2} + b_{2})g^{2} + \dots \\
D &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})g^{2} + \dots
\end{aligned}
\]
für jeden noch so hohen Wert von $k$ offenbar die Beziehungen:
\[
\MarginTag[0.5\baselineskip]{(3)}%[** TN: Not aligned in the original]
\begin{aligned}
C^{(k)} &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots + (a_{k} + b_{k})g^{k} \\
  &= (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k})
   + (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\
  &= A^{(k)} + B^{(k)} \\
D^{(k)} &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + \dots
  + (a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k-1} + \dots + a_{k}b_{0})g^{k} \\
  &\equiv (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k})
         (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\
  &= A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}).
\end{aligned}
\]
$C$ und $D$ genügen also sicher den an die Summe und das Produkt
gestellten Anforderungen, \dh\ es ist:
\[
\Tag{(4)}
C = A + B, \quad D = AB \ (g).
\]

Durch die Kongruenzen~\Eq{(1)} sind ferner die Näherungswerte $C^{(k)}$
und $D^{(k)}$ von $A + B$ und~$AB$ für genügend große Werte von $k$ für
\PageSep{081}{65}
jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul bestimmt, und hieraus
allein folgt, daß die soeben definierten Operationen der Addition
und Multiplikation nicht bloß unbeschränkt, sondern auch eindeutig
sind. In der Tat muß nämlich jede Zahl~$C'$ bzw.\ $D'$,
welche nach dieser Definition ebenfalls gleich $A + B$ oder $AB$ ist,
gleich $C$ bzw.\ $D$ sein, da ja ihre Näherungswerte genügend hoher
Ordnung für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul denen
von $C$ bzw.\ von $D$ kongruent sind. Ebenso folgt aus derselben
Überlegung, daß die beiden Fundamentalsätze "`Gleiches zu
Gleichem addiert (bzw.\ mit Gleichem multipliziert) gibt Gleiches"' im
Bereiche der $g$-adischen Zahlen gültig bleiben.

Sind $A$~und~$B$ gebrochene $g$-adische Zahlen, ist also \zB\
\[
\Tag{(5)}
\begin{alignedat}{4}
A &= \frac{a_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{a_{-1}}{g} &&+ a_{0} &&+ \dots\ (g), \\
B &= \frac{b_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{b_{-1}}{g} &&+ b_{0} &&+ \dots\ (g),
\end{alignedat}
\]
so gelten für die entsprechend wie vorhin gebildeten Zahlen
\[
\MarginTag[0.5\baselineskip]{(6)}
\begin{gathered}
C = \frac{a_{-2} + b_{-2}}{g^{2}}
  + \frac{a_{-1} + b_{-1}}{g}
  + (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots \\
%
D = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}}
  + \frac{a_{-2}b_{-1} + a_{-1}b_{-2}}{g^{3}}
  + \frac{a_{-2}b_{0} + a_{-1}b_{-1} + a_{0}b_{-2}}{g^{2}} + \dots
\end{gathered}
\]
offenbar bei jedem noch so hohen Werte von $k$ die Kongruenzen bzw.\
Gleichungen:
\[
\MarginTag[-0.5\baselineskip]{(7)}
\begin{gathered}
C^{(k)} = A^{(k)} + B^{(k)} \\
D^{(k)} = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}} + \dots
  + (a_{-2}b_{k+2} + a_{-1}b_{k+1} + a_{0}b_{k} + \dots + a_{k+2}b_{-2})g^{k} \\
  \equiv \left(\frac{a_{-2}}{g^{2}} + \dots + a_{k}g^{k}\right)
         \left(\frac{b_{-2}}{g^{2}} + \dots + b_{k}g^{k}\right)
  = A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k-1});
\end{gathered}
\]
denn in der letzten Relation sind offenbar diejenigen Glieder,
welche mit Potenzen~$g^{l}$ von $g$ multipliziert sind, deren Exponent~$l$
kleiner als $k - 1$ ist, auf beiden Seiten identisch, während die
höheren Potenzen von $g$ modulo~$g^{k-1}$ fortgelassen werden können.
Da aber auch im letzten Fall der Exponent $k' = k - 1$ mit $k$ unbegrenzt
wächst, so ist auch hier $C = A + B$, $D = A·B$.
\PageSep{082}{66}

Man erkennt, daß die Addition und die Multiplikation zweier
$g$-adischen Zahlen völlig der Ausführung derselben Operationen für
zwei Dezimalbrüche (und übrigens auch für zwei systematische Brüche
mit einer von $10$ verschiedenen Grundzahl) entspricht; denn ist
\[
\Tag{(8)}
\begin{alignedat}{4}
\alpha &= a_{0} &&+ a_{1} · 10^{-1} &&+ a_{2} · 10^{-2} &&+ \dots, \\
\beta  &= b_{0} &&+ b_{1} · 10^{-1} &&+ b_{2} · 10^{-2} &&+ \dots,
\end{alignedat}
\]
so ist ja
\[
\Tag{(9)}%[** TN: Re-broken]
\begin{aligned}
\alpha + \beta
  &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})·10^{-1} + (a_{2} + b_{2})·10^{-2} + \dots, \\
\alpha·\beta
  &= \begin{aligned}[t]
    a_{0}b_{0} &+ (a_{0}b_{1} + b_{1}a_{0})·10^{-1} \\
    &+ (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})10^{-2} + \dots.
  \end{aligned}
\end{aligned}
\]

Will man aber die Summe oder das Produkt, nachdem man eine
solche nicht reduzierte Darstellung gewonnen hat, auf die \emph{reduzierte}
Form bringen, so muß man bei den $g$-adischen Zahlen von dem ersten
Gliede \emph{links} anfangen und nach~\Eq{(3)} auf \Seite{61} sukzessive dieses, dann
das zweite, das dritte usw.\ reduzieren, während bekanntlich bei den
Dezimalbrüchen die Reduktion gerade umgekehrt bei dem äußersten
noch berücksichtigten Gliede \emph{rechts} begonnen und in der Richtung
von rechts nach links fortgeführt wird.

\begin{Examples}
\emph{Beispiele:}
\begin{gather*}
\begin{gathered}
\begin{array}{c@{\,}l}
  & 2\MathOrd{,}3102114 \\
+ & 3\MathOrd{,}141202132 \\
\cline{2-2}\Strut
  & 5\MathOrd{,}451413532\\
= & 0\MathOrd{,}012413042
\end{array}
\quad(5)
\end{gathered}
\qquad\qquad
\begin{gathered}
\begin{array}{c@{\,}l}
  &35\MathOrd{,}213024 \\
+ &\Z0\MathOrd{,}0251535 \\
  &\PadTo{00\MathOrd{,}025}{}\SmDigit{1}\Z\SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{1} \\
\cline{2-2}\Strut
  &35\MathOrd{,}23221201
\end{array}
\quad(6)
\end{gathered} \\
\begin{array}{l}
1\MathOrd{,}314 · 0\MathOrd{,}2103 \\
\hline\Strut
\PadTo{1\MathOrd{,}{}}{}2628 \\
\PadTo{1\MathOrd{,}3}{}1314 \\
\PadTo{1\MathOrd{,}314}{}393\,12 \\
\PadTo{1\MathOrd{,}31}{}
  \SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{2}\SmDigit{3}\,\Z\SmDigit{1}\SmDigit{2} \\
\hline\Strut 0\MathOrd{,}221301\,\Z32
\end{array}
\quad (5).
\end{gather*}
\end{Examples}

Im ersten Beispiel wurde die Summe zuerst in der nicht
reduzierten Form hingeschrieben und dann erst in die reduzierte
übergeführt; im zweiten wurde sie ganz analog der Addition von
Dezimalbrüchen gleich in der reduzierten Form geschrieben, indem
die bei der Addition der Kolonnen sich ergebenden Multipla von $g$
\PageSep{083}{67}
gleich auf die nach rechts benachbarten Stellen übergeführt wurden.
Ebenso wurde im dritten Beispiele bei Ausführung der Multiplikation
verfahren.

Sind speziell $A$~und~$B$\; $g$-adische Darstellungen von zwei \emph{rationalen}
Zahlen $\bar{A}$~und~$\bar{B}$, so sind die hier definierten $g$-adischen Zahlen $A + B$
und~$AB$ für den Bereich von $g$ gleich der Summe und dem Produkt
jener rationalen Zahlen, da ihre Näherungswerte genügend hoher
Ordnung~$k$ für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul zu
$\bar{A}^{(k)} + \bar{B}^{(k)}$ und $\bar{A}^{(k)}\bar{B}^{(k)}$ kongruent sind. \ZB~hatten wir auf \Seite{53}
\[
-3 = 7\MathOrd{,}999\dots\ (10) \quad\text{und}\quad
\tfrac{2}{3} = 4\MathOrd{,}333\dots\ (10),
\]
woraus man erhält:
\[
\begin{gathered}
  \begin{gathered}
    \begin{array}{c@{\,}l@{\,}l}
        &7\MathOrd{,}999&\dots \\
      + &4\MathOrd{,}333&\dots \\
      \cline{2-2}\Strut
        &1\MathOrd{,}333&\dots
    \end{array}
    \ (10)
  \end{gathered}
  \quad\text{und}\quad
  \\
  \rule{0pt}{3\baselineskip}%[** TN: Coax vertical alignment]
\end{gathered}
\begin{gathered}
\begin{array}{r@{\,}l}
(7\MathOrd{,}999\dots) & \!\rlap{${}·(4\MathOrd{,}333\dots)$} \\
\hline\Strut
28\MathOrd{,}36\,36\,36&\dots\quad\null \\
             21\,27\,27&\dots \\
                 21\,27&\dots \\
                     21&\dots \\
\SmDigit{2}\,\Z\SmDigit{5}\,\Z\SmDigit{8}& \\
\cline{1-1}\Strut
8\MathOrd{,}\Z\,9\Z\,9\Z\,9&\dots
\end{array}
\quad (10);
\end{gathered}
\]
wirklich ist, wie man sich leicht überzeugt, $1\MathOrd{,}333\dots$ die reduzierte
dekadische Entwicklung von $-3 + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$, $8\MathOrd{,}999\dots$ diejenige von
$(-3)·\frac{2}{3} = -2$.

Wir können nun leicht beweisen, daß der Bereich der $g$-adischen
Zahlen im Sinne des Kap.~1 §~5 einen Zahlenring bildet, da
in ihm die Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt
und eindeutig ausführbar ist.

Man bemerkt zunächst, daß der Bereich der $g$-adischen Zahlen
in den Elementen $0$~und~$1$ je ein Einheitselement für die Addition
und die Multiplikation besitzt; in der Tat ist für jede $g$-adische
Zahl~$A$
\[
A + 0 = A \ (g), \quad A·1 = A \ (g).
\]

Nunmehr folgt leicht:
\begin{Theorem}
Für die innerhalb des Bereichs der $g$-adischen Zahlen definierte
\PageSep{084}{68}
Addition und Multiplikation gelten die ersten sechs der
zu Beginn des ersten Kapitels aufgestellten Grundgesetze.
\end{Theorem}

Daß für beide Operationen das kommutative und das assoziative
Gesetz gilt, und daß auch das distributive Gesetz
\[
A(B + C) = AB + AC
\]
erfüllt ist, folgt ja unmittelbar aus der Definition der Addition
und der Multiplikation in Verbindung mit der Tatsache, daß die
Kongruenzen für eine beliebige Potenz von $g$ als Modul jene Gesetze
befriedigen.

Aber auch die Gültigkeit des sechsten Gesetzes von der unbeschränkten
und eindeutigen Subtraktion im Bereich der $g$-adischen
\index{Subtraktion!$g$-adischer Zahlen}%
Zahlen kann jetzt leicht bewiesen werden. Sind nämlich
\[
A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad
B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots
\]
zwei beliebige, der Kürze halber als ganz angenommene $g$-adische
Zahlen, so gibt es zunächst sicher stets überhaupt eine Zahl
\[
\Tag{(10)}
X = (b_{0} - a_{0}) + (b_{1} - a_{1})g + (b_{2} - a_{2})g^{2} + \dots,
\]
welche der Bedingung
\[
\Tag{(11)}
A + X = B
\]
genügt und die daher durch $B - A$ bezeichnet und die \so{Differenz}
von $B$~und~$A$ genannt werde. Speziell ist für $B = 0$:
\[
X = -A = -a_{0} - a_{1}g - a_{2}g^{2} - \dots
\]
eine $g$-adische Zahl, für die $A + (-A) = 0$ ist. Hieraus schließt
man aber leicht, daß die durch~\Eq{(11)} definierte Zahl~$X$ eindeutig bestimmt
ist. Genügen nämlich $X$~und~$X'$ beide der Gleichung~\Eq{(11)},
so folgt
\[
A + X = A + X'
\]
oder nach Addition von $A' = -A$ auf beiden Seiten:
\begin{gather*}
(A' + A) + X = (A' + A) + X', \quad\text{\dh}\\
X = X', \quad\text{\wzbw.}
\end{gather*}
\PageSep{085}{69}

Für die rechnerische Ausführung der Subtraktion sei bemerkt, daß
oft die Hinzufügung einer nichtreduzierten Darstellung der Null, \zB\
$0\MathOrd{,}00\dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots\ (g)$, zum Minuendus nützlich oder nötig
ist. \ZB~ist
\[
\begin{gathered}
  \begin{gathered}
    \begin{array}{c@{\,}l}
          &4\MathOrd{,}35452 \\
        - &0\MathOrd{,}2531  \\
        \cline{2-2}\Strut
          &4\MathOrd{,}10142
    \end{array}
    \quad(6)
  \end{gathered}
  \\
  \rule{0pt}{\baselineskip}
\end{gathered}
\qquad\qquad
\begin{gathered}
\begin{array}{c@{\,}ll}
  &\SmDigit{0}\MathOrd{,}\SmDigit{0}\SmDigit{5}\SmDigit{4}
                         \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4}
                         \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4}
                         \SmDigit{4}\SmDigit{4}&\SmDigit{4}\dots \\
  &2\MathOrd{,}123102114 \\
- &0\MathOrd{,}03141202132 \\
\cline{2-2}
= &2\MathOrd{,}14613453712&44 \dots\Strut \\
= &2\MathOrd{,}14123404222&44 \dots
\end{array}
\quad(5).
\end{gathered}
\]

Bei der ersten Aufgabe kann die von links nach rechts auszuführende
Subtraktion der einzelnen entsprechenden Ziffern direkt
ausgeführt werden; bei der zweiten ist dies schon bei der dritten
Ziffer nicht möglich. Wir addieren daher vorher zum Minuendus
die darüber geschriebene Zahl $0\MathOrd{,}0544\dots$, welche ja gleich Null ist,
und können nun für jede Ziffer die Subtraktion ausführen; der so
sich ergebende Ausdruck für die Differenz erscheint aber im allgemeinen
in nicht reduzierter Form und ist dann erst in die reduzierte
Form überzuführen.
\PageSep{086}{70}


\Chapter{Fünftes Kapitel.}
{Die Zerlegung des Ringes aller $g$-adischen
Zahlen in seine einfachsten Bestandteile.}

\Section{§ 1.}{Inhalt und Ziel der Untersuchung.}

Bis jetzt wurde die beliebig angenommene Grundzahl~$g$ bei der
\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}%
ganzen Untersuchung festgehalten. Wir werden aber sehen, daß sich
die systematische Untersuchung der Eigenschaften aller $g$-adischen
Zahlen wesentlich vereinfacht, wenn wir dieselben Zahlen in einem alsbald
näher zu definierenden Sinn für den Bereich gewisser Grundzahlen,
die Teiler von $g$ sind, untersuchen.

Ist nämlich
\[
g = PQ
\]
irgend eine Zerlegung der Grundzahl~$g$ in zwei Faktoren, so können
wir jeder $g$-adischen Zahl, \dh\ jeder Zahl des Ringes~$R(g)$
\[
A_{g} = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots
  = a_{0} + a_{1}(PQ) + a_{2}(PQ)^{2} + \dots
\]
je eine eindeutig bestimmte Zahl
\begin{alignat*}{3}
\bar{A}_{P} &= a_{0} + (a_{1}Q)P &&+ (a_{2}Q^{2})P^{2} &&+ \dots \ (P)\\
\bar{A}_{Q} &= a_{0} + (a_{1}P)Q &&+ (a_{2}P^{2})Q^{2} &&+ \dots \ (Q)
\end{alignat*}
der beiden Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ zuordnen, welche wir als \so{die
Werte von $A_{g}$ für den Bereich von $P$ und für den
Bereich von~$Q$} bezeichnen wollen. Sind ferner die beiden Faktoren
$P$~und~$Q$ teilerfremd, so werden wir in diesem Kapitel zeigen,
daß auch umgekehrt zu jedem System $(\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q})$ von zwei beliebig
\PageSep{087}{71}
angenommenen $P$-adischen und $Q$-adischen Zahlen eine einzige $g$-adische
Zahl~$A_{g}$ gehört, deren Werte für den Bereich von~$P$ und von~$Q$
bzw.\ gleich $\bar{A}_{P}$ und $\bar{A}_{Q}$ sind. Aus diesem Grunde können wir jede
Zahl~$A_{g}$ folgendermaßen bezeichnen:
\[
A_{g} = (\bar{A}_{P} \bar{A}_{Q}).
\]

Sind dann
\[
A_{g} = (\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q}), \quad
B_{g} = (\bar{B}_{P}, \bar{B}_{Q})
\]
irgendwelche in dieser Form bezeichnete $g$-adische Zahlen, so können
und werden wir ohne jede Rechnung zeigen, daß für ihre Summen
und ihr Produkt die beiden Gleichungen bestehen:
\begin{align*}
A_{g} + B_{g} &= (\bar{A}_{P} + \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q} + \bar{B}_{Q})\\
A_{g}   B_{g} &= (\bar{A}_{P}   \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q}   \bar{B}_{Q}).
\end{align*}

Also ist der Ring~$R(g)$ in genau derselben Weise aus den
beiden Ringen $R(P)$ und $R(Q)$ komponiert, wie dies für den aus
den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten Ring~$R(K, K')$ \aSeite{14} flgde.\
der Fall war. Hieraus folgt, daß man, anstatt den Ring~$R(g)$ zu
untersuchen, die beiden einfacheren Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ betrachten
kann, deren Grundzahlen komplementäre teilerfremde Divisoren von $g$
sind. Dieselbe Zerlegung kann man weiter auf die neuen Zahlringe
$R(P)$ und $R(Q)$ anwenden und damit so lange fortfahren,
bis die Grundzahlen aller so sich ergebenden Zahlringe Primzahlpotenzen~$p^{s}$
geworden sind. Von diesen einfachsten Zahlringen
$R(p^{s})$ werde ich endlich zeigen, daß in ihnen nicht bloß die
Addition, Subtraktion und Multiplikation, sondern auch die Division
unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist; diese sind also
Zahlkörper, in welchen alle vier elementaren Rechenoperationen
ausgeführt werden können; und so läßt sich die Frage nach den
Eigenschaften aller Zahlringe von $g$-adischen Zahlen vollständig
ersetzen durch die Betrachtung gewisser Zahlkörper, welche keine
prinzipiellen Schwierigkeiten darbietet. So reduziert sich \zB\ die
Theorie der hexadischen Zahlen
\[
A_{6} = a_{0} + a_{1}·6 + a_{2}·6^{2} + \dots
\]
auf diejenige der dyadischen und der triadischen Zahlen
\PageSep{088}{72}
\begin{align*}
\bar{B}_{2} &= b_{0} + b_{1}·2 + b_{2}·2^{2} + \dots
\intertext{und}
\bar{C}_{3} &= c_{0} + c_{1}·3 + c_{2}·3^{2} + \dots\DPtypo{}{.}
\end{align*}

So ist \zB\ die hexadische Zahl $1\MathOrd{,}50321$ eindeutig bestimmt
durch ihren dyadischen Wert $1\MathOrd{,}1100100110101$ und ihren triadischen
Wert $1\MathOrd{,}10110021$, was wir durch die Gleichung ausdrücken:
\[
1\MathOrd{,}50321_{6}
  = (1\MathOrd{,}1100100110101_{2},\ 1\MathOrd{,}10110021_{3}).
\]

Ebenso bestehen für die beiden dekadischen Zahlen
\[
5\MathOrd{,}213023\dots_{10} \quad\text{und}\quad 2\MathOrd{,}110100\dots_{10}
\]
die beiden Gleichungen
\begin{align*}
5\MathOrd{,}213023\dots_{10}
  &= (1\MathOrd{,}010110\dots_{2},\ 0\MathOrd{,}000000\dots_{5})\\
2\MathOrd{,}110100\dots_{10}
  &= (0\MathOrd{,}000000\dots_{2},\ 2\MathOrd{,}240130\dots_{5}).
\end{align*}


\Section{§ 2.}{Die Beziehungen zwischen $g$-adischen Zahlen mit verschiedener
Grundzahl.}

Der soeben angedeuteten Reduktion unserer Aufgabe schicke ich
zunächst einige fast selbstverständliche Bemerkungen über die Beziehungen
$g$-adischer Zahlen mit verschiedener Grundzahl voraus.

Ist
\[
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots
\]
eine beliebige, nur der Einfachheit wegen als ganz angenommene
$g$-adische Zahl, und sind
\[
A^{(0)} = a_{0},\quad
A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots
\]
ihre sukzessiven Näherungswerte, so ist allgemein
\[
A^{(i)} - A^{(i-1)} = a_{i}g^{i} \quad(i = 1, 2, \dots),
\]
so daß man folgende Darstellung der Zahl~$A$ durch ihre Näherungswerte
erhält:
\[
A = A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{(2)} - A^{(1)}) + \dots\DPtypo{}{.}
\]
Ebensogut kann man $A$ \zB\ auch durch die Näherungswerte
\PageSep{089}{73}
\[
A^{(2)},\quad A^{(5)},\quad A^{(8)},\quad A^{(11)},\ \dots
\]
in der Form
\begin{gather*}
A = A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \\
  = (a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2})
  + (a_{3} + a_{4}g + a_{5}g^{2})g^{3}
  + (a_{6} + a_{7}g + a_{8}g^{2})g^{6} + \dots,
\end{gather*}
\dh\ als eine Zahl mit der Grundzahl~$g^{3}$ darstellen, wie aus der Definition
der Gleichheit unmittelbar folgt. Allgemeiner findet man in
dieser Weise eine Darstellung von $A$ durch die Näherungswerte
\[
A^{(k-1)},\quad A^{(2k-1)},\quad A^{(3k-1)},\ \dots,
\]
wo $k$ irgendeine ganze positive Zahl bezeichnet, in der Form
\begin{gather*}
A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\
  = (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1})
  + (a_{k} + a_{k+1}g + \dots + a_{2k-1}g^{k-1})g^{k} \\
  + (a_{2k} + a_{2k+1}g + \dots + a_{3k-1}g^{k-1})g^{2k} + \dots;
\end{gather*}
hierdurch ist also die $g$-adische Zahl~$A$ als eine nach Potenzen der
Grundzahl~$g^{k}$ fortschreitende Reihe dargestellt.

Umgekehrt kann selbstverständlich jede $g^{k}$-adische Zahl
\[
A = a^{(0)} + a^{(1)}g^{k} + a^{(2)}g^{2k} + \dots
\]
als eine nach Potenzen von $g$ fortschreitende Reihe mit nicht reduzierten
Koeffizienten angesehen werden, in der insbesondere die Koeffizienten
von $g$,~$g^{2}$,~\dots~$g^{k-1}$, $g^{k+1}$,~\dots\ sämtlich Null sind, und diese kann dann
in ihre reduzierte Form übergeführt werden. Es folgt daher
speziell:
\begin{Theorem}
Ist die Grundzahl $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so können
alle Zahlen mit der Grundzahl~$p^{k}$
\[
A = a_{0} + a_{1}p^{k} + a_{2}p^{2k} + \dots
\]
auch als $p$-adische Zahlen, \dh\ in der Form
\[
A = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots
\]
dargestellt werden.
\end{Theorem}

\ZB~kann man die Zahl
\[
800 = 8 + 7·9 + 0\DPtypo{}{·}9^{2} + 1·9^{3} = 8,701 \ (9)
\]
\PageSep{090}{74}
auch schreiben als
\[
800 = (2 + 2·3) + (1 + 2·3)3^{2} + (0 + 0·3)3^{4} + 1·3^{6} = 2\MathOrd{,}212001 \ (3);
\]
ebenso folgt aus der Darstellung von $-\frac{1}{15}$ für die Grundzahl~$25$
\[
-\tfrac{1}{15}
  = \tfrac{15}{25} + 16 + 16·25 + 16·25^{2} + \dots
  = 15\,16\MathOrd{,}16\,16\,16\dots\ (25)
\]
die pentadische Darstellung von~$-\frac{1}{15}$:
\begin{gather*}
-\tfrac{1}{15}
  = (0 + 3·5)·5^{-2} + (1+ 3·5) + (1 + 3·5)5^{2} + \dots \\
  = 31\MathOrd{,}3131 \dots\ (5).
\end{gather*}

Sind ferner $g$~und~$g'$ zwei Grundzahlen, welche beide die nämlichen
Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$, nur in verschiedenen Potenzen enthalten,
so gibt es sicher eine niedrigste Potenz~$g^{k}$ von~$g$, die durch $g'$
teilbar ist, und ebenso eine niedrigste Potenz~$g'^{k'}$ von~$g'$, die ein Vielfaches
von $g$ ist. Dann erkennt man sofort, daß jede $g$-adische
Zahl~$A$ auch als $g'$-adische Zahl und umgekehrt jede $g'$-adische als
$g$-adische Zahl dargestellt werden kann; denn es ist ja
\begin{gather*}
A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\
  = a_{0}' + a_{1}'g + a_{2}'g'^{2} + \dots,
\end{gather*}
weil jede der oben stehenden Differenzen
\[
(A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}),\quad
(A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}),\ \dots,
\]
bzw.\ durch $g^{k}$,~$g^{2k}$,~\dots, also durch $g'$,~$g'^{2}$~\dots\ teilbar ist; umgekehrt
ist ebenso für eine $g'$-adische Zahl~$A'$:
\begin{gather*}
A' = A'^{(k'-1)} + (A'^{(2k'-1)} - A'^{(k'-1)})
  + (A'^{(3k'-1)} - A'^{(2k'-1)}) + \dots \\
  = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots,
\end{gather*}
\dh\ $A'$ ist auch als $g$-adische Zahl darstellbar. Hieraus ziehen wir
die praktisch wichtige Folgerung:
\begin{Theorem}
Bei der Untersuchung beliebiger $g$-adischer Zahlen kann man
statt der Grundzahl $g = p^{h}q^{k} \dots r^{l}$ diejenige reduzierte Grundzahl
$g_{0} = pq \dots r$ nehmen, welche dieselben Primfaktoren wie~$g$,
aber jeden nur in der ersten Potenz enthält.
\end{Theorem}

\ZB~ist zu $12 = 2^{2}·3$ die in diesem Sinn zugehörige reduzierte
Zahl $2·3 = 6$; es ist $12^{1}$ teilbar durch~$6$, also $k = 1$. Daher ist \zB\
\PageSep{091}{75}
\begin{align*}%[** Re-broken]
-\tfrac{5}{12}
  &= 7·12^{-1} + 11 + 11·12 + 11·12^{2} + \dots \\
  &= 21·6^{-2} + 11 + 22·6 + 44·6^{2} + \dots \\
  &= \begin{aligned}[t]
    (3 + 3·6)\Add{·} 6^{-2} + (5 + 1·6) &+ (4 + 3·6)·6 \\
    &\quad+ (2 + 1·6 + 1·6^{2})\Add{·} 6^{2} + \dots
  \end{aligned} \\
  &= 3·6^{-2} + 3·6^{-1} + 5 + 5·6 + 5·6^{2} + \dots;
\end{align*}
man kann also an Stelle der Zahl $7\,11\MathOrd{,}\,11\,11\dots\ (12)$ ebensogut die
hexadische Zahl $3\,3\,5\MathOrd{,}\,5\,5\dots\ (6)$ untersuchen.

Auf Grund dieser Betrachtungen wollen wir die folgende \emph{erweiterte
Definition der Gleichheit zweier Zahlen}
\index{Gleichheit!für den Bereich von~$g$}%
\[
A = a_{0} + a_{1}g + \dots\ (g),\quad
A' = a_{0}' + a_{1}'g' + \dots\ (g')
\]
aufstellen, \emph{deren Grundzahlen $g$~und~$g'$ von einander verschieden
sind}. Wir betrachten auch hier die beiden Reihen von Näherungswerten
\begin{alignat*}{3}
A^{(0)}  &= a_{0},       &A^{(1)}  &= a_{0}  + a_{1}g,\quad && \dots \ (g) \\
A'^{(0)} &= a_{0}',\quad &A'^{(1)} &= a_{0}' + a_{1}'g',    && \dots \ (g')
\end{alignat*}
und nennen $A$ und $A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g'$},
wenn ihre Näherungswerte genügend hoher Ordnung einander für jede
noch so hohe Potenz von $g'$ als Modul kongruent sind. Ebenso sollen
$A$~und~$A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g$} heißen, wenn
die entsprechenden Kongruenzen für jede noch so hohe Potenz von $g$
erfüllt sind.

So sind \zB\ die beiden vorher betrachteten Zahlen
\begin{align*}
A  &= A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{\DPtypo{(0)}{(2)}} - A^{(1)}) + \dots \ (g) \\
A' &= A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \ (g^{3}),
\end{align*}
von denen die erste eine Zahl von der Grundzahl~$g$, die zweite eine
solche von der Grundzahl~$g^{3}$ darstellt, nach dieser neuen Definition
einander gleich sowohl für den Bereich von $g$ als auch für den von~$g^{3}$;
denn ihre Näherungswerte sind bzw.\
\[
A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ A^{(3)},\ \dots \quad\text{und}\quad
A^{(2)},\ A^{(5)},\ A^{(8)},\ A^{(11)},\ \dots
\]
und für eine beliebig hohe Potenz von $g$ sowohl als von $g^{3}$ als Modul
werden diese schließlich zueinander kongruent. Ist allgemeiner $g^{k}$
durch $g'$ teilbar, so sind die beiden Zahlen
\PageSep{092}{76}
\begin{gather*}
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots \ (g) \\
A' = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \ (g'),
\end{gather*}
von denen die zweite nach dem letzten Resultat für den Bereich von
\index{Gleichheit!zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl}%
$g'$ einer $g'$-adischen Zahl gleich ist, für diesen Bereich einander gleich,
weil die Näherungswerte von $A$~und~$A'$
\begin{gather*}
A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ \dots \\
A^{(k-1)},\ A^{(2k-1)},\ A^{(3k-1)},\ \dots
\end{gather*}
für genügend große Indizes einander für jede noch so hohe Potenz
von $g'$ als Modul kongruent werden.

Ein Ring~$R(g)$ von $g$-adischen Zahlen soll ein \so{Teilbereich}
eines andern Ringes~$R(g')$ von $g'$-adischen Zahlen heißen, wenn zu jeder
Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine ihr für den Bereich von $g'$ gleiche $A'$ innerhalb
$R(g')$ gehört. Sind dann $A$~und~$B$ zwei beliebige Zahlen in~$R(g)$
und sind $A'$~und~$B'$ diejenigen Zahlen im Teilbereich~$R(g')$, welche
ihnen gleich sind, so sind den Zahlen $A + B$, $A - B$,~$AB$ offenbar
die Zahlen $A' + B'$, $A' - B'$,~$A'B'$ in dem Teilbereich beziehlich
gleich.

\begin{Theorem}
Ist $R(g)$ ein Teilbereich von $R(g')$ und auch umgekehrt $R(g')$
\index{Teilbereich e.\ Ringes}%
ein Teilbereich von~$R(g)$, so sollen beide Ringe als \so{gleich} bezeichnet
werden; ich schreibe diese Beziehung in der Form:
\[
R(g) = R(g').
\]
\end{Theorem}

Nach dem soeben Dargelegten ist $R(g) = R(g')$, wenn die beiden
Grundzahlen $g$~und~$g'$ dieselben Primfaktoren enthalten, wenn also $g^{k}$
durch $g'$ und $g'^{k'}$ durch $g$ teilbar ist. Speziell ist \zB:
\[
R(p^{k}) = R(p),\quad
R(p^{k}q^{l} \dots r^{m}) = R(pq \dots r).
\]

Dagegen ist $R(P)$ ein \emph{eigentlicher} Teilbereich von~$R(g)$, wenn
die Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g$ ist, der mindestens einen Primfaktor
von $g$ nicht enthält. Dann gehört nämlich zu jeder $g$-adischen Zahl~$A$
eine eindeutig bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, die jener für den Bereich
von $P$ gleich ist. Ist nämlich
\[
g = PQ,
\]
so ist ja:
\PageSep{093}{77}
\begin{gather*}
A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots
  = a_{0} + (a_{1} Q) P +(a_{2} Q^{2}) P^{2} + \dots \\
  = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots
  = \alpha\ (P),
\end{gather*}
wo allgemein $\alpha_{i} = a_{i} Q^{i}$ ist. $\alpha$~ist dann eine eindeutig bestimmte
$P$-adische Zahl; denn je zwei zu $A$ für den Bereich von $P$ gleiche Zahlen
$\alpha$~und~$\alpha'$ sind ja für diesen Bereich einander gleich, eben weil sie für
diesen Bereich beide gleich $A$ sind. Wir wollen~$\alpha$, wie bereits erwähnt
wurde, den \so{Wert von $A$ für den Bereich von~$P$} nennen.
\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}%

Während also zu jeder Zahl~$A$ von $R(g)$ eine ihr gleiche~$\alpha$ aus
$R(P)$ gehört, ist das Umgekehrte nicht der Fall; denn eine $P$-adische
Zahl
\[
\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots
\]
besitzt überhaupt nur dann Näherungswerte, die sich als Näherungswerte
einer $g$-adischen Zahl betrachten lassen, wenn mit wachsendem
Index~$i$ jedes Glied~$\alpha_{i} P^{i}$ von genügend hoher Ordnung durch jede noch
so hohe Potenz von $g = PQ$ teilbar ist; dies ist aber im allgemeinen nicht
der Fall, sobald $Q$ auch nur einen nicht in $P$ auftretenden Primfaktor
enthält. In diesem Fall ist also wirklich $R(P)$ ein eigentlicher Teilbereich
von~$R(g)$. So gehört \zB\ zu der triadischen Zahl
\[
\alpha = 3 + (5·2)·3
  + (3·2^{2})\Add{·}3^{2}
  + (5·2^{3})\Add{·}3^{3}
  + (3·2^{4})\Add{·}3^{4} + \dots
\]
zwar die ihr gleiche hexadische Zahl
\[
A = 3 + 5·6 + 3·6^{2} + 5·6^{3} + 3·6^{4} + \dots,
\]
dagegen existiert zu der triadischen Zahl
\[
\bar{\alpha} = 3 + 5·3 + 3·3^{2} + 5·3^{3} + \dots
\]
keine ihr gleiche hexadische Zahl.

Ebenso gibt es offenbar auch einen eindeutig bestimmten $Q$-adischen
Wert der oben angegebenen $g$-adischen Zahl~$A$, nämlich die Zahl
\[
\beta = \beta_{0} + \beta_{1} Q + \beta_{2} Q^{2} + \dots
  = a_{0} + (a_{1} P)Q + (a_{2} P^{2})Q^{2} + \dots,
\]
wo, also allgemein $\beta_{i} = a_{i} P^{i}$ ist; dagegen gilt auch hier das Umgekehrte
nicht; auch $R(Q)$ ist also ein eigentlicher Teilbereich von~$R(g)$.
\PageSep{094}{78}


\Section{§ 3.}{Die Zerlegung des Ringes~$R(g)$ in die beiden Ringe
$R(P)$ und $R(Q)$.}

Ich will jetzt untersuchen, in welcher Beziehung die Zahlen eines
Ringes~$R(g)$ zu den Zahlen eines eigentlichen Teilbereichs $R(P)$ stehen,
dessen Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g = PQ$ ist. Hierbei kann ich, ohne
die Allgemeinheit der Resultate zu beeinträchtigen, die Annahme
machen, daß die beiden komplementären Faktoren $P$~und~$Q$ teilerfremd
sind, also keinen Primfaktor gemeinsam haben. Besitzt nämlich~$g$,
was wir ja voraussetzen konnten, nur einfache Primfaktoren, so ist
jene Annahme für \emph{jede} Zerlegung $g = PQ$ von $g$ erfüllt. Nach dem
oben Bewiesenen gehört dann zu jeder Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine eindeutig
bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, welche ihr für den Bereich von $P$ gleich
ist, nämlich der Wert von $A$ für den Bereich von~$P$.

Ist umgekehrt im Ring~$R(P)$ eine $P$-adische Zahl
\[
\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots
\]
ganz beliebig gegeben, so gibt es, wie wir jetzt beweisen wollen, mindestens
eine solche $g$-adische Zahl
\[
X = x_{0} + x_{1}g + x_{2}g^{2} + \dots,
\]
daß $X = \alpha\ (P)$ wird, daß also gerade diese Zahl~$\alpha$ der $P$-adische Wert
von $X$ ist. In der Tat, soll
\[
x_{0} + x_{1}PQ + x_{2}P^{2}Q^{2} + \dots
  = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots \ (P)
\]
sein, so können wir zunächst $x_{0} = \alpha_{0}$ annehmen. Lassen wir dann die
beiden gleichen Zahlen $\alpha_{0}$~und~$x_{0}$ fort und dividieren auf beiden Seiten
durch~$PQ$, so schreibt sich die obige Gleichung so:
\[
x_{1} + x_{2}PQ + \dots = Q^{-1} (\alpha_{1} + \alpha_{2}P + \dots) \ (P).
\]
Da $(P, Q) = 1$ ist, so ist $Q^{-1}$ eine modulo~$P$ ganze Zahl, kann also als
reduzierte ganze $P$-adische Zahl geschrieben werden; multipliziert man
dann auf der rechten Seite aus, so erhält man eine $P$-adische Zahl:
\[
\beta_{1} + \beta_{2}P + \dots.
\]
In der sich so ergebenden Gleichung
\PageSep{095}{79}
\[
x_{1} + x_{2}PQ + \dots = \beta_{1} + \beta_{2}P + \dots \ (P)
\]
kann man wieder $x_{1} = \beta_{1}$ setzen, worauf man durch genau dasselbe
Verfahren wie vorher zur Bestimmung der übrigen $x_{i}$ eine neue Gleichung
\[
x_{2} + x_{3}PQ + \dots = \gamma_{2} + \gamma_{3}P + \dots \ (P)
\]
erhält. Fährt man in derselben Weise fort, so kann man die unbekannten
Koeffizienten $x_{0}$,~$x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, soweit man will, bestimmen, \dh\ man
erhält eine wohldefinierte $g$-adische Zahl~$X$, deren $P$-adischer Wert
gleich der beliebig angenommenen $P$-adischen Zahl~$\alpha$ ist.

Ebenso kann man natürlich auch eine $g$-adische Zahl~$Y$ finden,
deren $Q$-adischer Wert gleich einer beliebig angenommenen $Q$-adischen
Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ ist.

In beiden Fällen ist aber durch je eine von diesen Forderungen
die $g$-adische Zahl~$X$ bzw.\ $Y$~noch keineswegs eindeutig bestimmt; im
Gegenteil, ich zeige jetzt, daß man stets eine $g$-adische Zahl~$A$ so wählen
kann, daß ihr Wert für den Bereich von $P$ gleich einer ganz beliebig
gewählten $P$-adischen Zahl~$\alpha$, ihr Wert für den Bereich von $Q$ gleich
einer beliebig gegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta$ ist. Erst durch diese beiden
Festsetzungen zusammen ist $A$ eindeutig bestimmt. Ich beweise also
den merkwürdigen und wichtigen Satz:
\begin{Theorem}
Im Ringe~$R(g)$ der $g$-adischen Zahlen gibt es eine einzige Zahl~$A$,
deren Werte für die Teilbereiche $R(P)$ und $R(Q)$ je eine beliebig
vorgegebene $P$-adische und $Q$-adische Zahl sind.
\end{Theorem}
Der vollständige Beweis dieses Fundamentalsatzes kann auf denjenigen
des folgenden Spezialfalles desselben zurückgeführt werden:
\begin{Theorem}
Im Ringe der $g$-adischen Zahlen gibt es eine Zahl, die für den
Bereich von $P$ den Wert~$1$, für den Bereich von $Q$ den Wert~$0$ besitzt.
Diese Zahl soll in der Folge durch $1_{P}$ bezeichnet werden.
\end{Theorem}

Eine solche $g$-adische Zahl kann folgendermaßen gebildet werden:
Da $(P, Q) = 1$ ist, so kann man nach \Seite{24}~\Eq{(2)} zwei ganzzahlige Multiplikatoren
$\lambda$~und~$\mu$ so bestimmen, daß
\[
\mu Q - \lambda P = 1
\]
ist; dann hat man also in
\PageSep{096}{80}
\[
\xi = 1 + \lambda P = \mu Q
\]
eine Zahl, die den beiden Kongruenzen
\[
\Tag{(1)}
\xi \equiv 1 \ (\mod.~P),\quad
\xi \equiv 0 \ (\mod.~Q)
\]
genügt. Hieraus folgt aber sofort, daß die Zahlen der Reihe
\[
\xi,\ \xi^{g},\ \xi^{g^{2}},\ \xi^{g^{3}},\ \dots
\]
die Eigenschaft haben, daß allgemein die Beziehungen gelten:
\[
\Tag{(2)}
\xi^{g^{i}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{i+1}),\quad
\xi^{g^{i}} \equiv 0 \ (\mod.~Q^{i+1}).
\]
Die Richtigkeit der zweiten Serie von Kongruenzen zunächst ist evident,
da ja wegen der zweiten Kongruenz~\Eq{(1)} $\xi^{g^{i}}$~sogar durch die viel
höhere Potenz $Q^{g^{i}}$ von $Q$ teilbar ist. Den Beweis für das Bestehen
der ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} führen wir induktiv, ausgehend von
der bereits bewiesenen ersten Behauptung~\Eq{(1)} für $i = 0$. Es sei also
für einen bestimmten Wert $i = k$ schon bewiesen, daß
\[
\Tag{(3)}
\xi^{g^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k})
\]
ist, was sich auch in der Form
\[
\xi^{g^{k-1}} = 1 + h P^{k}
\]
schreiben läßt. Erhebt man diese Gleichung in die \Ordsup{$g$}{-te}${}={}$\Ordsup{$(PQ)$}{-te} Potenz
und entwickelt die rechte Seite nach dem binomischen Lehrsatz,
so ergibt sich:
\[
\xi^{g^{k}} = (1 + h P^{k})^{PQ}
  = 1 + PQh P^{k} + \frac{PQ(PQ - 1)}{1·2}h^{2}P^{2k} + \dots,
\]
wo rechts alle auf das zweite Glied folgenden Summanden mindestens
durch die \Ordsup{$(2k)$}{-te}~Potenz von $P$ teilbar sind. Da aber das zweite Glied
rechts durch $P^{k+1}$ teilbar ist und für $k \geqq 1$ stets $2k \geqq k + 1$ gilt,
so zieht die Kongruenz~\Eq{(3)} die andere
\[
\xi^{g^{k}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k+1})
\]
nach sich; da vermöge der ersten Kongruenz~\Eq{(1)} die Beziehung~\Eq{(3)} für
$k = 1$ richtig ist, so ist in der Tat die Allgemeingültigkeit auch der
ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} nachgewiesen.
\PageSep{097}{81}

Aus den Potenzen $\xi$,~$\xi^{g}$,~$\xi^{g^{2}}$,~\dots\ von $\xi$ kann man leicht eine $g$-adische
Zahl bilden, die für den Bereich von $P$ den Wert Eins, für den
Bereich von $Q$ den Wert Null hat, nämlich die Zahl
\[
\Tag{(4)}
1_{P} = \xi + (\xi^{g} - \xi) + (\xi^{g^{2}} - \xi^{g}) + (\xi^{g^{3}} - \xi^{g^{2}}) + \dots.
\]
Daß diese Reihe zunächst überhaupt eine $g$-adische Zahl darstellt,
wird nachgewiesen sein, sobald gezeigt ist, daß
\[
\xi^{g} - \xi = g\xi_{1},\quad
\xi^{g^{2}} - \xi^{g} = g^{2}\xi_{2},\ \dots
\]
ist, wo $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots\ ganze Zahlen bedeuten. Dies ist wirklich der Fall;
denn da wegen~\Eq{(2)} für jedes $i \geqq 1$\; $\xi^{g^{i}}$ und $\xi^{g^{i-1}}$ modulo~$P^{i}$ kongruent
Eins, modulo~$Q^{i}$ kongruent Null, also jedesmal auch untereinander
kongruent sind, so ist ihre Differenz $\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}$ sowohl durch $P^{i}$ wie
durch~$Q^{i}$, also auch durch $P^{i}Q^{i} = g^{i}$ teilbar, \wzbw\ $1_{P}$ läßt sich
also in der Form
\[
1_{P} = \xi_{0} + \xi_{1}g + \xi_{2}g^{2} + \dots,
\]
\dh\ als reduzierte oder nicht reduzierte $g$-adische Zahl schreiben.
Ferner ist der \Ordsup{$i$}{-te}~Näherungswert von~$1_{P}$
\[
1_{P}^{(i)} = \xi_{0} + \xi_{1} g + \dots + \xi_{i} g^{i}
  = \xi + (\xi^{g} - \xi) + \dots + (\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}) = \xi^{g^{i}}
\]
nach \Eq{(2)} modulo~$P^{i+1}$ kongruent~$1$, modulo~$Q^{i+1}$ kongruent Null, \dh\
es ist gemäß der Definition der Gleichheit wirklich:
\[
\Tag{(5)}
1_{P} = 1\ (P),\quad
1_{P} = 0\ (Q).
\]

Ganz ebenso läßt sich natürlich eine $g$-adische Zahl~$1_{Q}$ derart bestimmen,
daß
\[
\Tag{(5^{a})}
1_{Q} = 0\ (P),\quad
1_{Q} = 1\ (Q)
\]
ist.

Endlich kann man nun auch eine $g$-adische Zahl~$X_{P}$ finden, deren
Wert für den Bereich von $P$ gleich einer beliebig gegebenen $P$-adischen
Zahl~$\alpha$ ist, während sie für den Bereich von $Q$ den Wert Null hat. Bestimmen
wir nämlich nach dem auf \Seite{78}~ff.\ auseinandergesetzten Verfahren
eine $g$-adische Zahl~$X$ so, daß $X = \alpha\ (P)$ ist, während über den
$Q$-adischen Wert von $X$ nichts festgesetzt wird, so hat die $g$-adische Zahl
\[
X_{P} = X·1_{P}
\]
\PageSep{098}{82}
die beiden verlangten Eigenschaften; denn es ist ja:
\[
X_{P} = X·1_{P} = \alpha·1 = \alpha\ (P),\quad
X_{P} = X·1_{P} = X·0 = 0\ (Q).
\]

Genau ebenso kann man eine $g$-adische Zahl~$X_{Q}$ bestimmen, die
für den Bereich von $P$ gleich Null, für den von $Q$ gleich einer beliebig
vorgegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ wird.

Die aus diesen beiden $g$-adischen Zahlen additiv zusammengesetzte
Zahl $X = X_{P} + X_{Q}$ hat nun offenbar die Eigenschaft, daß ihre Werte
für den Bereich von $P$~und~$Q$ bzw.\ gleich $\alpha$~und~$\beta$ sind. In der Tat
ist ja:
\[
X = X_{P} + X_{Q} = \alpha + 0 = \alpha\ (P),\quad
X = X_{P} + X_{Q} = 0 + \beta\ (Q).
\]

Es gibt also wirklich stets eine solche $g$-adische Zahl. Mehr
als \emph{eine} Zahl, welche diesen beiden Anforderungen genügt, kann es
aber nicht geben. Denn wäre $X'$ eine zweite derartige Zahl, so würde
ja die Differenz $Y = X - X'$ eine $g$-adische Zahl sein, die für den
Bereich von $P$ gleich $\alpha - \alpha = 0$, für den Bereich von $Q$ gleich
$\beta - \beta$, also ebenfalls gleich Null wäre. Eine solche Zahl~$Y$ muß
aber auch für den Bereich von $g$ gleich Null sein; denn ihre Näherungswerte
genügend hoher Ordnung müssen ja für jede noch so hohe
Potenz von $P$ sowohl wie von~$Q$, also auch von $PQ = g$, kongruent
Null sein, \dh\ es ist wirklich $Y = 0$, also $X = X'\ (g)$, \wzbw\
Speziell sind also die vorher gebildeten $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$
sowie die Zahlen $X_{P}$~und~$X_{Q}$ durch die ihnen auferlegten Bedingungen
\emph{eindeutig} bestimmt.

Ist also $A_{g}$ eine beliebige $g$-adische Zahl, und sind $A_{P}$~und~$A_{Q}$
diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, für welche
\begin{alignat*}{4}
A_{P} &= A_{g}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0      &&(Q) \\
A_{Q} &= 0      &&(P),      &A_{Q} &= A_{g}\ &&(Q)
\end{alignat*}
ist, so ist~$A_{g}$, wie dies schon im §~1 dieses Kapitels ausgeführt wurde,
in der Tat folgendermaßen darstellbar
\[
A_{g} = (A_{P}, A_{Q}),
\]
weil $A_{P}$ und $A_{Q}$ gleich den Werten von $A$ für den Bereich von $P$ bzw.\
$Q$ sind. Da aber diese Werte $A_{P}$ und $A_{Q}$ außerdem so gewählt sind,
\PageSep{099}{83}
daß sie für den Bereich von $Q$ bzw.\ von $P$ gleich Null sind,
so besteht nach dem soeben geführten Beweise die sehr viel einfachere
Gleichung:
\[
A_{g} = A_{P} + A_{Q}.
\]
Sind umgekehrt
\[
\alpha_{P} = a_{0} + a_{1} P + \dots \ (P),\quad
\alpha_{Q} = a'_{0} + a'_{1} Q + \dots \ (Q)
\]
zwei ganz beliebige Zahlen der Ringe $R(P)$ und $R(Q)$, so gibt es
ein einziges System $(A_{P}, A_{Q})$ von zwei $g$-adischen Zahlen, für welche
\begin{alignat*}{4}
A_{P} &= \alpha_{P}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0           &&(Q) \\
A_{Q} &= 0           &&(P),      &A_{Q} &= \alpha_{Q}\ &&(Q)
\end{alignat*}
ist, und die aus ihnen durch gewöhnliche Addition gebildete Zahl
\[
A = A_{P} + A_{Q}
\]
ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl, deren Werte für den Bereich
von $P$ und von $Q$ bzw.\ gleich $\alpha_{P}$ und $\alpha_{Q}$ sind.

Sind endlich
\[
A = A_{P} + A_{Q}, \quad
B = B_{P} + B_{Q}
\]
zwei beliebige $g$-adische Zahlen in dieser Komponentendarstellung, so
ergeben sich nach den allgemeinen Rechenregeln im Ringe~$R(g)$ für die
Summe, die Differenz und das Produkt dieser beiden Zahlen die Gleichungen:
\[
\Tag{(6)}
\begin{aligned}
A + B &= (A_{P} + B_{P}) + (A_{Q} + B_{Q}) \\
A - B &= (A_{P} - B_{P}) + (A_{Q} - B_{Q}) \\
AB &= (A_{P}B_{P}) + (A_{Q}B_{Q}).
\end{aligned}
\]
Hier ist noch zu bemerken, daß in der letzten Gleichung die beiden
Produkte $A_{P}B_{Q}$ und $A_{Q}B_{P}$, welche eigentlich noch auftreten, beide
für den Bereich von $g$ Null sind, weil~\zB\
\[
A_{P}B_{Q} = A_{P}·0 = 0\ (P),\quad
A_{P}B_{Q} = 0·B_{Q} = 0\ (Q)
\]
ist.

Ferner erkennt man aber sofort, daß die in~\Eq{(6)} rechts in den Klammern
stehenden Zahlen die $P$-~und $Q$-Komponenten bzw.\ von $A + B$,
$A - B$ und $AB$ sind, \dh\ daß~\zB\
\PageSep{100}{84}
\[
\Tag{(6^{a})}
\begin{aligned}
(A + B)_{P} &= A_{P} + B_{P}, \\
(A - B)_{P} &= A_{P} - B_{P}, \\
   (AB)_{P} &= A_{P}   B_{P}
\end{aligned}
\rlap{\quad (g)}
\]
ist, und die entsprechenden Gleichungen für die $Q$-Komponenten
gelten. In der Tat ist~\zB:
\begin{alignat*}{2}
A_{P} + B_{P} &= &A + B\ &(P) \\
A_{P} + B_{P} &= &    0\ &(Q),
\end{alignat*}
und durch diese beiden Gleichungen ist ja die $P$-Komponente $(A + B)_{P}$
eindeutig bestimmt. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung der
$g$-adischen Zahlen in der Normalform folgt, daß eine Zahl $A = A_{P} + A_{Q}$
dann und nur dann Null ist, wenn beide Komponenten für sich Null
sind; und hieraus ergibt sich, daß zwei Zahlen $A = A_{P} + A_{Q}$ und
$A' = A'_{P} + A'_{Q}$ nur dann gleich sind, wenn $A_{P} = A'_{P}$, $A_{Q} = A'_{Q}$ ist.

Die Berechnung der $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf mehrere
Stellen würde nach der \aSeite{80}~ff.\ angegebenen Methode wegen der hohen
Potenzen von $\xi$ schwierig sein. Praktisch viel einfacher erhält man
Näherungswerte beliebig hoher Ordnung von $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf folgende
Weise: Da die beiden Zahlen $P^{k+1}$ und $Q^{k+1}$ für ein beliebiges $k$
teilerfremd sind, so kann man durch das Euklidische Verfahren zwei
ganzzahlige Multiplikatoren $\lambda_{k}$~und~$\mu_{k}$ so bestimmen, daß
\[
\Tag{(7)}
\lambda_{k} P^{k+1} + \mu_{k} Q^{k+1} = 1
\]
ist. Also sind die beiden ganzen Zahlen:
\[
\Tag{(7^{a})}
\begin{alignedat}{4}
1^{(k)}_{P} &= 1 - \lambda_{k} &&P^{k+1} &&= \mu_{k}     &&Q^{k+1} \\
1^{(k)}_{Q} &= 1 - \mu_{k}     &&Q^{k+1} &&= \lambda_{k} &&P^{k+1}
\end{alignedat}
\]
bzw.\ gleich den \Ordsup{$k$}{-ten}~Näherungswerten von $1_{P}$~und~$1_{Q}$; denn aus der
obigen Gleichung ergeben sich ja die Kongruenzen:
\begin{alignat*}{4}
1^{(k)}_{P} &\equiv 1\ &&(\mod.~P^{k+1}),\quad &1^{(k)}_{P} &\equiv 0\ &&(\mod.~Q^{k+1}) \\
1^{(k)}_{Q} &\equiv 0\ &&(\mod.~P^{k+1}),      &1^{(k)}_{Q} &\equiv 1\ &&(\mod.~Q^{k+1}).
\end{alignat*}

Ist \zB
\[
g = 10 = 2·5,
\]
\PageSep{101}{85}
also $P = 2$, $Q = 5$, so ergibt das Euklidische Verfahren für $(2^{5}, 5^{5})
= (32, 3125)$ leicht die Gleichung:
\[
293·2^{5} - 3·5^{5} = 1.
\]
Also bestimmen sich die \Ordsup{$4$}{-ten}~Näherungswerte von $1_{2}$~und~$1_{5}$ aus den
Gleichungen:
\begin{alignat*}{2}
1_{2}^{(4)} &= 1 -{}& 293·2^{5} &= -9375 \\
1_{5}^{(4)} &= 1 +{}&   3·5^{5} &= +9376.
\end{alignat*}
Schreibt man also $1_{2}$ und $1_{5}$ als dekadische Zahlen, also in umgekehrter
Folge der Ziffern, so erhält man:
\[
\begin{aligned}
1_{2} &= -5\MathOrd{,}7390\dots = +5\MathOrd{,}2609\dots  \\
1_{5} &= +6\MathOrd{,}7390\dots = +6\MathOrd{,}7390\dots.
\end{aligned}
\quad(10)
\]

Es sei zweitens
\[
g = 6 = 2·3, \quad\text{also}\quad P = 2,\ Q = 3;
\]
dann ergibt das Euklidische Verfahren angewandt auf die Zahlen
$(2^{7}, 3^{7}) = (128, 2187)$ sofort die Gleichung:
\[
35·3^{7} - 598·2^{7} = 1.
\]

Also erhält man als sechsten Näherungswert von~$1_{2}$
\[
1_{2}^{(6)} = 1 + 598·2^{7} = 76545,
\]
und wenn man diese als hexadische Zahl nach der \aSeite{49} gegebenen
Methode schreibt:
\[
\Tag{(8)}
1_{2} = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots\ (6).
\]
Die zweite Einskomponente~$1_{3}$ braucht nicht besonders berechnet zu
werden, da ja allgemein immer
\[
1 = 1_{P} + 1_{Q}, \quad\text{also}\quad
1_{Q} = 1 - 1_{P},\ (g)
\]
ist. Also ist in diesem Falle
\[
\Tag{(8^{a})}
1_{3} = 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6).
\]

Kennt man die Darstellung
\[
\Tag{(9)}
1 = 1_{P} + 1_{Q}\ (g)
\]
\PageSep{102}{86}
der Eins in der Normalform, so folgt aus ihr sofort die entsprechende
Darstellung jeder anderen $g$-adischen Zahl~$A$ einfach dadurch, daß
man die obige Gleichung~\Eq{(9)} mit $A$ multipliziert. Denn in der Gleichung:
\[
A = A·1_{P} + A·1_{Q} \ (g)
\]
ist ja \zB\ $A·1_{P}$ in der Tat gleich~$A_{P}$, weil für dieses Produkt
\[
A·1_{P} = A·1 = A\ (P),\quad
A·1_{P} = A·0 = 0\ (Q)
\]
gilt und durch diese beiden Gleichungen~$A_{P}$ eindeutig bestimmt ist.

So erhält man \zB\ durch einfache Multiplikation der aus \Eq{(8)}
und~\Eq{(8^{a})} sich ergebenden Gleichung
\[
1 = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6)
\]
die folgende Darstellung der Zahl $44 = 2\MathOrd{,}11\ (6)$ in der Normalform:
\[
2\MathOrd{,}11 = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\DPtypo{}{.}\ (6)
\]


\Section{§ 4.}{Die Zerlegung des Ringes $R(g)$ in die Ringe~$R(p)$,
$R(q)$,~\dots, deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung
der $g$-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen
Normalform.}

In genau derselben Weise, wie dies im vorigen Abschnitt gezeigt
wurde, kann nun eine beliebige $g$-adische Zahl entsprechend jeder Zerlegung
von $g$ in mehr als zwei teilerfremde Faktoren als Summe von
mehr als zwei Komponenten dargestellt werden. Ich gebe diese Dekomposition
gleich für die letzte Zerlegung, welche $g$ zuläßt. Wir
können nach \Seite{74} unten ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit
annehmen, daß $g$ nur einfache Primteiler besitzt; es sei
\[
\Tag{(1)}
g = p·q \dots r
\]
die Zerlegung von $g$ in seine Primfaktoren. Ist dann $P = q \dots r$ der
zu $p$ komplementäre Faktor von~$g$, so ist $g = pP$ eine der im vorigen
Paragraphen betrachteten Zerlegungen; also können wir nach der dort
gegebenen Methode eine $g$-adische Zahl~$1_{P}$ bilden, welche für den Bereich
von $p$ gleich~$1$, für den Bereich von $P = q \dots r$, mithin also
\PageSep{103}{87}
auch für den Bereich jeder der von $p$ verschiedenen Primzahlen
$q$,~\dots~$r$ gleich Null ist.

Ist dann $\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} p + \dots$ eine beliebige $p$-adische Zahl, so
können wir, wie schon bewiesen, eine $g$-adische Zahl~$X$ bilden, die für
den Bereich von $p$ gleich $\alpha$ ist; dann ist
\[
X_{p} = X·1_{p}
\]
die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, welche für den Bereich von $p$
gleich~$\alpha$, für den Bereich aller anderen Primzahlen $q$,~\dots~$r$ aber
jedesmal gleich Null ist. Ebenso können wir entsprechend der
Zerlegung $g = q\ (p \dots r) = qQ$ eine $g$-adische Zahl~$X_{q}$ bilden, welche
für den Bereich von $q$ gleich einer beliebig vorgegebenen $q$-adischen
Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1} q + \dots$ ist, während sie für den Bereich aller
übrigen Primzahlen $p$,~\dots~$r$ Null ist, usw. Haben dann die $g$-adischen
Zahlen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die Primzahlen
$q$,~\dots~$r$, wie $X_{p}$ für~$p$, so ist
\[
\Tag{(2)}
X = X_{p} + X_{q} + \dots + X_{r}
\]
eine $g$-adische Zahl, die für die Bereiche von~$p$, von $q$,~\dots\ von~$r$ bzw.\
die beliebig vorgegebenen Werte $\alpha$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ besitzt, und umgekehrt
läßt sich jede $g$-adische Zahl~$A$ als eine derartige Summe
\[
\Tag{(2^{a})}
A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}
\]
darstellen, in der \zB\ die erste Komponente durch die Gleichungen
\[
\Tag{(2^{b})}
A_{p} = A\ (p),\quad
A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad
A_{p} = 0\ (r)
\]
bestimmt ist. Auch in diesem allgemeinen Falle ist jene Darstellung
einer $g$-adischen Zahl nur auf eine Weise möglich. Wären nämlich
\[
\begin{aligned}
A &= A_{p}  + A_{q}  + \dots + A_{r}   \\
  &= A'_{p} + A'_{q} + \dots + A'_{r}
\end{aligned}
\quad(g)
\]
solche Darstellungen derselben Zahl~$A$ auf zwei verschiedene Weisen,
so ergäbe sich durch Subtraktion
\begin{alignat*}{3}
0 &= (A_{p} - A'_{p}) &&+ (A_{q} - A'_{q}) &&+ \dots + (A_{r} - A'_{r}) \\
  &=  B_{p}           &&+  B_{q}           &&+ \dots + B_{r},
\end{alignat*}
\PageSep{104}{88}
wo die $g$-adischen Zahlen $B_{p} = A_{p} - A'_{p}$,~\dots\ nicht alle Null wären,
während \zB\ für $B_{p}$ die Gleichungen
\[
B_{p} = A - A = 0\ (p),\quad
B_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad
B_{p} = 0\ (r)
\]
erfüllt sein müßten. Aus ihnen folgt aber, daß $B_{p} = 0\ (g)$, \dh\ daß
$A_{p} = A'_{p}$ sein muß, und dasselbe gilt für alle anderen Zahlen
$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$.

\begin{Theorem}
Ist also $g$ eine beliebige Grundzahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle
in $g$ enthaltenen voneinander verschiedenen Primfaktoren, so ist
jede $g$-adische Zahl~$A$ auf eine einzige Weise in der Form
\[
\Tag{(3)}
A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}\ (g)
\]
darstellbar, in welcher die $g$-adischen Zahlen $A_{p}$,~\dots\ durch die
Gleichungen:
\[
\Tag{(3^{a})}
A_{p} = A\ (p),\quad
A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad
A_{p} = 0\ (r)
\]
usw.\ eindeutig bestimmt sind. Sind umgekehrt $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ je eine
beliebige $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so gibt es im
Ringe~$R(g)$ eine einzige Zahl~$A$, deren Wert für den Bereich
von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist.

Die eindeutig bestimmten Zahlen $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ in der obigen
Gleichung sollen kurz als die \so{$p$-Komponente}, \so{$q$-Komponente},~\dots\
\so{$r$-Komponente} von $A$ bezeichnet werden.
\index{Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl}%
\index{Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl}%
Die Darstellung~\Eq{(3)} einer Zahl~$A$ als Summe ihrer Komponenten
soll ihre \so{additive Normalform} heißen.
\end{Theorem}

Ist dann
\[
\Tag{(4)}
\begin{aligned}
A &= A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} \\
B &= B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r}
\end{aligned}
\]
die Darstellung von zwei beliebigen $g$-adischen Zahlen in der Normalform,
so ergeben die Gleichungen
\[
\Tag{(4^{a})}
\begin{aligned}
A ± B &= (A_{p} ± B_{p}) + (A_{q} ± B_{q}) + \dots + (A_{r} ± B_{r}) \\
   AB &= A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots +A_{r}B_{r}
\end{aligned}
\]
die Summe, die Differenz und das Produkt von $A$~und~$B$ in derselben
Form; denn $A_{p} ± B_{p}$ \zB\ ist eine $g$-adische Zahl, die für den Bereich
\PageSep{105}{89}
von $p$ gleich dem $p$-adischen Wert von $A ± B$, für den Bereich jedes
anderen Primteilers von $g$ aber gleich Null ist. Für die zweite Gleichung
hat man noch zu bedenken, daß die Produkte ungleichnamiger Komponenten,
\zB~$A_{p}B_{q}$, verschwinden, weil sie für den Bereich eines
\emph{jeden} Teilers von $g$ gleich Null sind.

Sind daher
\[
(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) \quad\text{und}\quad
(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r})
\]
zwei Systeme von beliebigen Zahlen der Ringe $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$,
\index{Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl}%
und $A$~und~$B$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, deren Werte
für jene Teilbereiche bzw.\ gleich $(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r})$
sind, so gehören zu den Wertsystemen
\[
(\alpha_{p} ± \beta_{p}, \alpha_{q} ± \beta_{q}, \dots \alpha_{r} ± \beta_{r}) \quad\text{und}\quad
(\alpha_{p}\beta_{p}, \alpha_{q}\beta_{q}, \dots \alpha_{r}\beta_{r})
\]
die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen
\[
A ± B \quad\text{und}\quad AB.
\]

Neben der soeben eingeführten Darstellung aller $g$-adischen Zahlen
in der additiven Normalform führe ich jetzt noch eine \so{multiplikative
Normalform} für diese Zahlen ein, welche später von
großer Bedeutung sein wird. Sie ergibt sich aus der additiven Zerlegung
der $g$-adischen Zahlen unmittelbar mit Hilfe des folgenden einfachen
Satzes:
\begin{Theorem}
Ist
\[
\Tag{(5)}
B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r}\ (g)
\]
die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven
Normalform, so besteht immer die Gleichung:
\[
\Tag{(5^{a})}
1 + B = (1 + B_{p}) (1 + B_{q}) \dots (1 + B_{r})\quad (g).
\]
\end{Theorem}

Die Richtigkeit dieser Gleichung folgt unmittelbar, wenn man
ihre rechte Seite ausmultipliziert und beachtet, daß jedes Produkt~$B_{p}B_{q}$,~\dots\
von zwei oder mehreren Komponenten immer gleich Null ist.

Setzt man in dieser Gleichung:
\[
1 + B = A;\quad
1 + B_{p} = \frakA_{p},\ \dots\quad
1 + B_{r} = \frakA_{r},
\]
wodurch sich also ergibt:
\PageSep{106}{90}
\[
B = A - 1;\quad
\frakA_{p} = 1 + (A - 1)_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p},\ \dots,
\]
so erhält man die folgende multiplikative Zerlegung einer beliebigen
$g$-adischen Zahl~$A$
\[
\Tag{(6)}
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g),
\]
und die Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\frakA_{r}$ sind die durch die folgenden Gleichungen
eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen
\[
\Tag{(6^{a})}
\begin{alignedat}{6}
\frakA_{p} &= A\ &&(p),\quad &\frakA_{p} &= 1  &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{p} &= 1  &&(r) \\
\frakA_{q} &= 1  &&(p),      &\frakA_{q} &= A\ &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{q} &= 1  &&(r) \\
           & \vdots \\
\frakA_{r} &= 1  &&(p),      &\frakA_{r} &= 1  &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{r} &= A\ &&(r).
\end{alignedat}
\]
Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt \zB\ für $\frakA_{p}$ unmittelbar,
wenn man die Gleichung:
\[
\frakA_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p}\ (g)
\]
der Reihe nach für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet.

So ergibt sich \zB\ aus den auf \Seite{85}~ff.\ für den Bereich der
hexadischen Zahlen hergeleiteten Gleichungen:
\begin{align*}
  1 &= \PadTo{A_{2}}{1_{2}} + \PadTo{A_{3}}{1_{3}}
     = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots
     + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6)  \\
  A = 2\MathOrd{,}11
   &= A_{2} + A_{3}
    = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots
    + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\ (6): \\
  \frakA_{2} &= A_{2} + 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4 \dots \\
  \frakA_{3} &= A_{3} + 1 - 1_{3} = 5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1 \dots\
  \smash{\raisebox{0.5\baselineskip}{(6),}} %[** TN: Vertical alignment hack]
\end{align*}
und man erhält somit die folgende multiplikative Darstellung der hexadischen
Zahl~$2\MathOrd{,}11$
\[
2\MathOrd{,}11 = (4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4\dots)\
                 (5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1\dots)\quad (6),
\]
deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren unmittelbar bestätigt werden
kann.

Sind umgekehrt
\[
\alpha_{p},\ \alpha_{q},\ \dots\ \alpha_{r}
\]
je eine beliebig gegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so
können wir die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl~$A$, welche für den
\PageSep{107}{91}
Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,\dots $\alpha_{r}$ ist, nun auch in
der multiplikativen Normalform eindeutig darstellen. In der Tat ist
\[
\Tag{(7)}
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},
\]
wo \zB\ $\frakA_{p}$ die $g$-adische Zahl ist, welche durch die Gleichungen:
\[
\Tag{(7^{a})}
\frakA_{p} = \alpha_{p}\ (p),\quad
\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
\frakA_{p} = 1\ (r)
\]
eindeutig bestimmt ist.

Ich will im folgenden die Komponente $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, von $A$ in
dieser multiplikativen Normalform~\Eq{(6)} \emph{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen
Faktor von~$A$} nennen. Jeder von ihnen ist durch die Gleichungen~\Eq{(6^{a})}
eindeutig bestimmt.

Ist
\[
\Tag{(8)}
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad
B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r}\ (g)
\]
die Darstellung von zwei $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen
Normalform, so ist
\[
\Tag{(8^{a})}
AB = (\frakA_{p} \frakB_{p})
     (\frakA_{q} \frakB_{q}) \dots
     (\frakA_{r} \frakB_{r})\ (g),
\]
und man erkennt sofort, daß die rechts in Klammern stehenden Produkte
die zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktoren von $AB$ sind, daß also~\zB:
\[
(AB)_{p} = \frakA_{p} \frakB_{p}
\]
ist. In der Tat bestehen für dieses erste Produkt \zB\ die Gleichungen:
\[
\frakA_{p} \frakB_{p} = AB\ (p),\quad
\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (r),
\]
durch welche der zu $p$ gehörige Faktor von~$AB$ eindeutig bestimmt ist.

Aus der Eindeutigkeit der Darstellung einer Zahl in der multiplikativen
Normalform folgt analog wie vorher auf \Seite{87} unten bei der
additiven Normalform, daß zwei Zahlen
\[
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad
A'= \frakA'_{p}\frakA'_{q}\dots \frakA'_{r}\ (g)
\]
dann und nur dann einander gleich sind, wenn
\[
\frakA_{p} = \frakA'_{p},\quad
\frakA_{q} = \frakA'_{q},\ \dots\quad
\frakA_{r} = \frakA'_{r}\ (g)
\]
ist.
\PageSep{108}{92}

Speziell zerfällt die Zahl Null multiplikativ folgendermaßen:
\[
\Tag{(9)}
0 = O_{p} O_{p} \dots O_{r}\ (g),
\]
wo \zB\ die $g$-adische Zahl~$O_{p}$ durch die Gleichungen:
\[
\Tag{(9^{a})}
O_{p} = 0\ (p),\quad
O_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
O_{p} = 1\ (r)
\]
eindeutig bestimmt ist. Jede dieser Zahlen $O_{p}$,~$O_{q}$,~\dots~$O_{r}$ nenne ich
\so{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktor} oder \so{Divisor der
Null}.
\index{Divisoren der Null}%

Eine Zahl~$A$ soll ein \so{Teiler der Null} heißen, wenn sie
\index{Teiler!der Null}%
wenigstens einen von diesen Faktoren der Null enthält, wenn also~\zB:
\[
A = O_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g)
\]
ist. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn \zB\ bei der obigen
Gleichung
\[
A = O_{p} = 0\ (p)
\]
ist. Stets und nur dann ist also $A$ ein Teiler der Null, wenn
wenigstens einer der Werte von $A$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$
gleich Null ist. Allein in diesem Falle ist also auch bei der additiven
Darstellung:
\[
A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}
\]
wenigstens eine der Komponenten Null. Jeder einzelne von diesen
Faktoren~$O_{p}$,~\dots\ soll \so{ein Primteiler der Null} genannt werden.
\index{Primteiler der Null}%
Diese Bezeichnung wird durch den folgenden offenbar richtigen Satz
gerechtfertigt.

\begin{Theorem}
Ein Produkt zweier $g$-adischen Zahlen enthält stets und
nur dann einen Primteiler der Null, wenn mindestens einer der
Faktoren durch denselben Divisor teilbar ist.
\end{Theorem}


\Section{§ 5.}{Die Einteilung der ganzen $g$-adischen Zahlen in Zahlklassen
modulo~$g$.}

Ich benutze die im vorigen Abschnitt gefundene Darstellung der
ganzen $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform zunächst dazu,
\PageSep{109}{93}
um auch sie ebenso wie vorher die modulo~$g$ ganzen \emph{rationalen}
Zahlen für diesen Modul in Klassen einzuteilen.

Es sei
\[
\Tag{(1)}
g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}
\]
die Zerlegung der Grundzahl~$g$, und
\[
\Tag{(2)}
A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}
\]
die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven
Normalform. Ich denke mir jede der Komponenten in ihrer reduzierten
Form dargestellt, und es seien
\[
\Tag{(2^{a})}
\begin{aligned}
A_{p} &= a_{p}^{(0)} + a_{p}^{(1)}g + a_{p}^{(2)}g^{2} + \dots \\
A_{q} &= a_{q}^{(0)} + a_{q}^{(1)}g + a_{q}^{(2)}g^{2} + \dots \\
\DotRow{2} \\
A_{r} &= a_{r}^{(0)} + a_{r}^{(1)}g + a_{r}^{(2)}g^{2} + \dots
\end{aligned}\quad (g)
\]
diese Reihen, wo wenigstens eines der Anfangsglieder nicht Null sein
soll. Der Einfachheit wegen sind jene Reihen von der nullten Ordnung
angenommen. Sollten sie mit $g^{\alpha}$ beginnen, so kann dieselbe
Überlegung auf die Zahl~$\dfrac{A}{g^{\alpha}}$ angewendet werden, deren Entwicklungen
dann mit $g^{0}$ anfangen.

Dann ist
\begin{align*}% [** TN: Re-broken, aligned]
A &= a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots \\
  &= (a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r})
   + (a^{(1)}_{p} + \dots + a^{(1)}_{r}) g + \dots,
\end{align*}
\dh\ für den Anfangskoeffizienten von $A$ besteht die Kongruenz:
\[
\Tag{(3)}
a_{0} \equiv a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r}\ (\mod.~g).
\]

Ist nun $P = q^{l} \dots r^{m}$ der zu $p^{k}$ komplementäre Divisor von
$g = p^{k}P$, so ist
\[
a^{(0)}_{p} = \alpha_{p}·P
\]
durch \DPtypo{$P$-teilbar}{$P$ teilbar}; denn aus der für die $p$-Komponente von $A$ nach \Eq{(2^{a})}
bestehenden Gleichung:
\[
A_{p} = a^{(0)}_{p} + a^{(1)}_{pg} + \dots = 0\ (P)
\]
folgt ja, wenn man sie als Kongruenz modulo~$P$ betrachtet, $a^{(0)}_{p}\equiv 0\ (\mod.~P)$.
\PageSep{110}{94}
Da ferner $a_{p}^{(0)} = \alpha_{p} P$ modulo $g = p^{k} P$ reduziert ist, so muß
$\alpha_{p}$ einen der Werte $0$,~$1$,~\dots~$(p^{k} - 1)$ besitzen. Sind entsprechend
$Q$,~\dots~$R$ die zu $q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Teiler von~$g$, so daß also:
\[
\Tag{(4)}
g = p^{k} P = q^{l} Q = \dots = r^{m} R
\]
ist, so zeigt man ebenso, daß die Anfangsglieder $a_{q}^{(0)}$,~\dots~$a_{r}^{(0)}$ bzw.\
durch $Q$,~\dots~$R$ teilbar sind. Die Kongruenz~\Eq{(3)} läßt sich also
folgendermaßen schreiben:
\[
\Tag{(5)}
a_{0} \equiv \alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R \ (\mod.~g),
\]
wo $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ganze Zahlen der Reihen
\[
0,\ 1,\ \dots\ (p^{k} - 1);\ \dots\quad
0,\ 1,\ \dots\ (r^{m} - 1)
\]
sein müssen. Je zwei in dieser Form dargestellte Zahlen sind nur
dann modulo~$g$ kongruent, wenn sie identisch sind. Denn wäre die
obige Zahl~$a_{0}$ kongruent einer anderen
\[
\bar{a}_{0} \equiv \bar{\alpha}_{p}P + \bar{\alpha}_{q}Q + \dots + \bar{\alpha}_{r}R \ (\mod.~g),
\]
so müßte ihre Differenz:
\[
a_{0} - \bar{a}_{0}
  \equiv (\alpha_{p} - \bar{\alpha}_{p})P + \dots
       + (\alpha_{r} - \bar{\alpha}_{r})R
  \equiv 0\ (\mod.~g),
\]
sein. Betrachtet man aber diese Kongruenz als eine solche für den
Modul~$p^{k}$ und beachtet dabei, daß derselbe in $Q$,~\dots~$R$ enthalten,
aber zu $P$ teilerfremd ist, so folgt aus ihr:
\[
\alpha_{p} \equiv \bar{\alpha}_{p}\ (\mod.~p^{k}),
\]
und diese Kongruenz ist, da jene beiden Koeffizienten modulo~$p^{k}$ reduziert
sind, nur dann erfüllt, wenn $\alpha_{p} = \bar{\alpha}_{p}$ ist. Da man genau ebenso
die Identität der übrigen Koeffizienten beweist, so ist die Richtigkeit
unseres Satzes dargetan.

Alle $g$-adischen Zahlen $A = a_{\alpha} g^{\alpha} + a_{\alpha+1} g^{\alpha+1} + \dots$, welche in
ihrer reduzierten Form mit der \Ordsup{$\alpha$}{-ten}~Potenz von $g$ beginnen, sind
also in der Form
\[
A = (\alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R) g^{\alpha} + \dots
\]
darstellbar, wo mindestens einer der Koeffizienten $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ nicht
\PageSep{111}{95}
Null ist. Für jede ganze $g$-adische Zahl $A = a_{0} + a_{1} g + \dots$ besteht
demnach eine Kongruenz
\[
\Tag{(5^{a})}
A \equiv \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R\ (\mod.~g).
\]

Ich will nun die ganzen \emph{$g$-adischen} Zahlen für den Modul~$g$ ebenso
in Kongruenzklassen einteilen, wie dies auf \Seite{40}~ff.\ für die modulo~$g$
ganzen \emph{rationalen} Zahlen geschah. Wir rechnen also in eine und dieselbe
Klasse alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen
\[
A = a + a'g + a''g^{2} + \dots,
\]
welche zueinander modulo~$g$ kongruent sind, die mithin in ihrer reduzierten
Darstellung dasselbe Anfangsglied $a$ besitzen. Ich bezeichne
diese Klasse durch~$C_{a}$, setze aber ebenso wie \aaO\ gleich fest, daß
statt des Index~$a$ auch jede zu $a$ kongruente Zahl $\bar{a} = a + gt$ genommen
werden darf, so daß also $C_{a} = C_{a±g} = C_{a±2g} = \dots$ ist.
Dann zerfallen also alle ganzen Zahlen~$A$ modulo~$g$ in genau $g$ Klassen:
\[
\Tag{(6)}
C_{0},\ C_{1},\ \dots\ C_{g-1}.
\]

Wir betrachten diese Klassen als die Elemente eines Systemes
$S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definieren für sie wieder die Operationen
der Addition, Subtraktion und Multiplikation eindeutig auf die folgende
Weise:

Durchlaufen $A$ und $B$ alle Zahlen der beiden Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$,
so ist für sie alle:
\[
\Tag{(7)}
A \equiv a,\quad
B \equiv b \ (\mod.~g).
\]
Dann folgt, daß ihre Summen, ihre Differenzen und ihre Produkte alle
bzw.\ den drei eindeutig bestimmten Klassen
\[
C_{a+b},\quad
C_{a-b},\quad
C_{ab}
\]
angehören, da aus \Eq{(7)} die Kongruenzen:
\[
A ± B \equiv a ± b,\quad
AB \equiv ab \ (\mod.~g)
\]
folgen. Aus diesem Grunde definieren wir die Summe, die Differenz
und das Produkt zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ durch die Gleichungen:
\[
\Tag{(8)}
C_{a} + C_{b} = C_{a+b},\quad
C_{a} - C_{b} = C_{a-b},\quad
C_{a} C_{b} = C_{ab}.
\]
\PageSep{112}{96}
Bei dieser Erklärung der elementaren Rechenoperationen für jene
Klassen sieht man, daß das System $S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ dieser
$g$~Zahlklassen einen Ring bildet, da in ihm die Addition, die Subtraktion
und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist.

Alle Zahlen einer und derselben Klasse~$C_{a}$ sind in der Form:
\[
A = a + gN
\]
enthalten, wo $N$ jede ganze $g$-adische Zahl bedeutet. Unter ihnen sind
auch alle ganzen \so{rationalen} Zahlen enthalten, welche modulo~$g$
zu $a$ kongruent sind; beschränkt man sich also auf den Bereich dieser
Zahlen, so fällt diese Klasseneinteilung mit der auf \Seite{42} gegebenen
vollständig zusammen. Alle \emph{rationalen} Zahlen einer und derselben
Klasse~$C_{a}$ besitzen einen größten gemeinsamen Teiler~$d_{a}$. Dieser
\index{Teiler!e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$}%
muß also ein gemeinsamer Teiler der beiden in $C_{a}$ vorkommenden
rationalen Zahlen $a$~und~$a + g$ sein, also ist $d_{a}$ sicher ein Teiler von
$(a, a + g) = (a, g)$. Da aber jede Zahl $a + gn$ durch $(a, g)$ teilbar
ist, so ist $d_{a} = (a, g)$ selbst. Diese Zahl~$d_{a}$ soll \so{der Teiler
der Klasse~$C_{a}$} genannt werden.

Ist
\[
a \equiv a_{p} P + a_{q} Q + \dots + a_{r} R \ (\mod.~g)
\]
die Darstellung von $a$ in der Form~\Eq{(5)} modulo~$g$, so ist
\[
d_{a} = (a, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}},
\]
wenn $p^{k_{0}}$,~$q^{l_{0}}$,~\dots~$r^{m_{0}}$ die höchsten Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind,
welche bzw.\ in $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ enthalten sind; offenbar ist dann nämlich~$a$
\zB\ genau durch $p^{k_{0}}$ teilbar.

Ist speziell $d_{a} = (a, g) = 1$, also jede rationale Zahl von $C_{a}$ zu $g$
teilerfremd, so soll $C_{a}$ \so{eine Einheitsklasse}, jede Zahl~$A$ von
\index{Einheitsklassen modulo~$g$}%
$C_{a}$ \so{eine Einheit modulo~$g$} genannt werden. Aus der soeben
\index{Einheit modulo~$g$}%
durchgeführten Betrachtung für einen beliebigen Divisor~$d_{a}$
ergibt sich also für $d = 1$ der Satz:
\begin{Theorem}
Eine Zahl
\[
e \equiv \epsilon_{p}P + \epsilon_{q}Q + \dots + \epsilon_{r}R\ (\mod.~g)
\]
\PageSep{113}{97}
ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$g$ oder also zu $g$ teilerfremd,
wenn keine der Zahlen $\epsilon_{p}$,~$\epsilon_{q}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ durch die ihr zugeordnete
Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist, wenn also $\epsilon_{p}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ bzw.\ zu
$p$,~\dots~$r$ teilerfremd sind.
\end{Theorem}

Nach dem Vorgange von \so{Gauss} (Disq.\ Arithm.\ art.~38) bezeichnen
\index{Gausssche Funktion~$\phi(g)$}%
wir die Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ oder, was dasselbe ist,
die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten zu $g$ teilerfremden ganzen
Zahlen durch~$\phi(g)$. Nach den soeben abgeleiteten Resultaten ist es
leicht, diese Anzahl für ein beliebiges $g$ zu finden.

Ist zunächst speziell $g = p^{k}$ eine beliebige Primzahlpotenz, so ist
$P = 1$, und eine modulo $g = p^{k}$ reduzierte ganze Zahl:
\[
a_{0} = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad
(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1)
\]
ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$p^{k}$, wenn sie nicht durch
$p$ teilbar, wenn also $a^{(0)}$ nicht Null ist. Da nun alle durch $p$ teilbaren
Zahlen dieser Reihe in der Form
\[
a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad
(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1)
\]
enthalten sind, ihre Anzahl also offenbar gleich $p^{k-1}$ ist, so ergibt
sich die Anzahl aller inkongruenten Einheiten modulo~$p^{k}$
\[
\Tag{(9)}
\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k} \left(1 - \frac{1}{p}\right).
\]

Ist nun allgemein wie vorher $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ eine beliebig zusammengesetzte
Zahl, so ist nach dem oben Bewiesenen:
\[
e = \epsilon_{p} P + \epsilon_{q} Q + \dots + \epsilon_{r} R
\]
dann und nur dann eine der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten,
wenn $\epsilon_{p}$ eine der $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, $\epsilon_{q}$~eine
der $\phi(q^{b})$ modulo~$q^{b}$ inkongruenten Einheiten ist usw. Somit ergibt
sich für die gesuchte Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ die einfache
Gleichung:
\begin{gather*}
\Tag{(9^{a})}
\phi(g) = \phi(p^{k}) \phi(q^{l}) \dots \phi(r^{m}) \\
  = p^{k} q^{l} \dots r^{m}
    \left(1 - \frac{1}{p}\right)
    \left(1 - \frac{1}{q}\right) \DPtypo{-}{\dots}
    \left(1 - \frac{1}{r}\right)
  = g \prod \left(1 - \frac{1}{p}\right),
\end{gather*}
\PageSep{114}{98}
wo das Produkt auf alle in $g$ enthaltenen verschiedenen Primfaktoren
zu erstrecken ist. Aus dieser Gleichung kann sofort der weitere Satz
abgelesen werden:
\begin{Theorem}
Ist $g = g_{1} g_{2}$ irgendeine Zerlegung von $g$ in zwei \emph{teilerfremde}
Faktoren, so ist stets:
\[
\Tag{(9^{b})}
\phi(g) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}).
\]
\end{Theorem}

Hiernach ist es sehr leicht, für die ersten ganzen Zahlen~$g$ die Anzahlen~$\phi(g)$
zu berechnen. So ist~\zB:
\[
\Tag{(10)}
\begin{aligned}
\phi(1) = 1,\quad \phi(2) &= 1,\quad \phi(3) = 2,\quad \phi(4) = 2,\quad \phi(5) = 4, \\
                  \phi(6) &= \phi(2) \phi(3) = 2, \\
\phi(7) = 6,\quad \phi(8) &= 4,\quad \phi(9) = 6,\quad \phi(10) = 4,\quad \phi(11) = 10, \\
                 \phi(12) &= \phi(3) \phi(4) = 4.
\end{aligned}
\]

Die Anzahl~$\phi(g)$ aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist stets
gerade, sobald $g > 2$ ist; denn zu jeder Einheit~$e$ gehört eine andere
Einheit~$-e$, und es ist allein dann $e \equiv -e\ (\mod.~g)$ wenn~$2e$, also
auch $2$ durch $g$ teilbar, wenn also $g$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist.

Ganz ebenso einfach kann man jetzt die allgemeinere Frage entscheiden,
wie groß die Anzahl der Kongruenzklassen modulo~$g$ ist,
welche genau den Divisor~$d$ enthalten, wo
\[
d = p^{k_{0}} \DPtypo{p}{q}^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}
\]
ein beliebiger Teiler von $g$ ist. Eine Zahl $A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}a_{2} \dots$ besitzt nämlich
genau den Teiler~$d$ mit~$g$, wenn in ihrem Anfangsgliede:
\[
a_{0} = \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R
\]
$\alpha_{p}$~genau durch~$p^{k_{0}}$, $\alpha_{q}$~genau durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ teilbar ist. Es muß also~\zB:
\[
\alpha_{p} = p^{k_{0}} (\alpha_{0} + \alpha_{1}p + \dots + \alpha_{k-k_{0}-1} p^{k-k_{0}-1})
\]
sein, wo $\alpha_{0} > 0$ ist, während $\alpha_{1}$,~\dots~$\alpha_{k-k_{0}-1}$ beliebige Zahlen der Reihe
$0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein können. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten
Zahlen dieser Art bestimmt sich also genau wie in~\Eq{(9)} auf der vorigen
Seite gleich:
\[
\phi(p^{k-k_{0}}) = p^{k-k_{0}} - p^{k-k_{0}-1}.
\]
\PageSep{115}{99}
Also ist die Anzahl aller zum Divisor~$d_{0}$ gehörigen Klassen oder die
Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Zahlen, welche mit $g$ den größten
gemeinsamen Teiler~$d$ haben, gleich:
\[
\Tag{(11)}
\phi(p^{k-k_{0}}) \phi(q^{l-l_{0}}) \dots \phi(r^{m-m_{0}}) = \phi(\delta)
\]
wenn
\[
\Tag{(11^{a})}
\delta = p^{k-k_{0}} q^{l-l_{0}} \dots r^{m-m_{0}}
\]
der zu $d = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}$ komplementäre Teiler von $g = d\delta$ ist.

\begin{Theorem}
Die Anzahl aller Kongruenzklassen, welche einen bestimmten
Teiler~$d$ von $g = d\delta$ besitzen, ist also stets gleich~$\phi(\delta)$.
\end{Theorem}

Da nun jede der $g$ Kongruenzklassen $C_{0}$,~$C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ einen der Teiler~$d$
von $g$ besitzt, so muß die Summe der Anzahlen~$\phi(\delta)$ erstreckt über
alle Teiler~$d$ oder, was dasselbe ist, erstreckt über alle Teiler~$\delta$ von $g$
gleich $g$ sein. Es ergibt sich also der Satz:
\begin{Theorem}
Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, so ist
\[
\Tag{(12)}
\sum_{\delta/g} \phi(\delta) = g,
\]
wenn die Summe über alle Teiler von $g$ einschließlich $1$ und $g$
erstreckt wird.
\end{Theorem}

%[** TN: Theorem indentation in the original]
So ist \zB\ nach der Tabelle~\Eq{(10)}:
\begin{align*}
 9 &= \phi(1) + \phi(3) + \phi(9) = 1 + 2 + 6 \\
12 &= \phi(1) + \phi(2) + \phi(3) + \phi(4) + \phi(6) + \phi(12) \\
   &= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4.
\end{align*}


\Section{§ 6.}{Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche
Satz für endliche Gruppen.}

Ich betrachte jetzt genauer die $g$-adischen Einheiten und die aus
ihnen gebildeten Einheitsklassen. Sind
\[
E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad
E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots
\]
zwei beliebige Einheiten, deren Anfangsglieder $e_{0}$~und~$e'_{0}$ also zu $g$
teilerfremd sind, so ist ihr Produkt
\[
EE' = e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots
\]
\PageSep{116}{100}
offenbar wieder eine Einheit. Sind also $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ die beiden zugehörigen
Einheitsklassen, so ist ihr Produkt $C_{e_{0}} C_{e'_{0}} = C_{e_{0}e'_{0}}$ wieder
eine solche:
\begin{Theorem}
Das Produkt beliebig vieler Einheitsklassen ist also wieder
eine Einheitsklasse. Die $\phi(g)$ Einheitsklassen bilden demnach
einen Bereich, in dem die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig
ausführbar ist.
\end{Theorem}

Ich zeige jetzt weiter, daß auch die Division durch eine Einheit~$E$
im Ringe~$R(g)$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist, daß nämlich
die Gleichung:
\[
\Tag{(1)}
EY = B
\]
stets eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, wenn $E$~eine Einheit,
$B$~eine beliebige Zahl bedeutet. Diese Lösung soll dann durch $Y = \dfrac{B}{E}$
bezeichnet und der \so{Quotient von $B$~und~$E$} genannt werden.
\index{Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$}%
Dazu beweise ich den folgenden speziellen Satz:
\begin{Theorem}
Ist $E$ eine beliebige Einheit, so gibt es stets eine einzige Zahl~$X$,
welche der Gleichung
\[
\Tag{(2)}
EX = 1
\]
genügt; diese Zahl~$X$ soll dann durch $E^{-1}$ oder durch $\dfrac{1}{E}$
bezeichnet und \so{die zu $E$ reziproke Zahl} genannt
\index{Reziproke Einheit}%
werden.
\end{Theorem}

Daß zunächst \emph{eine} Lösung $X = x_{0} + x_{1}g + \dots$ dieser Gleichung
existiert, erkennt man leicht: Die Gleichung:
\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the orignal]
\Tag{(2^{a})}
EX &= e_{0}x_{0} + (e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1})g
   + (e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}\DPtypo{x_{1}}{x_{2}})\DPtypo{g}{g^{2}} + \dots \\
   &= 1 + 0·g + 0·g^{2} + \dots
\end{align*}
wird nämlich sicher erfüllt, wenn $x_{0}$,~$x_{1}$,~\dots\ so gewählt werden, daß
sie die Gleichungen:
\[
\Tag{(2^{b})}
\begin{alignedat}{2}
&e_{0}x_{0}                           &&= 1 \\
&e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1}              &&= 0 \\
&e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}x_{2} &&= 0 \\
\DotRow{4}
\end{alignedat}
\]
\PageSep{117}{101}
befriedigen. Aus ihnen bestimmen sich diese Zahlen $x_{0}$,~$x_{1}$,~$x_{2}$~\dots\ sukzessive
folgendermaßen:
\[
\Tag{(2^{c})}
x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad
x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad
x_{2} =  \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}},\ \dots,
\]
oder übersichtlicher mit Benutzung der Determinanten:
\[
\Tag{(2^{d})}
x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad
x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad
x_{2} = +\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}\\e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{3}},\quad
x_{3} = -\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}&0\\
                              e_{2}&e_{1}&e_{0}\\
                              e_{3}&e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{4}},\ \dots\DPtypo{}{.}
\]

Alle Koeffizienten stellen sich also als Brüche dar, deren Zähler
ganze ganzzahlige Funktionen der~$e_{i}$, also gewöhnliche ganze Zahlen
sind, während die Nenner Potenzen der Zahl~$e_{0}$ sind, welche selbst eine
Einheit modulo~$g$ ist. Mithin sind alle $x_{i}$ modulo~$g$ ganze Zahlen, also
ist die zugehörige Zahl
\[
\Tag{(3)}
X = \frac{1}{E} = E^{-1}
  = \frac{1}{e_{0}} - \frac{e_{1}}{e_{0}^{2}} g
  + \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}} g^{2} + \dots
\]
eine \emph{ganze} $g$-adische Zahl. Sie ist auch eine Einheit, da ihr
Anfangsglied $\dfrac{1}{e_{0}}$ ebenso wie $e_{0}$ eine Einheit modulo~$g$ ist.

Außer dieser Zahl besitzt die Gleichung $EX = 1$ keine andere
Lösung~$X'$; denn aus der Gleichung:
\[
EX' = 1
\]
folgt ja durch Multiplikation mit der soeben bestimmten Zahl~$X$:
\[
(EX)X' = 1·X' = X.
\]

Endlich erkennt man ebenso, daß sich aus~\Eq{(1)} für $Y$ der eindeutig
bestimmte Wert:
\[
\Tag{(4)}
Y = BX = B·E^{-1} = \frac{B}{E}
\]
ergibt. Ist speziell auch $B = E' = e'_{0} + e'_{1} g + \dots$ eine Einheit, so
ist auch $\dfrac{E'}{E} = E'·\dfrac{1}{E} = \dfrac{e'_{0}}{e_{0}} + \dots$ eine Einheit, weil ihr Anfangsglied
$\dfrac{e'_{0} }{ e_{0}}$ zu $g$ teilerfremd ist.
\PageSep{118}{102}

\begin{Theorem}
Der Quotient zweier Einheiten ist also stets wieder eine
Einheit.
\end{Theorem}

Man erkennt so, daß im Gebiete der $g$-adischen Zahlen auch die
Division durch Einheiten unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist.
Wir werden später sehen, daß man nicht durch jede $g$-adische Zahl~$A$
unbeschränkt dividieren kann. Hier werde nur noch erwähnt, daß
man auch durch eine Zahl $A = g^{\alpha} E$ eindeutig dividieren kann, wenn
$\alpha$~eine positive oder negative ganze Zahl und $E$~eine Einheit ist, denn
die Gleichung:
\[
AX = B
\]
hat dann die offenbar eindeutig bestimmte Lösung $X = B\dfrac{1}{A}$, wo
$\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{g^{\alpha}}·\dfrac{1}{E}$, und $\dfrac{1}{E}$ die in~\Eq{(3)} angegebene $g$-adische Einheit ist.

Ich übertrage jetzt die soeben für die Einheiten gefundenen Resultate
auf die zugehörigen Einheitsklassen. Sind $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ zwei
beliebige Einheitsklassen und
\[
E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad
E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots
\]
zwei Einheiten derselben, so gehört ihr Produkt und ihr Quotient:
\begin{align*}
EE' &= e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots \\
\frac{E'}{E} &= \frac{e'_{0}}{e_{0}}
  + \frac{e'_{1}e_{0} - e'_{0}e_{1}}{e_{0}^{2}}g + \dots
\end{align*}
bzw.\ zu den beiden eindeutig bestimmten Einheitsklassen:
\[
C_{e_{0}e'_{0}} \quad\text{und}\quad C_{\efrac{e'_{0}}{e_{0}}}.
\]
Dann sind also für die $\phi(g)$ Einheitsklassen die Rechenoperationen
der Multiplikation und der Division durch die Gleichungen:
\[
C_{e}C_{e'} = C_{ee'} \quad\text{und}\quad
\frac{C_{e'}}{C_{e}} = C_{\efrac{e'}{e}}
\]
definiert, und man erkennt die Richtigkeit des Satzes:
\begin{Theorem}
Die $\phi(g)$ Einheitsklassen~$C_{e}$ bilden bei der oben gegebenen
Definition der Multiplikation und der Division eine endliche
Gruppe oder einen endlichen Strahl, da in ihrem Gebiete die Multiplikation
\PageSep{119}{103}
und die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar
ist.
\end{Theorem}

Diese Gruppe muß wie jede Gruppe ein Einheitselement enthalten;
dieses ist offenbar die Klasse~$C_{1}$, welche aus allen Einheiten
\[
1\MathOrd{,}\,e_{1}\,e_{2} \dots = 1 + e_{1}g + e_{2}g + \dots
\]
besteht, deren Anfangsglied in der reduzierten Form gleich Eins ist.
Jede solche Einheit soll \so{eine Haupteinheit modulo~$g$}
\index{Haupteinheit modulo~$g$}%
genannt werden; die Klasse~$C_{1}$ der Haupteinheiten nennen wir kürzer
\so{die Hauptklasse} und wollen sie, wenn wir mit den Einheitsklassen
\index{Hauptklasse modulo~$g$}%
rechnen, mitunter auch kurz durch $1$ bezeichnen.

Für \emph{jede} endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz,
welcher \so{der kleine Fermatsche Satz} genannt zu werden
pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von \Name{Fermat} bewiesen
\index{Fermatscher Satz (kleiner)}%
worden ist.

\begin{Theorem}
Ist
\[
G = (1, E_{1}, E_{2}, \dots E_{\nu-1})
\]
eine endliche Gruppe von $\nu$ Elementen (in der also Multiplikation
und Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind), so
besteht für jedes ihrer Elemente die Gleichung:
\[
\Tag{(5)}
E^{\nu} = 1,
\]
wenn $1$ das Einheitselement von $G$ bedeutet.
\end{Theorem}

Bildet man nämlich die $\nu$~Produkte:
\[
\Tag{(6)}
E·1,\
EE_{1},\
EE_{2},\ \dots\
EE_{\nu-1},
\]
so sind sie zunächst wieder sämtlich Elemente von~$G$, ferner sind sie
wegen der Eindeutigkeit der Division alle voneinander verschieden,
da aus $EE_{i} = EE_{k}$ durch Division mit $E$ notwendig $E_{i} = E_{k}$ folgt.
Daher sind diese Produkte, abgesehen von ihrer Reihenfolge, mit den
$\nu$~Elementen $1$,~$E_{1}$,~\dots~$E_{\nu-1}$ von $G$ identisch. Also sind die beiden
Produkte:
\[
(E·1)(EE_{1}) \dots (EE_{\nu-1}) = E^{\nu} (1\,E_{1} \dots E_{\nu-1})
\]
\PageSep{120}{104}
und $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ einander gleich, und aus der so sich ergebenden
Gleichung:
\[
E^{\nu} (1·E_{1} \dots E_{\nu-1}) = (1·E_{1} \dots E_{\nu-1})
\]
folgt durch Division mit $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ wirklich
\[
E^{\nu} = 1.
\]

Verstehen wir jetzt unter $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, speziell die Gruppe
der Einheitsklassen, für welche also $\nu = \phi(g)$ ist, so lehrt der soeben
bewiesene Fermatsche Satz, daß die \Ordsup{$\phi(g)$}{-te}~Potenz jeder Einheitsklasse
gleich der Hauptklasse ist. Überträgt man diese Aussage von den
Klassen auf ihre Elemente, so ist ihr Inhalt folgender: Das Produkt
von irgendwelchen $\nu$~Zahlen einer und derselben Einheitsklasse~$C_{e}$,
insbesondere also auch die \Ordsup{$\nu$}{-te}~Potenz jeder beliebigen Einheit
$E = e\MathOrd{,}e_{1} e_{2} \dots$ ist stets eine Haupteinheit $1$,~$e'_{1}$,~$e'_{2}$~\dots\DPtypo{}{.} Betrachtet man
diese Beziehung als eine Kongruenz modulo~$g$, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, $\phi(g)$~die Anzahl aller modulo~$g$
inkongruenten Zahlen, welche zu $g$ teilerfremd sind, und ist $e$
irgendeine dieser Zahlen, so besteht immer die Kongruenz:
\[
\Tag{(7)}
e^{\phi(g)} \equiv 1 \ (\mod.~g).
\]
\end{Theorem}

Ist speziell $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so ist $\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1}$,
so daß hier für jede durch $p$ nicht teilbare Zahl stets die Kongruenz:
\[
\Tag{(8)}
e^{p^{k} - p^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~p^{k})
\]
erfüllt ist. Insbesondere ist also für $k = 1$
\[
\Tag{(8^{a})}
e^{p-1} \equiv 1 \ (\mod.~p);
\]
dies ist der zuerst von Fermat bewiesene Satz.

Für den Modul $9 = 3^{2}$ ist \zB\ $\phi(9) = 6$, und die sechs Zahlen
$(1, 2, 4, 5, 7, 8)$ bilden ein vollständiges System aller modulo~$9$ inkongruenten
Einheiten; wirklich ist hier, wie man sich durch Ausrechnung
(wobei Vielfache von $9$ immer fortgelassen werden können)
leicht überzeugt:
\[
1^{6} \equiv 2^{6} \equiv 4^{6} \equiv 5^{6} \equiv 7^{6} \equiv 8^{6} \equiv 1 \ (\mod.~9).
\]
\PageSep{121}{105}

Ich beweise jetzt einen zweiten Fundamentalsatz für endliche
Gruppen $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, welcher in der ganzen Zahlentheorie
immer wieder zur Anwendung kommt.

Ist $E$ irgend ein Element einer endlichen Gruppe~$G$ von $\nu$~Elementen,
so bilden, wie bereits \aSeite{12} erwähnt wurde, alle Potenzen
\[
(\dots E^{r} \dots) = (\dots E^{-2}, E^{-1}, 1, E, E^{2}, \dots)
\]
von $E$, bei denen allgemein $E^{-r}$ das zu $E^{r}$ reziproke Element bedeutet,
\index{Exponent eines Elementes in einer Gruppe}%
für sich eine Untergruppe von~$G$, welche \aaO\ die zu $E$ gehörige
Untergruppe von $G$ genannt wurde. Da somit auch diese Gruppe
endlich ist, so müssen in der unendlichen Reihe dieser Potenzen von
$E$ gewisse einander gleich sein. Es seien in dieser Gruppe~$E^{r}$ und
$E^{r+d}$ die beiden ersten Elemente mit nicht negativen Exponenten,
welche einander gleich sind; dann muß $r = \DPtypo{o}{0}$ sein, da anderenfalls aus
der Gleichung $E^{r} = E^{r+d}$ sofort $1 = E^{d}$ folgen würde. Ist $E^{d}$ die
kleinste positive Potenz von~$E$, welche gleich Eins ist, so sagen wir
$E$ \so{gehört zum Exponenten~$d$}; alsdann sind die Elemente
\[
1,\ E,\ E^{2},\ \dots\ E^{d-1}
\]
alle voneinander verschieden. Ist dagegen $k' = k + rd$ irgendeine
positive Zahl, welche größer oder gleich $d$ ist, so folgt aus der Gleichung:
\[
E^{k'} = E^{k+rd} = E^{k}(E^{d})^{r} = E^{k},
\]
daß $E^{k'}$ derjenigen Potenz~$E^{k}$ in jener Reihe gleich ist, deren Exponent
kongruent~$k'$ modulo~$d$ ist. Endlich folgt aus der Gleichung
$E^{k}E^{d-k} = 1$, welche für jedes $k \leqq d$ besteht, daß allgemein
\[
E^{-k} = E^{d-k}
\]
ist, daß also die Reihe $(E^{-d}, E^{-(d-1)}, \dots E^{-1})$ der $d$ ersten negativen
Potenzen mit der Reihe $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ übereinstimmt. Aus diesen
beiden Betrachtungen zusammengenommen folgt also, daß die ganze
zu $E$ gehörige Untergruppe $(\dots E^{r} \dots)$ aller positiven und negativen
Potenzen von $E$ aus der sich immer wiederholenden Periode
\[
(\dots 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, \dots)
\]
der $d$ voneinander verschiedenen Potenzen von $E$ besteht. Zwei
Potenzen $E^{k}$~und~$E^{k'}$ mit positiven oder negativen Exponenten sind
\PageSep{122}{106}
einander stets und nur dann gleich, wenn ihre Exponenten modulo~$d$
kongruent sind. Speziell sind allein die Potenzen von $E$ gleich Eins,
deren Exponent ein Multiplum von $d$ ist. Da nun nach dem Fermatschen
Satze $E^{\nu} = 1$ ist, so ist auch $\nu$ ein Vielfaches von~$d$.
Somit ergibt sich der folgende wichtige Satz:
\begin{Theorem}
Jedes Element einer endlichen Gruppe \Ordsup{$\nu$}{-ter}~Ordnung gehört
zu einem Exponenten~$d$, welcher ein Teiler von $\nu$ ist.
\end{Theorem}
So gehören \zB\ für den Modul~$9$ von den $\phi(9) = 6$ inkongruenten
Einheiten $(1, 2, 4, 5, 7, 8)$\; $1$~zum Exponenten~$1$, $8 \equiv -1$, zu $2$,~$7$
und~$4$ zum Exponenten~$3$, und $2$~und~$5$ zu~$6$. Ebenso gehören von
den $\phi(20) = 8$ Einheiten $(±1, ±3, ±7, ±9)$ drei, nämlich $±9$~und~$-1$
zum Exponenten~$2$, und $4$, nämlich $±3$,~$±7$, zum Exponenten~$4$.

%[** TN: Extra vertical space in the original]
Durch die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der additiven und
der multiplikativen Normalform wird die Ausführung der elementaren
Rechenoperationen im Ringe~$R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen
Zahlen vollständig und eindeutig reduziert auf die Ausführung derselben
Operationen in den Ringen $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$, deren Grundzahlen
alle diejenigen verschiedenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind, welche
in $g$ enthalten sind.

Daher wollen wir uns in den nächsten Kapiteln zunächst mit der
genauen Untersuchung der $p$-adischen Zahlen beschäftigen, deren
Grundzahl~$p$ eine beliebige Primzahl ist, und nachher die hier gefundenen
Resultate auf die $g$-adischen Zahlen ausdehnen.
\PageSep{123}{107}


\Chapter{Sechstes Kapitel.}
{Der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen,
deren Grundzahl eine beliebige
Primzahl~ist.}

\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Körper~$K(p)$
der $p$-adischen Zahlen.}

Es sei jetzt $p$ eine beliebige Primzahl; wir betrachten den Bereich
\index{Korpor@{Körper}!Kp@{$K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen}}%
aller $p$-adischen Zahlen
\[
A = a_{\alpha}p^{\alpha} + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} + \dots \ (p),
\]
deren Koeffizienten modulo~$p$ ganze rationale oder auch ganze $p$-adische
Zahlen sein können. Wir setzen, falls $A \neq 0$ ist, diese Darstellung
bereits so umgeformt voraus, daß der Anfangskoeffizient~$a_{\alpha}$ durch $p$
nicht teilbar ist. Jeder solchen Zahl~$A$ ordnen wir dann eine \so{Ordnungszahl}
\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$p$}%
zu, nämlich den Exponenten~$\alpha$ ihres Anfangsgliedes.
Der einen Zahl
\[
0 = 0 + 0·p + 0·p^{2} + \dots
\]
müssen wir konsequenterweise die Ordnungszahl $\alpha = +\infty$ zuordnen.
Dann besitzt jede Zahl~$A$ eine eindeutig bestimmte positive, verschwindende
oder negative Ordnungszahl~$\alpha$, und umgekehrt gehören zu jeder
gewöhnlichen ganzen Zahl~$\alpha$, die auch gleich $+\infty$ sein kann, $p$-adische
Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl haben. Dagegen enthält
$R(p)$ keine Zahl, welche die Ordnungszahl~$-\infty$ hat, da jede Zahl~$A$
höchstens mit einer \emph{endlichen} Anzahl negativer Potenzen von $p$
beginnt.
\PageSep{124}{108}

Wir nennen $A$~eine \so{ganze} oder eine \so{gebrochene $p$-adische
Zahl}, je nachdem ihre Ordnungszahl~$\alpha$ nicht negativ oder
\index{p-adischen@{$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene}}%
negativ ist. Ist $A$ speziell die $p$-adische Entwicklung einer rationalen
Zahl, so ist sie nach dieser Definition ganz oder gebrochen, je nachdem
die zugehörige rationale Zahl modulo~$p$ ganz oder gebrochen ist.

Nach der auf \Seite{96} unten gegebenen Definition ist eine ganze
$p$-adische Zahl $E = e_{0} + e_{1}p + \dots$ eine Einheit, wenn $(e_{0}, p) = 1$,
wenn also $e_{0}$ nicht durch $p$ teilbar ist; es gilt also der Satz:
\begin{Theorem}
Eine Zahl
\[
E = e_{0} + e_{0} + e_{1} p + e_{2} p^{2} + \dots
\]
ist stets und nur dann eine Einheit, wenn ihre Ordnungszahl
Null ist.
\end{Theorem}

Jede ganze oder gebrochene Zahl außer Null läßt sich auf eine
einzige Weise in der Form
\[
A = p^{\alpha}(a_{\alpha} + a_{\alpha+1}p + \dots) = p^{\alpha} E
\]
darstellen, wo $E$~eine Einheit und $\alpha$~die Ordnungszahl von $A$ ist. Diese
höchste in $A$ enthaltene Potenz~$p^{\alpha}$ von $p$ soll der \so{absolute Betrag
von~$A$} genannt und durch
\index{Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl}%
\[
|A| = p^{\alpha}
\]
bezeichnet werden.

Im vorigen Kapitel ist bereits bewiesen worden, daß der Bereich
$R(g)$ aller $g$-adischen Zahlen einen Zahlenring bildet, da in ihm die
ersten sechs Grundgesetze des ersten Kapitels gelten, also speziell die
Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig
ausführbar sind. Ich zeige jetzt, daß, falls die Grundzahl eine
Primzahl~$p$ ist, allerdings auch nur unter dieser Voraussetzung, auch
das siebente Grundgesetz von der unbeschränkten und eindeutigen
Division erfüllt ist, daß also der Bereich $R(p)$ aller $p$-adischen Zahlen
einen Körper~$K(p)$ darstellt, in dem alle vier elementaren Rechenoperationen
unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ich beweise
also folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Ist $A$ eine von Null verschiedene, $B$~eine ganz beliebige
$p$-adische Zahl, so gibt es stets eine einzige $p$-adische Zahl~$X$,
für welche
\PageSep{125}{109}
\[
\Tag{(1)}
AX = B \ (p)
\]
ist. Diese Zahl~$X$ wird durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnet und \so{der Quotient
von $B$ und~$A$} genannt.
\index{Quotient!$p$-adischer Zahlen}%
\end{Theorem}

Die Richtigkeit dieses wichtigen Satzes folgt einfach aus der Tatsache,
daß im Bereiche $R(p)$ jede Zahl~$A$ in der Form~$p^{\alpha}E$ darstellbar
ist, wo $E$~eine $p$-adische Einheit bedeutet. Nach dem auf \Seite{102}
oben bewiesenen Satze besitzt nämlich dann die Gleichung~\Eq{(1)} die
eindeutig bestimmte Lösung:
\[
\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}}
X = \frac{B}{A} = p^{-\alpha}·B·E^{-1},
\]
wo $E^{-1}$ die zu $E$ reziproke Einheit bedeutet.

Damit ist also die Gültigkeit des siebenten Grundgesetzes vollständig
bewiesen. Da somit der Ring~$R(p)$ der $p$-adischen Zahlen
ein Körper ist, so wollen wir ihn von nun an stets durch $K(p)$ bezeichnen.

Die Division einer $p$-adischen Einheit $B = b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine
andere $A = a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2}\dots$, deren unbeschränkte und eindeutige Ausführbarkeit
wir soeben nachgewiesen haben, läßt sich praktisch genau
so ausführen, wie die eines Dezimalbruches durch einen andern; nur
muß auch hier genau wie bei der Ausführung der Multiplikation die
Operation bei den Anfangsgliedern $b_{0}$~und~$a_{0}$ begonnen und dann
sukzessive von links nach rechts fortgeführt werden. Um die Division
einer reduzierten Einheit $b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine andere $a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2} \dots$
durchzuführen, dividiere man also zunächst $b_{0}$ durch~$a_{0}$, \dh\ man
bestimme, am leichtesten durch Probieren, die reduzierte Zahl~$x_{0}$, für
welche $a_{0} x_{0} \equiv b_{0}\ (\mod.~p)$ ist, bilde dann die Differenz $B - Ax_{0}$,
oder ausgeführt
\[
\begin{array}{c@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}l}
 &     b_{0}, &      b_{1} &      b_{2} & \dots \\
-&x_{0}a_{0}, & x_{0}a_{1} & x_{0}a_{2} & \dots \\
\cline{2-5}\Strut
 &        0,  &     b_{1}' &     b_{2}' & \dots\rlap{,}
\end{array}
\]
und behandle diese Differenz dann genau in derselben Weise weiter.
So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 5$:
\PageSep{126}{110}
\[
%[** TN: Not duplicating widths of subtraction bars]
\begin{array}{l@{\,}*{6}{l}}
\multicolumn{7}{l}{%
  \rlap{$3\MathOrd{,}12 : 4\MathOrd{,}21
    = 2\MathOrd{,}\,\overline{4220}\,\overline{4220} \dots\ (5)$,}} \\
3\MathOrd{,} &0&3 \\
\cline{1-7}\Strut
             &1&4&4&4& \rlap{\,\dots} \\
             &1&1&1&1& \\
\cline{2-7}\Strut
             & &3&3&3&4&4 \rlap{\,\dots} \\
             & &3&0&3 \\
\cline{3-7}\Strut
             & & &3&0&4&4 \rlap{\,\dots} \\
             & & &3&0&3& \\
\cline{4-7}\Strut
             & & & &0&1&444 \rlap{\,\dots} \\
             & & & & &1&111 \\
\cline{6-7}\Strut
             & & & & & &33344 \rlap{\,\dots} \\
             & & & & & &\Z\Z\vdots
\end{array}
\]
und man sieht, wie beiläufig bemerkt werden mag, daß dieser Quotient
periodisch ist.

Sind
\[
E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\dots \quad\text{und}\quad
E' = e'_{0}\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots
\]
zwei beliebige Einheiten, so sind, wie auf \Seite{100} und 102 allgemein
bewiesen wurde, ihr Produkt und ihr Quotient
\begin{gather*}
EE' = e_{0}e'_{0} + p (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0}) + \dots \\
\frac{E}{E'} = \frac{e_{0}}{e'_{0}} + p\frac{e_{1}e'_{0} - e_{0}e'_{1}}{{e'_{0}}^{2}} + \dots
\end{gather*}
gleichfalls Einheiten. Hieraus folgt sofort der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Die Ordnungszahl eines Produktes ist gleich der Summe der
Ordnungszahlen seiner Faktoren; die Ordnungszahl eines Quotienten
ist die Differenz der Ordnungszahlen von Zähler und
Nenner.
\end{Theorem}

Denn aus den Gleichungen $A = p^{\alpha} E_{1}$, $B = p^{\beta} E_{2}$ folgt ja:
\[
AB = p^{\alpha+\beta} E_{1}E_{2},\quad
\frac{A}{B} = p^{\alpha-\beta} \frac{E_{1}}{E_{2}},
\]
und $E_{1} E_{2}$ sowohl als $\dfrac{E_{1}}{E_{2}}$ sind wieder Einheiten.
\PageSep{127}{111}

Als eine einfache Anwendung dieser Betrachtungen löse ich die
für die Folge wichtige Aufgabe, die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes:
\[
m! = 1·2\dots m
\]
der $m$ ersten Zahlen für den Bereich von $p$ zu bestimmen, wenn $m$
beliebig gegeben ist.

Hierzu führt wohl am einfachsten der folgende leicht zu beweisende
Satz:
\begin{Theorem}
Die Ordnungszahl~$\nu$ einer beliebigen ganzen rationalen Zahl~$n$
ist gleich
\[
\Tag{(2)}
\nu = \frac{s_{n-1} - s_{n} + 1}{p - 1},
\]
wenn allgemein $s_{r}$ die $p$-adische Ziffersumme der ganzen Zahl~$r$
bei ihrer Darstellung in der reduzierten Form bedeutet.
\end{Theorem}

Ist nämlich
\[
n = 0\MathOrd{,}0\,0\dots 0\,a_{\nu}\,a_{\nu+1} \dots a_{r}\ (p)
\]
die Darstellung dieser Zahl~$n$ in der reduzierten Form, so ist
\[
n - 1 = p{-}1\MathOrd{,}\ p{-}1 \dots p{-}1\ a_{\nu}{-}1\ a_{\nu+1} \dots a_{r} \ (p),
\]
und aus den beiden Ziffernsummen:
\begin{alignat*}{2}
&s_{n}   &&= a_{\nu} + a_{\nu+1} + \dots + a_{r} \\
&s_{n-1} &&= \nu(p - 1) + (a_{\nu} - 1) +  a_{\nu+1} + \dots + a_{r}
\end{alignat*}
folgt in der Tat durch Subtraktion die obige Gleichung für die Ordnungszahl~$\nu$,
welche auch für $n = 1$ gilt, da ja die Ziffernsumme~$s_{0}$
von Null gleich Null ist.

Aus dieser Formel folgt sofort für die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes
$1·2·3\dots m = m!$ die Gleichung:
\[
\Tag{(3)}
\mu_{m} = \frac{1}{p - 1} \sum_{n=1}^{m} (s_{n-1} - s_{n} + 1) = \frac{m - s_{m}}{p - 1}
\]
\dh\ es gilt der Satz:
\begin{Theorem}
Ist $m = a_{0}\MathOrd{,}a_{1} \dots a_{r}$ die Darstellung einer beliebigen gewöhnlichen
ganzen Zahl in der reduzierten Form, so ist das Produkt~$m!$
\PageSep{128}{112}
genau durch $p^{\efrac{m-s_{m}}{p-1}}$ teilbar, wenn $s_{m} = a_{0} + a_{1} + \dots +a_{r}$
die $p$-adische Ziffernsumme von~$m$ bedeutet.
\end{Theorem}


\Section{§ 2.}{Die Anordnung der $p$-adischen Zahlen nach ihrer Größe.}
\index{Größe!d.\ $p$-adischen Zahlen}%

Der im Anfang des vorigen Paragraphen eingeführte Begriff der
\index{Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe}%
Ordnungszahl der $p$-adischen Zahlen gibt uns die Möglichkeit, diese
Zahlen nach ihrer Größe für den Bereich von $p$ so einzuteilen, daß
viele Sätze über die Größenordnung der gewöhnlichen rationalen oder
irrationalen Zahlen auch für die $p$-adischen Zahlen gültig bleiben;
während sie aber dort \zT~schwierig zu beweisen sind, ist ihre Richtigkeit
für unsere $p$-adischen Zahlen meistens fast evident.

\begin{Theorem}
Von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ soll $\gamma$ für den Bereich von $p$
\so{kleiner} als $\delta$ heißen ($\gamma < \delta\ (p)$), wenn die Ordnungszahl von $\gamma$
größer als die von $\delta$ ist, wenn also \zB\ für den Fall, daß $\gamma$ und
$\delta$ ganz sind, für ihre $p$-adischen Darstellungen
\[
\gamma = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,c_{r}\,c_{r+1}\dots, \quad
\delta = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,d_{s}\,d_{s+1}\dots
\]
$r$ größer als $s$ ist, mithin $\gamma$ mehr Nullen hinter dem Komma hat
als~$\delta$. Die beiden Zahlen sollen für den Bereich von $p$ \so{äquivalent}
oder \so{von gleicher Größe} heißen ($\gamma \sim \delta\ (p)$),
wenn $r$ gleich $s$ ist, wenn sie also die gleiche Ordnungszahl haben.
\end{Theorem}

So ist \zB\
\[
36 < 12\ (3),\quad
6 \sim 15\ (3),
\]
weil $36 = 0\MathOrd{,}0\,1\,1\ (3)$ die Ordnungszahl~$2$ hat, während $12 = 0\MathOrd{,}1\,1\ (3)$
von der ersten Ordnung ist; $6$~und~$15$ sind aber beide von der ersten
Ordnung, also wirklich äquivalent.

Ist $\gamma \lesssim \delta$, so besteht eine Gleichung
\[
\gamma = \delta g,
\]
wo $g$ eine \emph{ganze} $p$-adische Zahl bedeutet, \dh\ allein unter dieser Voraussetzung
ist $\gamma$ durch $\delta$ teilbar. Eine Zahl~$\gamma$ ist also durch jede äquivalente
und durch jede größere Zahl teilbar, aber durch keine kleinere
Zahl.
\PageSep{129}{113}

Bekanntlich werden die gewöhnlichen komplexen Zahlen $a + bi$
vom gleichen absoluten Betrag $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ geometrisch als Punkte
eines und desselben um den Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem
Radius~$r$ beschriebenen Kreises in der komplexen Zahlenebene repräsentiert.
Ähnlich wollen wir, wenn es einmal im Interesse der Anschaulichkeit
erwünscht sein sollte, alle äquivalenten $p$-adischen Zahlen
$A$,~$A'$,~$A''$,~\dots, deren absoluter Betrag $|A| = p^{\alpha} = |A'| = |A''| = \dots$
derselbe ist, in irgendeiner Anordnung durch Punkte eines um den
Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem Radius $\dfrac{1}{p^{\alpha}} = \dfrac{1}{|A|}$ beschriebenen
Kreises repräsentieren, ohne daß jedoch hier auch umgekehrt jedem
Punkt dieses Kreises eine $p$-adische Zahl zu entsprechen braucht, wie
dies bei den komplexen Zahlen der Fall ist. Dann entsprechen also
allen $p$-adischen Zahlen der Ordnungszahlen \dots~$-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$,~\dots\
Punkte der konzentrischen Kreise mit den Radien \dots~$p^{2}$, $p$, $1$, $\dfrac{1}{p}$, $\dfrac{1}{p^{2}}$~\dots;
dem Anfangspunkt selbst entspricht die Zahl Null, deren Ordnung ja
gleich $+\infty$ ist, und von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ ist $\gamma$ die kleinere, wenn
der ihr zugeordnete Punkt näher am Nullpunkt liegt als der zu $\delta$
gehörige. Man könnte auch allen Zahlen mit derselben Ordnungszahl~$\alpha$
den einen Punkt~$P_{\alpha}$ zuordnen, welcher auf einer Achse die Abszisse
$p^{-\alpha}$ besitzt.

In der Theorie der algebraischen Zahlen muß der Bereich der
rationalen $p$-adischen Zahlen in der Weise erweitert werden, daß zu
ihnen auch solche Zahlen
\[
\alpha = a_{r} p^{\efrac{r}{n}} + a_{r+1} p^{\efrac{r+1}{n}} + \dots
\]
hinzutreten, welche nach gebrochenen Potenzen von $p$ mit modulo~$p$
ganzen Koeffizienten fortschreiten; eine solche Zahl~$\alpha$ besitzt, falls ihr
Anfangskoeffizient wieder als Einheit modulo~$p$ vorausgesetzt wird,
die gebrochene Ordnungszahl $d = \dfrac{r}{n}$. Auch in diesem allgemeinen Falle
können wir den Zahlen~$\alpha$ einer bestimmten gebrochenen Ordnungszahl~$d$
Peripheriepunkte des um den Nullpunkt mit dem Radius~$p^{-d}$
beschriebenen Kreises zuordnen. Die im folgenden ausgesprochenen
Sätze über die Größenverhältnisse der rationalen Zahlen gelten dann,
\PageSep{130}{114}
wie hier nur erwähnt werde, genau ebenso für diese algebraischen
Zahlen mit gebrochenen Ordnungszahlen.

Sind $\gamma_{1}$,~$\gamma_{2}$,~\dots~$\gamma_{\nu}$ sämtlich nicht größer als~$\delta$, sind also alle diese
Zahlen durch $\delta$ teilbar, so gilt offenbar dasselbe von ihrer Summe:
\[
\gamma_{1} + \gamma_{2} + \dots + \gamma_{\nu}.
\]
Ist also speziell $\gamma \lesssim \delta$, so ist auch für jede natürliche Zahl~$\nu$:
$\nu\gamma \lesssim \delta$, was auch an sich klar ist, da ja jede ganze Zahl $\nu \lesssim 1\ (p)$ ist.

Wir haben hier also eine Größenanordnung der $p$-adischen Zahlen,
welche insofern ganz wesentlich von der der gewöhnlichen Zahlen abweicht,
als das sog.\ \emph{Axiom des Messens} oder das \emph{Archimedische
Axiom} für sie nicht gilt, nach welchem ein genügend hohes
\index{Archimedisches Axiom}%
Multiplum~$\nu\gamma$ einer jeden, wenn auch noch so kleinen Zahl~$\gamma$ größer
ist als jede beliebig große vorgegebene Zahl. Um so merkwürdiger ist
es, daß bei dieser vollständig anderen Größenanordnung der $p$-adischen
Zahlen, wie wir zeigen werden, die Fundamentalsätze der Algebra,
der Reihentheorie, der Differentialrechnung und der Funktionentheorie
gültig bleiben, aber allerdings völlig andere Eigenschaften der untersuchten
Zahlen und Funktionen enthüllen.


\Section{§ 3.}{Grenzwerte von Reihen $p$-adischer Zahlen.}

Es sei
\[
\Tag{(1)}
s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots
\]
eine unendliche Reihe von gesetzmäßig gebildeten $p$-adischen Zahlen,
welche, soweit man will, berechnet werden können. Gibt es dann eine
$p$-adische Zahl~$s$ von der Beschaffenheit, daß, wie klein auch $\delta$ gewählt
werde, für ein genügend großes~$n$
\[
\Tag{(2)}
s - s_{\nu} < \delta\ (p)
\]
wird, sobald $\nu > n$ ist, so sagt man, die Reihe~\Eq{(1)} \so{besitzt den
Grenzwert~$s$}, oder sie \so{konvergiert gegen~$s$}, und man
\index{Grenzwert}%
\index{Konvergenz}%
drückt diese Beziehung durch die Gleichung
\[
\Tag{(3)}
\lim_{\nu=\infty} s_{\nu} = s\ (p)
\]
aus.
\PageSep{131}{115}

So konvergiert \zB\ die Reihe der $p$-adischen Zahlen:
\begin{align*}
&s_{1} = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1 \dots,\quad
 s_{2} = 1\MathOrd{,}2\,2\,2\,2 \dots,\quad
 s_{3} = 1\MathOrd{,}2\,3\,3\,3 \dots,\\
&s_{4} = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,4 \dots,\ \dots
\end{align*}
offenbar gegen die $p$-adische Zahl
\[
s = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,5\,6 \dots,
\]
weil
\[
s - s_{\nu} = 0\MathOrd{,}0\,0 \dots 1\,2\,3 \dots
  = p^{\nu} + 2p^{\nu+1} + \dots < p^{n}
\]
ist, sobald $\nu > n$ gewählt ist.

Ist ferner \zB\
\[
A = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots\ (p)
\]
eine beliebige $p$-adische Zahl, so konvergiert die Reihe ihrer Näherungswerte
\[
A^{(0)} = a_{0},\quad
A^{(1)} = a_{0} + a_{1} p,\quad
A^{(2)} = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2},\ \dots
\]
eben gegen die Grenze~$A$, weil für ein beliebig kleines $\delta = p^{n}$ alle Differenzen
\[
A - A^{(\nu)} = a_{\nu+1} p^{\nu+1} + a_{\nu+2} p^{\nu+2} + \dots
  < \delta = p^{n}
\]
sind, sobald $\nu \geqq n$ angenommen wird.

Besitzt eine Reihe~\Eq{(1)} den Grenzwert~$s$, so folgt für ein genügend
großes $n$ und ein beliebiges positives~$k$ aus den beiden Gleichungen:
\[
s - s_{r+k} < \delta,\quad
s - s_{\nu} < \delta\ (p),
\]
daß stets:
\[
\Tag{(4)}
s_{\nu+k} - s_{\nu} < \delta\ (p)
\]
sein muß, sobald nur $\nu$ größer als $n$ ist.

Speziell ergibt sich für $k = 1$, daß die Reihe~\Eq{(1)} nur dann einen
Grenzwert haben kann, wenn für ein beliebig kleines $\delta$ von einem
genügend hoch gewählten $n$ ab
\[
\Tag{(5)}
s_{\nu+1} - s_{\nu} < \delta\ (p)\quad (\nu > n)
\]
ist. Ist diese notwendige Bedingung erfüllt, so folgt weiter, daß dann
auch der allgemeinen Bedingung~\Eq{(4)} genügt wird, da ja dann für ein
beliebiges~$k$
\PageSep{132}{116}
\[
s_{\nu+k} - s_{\nu}
  = (s_{\nu+1} - s_{\nu})
  + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots
  + (s_{\nu+k} - s_{\nu+k-1}) < \delta
\]
ist.

Endlich ergibt sich jetzt leicht, daß die notwendige Bedingung~\Eq{(5)}
dafür, daß die Reihe~\Eq{(1)} einen Grenzwert hat, auch hinreichend ist.
Ist sie nämlich erfüllt, so stellt die Reihe
\[
s = s_{0} + (s_{1} - s_{0}) + (s_{2} - s_{1}) + \dots + (s_{\nu} - s_{\nu-1}) + \dots\ (p)
\]
eine $p$-adische Zahl dar, welche mit jeder vorgegebenen Genauigkeit
berechnet werden kann, weil ihre Glieder $(s_{\nu+1} - s_{\nu})$ für ein genügend
großes $\nu$ durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sind; und da
diese Reihe für jedes $\nu$ auch offenbar in der Form
\[
s = s_{\nu} + (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots\ (p)
\]
geschrieben werden kann, so folgt in der Tat, daß für diese Zahl~$s$
\[
s - s_{\nu} = (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots < \delta\ (p)
\]
ist, sobald $\nu$ größer als ein genügend großes $n$ gewählt wird.


\Section{§ 4.}{Die unendlichen Reihen mit $p$-adischen Gliedern
und das Kriterium für ihre Konvergenz.}

Die soeben durchgeführten Betrachtungen wende ich jetzt an auf die
Untersuchung der unendlichen Reihen von $p$-adischen Zahlen und
auf die Ableitung des einen Kriteriums, welches hier die Frage nach
ihrer Konvergenz vollständig und in wunderbar einfacher Weise löst.

Ich führe jetzt auch unendliche Reihen
\[
\Tag{(1)}
A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots
\]
in die Betrachtung ein, deren Glieder beliebige $p$-adische Zahlen sind,
und bezeichne die aus ihnen gebildeten endlichen Partialsummen:
\[
\Tag{(2)}
\begin{aligned}
s_{0} &= A_{0} \\
s_{1} &= A_{0} + A_{1} \\
\PadTo{s_{\nu}}{\vdots} & \\
s_{\nu} &= A_{0} + A_{1} + \dots + A_{\nu} \\
\DotRow{2}
\end{aligned}
\]
\PageSep{133}{117}
als \so{den nullten}, \so{ersten},~\dots\ \Ordsup{$\nu$}{-ten},~\dots\ \so{Näherungswert
jener Reihe}. Vorausgesetzt nun, daß die Reihe
\[
s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots
\]
dieser Näherungswerte gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert
\index{Näherungswerte unendlicher Reihen}%
so soll dieser \so{die Summe der Reihe} genannt, und diese
\index{Summe!e.\ $p$-adischen Reihe}%
als \so{eine konvergente $p$-adische Reihe} bezeichnet
werden. Die Summe~$s$ einer konvergenten Reihe wird dann mit
jeder vorgegebenen Genauigkeit durch einen ihrer Näherungswerte~$s_{\nu}$
von genügend hoher Ordnung dargestellt.

Nach dem im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate konvergiert
nun die Reihe der Näherungswerte~$s_{\nu}$ stets und nur dann gegen
einen bestimmten Grenzwert, wenn ihre Differenzen $s_{\nu+1} - s_{\nu}$ mit
wachsendem Index unendlich klein werden, oder also gegen die Grenze
Null konvergieren; und da aus \Eq{(2)} offenbar allgemein
\[
s_{\nu+1} - s_{\nu} = A_{\nu+1}
\]
folgt, so ergibt sich das folgende ebenso einfache wie umfassende
Konvergenzgesetz für alle $p$-adischen Reihen:
\index{Konvergente $p$-adische Reihen}%
\begin{Theorem}
Eine $p$-adische Reihe $A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots$ ist stets und nur
dann konvergent, wenn ihre Glieder mit wachsendem Index gegen
Null konvergieren. Die Gleichung
\[
\Tag{(3)}
\lim_{\nu=\infty} A_{\nu} = 0
\]
enthält also die notwendige und hinreichende Bedingung für die
Konvergenz einer beliebigen $p$-adischen Reihe.
\end{Theorem}

Summiert man die Glieder einer konvergenten $p$-adischen Reihe
in einer beliebigen anderen Reihenfolge, bei welcher natürlich jedes
Glied derselben wirklich einmal zur Summation gelangen muß, so
erhält man stets dieselbe Summe~$s$. Sind nämlich für ein beliebig klein
gewähltes $\delta$ alle Glieder $A_{n+1}$,~$A_{n+2}$,~\dots\ kleiner als~$\delta$, so wird ja bei
jeder Summationsordnung die Reihe mit der Genauigkeit~$\delta$ durch
die endliche Summe:
\[
s_{n} = A_{0} + A_{1} + \dots + A_{n}
\]
dargestellt, da ja die Summe:
\PageSep{134}{118}
\[
A_{\nu_{1}} + A_{\nu_{2}} + \dots + A_{\nu_{k}}
\]
beliebiger und beliebig vieler Elemente, deren Indizes größer sind als~$n$,
für den Bereich von $p$ stets kleiner als $\delta$ ist. Auch hierdurch unterscheiden
sich die $p$-adischen Reihen ganz wesentlich von den unendlichen
Reihen natürlicher Zahlen, denn unter diesen gibt es sowohl
\so{unbedingt konvergente} Reihen, welche unabhängig von
der Summationsordnung stets dieselbe Summe haben, als auch
\so{bedingt konvergente}, welche bei geeigneter Ordnung der
\index{Bedingt konvergente Reihen}%
\index{Unbedingt konvergente Reihen}%
Summation gegen jeden Grenzwert konvergieren können. Es gilt also
hier der Satz:
\begin{Theorem}
Jede konvergente $p$-adische Reihe ist unbedingt konvergent.
\end{Theorem}

Speziell konvergiert eine sogen.\ \so{Doppelreihe}
\index{Doppelreihe}%
\[
\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} A_{ik}
  = A_{00} + A_{10} + A_{01} + A_{20} + A_{11} + A_{02} + \dots
\]
stets und nur dann, wenn ihre Glieder für den Bereich von $p$ beliebig
klein werden, sobald auch nur einer der Indizes entsprechend wächst;
alsdann ist die Reihenfolge der Summationen gleichgültig, auch die
Doppelreihe konvergiert also unbedingt, falls sie überhaupt konvergiert.


\Section{§ 5.}{Die Potenzreihen im Bereich der $p$-adischen Zahlen.}

Ich wende diese Betrachtungen auf die Untersuchung der \emph{Potenzreihen}
mit $p$-adischen Koeffizienten an und bemerke gleich, daß die
sich hier ergebenden Konvergenzkriterien mit denjenigen genau übereinstimmen,
welche die Betrachtung der Potenzreihen mit natürlichen
Zahlkoeffizienten liefert.

\begin{Theorem}
Es sei:
\[
\frakP(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots
\]
eine Potenzreihe mit beliebigen ganzen oder gebrochenen $p$-adischen
Koeffizienten~$a_{k}$. Ist dann $\xi$~eine $p$-adische Zahl, für welche
jedes Glied $a_{k} \xi^{k}$ jener Reihe unterhalb einer endlichen Grenze~$g$
bleibt, so konvergiert die Reihe unbedingt für alle $x < \xi\ (p)$.
\end{Theorem}
\PageSep{135}{119}

Ist nämlich für jedes~$k$
\[
\Tag{(1)}
a_{k} \xi^{k} < g\ (p),
\]
und ist $x < \xi$, also $\dfrac{x}{\xi} \sim p^{\rho}$ von positiver Ordnung, also $< 1\ (p)$, so
wird
\[
a_{k} x^{k} = a_{k} \xi^{k} \left(\frac{x}{\xi}\right)^{k}
  < g\left(\frac{x}{\xi}\right)^{k}
  \sim gp^{k\rho}
\]
mit wachsendem Index~$k$ von beliebig hoher positiver Ordnung, \dh\
es ist in der Tat:
\[
\lim a_{k} x^{k} = 0\ (p).
\]

Ich nenne auch hier, wie auf \Seite{117}, die ganzen Funktionen \Ordsup{$0$}{-ten},
\Ordsup{$1$}{-ten}, \Ordsup{$2$}{-ten}~\dots\ Grades von~$x$:
\[
\frakP_{0}(x) = a_{0},\quad
\frakP_{1}(x) = a_{0} + a_{1} x,\quad
\frakP_{2}(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2},\ \dots
\]
\so{den nullten}, \so{ersten}, \so{zweiten},~\dots\ \so{Näherungswert
der Potenzreihe~$\frakP(x)$}. Hat dann wieder $\xi$ die oben in \Eq{(1)}
\index{Näherungswerte der Potenzreihen}%
angegebene Bedeutung, so sei $x$~eine bestimmte $p$-adische Zahl, welche
für den Bereich von $p$ kleiner als $\xi$ ist, so daß also:
\[
\frac{x}{\xi} \sim p^{\rho} < 1\ (p)
\]
wird, wo $\rho$ positiv ist. Wird dann für eine bestimmte Genauigkeit~$\delta$
$n$~so groß gewählt, daß für alle $\nu > n$
\[
g p^{\nu\rho} < \delta\ (p)
\]
ist, so ist für alle hinter $a_{n} x^{n}$ auftretenden Summanden:
\[
a_{\nu} x^{\nu} = (a_{\nu} \xi^{\nu})·\left(\frac{x}{\xi}\right)^{\nu}
  < g p^{\nu\rho} < \delta\ (p),
\]
und dasselbe gilt für die Summen von beliebig vielen von diesen
Gliedern. Also wird der Wert $\frakP(x)$ der Potenzreihe für dieses $x$
durch ihren \Ordsup{$n$}{-ten}~Näherungswert
\[
\frakP_{n}(x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}
\]
mit der Genauigkeit~$\delta$ dargestellt, und das gleiche gilt für alle Zahlen
$x_{0} \lesssim x$, da für sie:
\PageSep{136}{120}
\[
a_{\nu} x_{0}^{\nu} = a_{\nu} x^{\nu} \left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{\nu}
  \lesssim a_{\nu} x^{\nu}
\]
ist.

Eine Reihe $\frakP(x)$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches von $x$
\so{gleichmäßig konvergent}, wenn sie für alle Werte, welche
$x$ innerhalb dieses Bereiches annehmen kann, durch einen und denselben
Näherungswert $\frakP_{n}(x)$ dieser Reihe mit der \emph{gleichen} Genauigkeit~$\delta$
dargestellt wird. Wir können also das soeben erlangte
Resultat in dem folgenden Satz aussprechen:
\begin{Theorem}
Konvergiert eine Potenzreihe für einen bestimmten Wert $x$
der Veränderlichen, so konvergiert sie unbedingt und gleichmäßig
für alle $x_{0} \lesssim x\ (p)$; konvergiert dagegen die Reihe für einen
Wert von x nicht, so konvergiert sie auch nicht für alle $x' \gtrsim x\ (p)$;
denn sie müßte ja nach dem soeben bewiesenen Satze für $x$ konvergieren,
wenn sie für $x'$ konvergent wäre.
\end{Theorem}

Die entsprechenden Sätze gelten auch für Potenzreihen mit
mehreren Variablen und werden ganz ebenso bewiesen. Hieraus folgt
speziell, daß eine Potenzreihe
\[
\frakP(x, y) = \sum a_{ik} x^{i}y^{k},
\]
in welcher für ein Wertsystem $(\xi, \eta)$ alle Glieder $a_{ik}\xi^{i}\eta^{k}$ kleiner sind
als eine endliche Grenze~$g$, für alle $x < \xi$, $y < \eta\ (p)$ unbedingt und
gleichmäßig konvergiert; ihre Glieder können somit in beliebiger Anordnung
summiert werden. Speziell ist also:
\begin{alignat*}{4}
\frakP(x, y)
  &= \frakP_{0}(x) &&+ \frakP_{1}(x)y &&+ \frakP_{2}(x)y^{2} &&+ \dots \\
  &= \bar{\frakP}_{0}(y) &&+ \bar{\frakP}_{1}(y)x &&+ \bar{\frakP}_{2}(y)x^{2} &&+ \dots
\end{alignat*}
wo allgemein:
\[
\frakP_{k}(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_{ik}x^{i}, \quad
\bar{\frakP}_{i}(y) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{ik}y^{k}
\]
ist.

Spricht man die bisher gefundenen Resultate unter Benutzung
der auf \Seite{113} gegebenen geometrischen Repräsentation der $p$-adischen
Zahlen aus, so erhält man den Satz:
\begin{Theorem}
Konvergiert die Reihe~$\frakP(x)$ in einem Punkte~$x$, so konvergiert
sie im Inneren und auf der Peripherie des Kreises mit dem
\PageSep{137}{121}
Mittelpunkte~$0$, welcher durch $x$ geht. Konvergiert sie in einem
Punkte~$\bar{x}$ nicht, so gilt das gleiche von allen Punkten außerhalb
und auf der Peripherie eines durch diesen Punkt gehenden Kreises
mit dem Mittelpunkte~$0$.
\end{Theorem}

Hieraus folgt, daß für jede Potenzreihe~$\frakP(x)$, welche überhaupt
\index{Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe}%
\index{Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe}%
für von Null verschiedene Werte von $x$ konvergiert, ein solcher Kreis~$K$
um den Nullpunkt existiert, daß sie für alle innerhalb von $K$ liegenden
Punkte konvergiert, für alle außerhalb von $K$ befindlichen
Punkte divergiert, während sie für keinen einzigen auf der Kreisperipherie
liegenden Punkt konvergieren kann. Dieser eindeutig bestimmte
Kreis möge der \so{Konvergenzkreis von~$\frakP(x)$} genannt
werden. Ist $r = p^{\rho}$ der absolute Betrag der Zahlen, welche den
Peripheriepunkten von $K$ entsprechen, so konvergiert $\frakP(x)$ für
alle und nur die Zahlen $x < p^{\rho}\ (p)$. Die Zahl $r = p^{\rho}$ heißt \so{der
Radius des Konvergenzkreises von~$\frakP(x)$}.

Man kann um den Nullpunkt einer Potenzreihe mit von Null
verschiedenem Konvergenzradius stets einen endlichen Bereich so abgrenzen,
daß sich in ihm eventuell mit Ausnahme der Stelle $x = 0$
keine weitere Nullstelle der Reihe befindet. Ist nämlich etwa $a_{m} x^{m}$ der
erste Term mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten, und
schreibt man die Reihe in der Form:
\[
\frakP(x) = a_{m} x^{m} + a_{m+1} x^{m+1} + \dots = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)),
\]
wo die Potenzreihe:
\[
\phi(x) = \frac{a_{m+1}}{a_{m}}x + \frac{a_{m+2}}{a_{m}}x^{2} + \dots
\]
innerhalb desselben Bereiches gleichmäßig konvergiert, wie die ursprüngliche
Reihe, so kann man $x = \xi$ so klein wählen, daß alle
Glieder von~$\phi(x)$, also auch $\phi(x)$ selbst, kleiner als Eins, \dh\ durch
$p$ teilbar sind. Liegen nämlich für ein bestimmtes $x_{0}$ alle Glieder $\dfrac{a_{i}}{a_{m}}·x_{0}^{i}$
unterhalb einer endlichen Grenze~$g$, und setzt man $|\xi| = |x_{0}|p^{\rho}$, so ist
für jedes Glied der Reihe~$\phi(\xi)$
\[
\left|\frac{a_{i}}{a_{m}}\xi^{i}\right|
  = \left|\frac{a_{i}}{a_{m}}x_{0}^{i}\right| · \left|\frac{\xi}{x_{0}}\right|^{i}
  < gp^{i\rho}\ (p);
\]
\PageSep{138}{122}
wählt man also $\rho$ positiv und so groß, daß $gp^{\rho} < 1\ (p)$ wird, so gilt
dasselbe a~fortiori für jedes der Glieder von~$\phi(\xi)$, mithin auch von
$\phi(\xi)$ selbst; es wird also auch für alle $x \lesssim \xi$
\[
\frakP(x) = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)) \sim a_{m}x^{m} > 0\ (p),
\]
und damit ist unsere Behauptung bewiesen.

Hieraus folgt der weitere Satz:
\begin{Theorem}
Eine Potenzreihe mit endlichem (\dh\ von Null verschiedenem)
Konvergenzbereich ist innerhalb dieses Bereiches dann und nur
dann stets Null, wenn alle ihre Koeffizienten Null sind.
\end{Theorem}

Wäre nämlich bei der vorher betrachteten Reihe wieder $a_{m}$ der
erste von Null verschiedene Koeffizient, so könnte man ja $x < \xi$ stets
so klein wählen, daß gegen unsere Voraussetzung:
\[
\frakP(x) \sim a_{m} x^{m} > 0
\]
wäre. Hieraus folgt ohne weiteres:
\begin{Theorem}[\noindent]
Zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche sind einander
dann und nur dann innerhalb dieses Bereiches gleich, wenn
sie identisch sind;
\end{Theorem}
denn nur dann kann ja ihre Differenz innerhalb des gemeinsamen Konvergenzbereiches
Null sein.


\Section{§ 6.}{Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche.}

Sind
\[
\Tag{(1)}
A(x) = \sum a_{i} x^{i},\quad
B(x) = \sum b_{k} x^{k}
\]
zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche, so konvergieren
die aus ihnen gebildeten Potenzreihen
\[
\Tag{(2)}
\begin{aligned}
S(x) &= \sum (a_{i} + b_{i})x^{i} \\
D(x) &= \sum (a_{i} - b_{i})x^{i} \\
P(x) &= \sum\sum a_{i} b_{k} x^{i+k}
\end{aligned}
\]
in dem ihnen gemeinsamen Konvergenzbereiche ebenfalls unbedingt
\PageSep{139}{123}
und gleichmäßig und sie stellen für jedes in diesem Bereiche liegende
$x$ die Werte $A(x) + B(x)$, $A(x) - B(x)$, $A(x)B(x)$ dar; endlich sind
jene Reihen durch diese drei Forderungen eindeutig bestimmt. In
der Tat, liegt $x$ im Konvergenzbereiche von $A(x)$~und~$B(x)$, so ist
\[
\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0,\quad
\lim_{k=\infty} (b_{k} x^{k}) = 0,
\]
und ferner ist für jedes Glied beider Reihen
\[
a_{i} x^{i} < g,\quad
b_{k} x^{k} < g,
\]
wo $g$ eine endliche Zahl bedeutet; also ist auch für jede der drei obigen
Reihen
\begin{gather*}
\lim (a_{i} ± b_{i}) = 0 \\
\lim (a_{i} b_{k} x^{i+k})
  = \PadTo{\lim}{\lim\limits_{\Strut[8pt]i\text{ od.\ }k=\infty}}
     (a_{i} x^{i})(b_{k} x^{k}) = 0,
\end{gather*}
da im letzten Falle einer der beiden Faktoren sicher unterhalb $g$ bleibt,
während der andere für einen genügend großen Index beliebig klein
ist. Alle drei Reihen konvergieren also für dasselbe $x$ unbedingt und
gleichmäßig und können in beliebiger Ordnung summiert werden.

Sind ferner $A_{n}(x)$ und $B_{n}(x)$ die \Ord{$n$}{-ten} Näherungswerte von $A(x)$
und $B(x)$, ferner $S_{n}(x)$, $D_{n}(x)$, $P_{n}(x)$ die entsprechenden Näherungswerte
der drei abgeleiteten Reihen~\Eq{(2)}, und beachtet man, daß für ein
genügend großes $n$ jedes Glied $a_{\nu} x^{\nu}$ bezw.\ $b_{\nu} x^{\nu}$, wo $\nu > n$, durch jede
noch so kleine Zahl~$\delta$ teilbar ist, so ergibt sich, daß für jedes noch so
kleine~$\delta$ und ein genügend großes~$n$
\[
\left.
\begin{aligned}
S_{n} &\equiv A_{n} + B_{n} \\
D_{n} &\equiv A_{n} - B_{n} \\
P_{n} &\equiv A_{n} B_{n}
\end{aligned}
\right\}\ (\mod.~\delta)
\]
ist, \dh\ die Reihen $S(x)$,~$D(x)$ und~$P(x)$ stellen in der Tat die Werte
$A(x) ± B(x)$ und $A(x)B(x)$ mit jeder vorgegebenen Genauigkeit~$\delta$
dar. Durch diese Forderung sind jene Reihen aber auch eindeutig
bestimmt, denn \zB\ eine zweite Reihe~$\bar{S}(x)$, welche ebenso wie $S(x)$
für alle Werte von $x$ im gemeinsamen Konvergenzbereiche von $A(x)$
und $B(x)$ gleich $A(x) + B(x)$ wäre, müßte ja notwendig mit $S(x)$
identisch sein.
\PageSep{140}{124}

Wir wollen die so gewonnenen Reihen also \so{die Summe}, \so{die
Differenz} und \so{das Produkt von $A(x)$ und $B(x)$}
\index{Differenz zweier Potenzreihen}%
\index{Produkt zweier Potenzreihen}%
\index{Summe!zweier Potenzreihen}%
nennen und durch $A(x) ± B(x)$ bzw.\ $A(x) B(x)$ bezeichnen.

Ähnlich kann man zeigen, daß im Bereiche der konvergenten
Potenzreihen zu jeder von Null verschiedenen Reihe~$A(x)$ eine eindeutig
bestimmte reziproke Reihe~$\bar{A}(x)$ existiert, welche ebenfalls
einen endlichen Konvergenzbereich besitzt und dort gleich $\dfrac{1}{A(x)}$ ist.

Es sei:
\[
A(x) = a_{m} x^{m} (1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots);
\]
wir setzen $\bar{A}(x)$ in der Form
\[
\bar{A}(x) = \frac{1}{\alpha_{m} x^{m}}(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots)
\]
an. Dann sind die unbekannten Koeffizienten~$\bar{\alpha}_{i}$ so zu bestimmen,
daß:
\[
(1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots)
(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots)
  = 1 + 0x + 0x^{2} + \dots
\]
wird, und das ergibt für die unbekannten Koeffizienten $\bar{\alpha}_{1}$,~$\bar{\alpha}_{2}$,~\dots\ die
Gleichungen:
\[
\Tag{(3)}
\begin{gathered}
\bar{\alpha}_{1} + \alpha_{1} = 0 \\
\bar{\alpha}_{2} + \bar{\alpha}_{1} \alpha_{1} + \alpha_{2} = 0 \\
\vdots \\ %[** TN: Ad hoc dots in the original]
\bar{\alpha}_{i} + \bar{\alpha}_{i-1} \alpha_{1} + \bar{\alpha}_{i-2} \alpha_{2} + \dots + \alpha_{i} = 0 \\
\DotRow{1},
\end{gathered}
\]
aus denen sich, wie bereits auf \Seite{101} allgemein nachgewiesen wurde,
dieselben eindeutig bestimmen.

Ich zeige jetzt, daß die so bestimmte Reihe
\[
1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots
\]
in einem endlichen Bereiche konvergiert und dort dem reziproken
Werte der Reihe
\[
1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots
\]
gleich ist. Da diese letztere \ndV\ einen endlichen Konvergenzbereich
besitzt, für welchen $\lim (a_{i} x^{i}) = 0$ ist, so kann man erstens in diesem Bereiche
\PageSep{141}{125}
auch für $x$ einen kleineren Bereich so abgrenzen, daß für alle
Werte von $x$ in demselben und für jedes~$i$\; $\alpha_{i} x^{i}$~mindestens durch $p^{i}$
teilbar ist.

In der Tat, ist für ein endliches $x_{0}$ allgemein:
\[
\alpha_{i} x_{0}^{i} < g\ (p),
\]
wo $g$~eine endliche Zahl bedeutet, und wählt man dann $\xi < x_{0}$, so daß
\[
\frac{\xi}{x_{0}} \sim p^{\nu}\ (p)
\]
ist, wo $\nu$~eine gleich zu bestimmende positive Zahl bedeutet, so ist ja:
\[
\alpha_{i} \xi^{i} = (\alpha_{i} x_{0}^{i}) \left(\frac{\xi}{x_{0}}\right)^{i}
  < gp^{\nu i},
\]
und wie auch $g$ gegeben sei, immer kann man $\nu$ so groß wählen, daß
für jedes $i = 1$, $2$,~\dots\ stets $gp^{\nu i} \lesssim p^{i}\ (p)$ ist; dann ist wirklich für
alle $x \lesssim \xi$
\[
\alpha_{i} x^{i} < p^{i}
\]
\wzbw.

Ich behaupte nun zweitens, daß für alle diese Werte von $x$ auch
jedes Glied $\bar{a}^{i} x^{i}$ mindestens durch $p^{i}$ teilbar ist, und da dann sicher
$\lim(\bar{a}^{i} x^{i}) = 0$ ist, so ist damit bewiesen, daß die zweite Reihe
mindestens in diesem Bereiche $x \lesssim \xi\ (p)$ konvergent ist.

Um diesen Beweis zu führen, nehme ich an, es sei bereits gezeigt,
daß für alle Indizes $k = 1$, $2$,~\dots~$i - 1$\; $\bar{a}_{k} x^{k}$~mindestens durch $p^{k}$ teilbar
ist. Multipliziert man dann die \Ordsup{$i$}{-te}~Gleichung~\Eq{(3)} mit~$x^{i}$, schreibt sie
in der Form:
\[
(\bar{a}_{i} x^{i})·1
  + (\bar{a}_{i-1} x^{i-1})(\alpha_{1} x)
  + (\bar{a}_{i-2} x^{i-2})(\alpha_{2} x^{2}) + \dots
  + (\alpha_{i} x^{i}) = 0
\]
und beachtet, daß in ihr alle Produkte mit Ausnahme des ersten \ndV\
durch $p^{i}$ teilbar sind, so folgt, daß für $\bar{\alpha}_{i} x^{2}$ das gleiche gelten
muß. Da nun nach der ersten Gleichung in~\Eq{(3)} $\bar{\alpha}_{1} x = -\alpha_{1} x$ mindestens
$p^{1}$ enthält, so ist die Behauptung vollständig bewiesen.

Da somit die beiden Reihen $\sum \alpha_{i} x^{i}$ und $\sum \bar{\alpha}_{i} x^{i}$ einen endlichen
Konvergenzbereich haben, und da ihr Produkt in diesem gleich Eins
ist, so ist nach dem oben für das Produkt bewiesenen Satze in diesem
\PageSep{142}{126}
Bereiche die zweite Reihe dem reziproken Wert der ersten gleich und
sie ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt.

Hieraus folgt, daß der Bereich aller konvergenten Potenzreihen
einen Körper bildet, da in ihm die vier elementaren Rechenoperationen
so definiert sind, daß sie unbeschränkt und eindeutig ausführbar
sind; denn ist $A(x)$ nicht identisch Null, so besitzt ja jede Gleichung
\[
A·X = B
\]
die eindeutig bestimmte Lösung
\[
X = B·A^{-1} = \frac{B}{A}.
\]

Ich knüpfe hier die für das folgende wichtige Bemerkung an, daß
im Körper der konvergenten Potenzreihen auch die sogen. \so{Differentiation}
\index{Differentiation}%
unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist.

Ist nämlich
\[
A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots
\]
eine beliebige Reihe, so bezeichnet man als \so{abgeleitete Reihe}
\index{Abgeleitete Reihe}%
oder als \so{Ableitung} $A'(x)$ von $A(x)$ die Potenzreihe:
\index{Ableitung einer Funktion!einer Potenzreihe}%
\[
A'(x) = a_{1} + 2a_{2} x + 3a_{3} x^{2} + \dots.
\]
Ist nun für ein bestimmtes~$x$\; $A(x)$~konvergent, also
\[
\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0,
\]
so gilt für das gleiche $x$ dasselbe von~$A'(x)$, denn es ist ja:
\[
\lim_{i=\infty} (ia_{i} x^{i-1}) = \frac{1}{x} \lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0,
\]
da jede ganze Zahl $i \lesssim 1$ ist. Dasselbe gilt natürlich auch von der
Ableitung von~$A'(x)$
\[
A''(x) = 1·2a_{2} + 2·3a_{2} x + \dots,
\]
welche \so{die zweite Ableitung von~$A(x)$} heißt, und überhaupt
von allen Ableitungen $A'''(x)$, $A''''(x)$,~\dots\ beliebig hoher
Ordnung von~$A(x)$.
\PageSep{143}{127}


\Section{§ 7.}{Die unendlichen Produkte.}

In ganz gleicher Weise wie die unendlichen Summen können, wie
hier nur kurz erwähnt werden mag, auch die unendlichen Produkte
\[
\Tag{(1)}
P = B_{0} B_{1} B_{2} \dots
\]
$p$-adischer Zahlen arithmetisch untersucht werden, vorausgesetzt, daß
ein solches Produkt konvergiert, \dh\ sich mit wachsender Anzahl
der Faktoren einer eindeutig bestimmten $p$-adischen Zahl annähert,
so daß diese durch das Produkt von einer Anzahl unter diesen Faktoren,
deren Indizes unter einer genügend groß gewählten Grenze
liegen, mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dargestellt wird. Wir
schließen hierbei den trivialen Fall aus, daß einer (oder mehrere) unter
diesen Faktoren gleich Null ist.

Ein solches Produkt konvergiert stets und nur dann gegen einen
bestimmten Grenzwert, wenn man nach Annahme einer beliebig hohen
Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul eine Grenze~$n$ so angeben kann, daß das
Produkt
\[
B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}}
\]
beliebig vieler Faktoren von~$P$, deren Indizes~$\nu_{i}$ größer als $n$ sind,
modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist, wenn sich also das Produkt beliebig
vieler genügend weit entfernter Glieder beliebig wenig von Eins unterscheidet;
dann konvergiert nämlich $P$ gegen die eindeutig bestimmte
$p$-adische Zahl~$P$, deren \Ord{$k$}{-ter} Näherungswert
\[
P^{(k)} = B_{1} B_{2} \dots B_{n}
\]
ist, \dh\ gegen die Zahl
\[
\Tag{(2)}
P = P^{(0)} + (P^{(1)} - P^{(0)}) + (P^{(2)} - P^{(1)}) + \dots\ (p).
\]

Hierzu ist zunächst notwendig, daß jeder einzelne Faktor~$B_{\nu}$,
dessen Index größer als $n$ ist, für sich modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist.
Setzt man also allgemein:
\[
B_{\nu} = 1 + A_{\nu}
\]
so muß für ein genügend großes~$\nu$\; $A_{\nu}$~durch jede noch so hohe Potenz
von $p$ teilbar, oder also
\PageSep{144}{128}
\[
\lim A_{\nu} = 0\ (p)
\]
sein. Diese notwendige Bedingung ist aber auch hinreichend; denn
ist sie erfüllt, so ist ja offenbar auch jedes Produkt
\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original]
B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}}
  &= (1 + A_{\nu_{1}}) (1 + A_{\nu_{2}}) \dots (1 + A_{\nu_{r}}) \\
  &= 1 + A_{\nu_{1}} + \dots + A_{\nu_{r}}
  + A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} + \dots
\end{align*}
von beliebig vielen solchen Faktoren ebenfalls modulo~$p^{k}$ kongruent
Eins, weil jedes der Produkte $A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} \dots$ durch $p^{k}$ teilbar ist. Wir erhalten
also folgendes einfache Resultat:
\begin{Theorem}
Ein unendliches Produkt
\[
P = B_{1} B_{2} B_{3} \dots = (1 +A_{1}) (1 + A_{2}) (1 + A_{3}) \dots
\]
stellt stets und nur dann eine eindeutig bestimmte $p$-adische Zahl
mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dar, wenn
\[
\lim_{\nu=0} A_{\nu} = 0\ (p)
\]
ist.
\end{Theorem}
\PageSep{145}{129}


\Chapter{Siebentes Kapitel.}
{Die Elemente der Analysis und Algebra
im Gebiete der $p$-adischen Zahlen.}

\Section{§ 1.}{Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit
und Differenzierbarkeit. Die $p$-adischen Potenzreihen sind in
ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare Funktionen
ihres Argumentes.}

Ich wende mich nun zu der Frage, in welcher Weise der Wert
einer Potenzreihe~$A(x)$ von ihrem Argumentwerte abhängt und übertrage
dazu den aus der elementaren Analysis bekannten Begriff der
stetigen und differenzierbaren Funktion auf die hier betrachteten
\index{Funktion}%
Bereiche der $p$-adischen Zahlen.

Eine Größe~$x$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$\; $p$-adischer
Zahlen \so{unbeschränkt veränderlich oder variabel},
wenn sie jeden Zahlwert in demselben annehmen kann. Ist
$x_{0}$ eine Zahl jenes Bereiches, so konstituieren alle diejenigen Zahlen~$x$
desselben, für welche die Differenz $x - x_{0}$ unterhalb einer genügend
klein gewählten Grenze~$\delta$ liegt, einen Teilbereich von~$B$, welcher \so{die
Umgebung von~$x_{0}$} genannt wird. Eine variable Größe~$x$ kann
\index{Umgebung einer Zahl}%
\index{Veränderliche oder variable Größe}%
in einem Bereiche \so{unendlich kleine Werte} annehmen,
\index{Unendlich kleine Werte}%
wenn der Bereich Zahlen enthält, welche kleiner als jede noch so kleine
von Null verschiedene Größe~$\delta$ sind.

Eine Größe~$y$ heißt eine \so{Funktion der unabhängigen
Veränderlichen~$x$ innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$},
wenn ein Verfahren existiert, mit dessen Hilfe man $y$
mit jeder vorgegebenen Genauigkeit berechnen kann, sobald $x$ in jenem
Bereiche beliebig gegeben wird. So ist \zB\
\PageSep{146}{130}
\[
y = \frakf(x) = a_{k} x^{k} + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_{0}\ (p)
\]
eine ganze rationale Funktion von~$x$, wenn die Koeffizienten~$a_{i}$ beliebige
$p$-adische Zahlen sind. Allgemein ist auch
\[
y = A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots\ (p),
\]
falls $A(x)$ eine beliebige konvergente Potenzreihe ist, in dem Konvergenzbereiche
derselben eine Funktion von~$x$.

Eine Funktion $y = \frakf(x)$ heißt an einer Stelle $x = \xi$ ihres Bereiches
\so{stetig}, wenn der Grenzwert der Differenz:
\[
\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi)
\]
unendlich klein wird, falls $h$ irgendwie gegen Null konvergiert. Eine
solche Funktion heißt an der Stelle $\xi$ \so{differenzierbar}, wenn
\[
\lim_{h=0} \frac{\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi)}{h} = \frakf'(\xi)
\]
gegen einen von den Werten und der Art des Abnehmens von $h$ unabhängigen,
\index{Ableitung einer Funktion}%
\index{Differenzierbare Funktion}%
\index{Stetige Funktionen}%
also allein von $\xi$ abhängigen Grenzwert konvergiert, der
die \so{Ableitung} oder \so{der Differentialquotient von
$\frakf(x)$ nach $x$ an der Stelle~$\xi$} genannt wird.
\index{Differentialquotient}%

\begin{Theorem}
Eine Potenzreihe $A(x) = \sum a_{i} x^{i}$ ist für alle Werte von $x$
innerhalb ihres Konvergenzbereiches stetig und differenzierbar,
und ihre Ableitung ist für jede Stelle gleich der abgeleiteten
Reihe $A'(x) = \sum i a_{i} x^{i-1}$.
\end{Theorem}

Es sei nämlich $r$ der Konvergenzradius jener Reihe und $\xi < r$ irgendeine
Zahl innerhalb des Konvergenzbereiches. Ist dann $h < r$ ein
anderer Argumentwert desselben Bereiches, so gehört auch $\xi + h < r$
diesem Bereiche an, und der zugehörige Funktionswert von $A(x)$ ist
gleich:
\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original]
A(\xi + h)
  &= a_{0} + a_{1} (\xi + h) + a_{2} (\xi + h)^{2} + \dots \\
  &= a_{0} + a_{1} \xi + a_{1} h + a_{2} \xi^{2} + 2 a_{2} \xi h + a_{2} h^{2} + \dots.
\end{align*}
Für die gewählten Werte $\xi$~und~$h$ konvergiert aber auch die zweite
Darstellung dieser Reihe unbedingt und gleichmäßig; wählt man nämlich,
was stets möglich ist, $\rho$~innerhalb des Konvergenzbereiches von
$A(x)$ so aus, daß
\PageSep{147}{131}
\[
\xi \lesssim \rho < r,\quad h \lesssim \rho < r\ (p),
\]
wird, so ist ja für ihr allgemeines Glied $a_{i}\dbinom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k}$
\[
a_{i}\binom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k}
  \lesssim a_{k} \rho^{k} \rho^{i-k}
  = a_{i} \rho^{i}\ (p),
\]
weil jeder Binomialkoeffizient $\dbinom{i}{k}$ eine ganze Zahl, also höchstens
äquivalent Eins ist. Also nähert sich jedes Glied dieser Reihe dem
Grenzwerte Null, wenn $k$ oder $i - k$ unendlich groß wird.

Ordnet man also diese Reihe, was ja nun erlaubt ist, nach Potenzen
von $h$ und berücksichtigt, daß dann die Koeffizienten der einzelnen
Potenzen von $h$ offenbar bis auf Faktoren $\dfrac{1}{2!}$,~$\dfrac{1}{3!}$,~\dots\ die sukzessiven
abgeleiteten Reihen von $A(\xi)$ werden, so folgt, daß auch für den Bereich
einer beliebigen Primzahl~$p$ und für alle Inkremente~$h$ des Konvergenzbereiches
von $A(x)$ die sog.\ \so{Taylorsche Entwicklung} gilt:
\index{Taylorsche Entwickelung}%
\[
A(\xi + h) = A(\xi) + A'(\xi)h + \frac{A''(\xi)}{2!} h^{2} + \dots.
\]
Wählt man jetzt, was ja bei jeder konvergenten Potenzreihe
stets möglich ist, $h$~unendlich klein, so folgt aus der letzten Gleichung,
daß in der Tat
\[
\lim_{h=0} \frac{A(\xi + h) - A(\xi)}{h} = A'(\xi),
\]
\dh\ daß $A(x)$ an jeder Stelle $\xi$ ihres Konvergenzbereiches stetig und
differenzierbar und daß ihr Differentialquotient dort gleich $A'(\xi)$ ist.


\Section{§ 2.}{Die Exponentialfunktion im Bereiche der $p$-adischen
Zahlen.}

Ich untersuche jetzt, ob es eine Funktion
\[
\Tag{(1)}
E(x) = e_{0} + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots\ (p)
\]
von $x$ gibt, welche in einer endlichen Umgebung der Stelle $x = 0$ als
konvergente Potenzreihe darstellbar ist, welche in ihrem Bereiche
der \DPtypo{Funktionalgeichung}{Funktionalgleichung}:
\PageSep{148}{132}
\[
\Tag{(2)}
E(x + y) = E(x)E(y)
\]
genügt.

Wir schließen die beiden trivialen konstanten Lösungen $E(x) = 0$
und $E(x) = 1$ dieser Aufgabe aus. Dann folgt aus der Gleichung~\Eq{(2)}
für $y = 0$
\[
E(x) = E(x + 0) = E(x)·E(0) = e_{0}·E(x);
\]
es muß also $e_{0} = 1$ sein.

Ferner ergibt sich aus \Eq{(2)} für die Ableitung der Reihe
\[
E(x) = 1 + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots
\]
die Gleichung:
\begin{align*}
\Tag{(3)}
&E'(x) = \lim_{h=0} \frac{E(x + h) - E(x)}{h}
       = \lim \frac{E(x)·E(h) - E(x)}{h} \\
&= E(x) \lim \frac{E(h) - 1}{h}
 = E(x)·\lim_{h=0} (e_{1} + h e_{2} + h^{2} e_{3} + \dots) \\
&= e_{1}·E(x).
\end{align*}
Es muß also $e_{1} \neq 0$ sein, da andernfalls aus der Gleichung
\[
E'(x) = e_{1} + 2e_{2} x + 3e_{3} x^{2} + \dots = 0
\]
$e_{1} = e_{2} = \dots = 0$, also $E(x) = 1$ sich ergeben würde.

Ist endlich $E(x) = 1 + e_{1} x + \dots$ eine Potenzreihe, welche der
Forderung~\Eq{(2)} genügt und für alle $x < \rho$ konvergiert, und bedeutet $c$
eine beliebige Konstante, so ist auch
\[
\bar{E}(x) = E(cx) = 1 + ce_{1} x + c^{2} e_{2} x^{2} + \dots
\]
eine Lösung unserer Aufgabe, denn es ist ja
\[
\bar{E}(x) \bar{E}(y) = E(cx)E(cy) = E(c(x + y)) = \bar{E}(x + y),
\]
und die neue Reihe konvergiert für alle $cx < \rho$ oder $x < \dfrac{\rho}{c}$, besitzt
also ebenfalls einen endlichen Konvergenzbereich.

Besitzt also die Gleichung~\Eq{(2)} überhaupt eine Lösung:
\[
\Tag{(4)}
E(x) = 1 + e_{1} x + \dots,
\]
so hat sie auch eine Lösung:
\PageSep{149}{133}
\[
\Tag{(4^{a})}
\bar{E}(x) = E\left(\frac{x}{e_{1}}\right)
  = 1 + x + \frac{e_{2}}{e_{1}^{2}} x^{2} + \dots,
\]
in welcher $e_{1} = 1$ ist, und umgekehrt ergibt sich aus jeder Lösung~\Eq{(4^{a})}
eine einzige Lösung~\Eq{(4)}, in welcher $e_{1}$ einen beliebig gegebenen von Null
verschiedenen Wert hat. Wir können und wollen daher von vornherein
die Lösung in der Form
\[
E(x) = 1 + x + e_{2} x^{2} + e_{3} x^{3} + \dots
\]
voraussetzen.

Da für sie nach~\Eq{(3)} $E'(x) = E(x)$ sein muß, so folgt weiter
für alle Ableitungen:
\[
E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots,
\]
und durch diese Bedingungen ist die gesuchte Reihe eindeutig bestimmt.
In der Tat erhält man aus ihnen für $x = 0$
\[
E(0) = E'(0) = E''(0) = \dots = 1,
\]
und aus dem Taylorschen Satze ergibt sich also für $E(x)$ die folgende
Reihe:
\[
\Tag{(5)}
\begin{aligned}
E(x) &= E(0 + x) = E(0) + E'(0)x + \frac{E''(0)}{2!} x^{2} + \dots \\
     &= 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots.
\end{aligned}
\]
Die so bestimmte Reihe~\Eq{(5)} genügt, falls sie in einem endlichen Bereiche
konvergiert, in diesem wirklich der Funktionalgleichung~\Eq{(2)}. Einmal
ist nämlich, wie man sich durch gliedweise Differentiation überzeugt,
$E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots$. Sind ferner $x$~und~$y$ zwei Zahlen,
welche im Konvergenzbereiche unserer Reihe liegen, so ist nach dem
Taylorschen Satze wirklich:
\[
\Tag{(5^{a})}
\begin{aligned}
E(x + y)
  &= E(x) + E'(x)\DPchg{·}{}\frac{y}{1} + E''(x) \frac{y^{2}}{2!} + \dots \\
  &= E(x) \left(1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^{2}}{2!} + \dots\right) = E(x)E(y).
\end{aligned}
\]

Nach der oben gemachten Bemerkung gehen alle und nur die
Lösungen der Gleichung~\Eq{(2)} aus der soeben gefundenen durch die
\PageSep{150}{134}
Verwandlung von $x$ in $cx$ hervor, wo $c$~eine beliebige Konstante ist.
Die allgemeinste Potenzreihe, welche der Funktionalgleichung~\Eq{(2)}
genügt, ist also diese:
\[
\Tag{(5^{b})}
\bar{E} = E(cx)
  = 1 + \frac{cx}{1} + \frac{c^{2} x^{2}}{2!} + \frac{c^{3} x^{3}}{3!} + \dots
\]
und sie ist für jedes $c$ eindeutig durch die weitere Bedingung bestimmt,
daß $\bar{E}'(x) = c\bar{E}(x)$, oder durch die einfachere, daß
\[
\Tag{(5^{c})}
\bar{E}'(0) = c
\]
sein soll. Im folgenden wollen wir immer die Reihe $E(x)$ betrachten,
welche durch \Eq{(5)} gegeben ist.

Es ist also jetzt nur noch zu untersuchen, welches der Konvergenzbereich
der Reihe~\Eq{(5)} ist, für welche Werte von $x$ also
\[
\lim_{m=\infty} \frac{x^{m}}{m!} = 0
\]
wird. Da $m!$ für jedes $m$ von nicht negativer Ordnung ist, so sieht
man zunächst, daß die Reihe~$E(x)$ sicher divergiert, wenn $x$ von
nullter oder negativer Ordnung ist. Hat dagegen $x = px_{0}$ die Ordnung~$1$
oder eine höhere, so besitzt das allgemeine Glied
\[
\frac{x^{m}}{m!} = \frac{p^{m}}{m!} x_{0}^{m}
\]
nach \Seite{111} unten mindestens die Ordnungszahl:
\[
\Tag{(6)}
m - \frac{m - s_{m}}{p - 1} = \frac{m(p - 2) + s_{m}}{p - 1},
\]
und diese Zahl wächst mit $m$ ins Unendliche, falls $p > 2$ ist, also irgendeine
ungerade Primzahl bedeutet; denn sie ist dann größer als $\dfrac{m}{p - 1}$.
Ist dagegen $p = 2$, so ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m!}$ gleich~$s_{m}$, also
gleich der Ziffersumme der dyadischen Darstellung von~$m$, und diese
Zahl wird sicher nicht mit $m$ unendlich, da ja \zB\ alle Potenzen
$2$,~$2^{2}$,~\dots\ von $2$ sogar die kleinste mögliche Ziffersumme Eins haben. Ist
dagegen in diesem Falle $x = 2^{2} x_{0}$ wo $x_{0}$ ganz ist, so ist die Ordnungszahl
\PageSep{151}{135}
von $\dfrac{x^{m}}{m!} = \dfrac{2^{2m}}{m!} x_{0}^{m}$ gleich oder größer als:
\[
\Tag{(6^{a})}
2m - \mu_{m} = 2m - (m - s_{m}) = m + s_{m},
\]
\dh\ die Potenzreihe~$E(x)$ konvergiert für alle diese Werte.

Wir erhalten also in jedem Falle das folgende einfache und interessante
Resultat:
\begin{Theorem}
Die Reihe:
\[
E(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots\ (p)
\]
stellt für ein ungerades $p$ stets und nur dann eine $p$-adische Zahl
dar, wenn $x$~ein Vielfaches von $p$ ist. Ist dagegen $p = 2$, so muß
$x$ ein Multiplum von $4$ sein.
\end{Theorem}

Aus der Fundamentaleigenschaft~\Eq{(2)} der Potenzreihe~$E(x)$ ergeben
sich, falls $x$~und~$y$ beide dem Konvergenzbereiche derselben angehörende
Zahlen sind, die Gleichungen:
\begin{gather*}
E(x)E(y) = E(x + y) \\
E(x)E(-x) = E(0) = 1, \quad\text{also}\quad
E(-x) = \frac{1}{E(x)},
\end{gather*}
also
\[
\Tag{(7)}
\frac{E(y)}{E(x)} = E(y)E(-x) = E(y - x),
\]
und für ein beliebiges ganzzahliges~$m$
\[
\Tag{(7^{a})}
E(x)^{m} = E(mx).
\]

Durch die Gleichung $y = E(x)$ wird die Variable~$y$ innerhalb des
Konvergenzbereiches von $E(x)$ als eindeutige Funktion von $x$ definiert,
da zu jeder Zahl~$x$ eine einzige Zahl~$y$ gehört. Aber es gilt auch der
umgekehrte Satz, daß zu einem gegebenen~$y$, wenn überhaupt, nur
eine einzige Zahl~$x$ im Konvergenzbereiche unserer Reihe existiert,
welche die Gleichung $E(x) = y$ befriedigt. Gäbe es nämlich für ein
bestimmtes $y$ zwei verschiedene Werte $x$~und~$x'$, für welche
\[
E(x) = y, \quad E(x') = y
\]
wäre, so müßte ja nach~\Eq{(7)}
\PageSep{152}{136}
\[
E(x' - x) = \frac{y}{y} = 1
\]
sein, es müßte also eine von Null verschiedene Zahl $\xi = x' - x$ im
Konvergenzbereiche von $E(x)$ existieren, für welche
\[
\Tag{(8)}
E(\xi) = 1 + \xi + \frac{\xi^{2}}{2!} + \dots = 1
\]
wäre. Dies ist aber unmöglich. In der Tat folgte ja aus dieser Gleichung
durch Subtraktion von $1$ auf beiden Seiten und Division mit~$\xi$:
\[
\Tag{(8^{a})}
1 + \frac{\xi}{2!} + \frac{\xi^{2}}{3!} + \dots + \frac{\xi^{m-1}}{m!} + \dots = 0\ (p).
\]
Diese Gleichung kann aber nicht bestehen, sobald $\xi$ im Konvergenzbereiche
der Reihe irgendwie als eine von Null verschiedene Zahl
angenommen wird. Ist nämlich $\xi = p^{k} \xi_{0}$ von der \Ordsup{$k$}{-ten}~Ordnung, wo
$k$ für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$1$, für $p = 2$ aber mindestens
gleich $2$ sein muß, so ist ja $\dfrac{\xi^{m-1}}{m!}$ von der Ordnung:
\[
\Tag{(9)}
(m - 1)k - \frac{m - s_{m}}{p - 1}.
\]
Da nun diese Zahl in den beiden unterschiedenen Fällen in einer der
Formen geschrieben werden kann:
\[
\Tag{(9^{a})}
(m - 1)(k - 1) + \frac{(m - 1)(p - 3) + (m - 2) + s_{m}}{p - 1}
\]
bzw.:
\[
\Tag{(9^{b})}
(m - 1)(k - 2) + (m - 2) + s_{m},
\]
so erkennt man, daß diese Ordnungszahl für jedes $m = 2$,~$3$,~\dots\ mindestens
gleich Eins ist, da im ersten Falle $m - 2$,~$k - 1$,~$p - 3$, im
zweiten $m - 2$,~$k - 2$ nicht negativ sind, in beiden Fällen aber $s_{m}$
sicher positiv ist. Hiernach sind also alle Glieder der Reihe~\Eq{(8^{a})} mit
Ausnahme der ersten, also auch die Summe derselben kleiner als Eins;
die Gleichung~\Eq{(8^{a})} ist also unmöglich.

Legt man in der Potenzreihe~$E(x)$ der Variablen~$x$ irgendeinen
$p$-adischen Wert bei, welcher dem Konvergenzbereiche derselben angehört,
\dh\ durch $p$ bzw.\ für $p = 2$ durch $4$ teilbar ist, so wird
\PageSep{153}{137}
\[
y = E(x) = 1 + x\left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + \dots\right) = 1 + z
\]
eine Haupteinheit für die ungerade Primzahl~$p$ bzw.\ für $p = 2$ eine
Haupteinheit Modulo~$4$. Da nämlich die rechts in der Klammer
stehende Reihe nach dem soeben geführten Beweise äquivalent Eins
ist, so ist in dieser Gleichung stets $z \sim x\ (p)$. Wir können also den
folgenden Satz aussprechen:
\begin{Theorem}
Durch die Funktion~$E(x)$ werden innerhalb ihres Konvergenzbereiches
lauter Haupteinheiten modulo~$p$ dargestellt, wenn
$p$ ungerade, und lauter Haupteinheiten modulo~$4$, wenn $p = 2$ ist;
in beiden Fällen besteht die Gleichung:
\[
\Tag{(10)}
y = E(x) = 1 + z,
\]
und zwischen den zusammengehörigen $p$-adischen Zahlen $z$~und~$x$
besteht immer die Kongruenz:
\[
\Tag{(11)}
\frac{z}{x} \equiv 1\ (\mod.~p),
\]
beide besitzen also stets dieselbe Ordnungszahl und denselben Anfangskoeffizienten.
\end{Theorem}

Ersetzt man in der Reihe~$E(x)$ die Variable~$x$ durch eine in einem
Bereiche $\xi < \xi_{0}$ konvergente Potenzreihe~$\phi(\xi)$, deren einzelne Glieder
in diesem Bereiche sämtlich mindestens durch $p$ (bzw.\ für $p = 2$ mindestens
durch~$2^{2}$) teilbar sind, so wird:
\[
E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{\phi(\xi)}{1!} + \frac{\phi(\xi)^{2}}{2!} + \dots
\]
in demselben Bereiche eine unbedingt konvergente Potenzreihe von~$\xi$,
welche also nach Potenzen von $\xi$ geordnet werden kann.

Setzt man nämlich zunächst $p$ als ungerade Primzahl voraus, so
kann man $\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ in der Form schreiben:
\[
\phi(\xi) = p \bar{\phi}(\xi)
\]
wo jetzt
\[
\bar{\phi}(\xi) = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \bar{a}_{2} \xi^{2} + \dots
\]
eine Potenzreihe mit lauter modulo~$p$ ganzzahligen Gliedern $\bar{a}_{i} \xi^{i}$ ist.
\PageSep{154}{138}

In der Doppelreihe:
\[
E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi) + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots
\]
sind nun erstens für ein genügend großes $n$ in allen auf $\dfrac{p^{n}}{n!}\bar{\phi}(\xi)^{n}$
folgenden Potenzreihen alle Glieder durch eine beliebig hohe Potenz~$p^{s}$
von $p$ teilbar, weil $\lim\limits_{\nu=\infty} \dfrac{p^{\nu}}{\nu!} = 0$ ist, während alle Glieder von $\bar{\phi}(\xi)^{\nu}$
modulo~$p$ ganz sind. Zweitens sind aber in der nach Weglassung aller
dieser Reihen übrig bleibenden abbrechenden Doppelreihe:
\[
1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi)
  + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots
  + \frac{p^{n}}{n!}\, \bar{\phi}(\xi)^{n}
\]
für ein genügend großes $\nu$ alle auf das Glied $\bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}$ von $\bar{\phi}(\xi)$ folgenden
Glieder wegen der Konvergenz von $\bar{\phi}(\xi)$ ebenfalls durch $p^{s}$ teilbar,
\dh\ es ist
\[
\bar{\phi}(\xi)
  \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \dots + \bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}\ (\mod.~p^{s}),
\]
und hieraus erhält man die weiteren Kongruenzen:
\[
\bar{\phi}(\xi)^{i}
  \equiv (\bar{\Errata{\alpha}{a}}_{0}
        + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{1} \xi + \dots
        + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{\nu} \xi^{\nu})^{i}
  \ (\mod.~p^{s}) \quad (i = 1, 2, \dots n)\DPtypo{}{.}
\]

Hieraus folgt, daß die Reihe~$E(\phi(\xi))$ für alle Werte $\xi < \xi_{0}$ in
der Tat unbedingt konvergent ist, daß also ihre Glieder in beliebiger
Reihenfolge summiert werden können. Genau ebenso wird derselbe
Satz für den Fall $p = 2$ bewiesen unter der Voraussetzung, daß hier
alle Glieder der Potenzreihe~$\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ mindestens durch
$2^{2}$ teilbar sind.

Hieraus folgt endlich, daß unter der soeben gemachten Voraussetzung
die Potenzreihe $\eta = E(\phi(\xi))$ für den ganzen Bereich $\xi < \xi_{0}$
eine differenzierbare Funktion von~$\xi$, und daß
\[
\frac{d\eta}{d\xi} = \frac{dE}{d\xi} = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi)
\]
ist. Ist nämlich in den beiden Gleichungen
\[
\eta = E(x),\quad x = \phi(\xi)
\]
$d\xi$ ein unendlich kleines Inkrement von~$\xi$, und sind $dx$~und~$d\eta$ diejenigen
Inkremente von~$x$ und von~$\eta$, die diesem $d\xi$ entsprechen, so ist ja:
\PageSep{155}{139}
\[
\Tag{(12)}
\frac{d\eta}{d\xi}
  = \frac{d\eta}{dx}·\frac{dx}{d\xi}
  = \frac{dE}{dx}·\frac{dx}{d\xi}
  = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi),
\]
und damit ist die obige Behauptung bewiesen.

Im Anschluß an die gebräuchliche Bezeichnung der elementaren
Funktionentheorie will ich allein für die Werte von~$x$, welche im Konvergenzbereiche
von $E(x)$ liegen, diese Reihe durch $e^{x}$ bezeichnen und
die allein für alle $x < 1\ (p)$ bzw.\ für $p = 2$ für alle $x < 2\ (2)$ definierte
Funktion:
\[
y = e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots\ (p)
\]
die \so{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$}
\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$}%
nennen.


\Section{§ 3.}{Der Logarithmus im Bereiche der $p$-adischen Zahlen.}

Auf der Grundlage der bisher gewonnenen Resultate wollen wir
nun die durch die Gleichung
\[
\Tag{(1)}
y = e^{x}
\]
definierte Funktion genauer untersuchen und den Nachweis führen,
daß ebenso, wie $y$ in einem bestimmten Bereiche von $x$ als konvergente
Potenzreihe darstellbar ist, auch $x$ als Potenzreihe von $y$ eindeutig
dargestellt werden kann. Ist nämlich $x \lesssim p$ für ein ungerades~$p$,
bzw.\ $x \lesssim 2^{2}$ für $p = 2$, so ist
\[
y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots = 1 + z
\]
wo $z \sim x\ (p)$ ist. Zwischen den beiden Variablen $x$~und~$z$ besteht also
die Gleichung:
\[
\Tag{(2)}
z = \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots
\]

Wir fragen jetzt: Gibt es eine Potenzreihe von~$z$, welche wir
durch
\PageSep{156}{140}
\[
\Tag{(3)}
\frakL(z) = b_{0} + b_{1} z + \dots
\]
bezeichnen wollen, für welche $x = \frakL(z)$, für die also
\[
\Tag{(4)}
e^{\frakL(z)} = y = 1 + z
\]
ist?

Ich setze voraus, daß die gesuchte Reihe~\Eq{(3)} in einem endlichen
Bereiche konvergiert, und daß in demselben ihre sämtlichen Glieder
$b_{i} z^{i}$ mindestens durch $p$ bzw.\ durch $2^{2}$ teilbar sind. Nach dem auf
\Seite{137}~ff.\ bewiesenen Satze ist dann
\[
\Tag{(4^{a})}
e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots
\]
in demselben Bereiche unbedingt konvergent und kann in eine Potenzreihe,
welche nach Potenzen von $z$ fortschreitet, umgeordnet werden.
Es frägt sich, wie die Koeffizienten~$b_{i}$ von~$\frakL(z)$ zu bestimmen sind,
damit die unendliche Reihe~\Eq{(4^{a})} gleich $1 + z$ wird.

In der Reihe~\Eq{(3)} muß zunächst $b_{0} = 0$ sein, da nach dem soeben
auf \Seite{136} bewiesenen Satze für $z = 0$, also $y = 1$, $x = \frakL(0) = 0$ sein
muß.

Angenommen nun, es gäbe eine solche Potenzreihe~\Eq{(3)} mit endlichem
Konvergenzbereiche. Differenzieren wir dann die Gleichung~\Eq{(4)} nach
$z$ unter Benutzung der Gleichung~\Eq{(12)} auf \Seite{139} und beachten dabei,
daß $\dfrac{d e^{x}}{dx} = e^{x} = 1 + z$ ist, so folgt:
\[
\Tag{(4^{b})}
e^{\frakL(z)} \frakL'(z) = (1 + z) \frakL'(z) = 1.
\]
Die Reihe~$\frakL'(z)$ muß also die Gleichung:
\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original]
(1 + z) \frakL'(z)
  &= (1 + z)(b_{1} + 2b_{2} z + 3b_{3} z^{2} + \dots) \\
  &= b_{1} + (b_{1} + 2b_{2}) z + (2b_{2} + 3b_{3}) z^{2} + \dots = 1
\end{align*}
erfüllen, und aus ihr ergeben sich durch Koeffizientenvergleichung für
die $b_{i}$ die Werte:
\[
b_{1} = 1,\quad
b_{2} = -\tfrac{1}{2},\quad
b_{3} = +\tfrac{1}{3},\quad
b_{4} = -\tfrac{1}{4},\ \dots.
\]
Gibt es also überhaupt eine Potenzreihe, welche die Gleichung~\Eq{(4)}
erfüllt, so ist es die folgende:
\PageSep{157}{141}
\[
\Tag{(5)}
\frakL(z) = z - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \frac{z^{4}}{4} + \dots.
\]
Zunächst erkennt man, daß diese Reihe wirklich einen endlichen Konvergenzbereich
besitzt, daß sie nämlich für alle $z \lesssim p$ konvergiert,
dagegen für $z \gtrsim 1$ divergiert. Ist nämlich $z$ von der nullten
oder von negativer Ordnung, so gilt dasselbe von~$z^{m}$, also a~fortiori
von~$\dfrac{z^{m}}{m}$. Ist dagegen $z = pz_{0}$ von der ersten oder höherer Ordnung,
so ist sicher
\[
\lim_{m=\infty} \frac{z^{m}}{m} = \lim_{m=\infty} \frac{p^{m}}{m}·z_{0}^{m} = 0.
\]

In der Tat ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m}$ nach \Eq{(2)} auf \Seite{111}
gleich:
\[
\Tag{(6)}
\begin{gathered}
m - \frac{s_{m-1} - s_{m} + 1}{p - 1}
  = \frac{m(p - 1) - 1 - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1} \\
  \geqq \frac{(m - 1) - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1}
  = \mu_{m-1} + \frac{s_{m}}{p - 1},
\end{gathered}
\]
\dh\ größer als die Ordnungszahl~$\mu_{m-1}$ von~$(m - 1)!$, welche ja mit
wachsendem $m$ unendlich groß wird. Aus derselben Ungleichung folgt
weiter, daß für $z = pz_{0}$ jedes einzelne Glied mindestens die Ordnungszahl~$1$
besitzt, da die Ordnungszahl~\Eq{(6)} größer ist als die Zahl
$\mu_{m-1} + \dfrac{s_{m}}{p - 1}$, in welcher $s_{m}$ sicher positiv ist. Ist speziell $p = 2$ und
$z = 2^{2} z_{0}$, so besitzt $\dfrac{z^{m}}{m} = \dfrac{2^{2m}}{m} z_{0}^{m}$ mindestens die Ordnungszahl
\[
\Tag{(7)}
\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original]
2m - s_{m-1} + s_{m} - 1
  &= (m - 1) - s_{m-1} + m + s_{m} \\
  &= \mu_{m-1} + m + s_{m} ,
\end{aligned}
\]
und diese ist stets mindestens gleich~$2$, da $m$ und $s_{m}$ beide $\geqq 1$ sind.

Ersetzt man also in~$e^{x}$\; $x$~durch
\[
\frakL(z) = \frac{z}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \dots
\]
und nimmt für ein ungerades~$p$\; $z < 1\ (p)$, für $p = 2$ aber $z < 2^{1}\ (2)$
an, so konvergiert die Potenzreihe~$\frakL(z)$ unbedingt, und jedes von
ihren Gliedern ist mindestens durch $p$ bzw.\ mindestens durch $2^{2}$
\PageSep{158}{142}
teilbar. Nach dem auf \Seite{137}~f.\ bewiesenen Satze konvergiert also die
Reihe:
\[
\Tag{(8)}
e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots = \chi(z)
\]
unbedingt und kann daher nach Potenzen von $z$ geordnet werden.
Man sieht nun leicht, daß in der so geordneten Reihe
\[
\chi(z) = 1 + z + c_{2} z^{2} + \dots,
\]
in welcher, wie man sich aus der Entwicklung direkt überzeugt,
$c_{0} = c_{1} = 1$ ist, alle weiteren Koeffizienten Null sein müssen. Differenziert
man nämlich die obige Gleichung~\Eq{(8)} nach~$z$, so erhält man nach
\Eq{(12)} auf \Seite{139}
\[
e^{\frakL(z)}·\frakL'(z) = \chi'(z)
\]
oder, da $e^{\frakL(z)} = \chi(z)$ und nach~\Eq{(4^{b})} $\frakL'(z) = \dfrac{1}{1 + z}$ ist, so geht diese
Gleichung über in:
\[
\chi(z) = \chi'(z) (1 + z),
\]
\dh\
\[
1 + z + c_{2} z^{2} + \dots = (1 + 2c_{2} z + 3c_{3} z^{2} + \dots) (1 + z),
\]
und hieraus folgt durch Ausführung der Multiplikation und Koeffizientenvergleichung:
\[
2c_{2} + 1 = 1,\quad
3c_{3} + 2c_{2} = c_{2},\ \dots,
\]
\dh\
\[
c_{2} = c_{3} = c_{4} = \dots = 0;
\]
unsere Behauptung ist somit in ihrem vollen Umfange bewiesen.

Die soeben durchgeführten Betrachtungen zeigen, daß, falls $p$
ungerade ist, für jedes $\xi < 1$
\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original]
e^{\zeta}
   = 1 + \frac{\zeta}{1!} + \frac{\zeta^{2}}{2!} + \dots
  &= 1 + \epsilon_{1} p + \epsilon_{2} p^{2} + \dots \\
  &= 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\dots = \epsilon = 1 + \eta
\end{align*}
ist, wo $\epsilon = 1 + \eta$ eine Haupteinheit modulo~$p$, \dh\ eine solche Einheit
ist, welche kongruent~$1$ modulo~$p$ ist, und daß umgekehrt, wenn
$\epsilon = 1 + \eta$ eine beliebige Haupteinheit modulo~$p$ ist, zu ihr eine
wegen \Seite{135} unten eindeutig bestimmte durch $p$ teilbare Zahl
\PageSep{159}{143}
\[
\zeta = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots
\]
gehört, für welche $e^{\zeta} = \epsilon$ ist. Dasselbe ist für die gerade Primzahl~$2$
der Fall; nur muß dann $\zeta$ mindestens durch $4$ teilbar sein, und die
Gleichung $e^{\zeta} = \epsilon$ liefert dann auch
\[
\epsilon = 1\MathOrd{,}0\,\epsilon_{2} \dots = 1 + \eta
\]
als eine Haupteinheit modulo~$4$, für welche also $\eta$ ebenfalls mindestens
durch $4$ teilbar ist.

Wir wollen in Übereinstimmung mit der entsprechenden Bezeichnung
der elementaren Analysis die durch die Gleichung
\[
e^{\zeta} = \epsilon
\]
bestimmte $p$-adische Zahl~$\zeta$ \so{den Logarithmus von $\epsilon$ für
den Bereich von~$p$} nennen und sie durch $\ilg \epsilon$ bezeichnen.
\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Haupteinheit}%
Umgekehrt soll, wenn eine Bezeichnung erwünscht sein sollte, \so{$\epsilon$~der
Numerus von~$\zeta$} heißen. Dann läßt sich das Resultat der soeben
durchgeführten Betrachtung in dem folgenden Fundamentalsatze
aussprechen, in dem $p$ eine ungerade Primzahl bezeichnet:
\begin{Theorem}
Jede Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$ besitzt stets
einen einzigen durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Logarithmus, und umgekehrt
gehört zu jeder durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Zahl eine
eindeutig bestimmte Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$, deren
Logarithmus sie ist.

Sind
\[
e^{\zeta} = \epsilon \quad\text{und}\quad
e^{\zeta'} = \epsilon'
\]
zwei beliebige Haupteinheiten für $p$ bzw.\ $4$, so folgen aus den
Gleichungen:
\[
e^{\zeta+\DPtypo{\zeta}{\zeta'}} = \epsilon\epsilon',\quad
e^{\zeta-\zeta'} = \frac{\epsilon}{\epsilon'},\quad
e^{\zeta m}  = \epsilon^{m}
\]
die Beziehungen:
\[
\ilg (\epsilon\epsilon') = \ilg \epsilon + \ilg \epsilon',\quad
\ilg \frac{\epsilon}{\epsilon'} = \ilg \epsilon - \ilg \epsilon',\quad
\ilg (\epsilon^{m}) = m\ilg \epsilon.
\]
\end{Theorem}

Um zu zeigen, wie einfach sich für den Bereich einer nicht zu großen
Primzahl die Logarithmen der Haupteinheiten berechnen lassen, will
\PageSep{160}{144}
ich die Bestimmung von einigen Logarithmen für den Bereich von $3$
auf $7$ Stellen genau durchführen. Hierzu gebe ich zunächst die triadischen
Werte der in der Reihe
\[
\ilg (1 + x)
  = \frac{x}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots\ (3)
\]
auftretenden Koeffizienten auf sieben Stellen, soweit sie für den vorliegenden
Zweck gebraucht werden:
\[
\begin{aligned}
            1 &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\
-\tfrac{1}{2} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\
+\tfrac{1}{3} &= 1\,0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\
-\tfrac{1}{4} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,2\,0\,2\,0\,2\,0 \dots \\
+\tfrac{1}{5} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,1\,2\,1\,0\,1\,2 \dots \\
-\tfrac{1}{6} &= 1\,1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\
+\tfrac{1}{7} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,0\,2\,1\,2\,0\,1 \dots
\end{aligned}
\qquad(3)
\]
Die Berechnung dieser Koeffizienten gestaltet sich sehr einfach mit
Hilfe der Formeln:
\begin{align*}
-\tfrac{1}{2}
  &= \frac{1}{1 - 3}
   = 1 + 3 + 3^{2} + \dots
   = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\dots \dbrk
-\tfrac{1}{4}
  &= -\frac{1}{1 + 3}
   = -(1 - 3 + 3^{2} - \dots)
   = -(1\MathOrd{,}{-}1\ 1\ {-}1\ 1\dots) \dbrk
+\tfrac{1}{5}
  &= -\frac{1}{1 - 2·3}
   = -(1 + 2·3 + 2^{2}·3^{2} + \dots)
   = -(1\MathOrd{,}2\,4\,8\,16\dots) \dbrk
+\tfrac{1}{7}
  &= \frac{1}{1 + 2·3}
   = 1 - 2·3 + 2^{2}·3^{2} - \dots
\end{align*}
So ergeben sich ohne Schwierigkeit für die Logarithmen der Haupteinheiten
modulo~$3$ die folgenden Werte:\PageLabel{145}
\begin{alignat*}{2}
&\ilg(-20) &&= 0\MathOrd{,}2\,0\,1\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk
&\ilg(-17) &&= 0\MathOrd{,}0\,1\,2\,0\,0\,0\,2 \dots \dbrk
&\ilg(-14) &&= 0\MathOrd{,}1\,0\,0\,0\,2\,2\,1 \dots \dbrk
&\ilg(-11) &&= 0\MathOrd{,}2\,1\,2\,2\,2\,1\,1 \dots \dbrk
&\ilg(-8)  &&= 0\MathOrd{,}0\,2\,2\,0\,0\,1\,1 \dots \dbrk
&\ilg(-5)  &&= 0\MathOrd{,}1\,1\,2\,0\,1\,0\,1 \dots \dbrk
&\ilg(-2)  &&= 0\MathOrd{,}2\,2\,0\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk
&\ilg(1)   &&= 0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \dbrk
&\ilg(4)   &&= 0\MathOrd{,}1\,2\,1\,0\,2\,2\,0 \dots \dbrk
%\PageSep{161}{145}
&\ilg(7)  &&=0\MathOrd{,}2\,0\,2\,2\,0\,2\,1 \dots \dbrk
&\ilg(10) &&=0\MathOrd{,}0\,1\,0\,1\,2\,1\,1 \dots \dbrk
&\ilg(13) &&=0\MathOrd{,}1\,0\,2\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk
&\ilg(16) &&=0\MathOrd{,}2\,1\,0\,1\,1\,2\,1 \dots \dbrk
&\ilg(19) &&=0\MathOrd{,}0\,2\,0\,1\,1\,2\,0 \dots \dbrk
&\ilg(22) &&=0\MathOrd{,}1\,1\,2\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk
&\ilg(25) &&=0\MathOrd{,}2\,2\,1\,1\,2\,0\,2 \dots \dbrk
&\ilg(28) &&=0\MathOrd{,}0\,0\,1\,0\,0\,1\,2 \dots\DPtypo{}{.}
\end{alignat*}

Hierzu bemerke ich noch, daß natürlich nur die Logarithmen derjenigen
Haupteinheiten wirklich berechnet zu werden brauchen, welche
positive oder negative Primzahlen sind; denn die Logarithmen aller
zusammengesetzten Zahlen ergeben sich ja aus diesen durch Addition.


\Section{§ 4.}{Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell
im Körper der $p$-adischen Zahlen.}

Ich wende mich jetzt zu der Frage, wann eine Gleichung im
Körper der $p$-adischen Zahlen eine Wurzel hat. Da die hier zu beweisenden
Sätze für jeden beliebigen Zahlkörper gelten, und da wir
diese später auch für andere Körper brauchen werden, so leite ich sie
gleich für beliebige Körper ab.

Es sei also $K$ ein beliebiger Zahlkörper und
\[
\Tag{(1)}
F(x) = A_{0}x^{n} + A_{1}x^{n-1} + \dots + A_{n-1}x + A_{n} = 0
\]
eine Gleichung, deren Koeffizienten~$A_{i}$ Elemente aus $K$ sind. Es ist
keineswegs notwendig, daß eine solche Gleichung immer eine Zahl~$\xi$
aus $K$ als Wurzel besitzt, daß also immer in $K$~eine Zahl~$\xi$ existiert,
für welche $F(\xi) = 0$ ist; es kann vielmehr sehr wohl sein, daß $K$ nicht
ausgedehnt genug ist, um Wurzeln jener Gleichungen zu enthalten.
So besitzt \zB\ die Gleichung:
\[
x^{2} - 2 = 0\ (5)
\]
im Gebiete der pentadischen Zahlen keine Wurzel, weil das Anfangsglied
einer solchen Wurzel
\[
\xi = a_{0} + a_{1} 5 + a_{2} 5^{2} + \dots\ (5)
\]
\PageSep{162}{146}
ja sicher der Kongruenz:
\[
a_{0}^{2} - 2 \equiv 0\ (\mod.~5)
\]
genügen müßte, was für keine der Zahlen $a_{0} = 0$,~$1$, $2$,~$3$,~$4$ der Fall ist;
ebensowenig ist \zB\ die Gleichung
\[
x^{2} - 3 = 0\ (7)
\]
im Körper der heptadischen Zahlen lösbar. Dagegen hat die Gleichung
\[
x^{3} - 2 = 0\ (5)
\]
die eine Wurzel $\xi = \sqrt[3]{2} = 3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots\ (5)$, aber keine weitere, wie
eine einfache Betrachtung lehrt; die Gleichung
\[
x^{2} + 1 = 0\ (5)
\]
hat die beiden pentadischen Wurzeln:
\[
\begin{alignedat}{2}
x_{1} &=  &\sqrt{-1} &= 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4 \dots \\
x_{2} &= -&\sqrt{-1} &= 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0 \dots,
\end{alignedat}
\quad (5)
\]
wie man durch Einsetzen dieser Werte leicht bestätigt.

Besitzt eine Gleichung $F(x) = 0$ in einem Körper~$K$ eine oder
mehrere Wurzeln, so bestehen für diese genau die nämlichen Sätze wie
in der elementaren Algebra und sie werden auch wörtlich ebenso bewiesen.
Darum sollen auch nur die wichtigsten von ihnen kurz hervorgehoben
werden.

Eine ganze rationale Funktion~$F(x)$ von~$x$ mit Koeffizienten aus~$K$
läßt sich stets nach Potenzen eines beliebigen Linearfaktors $x - \xi$
nach dem Taylorschen Satze entwickeln, wenn $\xi$~eine Zahl des Körpers
ist, und zwar ergibt sich dann die Entwicklung:
\[
\MarginTag{(2)}
\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original]
&F(x) = F(\xi + (x - \xi)) \\
&\quad= A_{0} (\xi + (x - \xi))^{n} + \dots + A_{n-1} (\xi + (x - \xi)) + A_{n} \\
&\quad= F(\xi) + (x - \xi) F'(\xi) + (x - \xi)^{2} \frac{F''(\xi)}{1·2} + \dots
    + (x - \xi)^{n} \frac{F^{n}(\xi)}{n!},
\end{aligned}
\]
wo, wie man durch Ausrechnen leicht bestätigt,
\begin{align*}
\Tag{(2^{a})}
F'(\xi) &= nA_{0} \xi^{n-1} + (n - 1)A_{1} \xi^{n-2} + \dots + A_{n-1}, \\
\PageSep{163}{147}
\Tag{(2^{b})}
F''(\xi) &= \begin{aligned}[t]
  n(n - 1)A_{0} \xi^{n-2} &+ (n - 1)(n - 2)A_{1} \xi^{n-3} \\
  &\qquad\qquad+ \dots + 2A_{n-2},
\end{aligned} \\[-\baselineskip]
\dots& \\
\dots&
\end{align*}
die Werte sind, welche die sogen.\ erste, zweite,~\dots\ Ableitung von~$F$
für $x = \xi$ annimmt.

Da speziell jede ganze Funktion~$F(x)$ mit $p$-adischen Koeffizienten
als eine abbrechende Potenzreihe angesehen werden kann, welche
also für jeden Wert des Argumentes konvergiert, so folgt hier die Entwickelbarkeit
nach Potenzen von $x - \xi$ auch direkt aus dem \aSeite{131}
bewiesenen Taylorschen Satze für Potenzreihen.

Ist nun speziell $\xi$ eine Wurzel von $F(x) = 0$ im Körper~$K$, so wird
\index{Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung}%
in~\Eq{(2)} das Anfangsglied~$F(\xi)$ Null und man erhält:
\[
\Tag{(3)}
F(x) = (x - \xi)
  \DPchg{(}{\biggl(}F'(\xi) + \frac{F''(\xi)}{1·2}(x - \xi) + \dots\DPchg{)}{\biggr)}
     = (x - \xi)·F_{1}(x),
\]
\dh\ $F(x)$ ist durch den Linearfaktor $x - \xi$ teilbar. Ist umgekehrt
die letzte Gleichung erfüllt, so ergibt sich aus ihr, wenn man $x = \xi$
setzt, $F(\xi) = 0$, \dh\ $\xi$~ist eine Wurzel der Gleichung $F(x) = 0$.

\begin{Theorem}
Die Gleichung $F(x) = 0$ besitzt also stets und nur dann die
Wurzel $x = \xi$, wenn ihre linke Seite durch den zugehörigen
Linearfaktor $x - \xi$ teilbar ist.
\end{Theorem}

So ergibt sich \zB\ für die vorher als Beispiel angeführten Gleichungen:
\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original]
x^{2} + 1
  &= (x-2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\dots)
     (x-3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\dots)\ (5), \\
x^{3} - 2
  &= (x-3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots)
     (x^{2}+3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots x+4\MathOrd{,}1\,2\,4\,4\dots)\ (5).
\end{align*}

Die Zahl~$\xi$ heißt eine \so{$h$-fache Wurzel} unserer Gleichung,
wenn deren linke Seite durch die \Ord{$h$}{-te}~Potenz von~$x - \xi$, aber durch
keine höhere teilbar ist, wenn also eine identische Gleichung
\[
\Tag{(4)}
F(x) = (x - \xi)^{h} F_{1}(x)
\]
besteht, in welcher die (offenbar den Grad~$n - h$ besitzende) ganze
Funktion $F_{1}(x)$ durch $x - \xi$ nicht mehr teilbar ist. Aus der Gleichung~\Eq{(4)}
folgt sofort, daß $\xi$ dann und nur dann eine $h$-fache Wurzel der
Gleichung $F(x) = 0$ ist, wenn
\PageSep{164}{148}
\[
F(\xi) = F'(\xi) = \dots = F^{(h-1)}(\xi) = 0, \quad\text{aber}\quad
F^{(h)}(\xi) \neq 0
\]
ist; denn allein in diesem Falle gilt ja
\[
F(x) = (x - \xi)^{h} \left(\frac{F^{(h)}(\xi)}{h!}
  + (x - \xi) \frac{F^{(h+1)}(\xi)}{(h + 1)!} + \dots\right)
  = (x - \xi)^{h}·F_{1}(x),
\]
wo $F_{1}(\xi) = \dfrac{F^{(h)}(\xi)}{h!} \neq 0$ ist. Wir wollen im folgenden stets eine $h$-fache
Wurzel als äquivalent zu $h$ verschiedenen einfachen Wurzeln betrachten.

Nach diesen Erörterungen ist es jetzt leicht, die Richtigkeit des
folgenden Satzes einzusehen:
\begin{Theorem}
Besitzt die Gleichung $F(x) = 0$, deren Koeffizienten dem
Körper~$K$ angehören, die $k$~gleichen oder verschiedenen Wurzeln
$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{k}$ aus~$K$, so ist ihre linke Seite durch das Produkt der
$k$~zugehörigen Linearfaktoren $(x - \xi_{1})(x - \xi_{2})\dots(x - \xi_{k})$ teilbar.
Insbesondere kann daher eine Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades, die
mindestens einen von Null verschiedenen Koeffizienten besitzt,
nie mehr als $n$ Wurzeln haben.
\end{Theorem}

Wir wollen diesen Satz durch vollständige Induktion beweisen;
in der Tat ist er ja nach den letzten Betrachtungen im Fall einer einfachen
Wurzel~$\xi_{1}$ für $k = 1$ richtig und, falls $\xi_{1}$ allgemeiner eine $h$-fache
Wurzel ist, sogar für $k = h$. Wir setzen nun voraus, der Satz sei bereits
für einen Wert $k = m$ bewiesen, wobei offenbar die Annahme erlaubt
ist, daß unter den gleichen oder verschiedenen Wurzeln der Reihe
$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ jede bereits so oft vorkommt, als der zugehörige Linearfaktor
in $F(x)$ enthalten ist; dann sei also schon gezeigt, daß
\[
F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m}) F_{m+1}(x)
\]
ist. Ist nun $\xi_{m+1}$~eine weitere Wurzel der Gleichung, so folgt, da $\xi_{m+1}$
nach Voraussetzung von jeder der Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ verschieden
ist, speziell für $x = \xi_{m+1}$:
\[
F(\xi_{m+1}) = 0
  = (\xi_{m+1} - \xi_{1})
    (\xi_{m+1} - \xi_{2}) \dots
    (\xi_{m+1} - \xi_{m}) F_{m+1}(\xi_{m+1}),
\]
und hieraus $F_{m+1}(\xi_{m+1}) = 0$, weil ja in einem Körper ein Produkt nur
dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor Null ist; $\xi_{m+1}$~ist
also eine Wurzel der Gleichung $F_{m+1}(x) = 0$, \dh\ es gilt:
\PageSep{165}{149}
\[
F_{m+1}(x) = (x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x).
\]
Da somit unsere Annahme die Identität
\[
F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m})(x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x)
\]
zur Folge hat, so ist die erste Behauptung unseres Satzes wirklich für
jedes $k$ richtig. Ist aber unsere Gleichung vom \Ord{$n$}{-ten} Grad und besitzt
sie gerade $n$~gleiche oder verschiedene Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ergibt
das soeben gewonnene Resultat für $k = n$ die Identität
\[
F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{n}) F_{n+1}(x),
\]
wo ersichtlich $F_{n+1}(x)$ einer Konstanten und zwar dem Koeffizienten~$A_{0}$
von $x^{n}$ gleich sein muß, wie man durch Vergleichung des Koeffizienten
von $x^{n}$ auf beiden Seiten erkennt. Da also eine $(n + 1)$-te,
von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$ verschiedene Zahl~$\xi_{n+1}$ nur dann gleichfalls Wurzel
der Gleichung sein kann, wenn $A_{0} = F_{n+1}(x) = 0$ ist, so sieht man
sukzessive auch die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes ein.
Insbesondere läßt sich hieraus noch die Folgerung ziehen:
\begin{Theorem}
Besitzt die Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades $F(x) = 0$ gerade $n$ voneinander
verschiedene Wurzeln, so hat auch jeder Teiler $\phi(x)$
von $F(x) = \phi(x)\psi(x)$ genau so viele Wurzeln, als sein Grad angibt.
\end{Theorem}

Sind nämlich $\mu$~und~$\nu$ die Grade der Faktoren $\phi(x)$~und~$\psi(x)$, so
ist $\mu + \nu = n$. Hat nun die Gleichung $F(x) = 0$ die $n$~Wurzeln
$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ist für jede derselben $F(\xi_{i}) = \phi(\xi_{i})\psi(\xi_{i}) = 0$, $\xi_{i}$~ist also
eine Wurzel von $\phi(x) = 0$ oder $\psi(x) = 0$. Hätte nun die erste dieser
beiden Gleichungen weniger als $\mu$~Wurzeln~$\xi_{1}$, so müßte die andere
$\psi(x) = 0$ die übrigen als Wurzeln haben, deren Anzahl dann größer
als der Grad~$\nu$ von $\psi(x)$ wäre, und dies widerspricht dem soeben bewiesenen
Satze. Derselbe Satz gilt auch in dem Falle, daß die Gleichung
$F(x) = 0$ mehrfache Wurzeln hat, und er wird wörtlich ebenso
bewiesen.

Als eine einfache, aber für das Folgende sehr wichtige Anwendung
betrachte ich die Gleichung
\[
x^{m} - 1 = 0
\]
\PageSep{166}{150}
für ein beliebiges $m$ und nehme an, daß sie in dem zugrunde gelegten
Körper $m$~Wurzeln
\[
w_{0},\ w_{1},\ \dots\ w_{m-1}
\]
besitzt, von denen offenbar eine, etwa~$w_{0}$, gleich $1$ sein muß. Alle diese
Wurzeln sind voneinander verschieden, da sonst die durch Ableitung
gewonnene Gleichung $mx^{m-1} = 0$ die nämliche Wurzel haben müßte,
während diese nur die $(m - 1)$-fache Wurzel $x = 0$ besitzt. Diese $m$
verschiedenen Einheitswurzeln~$w_{i}$ bilden offenbar eine Gruppe vom
\Ordsup{$m$}{-ten}~Grade; denn das Produkt~$ww'$ von zwei beliebigen Einheitswurzeln
ist, da $(ww')^{m} = w^{m} w'^{m} = 1$ ist, wieder eine solche. Das Einheitselement
dieser Gruppe ist natürlich $w_{0} = 1$. Nach dem \aSeite{106}
bewiesenen allgemeinen Satze gehört also jede Einheitswurzel~$w$ zu
einem Exponenten~$d$, wenn $d$ der kleinste positive Exponent ist, für
den $w^{d} = 1$ ist, und dieser Exponent~$d$ ist ein Teiler des Grades~$m$
der Gruppe; dann sind in der Reihe
\[
1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{d-1},\ \dots
\]
aller Potenzen von $w$ nur die ersten $d$ voneinander verschieden,
während die höheren Potenzen sich immer in derselben Reihenfolge
wiederholen. Es besteht also der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Jede Wurzel der Gleichung $x^{m} = 1$ gehört zu einem Exponenten~$d$,
der ein Teiler von~$m$ (also eventuell auch gleich $m$
selbst) ist.
\end{Theorem}

Wir lösen jetzt die wichtige Frage, welche gewissermaßen die Umkehrung
des vorigen Satzes bildet: Es sei $d$ irgendein beliebiger Teiler
von~$m$; wieviele unter den $m$~Wurzeln der Gleichung $x^{m} = 1$ gehören
gerade zum Exponenten~$d$? Zur Lösung dieser Frage führen folgende
Bemerkungen: Gehört die Zahl~$w$ zum Exponenten~$d$, so genügt sie der
Gleichung $x^{d} = 1$. Ist ferner $dd' = m$, so folgt aus der Identität:
\[
x^{m} - 1 = (x^{d} - 1)(1 + x^{d} + x^{2d} + \dots + x^{(d'-1)d}),
\]
daß $x^{d} - 1$ ein Teiler von $x^{m} - 1$ ist. Da die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$
nach Voraussetzung so viele Wurzeln besitzt, als ihr Grad angibt, so
gilt nach dem Satze auf voriger Seite dasselbe von $x^{d} - 1 = 0$. Gibt
es nun wenigstens eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so
\PageSep{167}{151}
genügen die $d$ voneinander verschiedenen Potenzen $1$,~$w$, $w^{2}$,~\dots~$w^{d-1}$
ebenfalls der letzten Gleichung, da ja auch $(w^{k})^{d} = (w^{d})^{k} = 1$ ist. Also
ist dann identisch
\[
x^{d} - 1 = (x - 1)(x - w) \dots (x - w^{d-1}),
\]
während diese Gleichung andere Wurzeln nicht besitzen kann. Um
nun zu finden, wieviele unter diesen Wurzeln~$w^{k}$ zum Exponenten~$d$
gehören, bezeichnen wir den größten gemeinsamen Teiler $(k, d)$ von
$k$~und~$d$ mit~$\delta$, so daß sich ergibt:
\[
k = k_{0}\delta,\quad d = d_{0}\delta,\quad (k_{0}, d_{0}) = 1.
\]
Soll dann
\[
(w^{k})^{\bar{d}} = w^{k_{0}\delta\bar{d}} = 1
\]
sein, so muß der Exponent $k_{0}\delta\bar{d}$ durch $d = d_{0}\delta$, also $k_{0}\bar{d}$ durch $d_{0}$ oder,
da $(k_{0}, d_{0}) = 1$ ist, $\bar{d}$ durch $d_{0}$ teilbar sein. Der kleinste mögliche positive
Wert von~$\bar{d}$, für welchen die obige Gleichung besteht, ist also
$d_{0} = \dfrac{d}{(k, d)}$. Die Wurzel~$w^{k}$ gehört also stets und nur dann zum Exponenten~$d$
selbst, wenn $(k, d) = 1$, \dh\ $k$ zu $d$ teilerfremd ist. Gibt
es also überhaupt eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so gibt
es genau $\phi(d)$ solche Wurzeln, wenn wieder $\phi(d)$ die Anzahl der
inkongruenten Einheiten modulo~$d$, also die Anzahl derjenigen Zahlen
aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$d - 1$ bedeutet, welche mit $d$ keine Primzahl
gemeinsam haben; denn die zu $d$ gehörigen Wurzeln sind alle und
nur die Potenzen~$w^{k}$ von~$w$, deren Exponent kleiner als $d$ und zu $d$
teilerfremd ist.

Zu jedem Teiler $d$ von $m$ als Exponent gehört also entweder gar
keine Wurzel~$w$ oder genau $\phi(d)$ Wurzeln. Ist also $\psi(d)$ die Anzahl der
zu $d$ als Exponent gehörigen Wurzeln~$w$, so ist entweder $\psi(d) = \phi(d)$
oder $\psi(d) = 0$. Die letzte Möglichkeit nun kann nie eintreten. Denn
da jede der $m$~Wurzeln zu einem einzigen unter den Teilern von $m$ als
Exponenten gehören muß, so besteht für die sämtlichen Zahlen $\psi(d)$
die Beziehung:
\[
\sum_{d/m} \psi(d) = m,
\]
wo die Summation über alle Teiler $d$ von $m$ zu erstrecken ist. Da aber
\PageSep{168}{152}
nach \Seite{99}~\Eq{(12)} genau dieselbe Gleichung für die sämtlichen Zahlen
$\phi(d)$ besteht, so muß
\[
\sum (\phi(d) - \psi(d)) = 0
\]
sein; und weil ferner jede einzelne dieser Differenzen nur $0$ oder positiv
sein kann, so ist diese Gleichung nur dann erfüllt, wenn für jeden Teiler~$d$
\[
\psi(d) = \phi(d)
\]
ist. Es besteht also der Satz:
\begin{Theorem}
Zu jedem Teiler $d$ von $m$ gehören genau $\phi(d)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln.
Speziell gibt es also stets $\phi(m)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln,
welche zum Exponenten~$m$ selbst gehören; diese werden \so{primitive}
\index{Primitive!Einheitswurzeln}%
\Ord{$m$}{-te}~\so{Einheitswurzeln} genannt.
\end{Theorem}

Da die Anzahl $\phi(d)$ aller zu $d$ teilerfremden Zahlen der Reihe
$1$,~$2$,~\dots~$d$ sicher positiv ist, weil doch mindestens die Zahl~$1$ zu ihnen
gehört, so existiert für jeden Teiler~$d$ von $m$ mindestens eine gerade
zu diesem Exponenten gehörige Wurzel unserer Gleichung. Speziell
gibt es also unter den $m$~Wurzeln mindestens eine zu $m$ selber gehörige
oder primitive Wurzel.

Ist $w$ eine beliebige dieser primitiven Einheitswurzeln, so sind
nach der früheren Bemerkung die $m$~Zahlen
\[
1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{m-1}
\]
$m$ voneinander verschiedene \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln,
\begin{Theorem}[\noindent]
alle \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln sind also als Potenzen einer primitiven
Einheitswurzel darstellbar.
\end{Theorem}

Setzt man endlich in der identischen Gleichung
\[
x^{m} - 1 = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{m-1})
\]
$x = 0$, so ergibt sich die Gleichung:
\[
w_{0} w_{1} \dots w_{m-1} = (-1)^{m-1}.
\]

Ist $m$ gerade, so besitzt die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$ auch die
Wurzel~$-1$. Ist $w$~eine primitive Wurzel dieser Gleichung, so ist
stets $\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = -1$; da nämlich $\bar{w}^{2} = w^{m} = 1$ ist, so kann nur
$\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = +1$ oder $-1$ sein, und der erste Fall kann nicht eintreten,
da $w$ primitive Wurzel ist.
\PageSep{169}{153}


\Chapter{Achtes Kapitel.}
{Die Elemente der Zahlentheorie im Körper
der $p$-adischen Zahlen.}

\Section{§ 1.}{Die Einheitswurzeln im Körper der $p$-adischen Zahlen.}

Nach diesen analytischen und algebraischen Vorbereitungen wende
ich mich zu einer Untersuchung der wichtigsten Fragen der elementaren
Zahlentheorie. Alle diese Fragen, welche sich, wie bereits früher
(\aSeite{17}) erwähnt wurde, auf die Multiplikation oder Division der Zahlen
beziehen, vereinfachen sich nun in wunderbarer Weise, wenn wir jeder
$p$-adischen Zahl eindeutig einen Logarithmus zuordnen können, ebenso
wie uns dies im vorigen Kapitel für die Haupteinheiten modulo~$p$ bzw.\
modulo~$4$ bereits gelungen ist. In der Tat geht ja dann jede Frage über
das Produkt oder den Quotienten von gegebenen Zahlen in die entsprechende
Frage in bezug auf die Summe bzw.\ die Differenz ihrer
Logarithmen über, und diese ist natürlich sehr viel einfacher zu lösen
als die vorige.

Es wird die Aufgabe dieses Kapitels sein, für alle $p$-adischen Zahlen
ihre Logarithmen zu bestimmen und mit Hilfe dieser Logarithmenrechnung
die wichtigsten Fragen der elementaren Arithmetik zu lösen.
Hier werden notwendig die $p$-adischen Einheitswurzeln gebraucht werden;
darum will ich zuerst die Frage lösen, welche Einheitswurzeln im
Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen existieren, \dh\ für welche Exponenten~$m$
die Gleichung
\[
x^{m} - 1 = 0\ (p)
\]
in $K(p)$ Wurzeln hat. Ich beweise da zuerst den wichtigen Satz:
\PageSep{170}{154}
\begin{Theorem}
Ist $p$ irgendeine ungerade Primzahl, so besitzt die Gleichung
\[
\Tag{(1)}
x^{p-1} - 1 = 0\ (p)
\]
im Körper~$K(p)$ genau $(p - 1)$ voneinander verschiedene Wurzeln,
\dh\ so viele Wurzeln, als ihr Grad angibt.
\end{Theorem}

Ich beweise diesen Satz dadurch, daß ich ein Verfahren angebe,
für jede der $p - 1$~Zahlen $i = 1$, $2$,~\dots~$p - 1$ eine ganze $p$-adische Zahl
\[
w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots
\]
mit dem Anfangsgliede~$i$ zu bilden, für welche $w_{i}^{p-1} = 1$ ist. Diese
$p - 1$~Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind dann schon modulo~$p$ inkongruent,
also sicher für den Bereich von $p$ voneinander verschieden; unser
Satz ist dann also vollständig bewiesen.

Es sei also $i$ irgendeine der $p - 1$~Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$; dann genügt
sie nach dem \Name{Fermat}schen Satze für die Potenzen $p$,~$p^{2}$,~$p^{3}$,~\dots\ $p^{k+1}$,~\dots\ als
Moduln der Reihe nach den Kongruenzen:
\begin{align*}
i^{\phi(p)} = i^{p-1} &\equiv 1 \quad(\mod.~p) \\
i^{\phi(p^{2})} = i^{p(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{2}) \\
i^{\phi(p^{3})} = i^{p^{2}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{3}) \\
\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} & \\
\Tag{(2)}
i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{k+1}) \\
\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} &
\end{align*}

Schreibt man diese Kongruenzen allgemein in der Form
\[
\Tag{(2^{a})}
\frac{i^{p^{k+1}}}{i^{p^{k}}} \equiv 1 \quad\text{oder}\quad
i^{p^{k+1}} \equiv i^{p^{k}} \quad(\mod.~p^{k+1}),
\]
so erkennt man, daß sich die Potenzen
\[
\Tag{(3)}
i,\ i^{p},\ i^{p^{2}},\ i^{p^{3}},\ \dots
\]
für den Bereich von $p$ einer Grenze $w_{i}$ nähern, welche eine wohlbestimmte
$p$-adische Zahl ist und mit jeder vorgegebenen Genauigkeit
berechnet werden kann. Bildet man nämlich die Reihe
\[
\Tag{(4)}
w_{i} = i + (i^{p} - i) + (i^{p^{2}} - i^{p}) + \dots \quad(p)
\]
\PageSep{171}{155}
und beachtet dabei, daß nach \Eq{(2^{a})} allgemein $i^{p^{k+1}} - i^{p^{k}} = i_{k+1} p^{k+1}$
gesetzt werden kann, so ergibt sich für $w_{i}$ die $p$-adische Darstellung:
\[
\Tag{(5)}
w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots\ (p);
\]
andererseits sind die Näherungswerte von $w_{i}$ folgende:
\[
\Tag{(5^{a})}
w_{i}^{(0)} = i,\quad
w_{i}^{(1)} = i + (i^{p} - i) = i^{p},\ \dots\quad
w_{i}^{(k)} = i^{p^{k}},\ \dots.
\]

Hieraus folgt, daß die so bestimmte Zahl~$w_{i}$ der Gleichung
\[
w_{i}^{p-1} = 1\ (p)
\]
genügt, weil nach \Eq{(2)} für jede noch so hohe Potenz von $p$ als Modul
für die Näherungswerte von $w_{i}$ die Kongruenz besteht:
\[
(w_{i}^{(k)})^{p-1} = i^{p^{k}(p-1)} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1}).
\]

Jede der $p - 1$ verschiedenen $p$-adischen Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$
ist also in der Tat eine Wurzel der Gleichung
\[
x^{p-1} - 1 = 0\ (p)
\]
und nach dem Satze \aSeite{148} kann diese auch nicht mehr Wurzeln als
die angegebenen besitzen; im Körper~$K(p)$ gibt es somit genau~$p - 1$
$(p - 1)$-te Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$, wobei der Index~$i$ jedesmal
das Anfangsglied der $p$-adischen Darstellung~\Eq{(4)} von $w_{i}$ bedeutet.

Anstatt die $(p - 1)$ Einheitswurzeln~$w_{i}$ durch die unendlichen Reihen~\Eq{(4)}
darzustellen, kann man sie auch durch die unendlichen Produkte
\[
\Tag{(6)}
\begin{aligned}
\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} \dots
  &= i^{1}·i^{\phi(p)}·i^{\phi(p^{2})}·i^{\phi(p^{3})} \dots \\
  &= i^{1+\phi(p)+\phi(p^{2})+\dots}\ (p)
\end{aligned}
\]
definieren. Da nämlich für jeden Faktor derselben nach dem Fermatschen
Satze:
\[
i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k+1}-p^{k}} = 1 + i_{k+1} p^{k+1}
\]
ist, so konvergieren jene Produkte unbedingt, und ihre Näherungswerte
sind der Reihe nach:
\[
\frac{i}{1} = i,\quad
\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i} = i^{p},\quad
\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} = i^{p^{2}},\ \dots,
\]
\PageSep{172}{156}
stimmen also mit den in \Eq{(5^{a})} angegebenen Näherungswerten der Einheitswurzeln
$w_{i}$ überein.

Von den $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind die erste
und die letzte stets rationale Zahlen; in der Tat ist ja
\[
w_{1} = 1 + (1^{p} - 1) + \dots = 1,
\]
und da auch $(-1)^{p-1} = 1$ ist, so muß die zu $-1$ modulo~$p$ kongruente
Einheitswurzel $w_{p-1} = -1$ sein. Dagegen sind die anderen $p - 3$
Wurzeln offenbar keine rationalen Zahlen.

So besitzt \zB\ die Gleichung:
\[
x^{6} - 1 = 0\ (7)
\]
die sechs Wurzeln:
\[
\Tag{(7)}
\begin{aligned}
w_{1} &= 1\MathOrd{,}00\,00 \dots; &w_{2} &= 2\MathOrd{,}46\,30\dots; &w_{3} &= 3\MathOrd{,}46\,30 \dots ;\\
w_{4} &= 4\MathOrd{,}20\,36 \dots; &w_{5} &= 5\MathOrd{,}20\,36\dots; &w_{6} &= 6\MathOrd{,}66\,66 \dots = -1.
\end{aligned}
\]

Aus den soeben durchgeführten Betrachtungen hat sich ergeben,
daß die Gleichung $x^{m} - 1 = 0\ (p)$ für $m = p - 1$ im Körper der
$p$-adischen Zahlen so viele Wurzeln hat, als ihr Grad angibt. Hieraus
folgt also, daß alle \aSeite{149}~ff.\ über die \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln bewiesenen
Sätze für diese $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln gültig sind. Hiernach
können wir also die folgenden Sätze über diese Zahlen
$w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ aussprechen:
\begin{Theorem}
Jede $(p - 1)$-te Einheitswurzel~$w$ gehört zu einem Teiler $d$ von
$p - 1$ als Exponenten, \dh\ $d$~ist die kleinste positive Zahl, für welche
$w^{d} = 1\ (p)$ ist; umgekehrt existieren zu jedem Teiler $d$ von $p - 1$
genau $\phi(d)$ unter jenen Einheitswurzeln, die gerade zum Exponenten~$d$
gehören. Ist speziell $w$ eine der $\phi(p - 1)$ primitiven
$(p - 1)$-ten Einheitswurzeln, so sind alle $p - 1$~Wurzeln in der
Reihe
\[
1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2}
\]
enthalten.
\end{Theorem}

Will man also für ein bestimmtes $p$ alle $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln
bis auf eine bestimmte Anzahl von Stellen berechnen, so genügt es,
dies für eine der \emph{primitiven} Wurzeln~$w$ zu tun; alle anderen findet man
\PageSep{173}{157}
einfach durch Potenzieren von~$w$ und erhält überdies eine einfache
Probe für die Richtigkeit der Rechnung dadurch, daß sich zuletzt
$w^{p-1} = 1\MathOrd{,}000 \dots$ ergeben muß.

So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 13$\; $w = w_{6} = 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3 \dots$  eine
primitive Wurzel, woraus durch Potenzieren folgt: $w^{2} = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5 \dots$
usw. Zur leichteren Berechnung dieser primitiven Wurzel bemerke
ich noch, daß \zB\ für $p = 13$ aus der Zerlegung
\[
x^{12} - 1 = (x^{6} - 1) (x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1)
\]
leicht folgt, daß die $\phi(12) = 4$ primitiven zwölften Einheitswurzeln
der Gleichung
\[
x^{4} - x^{2} + 1 = 0\ (13)
\]
genügen. Also ist eine dieser Wurzeln
\[
x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}}\ (13)
\]
und sie kann hiernach leicht berechnet werden. Die Rechnung werde
hier beispielshalber ausführlich wiedergegeben; man sieht leicht, daß
das benutzte Verfahren der Quadratwurzelausziehung genau analog
dem für gewöhnliche Zahlen üblichen ist, und daß auch hier das abgekürzte
Verfahren zur Wurzelberechnung angewendet werden kann.
\begin{gather*}
\begin{array}{rcl*{5}{@{\,}r}@{\,}ll}
\sqrt{-3} ={}
  &\multicolumn{1}{l}{
    \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}12\,12\,12 \dots}
                = 6\MathOrd{,} 3\,12\:6\,10 \dots\ (13)$}} \\
  &\phantom{\surd}
     &10& 2 \\
\cline{3-8}\Strut%[** TN: Extended bar to col 8 (col 4 in the original)]
  &  &  &10&12&12\rlap{\,$\dots$} &&&: 12 \\
  &  &  &10&11 \\
\cline{4-8}\Strut%[** TN: To col 5 in the original]
  &  &  &  & 1&12&12&12 &\dots &: 12\:6 \\
  &  &  &  & 1& 5& 7&11 & \\
\cline{5-8}\Strut
  &  &  &  &  & 7& 5& 1 &\dots &: 12\:6\,11 \\
  &  &  &  &  & 7& 2& 4 &\dots \\
\cline{6-8}\Strut
  &  &  &  &  &  & 3&10 &\dots &: 12\dots
\end{array} \dbrk
\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}
  = \frac{7\MathOrd{,}3\,12\,6\,10\dots}{2}
  = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5\dots
\end{gather*}
also ergibt sich:
\PageSep{174}{158}
\[
\begin{array}{rcl*{4}{@{\,}r}*{2}{@{\,}l}}
w_{6} ={}
  &\multicolumn{1}{l}{
    \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}\,\Z1\,\Z6\,\Z3\,\Z5\dots}
                = 6\MathOrd{,}\,  1\,9\,10\,3\dots$}} \\
  &\phantom{\surd}
     &10\MathOrd{,}
        & 2 \\
\cline{3-8}\Strut
  &  &  &12&\Z5&\Z3& 5& \dots &: 12 \\
  &  &  &12& 1 \\
\cline{4-8}\Strut
  &  &  &  & 4& 3& 5& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \\
  &  &  &  & 4& 0& 5 \\
\cline{5-8}\Strut
  &  &  &  &  & 3& 0& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \dots \\
  &  &  &  &  & 3& 3& \dots \\
\cline{6-8}\Strut
  &  &  &  &  &  &10& \dots &: 12 \dots \\
  &  &  &  &  &  &10 \\
\cline{7-8}\Strut
  &  &  &  &  &  & 0& \dots
\end{array}
\]

Durch Potenzieren von $w = w_{6}$ finden wir sämtliche Wurzeln der
Gleichung $x^{12} - 1 = 0\ (13)$ folgendermaßen:
{\small
\begin{alignat*}{6}
w^{0} &= w_{1} &&= 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0· &
w^{4} &= w_{9} &&= 9\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· &
w^{8} &= w_{3} &&= 3\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\
w   &=w_{6}  &&= 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3· &
w^{5} &= w_{2} &&= 2\MathOrd{,}6\,2\,2\,4·  &
w^{9} &= w_{5} &&= 5\MathOrd{,}5\,1\,0\,5· \\
w^{2} &= w_{10}&&=10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· &
w^{6} &= w_{12}&&=12\MathOrd{,}12\,12\,12\,12·\ &
w^{10} &= w_{4} &&= 4\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\
w^{3} &= w_{8} &&= 8\MathOrd{,}7\,11\,12\,7·\ &
w^{7} &= w_{7} &&= 7\MathOrd{,}11\,3\,2\,9· &
w^{11} &= w_{11} &&= 11\MathOrd{,}6\,10\,10\,8·
\end{alignat*}}%
und durch nochmalige Multiplikation mit $w$ erhalten wir als Probe
auf $4$ Stellen genau:
\[
w^{12} = 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\dots\DPtypo{}{.}
\]

Es werde endlich bemerkt, daß für den Bereich der geraden Primzahl~$2$
die beiden dyadischen Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ vorhanden
sind, welche die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung:
\[
x^{2} - 1 = 0\ (2)
\]
sind. Von ihnen ist $w = -1$ die primitive Wurzel, da beide Wurzeln
durch sie als $w^{0} = 1$, $w^{1} = -1$ darstellbar sind. Im Falle $p = 2$ sind
die beiden Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ modulo~$2$ kongruent und erst
modulo~$2^{2}$ inkongruent, während für ein ungerades $p$ alle Einheitswurzeln
bereits modulo~$p$ inkongruent sind. Erst später werde ich
beweisen, daß für ein beliebiges $p$ der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen
Zahlen außer den hier angegebenen überhaupt keine anderen Einheitswurzeln
enthält.
\PageSep{175}{159}


\Section{§ 2.}{Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen
modulo~$p$.}

Die im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate können wesentlich
verallgemeinert werden, und dabei ergibt sich dann eine wichtige
Beziehung der soeben betrachteten Einheitswurzeln zu den früher untersuchten
Kongruenzklassen modulo~$p$.

Es sei
\[
A = a + a'p + a''p^{2} + \dots
\]
eine ganz beliebige ganze $p$-adische Zahl, deren Anfangsglied~$a$ eine
der $p$~Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein kann. Bildet man dann aus ihr
genau wie in~\Eq{(4)} des vorigen Paragraphen die Reihe:
\[
\Tag{(1)}
A + (A^{p} - A) + (A^{p^{2}} - A^{p}) + \dots
\]
oder wie in \Eq{(6)} das unendliche Produkt:
\[
\Tag{(1^{a})}
\frac{A}{1}·\frac{A^{p}}{A}·\frac{A^{p^{2}}}{A^{p}}\dots,
\]
so beweist man wörtlich ebenso wie \aaO, daß sie beide unbedingt,
und zwar gegen denselben Grenzwert~$w_{A}$ konvergieren. In der Tat
haben beide Zahlgrößen dieselben Näherungswerte, nämlich die Zahlen
\[
A,\ A^{p},\ A^{p^{2}},\ \dots,
\]
und diese konvergieren, falls $A$ durch $p$ teilbar ist, offenbar gegen den
Grenzwert Null. Ist dagegen $A$ eine Einheit modulo~$p$, so folgt aus
dem dann gültigen Fermatschen Satz für eine beliebig hohe Potenz~$p^{k+1}$
von~$p$, daß wieder die Kongruenz
\[
(A^{p^{k}})^{p-1} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1})
\]
besteht. In diesem Falle ist also der Grenzwert~$w_{A}$ wieder eine der
$p - 1$ Wurzeln der Gleichung $x^{p-1} - 1 = 0$ und zwar offenbar gleich
derjenigen Einheitswurzel~$w_{a}$, deren Index gleich dem Anfangsgliede
von $A = a$, $a'$,~$a''$~\dots\ ist.

Durch diese Reihen- oder Produktbildung gelangt man also ausgehend
von einer beliebigen ganzen $p$-adischen Zahl~$A$ stets zu
einem der $p$~Grenzwerte
\PageSep{176}{160}
\[
\Tag{(2)}
w_{0} = 0,\quad
w_{1},\quad
w_{2},\ \dots\
w_{p-1},
\]
und zwar führen alle und nur die modulo~$p$ kongruenten Zahlen $A$, $A'$,
$A''$,~\dots, welche also zu derselben Kongruenzklasse~$C_{a}$ modulo~$p$ gehören,
zu demselben Grenzwerte~$w_{a}$. Man kann daher diese $p$~Zahlen \Eq{(2)}
als \so{die Invarianten der $p$~Kongruenzklassen}
\index{Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$}%
\[
C_{0},\quad
C_{1},\quad
C_{2},\ \dots\
C_{p-1}
\]
modulo~$p$ bezeichnen.

Diese $p$~Invarianten sind die $p$~Wurzeln der rationalen Gleichung:
\[
\Tag{(3)}
x^{p} - x = x(x^{p-1} - 1) = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{p-1}) = 0.
\]
Die Untersuchung dieser Gleichung führt auf eine größere Anzahl von
Folgerungen für die Kongruenzklassen modulo~$p$.

Betrachtet man nämlich irgendeine zwischen den Invarianten
$(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1})$ bestehende ganze rationale Gleichung mit ganzzahligen
Koeffizienten
\[
\Tag{(4)}
F(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1}) = 0\ (p)
\]
als Kongruenz modulo~$p$, so ergibt sich die folgende Kongruenz zwischen
den Zahlen $(0, 1, 2, \dots p - 1)$:
\[
\Tag{(4^{a})}
F(0, 1, \dots p - 1) \equiv 0\ (\mod.~p).
\]
Jeder solchen Gleichung zwischen den Zahlen~$w_{i}$ entspricht also eine
Kongruenz zwischen ihren Anfangsgliedern. Übertragen wir so die
\aSeite{156}~ff.\ bewiesenen Sätze über die Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$
auf ihre Anfangsglieder $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, so ergeben sich die folgenden
Sätze:
\begin{Theorem}
Alle Einheiten modulo~$p$ genügen der Kongruenz:
\[
x^{p-1} - 1 \equiv 0\ (\mod.~p),
\]
\dh\ es besteht für ein variables $x$ die Zerlegung
\[
\Tag{(4^{b})}
x^{p-1} - 1 \equiv (x - 1)(x - 2) \dots (x - (p-1))\ (\mod.~p).
\]
Für $x = 0$ ergibt sich aus ihr die Kongruenz:
\[
\Tag{(4^{c})}
(p - 1)! = 1·2 \dots (p - 1) \equiv -1\ (\mod.~p),
\]
\PageSep{177}{161}
der sog.\ \Name{Wilson}sche Satz für Primzahlen. Jede durch $p$ nicht teilbare
Zahl~$a$ gehört modulo~$p$ zu einem Teiler~$d$ von~$p - 1$, \dh\ $d$
ist die kleinste positive Zahl, für welche
\[
\Tag{(5)}
a^{d} \equiv 1\ (\mod.~p)
\]
ist. Umgekehrt existieren zu jedem Teiler~$d$ von $p - 1$ genau $\phi(d)$
modulo~$p$ inkongruente Zahlen, welche gerade zum Exponenten~$d$
gehören; sie sind kongruent denjenigen $\phi(d)$ Einheitswurzeln,
%[** TN: Next six lines are theorem-indented in the original]
welche zum Exponenten~$d$ gehören. Speziell gibt es also genau
$\phi(p - 1)$ inkongruente Zahlen~$g$, welche zum höchsten Exponenten
$p - 1$ selbst gehören. Diese werden \so{primitive Wurzeln modulo~$p$}
\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p$}%
genannt. Sie sind kongruent den Anfangsgliedern der $\phi(p - 1)$
primitiven $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln~$w_{g}$. Ist $g$ eine primitive
Wurzel modulo~$p$, so sind alle $p - 1$~Potenzen
\[
\Tag{(6)}
1,\quad g,\quad g^{2},\ \dots\ g^{p-2}
\]
modulo~$p$ inkongruent; sie sind also den $p - 1$ inkongruenten Einheiten
$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, abgesehen von der Reihenfolge, modulo~$p$
kongruent.
\end{Theorem}

Auf diese Fragen werde ich sehr bald (\aSeite{170}~ff.)\ genauer einzugehen
haben, wenn die entsprechenden Resultate für eine Primzahlpotenz
$p^{k}$ als Modul abzuleiten sind.


\Section{§ 3.}{Die Logarithmen der $p$-adischen Zahlen.}

Da für jedes ungerade $p$ die $p$~Zahlen $w_{0}$,~$w_{1}$,~\dots~$w_{p-1}$ ebenso
wie die ihnen kongruenten Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ ein vollständiges
Restsystem modulo~$p$ bilden, so können auch sie als Koeffizienten
bei der Darstellung der $p$-adischen Zahlen benutzt werden, und dies
soll immer dann geschehen, wenn eine theoretisch möglichst einfache
Darstellung gebraucht wird.

\begin{Theorem}
Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl kann also stets
und nur auf eine Weise in der Form
\[
A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} + w^{(\alpha+1)} p^{\alpha+1} + \dots
\]
dargestellt werden, wo $w^{(\alpha)}$,~$w^{(\alpha+1)}$,~\dots\ Wurzeln der Gleichung
\PageSep{178}{162}
$x^{p} - x = 0$, \dh\ $(p - 1)$-te Einheitswurzeln oder Null bedeuten
und $w^{(\alpha)} \neq 0$ ist.
\end{Theorem}

Diese Form von $A$ führt uns nun sofort zu der gesuchten logarithmischen
Darstellung einer beliebigen $p$-adischen Zahl, falls $p$~eine beliebige
\emph{ungerade} Primzahl ist. Schreibt man nämlich $A$ in der Form:
\[
A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} (1 + w_{1} p + w_{2} p^{2} + \dots),
\]
wo auch $w_{1} = \dfrac{w^{(\alpha+1)}}{w^{(\alpha)}}$,~\dots\ Einheitswurzeln oder Null sind, so ist der
eingeklammerte Teil eine Haupteinheit, welcher nach dem auf \Seite{143}
bewiesenen Satze in der Form~$e^{\gamma}$ dargestellt werden kann, wo $\gamma$~eine
durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl bedeutet. Ferner ist $w^{(\alpha)}$ eine $(p - 1)$-te
Einheitswurzel, also gleich einer Potenz~$w^{\beta}$ einer ein für alle Male
fest gewählten primitiven Wurzel~$w$. Es ergibt sich somit der folgende
Fundamentalsatz:
\begin{Theorem}
Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl läßt sich, falls $p$~eine
beliebige ungerade Primzahl und $w$~eine beliebig, aber fest
gewählte primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel ist, in der Form:
\[
A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}
\]
darstellen, wo $\alpha$~und~$\beta$ gewöhnliche ganze Zahlen bedeuten, und
$\gamma$~eine mindestens durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl ist.
\end{Theorem}

Die Exponenten $\alpha$~und~$\gamma$ sind eindeutig bestimmt, während $\beta$ wegen
$w^{p-1} = 1$ nur bis auf ein beliebiges Vielfaches von $p - 1$ bestimmt ist.
Beschränkt man $\beta$ also auf die Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 2$, so ist das ganze
Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ durch $A$ eindeutig festgelegt.

Auch für die eine \emph{gerade} Primzahl~$2$ existiert genau dieselbe Darstellung;
nur hat da die Zahl~$w$ eine etwas andere Bedeutung. Für den
Bereich von $2$ ist nämlich jede Einheit in der reduzierten Form
\[
\epsilon
  = 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\,\epsilon_{3} \dots
  = 1 + \epsilon_{1}·2 + \epsilon_{2}·2^{2} + \dots\ (2),
\]
in der die Koeffizienten $\epsilon_{i}$ nur $0$ oder $1$ sein können, eine Haupteinheit
modulo~$2$. Von den beiden Einheiten
\[
%[** TN: Semantic display, but easier to handle as an array]
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l*{3}{@{\ }c}@{\,}l}
 \epsilon &=& 1, &\epsilon_{1}    &\epsilon_{2}    &\epsilon_{3}    &\dots \\
-\epsilon &=& 1, &1{-}\epsilon_{1}&1{-}\epsilon_{2}&1{-}\epsilon_{3}&\dots
\end{array}
\]
\PageSep{179}{163}
ist dann eine einzige auch eine Haupteinheit modulo~$4$, nämlich $\epsilon$ selbst
\index{Haupteinheit!zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}%
oder~$-\epsilon$, je nachdem $\epsilon_{1} = 0$ oder $1$ ist. Jede von Null verschiedene
dyadische Zahl kann also auf eine einzige Weise in der Form geschrieben
werden
\[
A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} (1 + e_{2}·2^{2} + e_{3}·2^{3} + \dots),
\]
wo $2^{\alpha}$ die größte in ihr enthaltene Potenz von~$2$, $\beta = 0$ oder $1$ ist, und
die in der Klammer stehende Reihe eine eindeutig bestimmte Haupteinheit
modulo~$4$ bedeutet. Diese letztere kann nun nach \Seite{143}
wieder gleich $e^{\gamma}$ gesetzt werden, wo $\gamma$ ein Multiplum von $4$ ist. Setzt
man also in diesem Falle $(-1) = w$, so hat man auch hier die Darstellung
\[
A = 2^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma},
\]
wo jetzt der zweite Exponent nur modulo~$2$ bestimmt ist, während
die ganze Zahl~$\alpha$ und die dyadische Zahl $\gamma = 4\gamma_{0}$ eindeutig durch $A$
gegeben sind.
\begin{Theorem}
Ist also $p$~eine beliebige Primzahl, so besteht für jede von
Null verschiedene $p$-adische Zahl~$A$ die Exponentialdarstellung
\[
\Tag{(1)}
A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma},
\]
in der $w$ eine primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel für ein ungerades
\index{Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}%
$p$ ist, während $w$ die primitive zweite Einheitswurzel, nämlich~$-1$,
für $p = 2$ bedeutet. In jedem Falle ist $\alpha$ die Ordnungszahl von~$A$,
$\gamma$~der Logarithmus der zu $A$ gehörigen Haupteinheit.
\end{Theorem}

Bei dieser Darstellung ist der erste Faktor
\[
|A| = p^{\alpha}
\]
der \aSeite{108} definierte absolute Betrag der Zahl~$A$; der zweite Faktor~$w^{\beta}$
soll \so{die zu $A$ gehörige Einheitswurzel} heißen;
endlich soll der Exponentialfaktor~$e^{\gamma}$ als \so{die zu $A$ gehörige
Haupteinheit} bezeichnet werden. Wir wählen im folgenden die
primitive Einheitswurzel~$w$ unter den $\phi(p - 1)$ vorhandenen ein für alle
Mal willkürlich, aber fest aus. Von den drei Exponenten $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$, durch
die $A$ dann eindeutig bestimmt ist, ist der erste die Ordnungszahl von~$A$,
der zweite soll \so{der Index},\index{Index!einer $p$-adischen Zahl}%
der dritte \so{der zu $A$ gehörige
%\PageSep{180}{164}
Logarithmus der Haupteinheit} oder \so{der Hauptlogarithmus
von~$A$} genannt werden.\PageLabel{164}
\index{Hauptlogarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}%
\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}%

Wir wollen nun im folgenden das zu einer beliebigen Zahl
$A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ gehörige Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ den \so{Logarithmus
von~$A$} (für den Bereich von~$p$) nennen und durch $\lg_{p} A$
oder, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist, ohne den Index~$p$ durch
\[
\Tag{(2)}
\lg A = (\alpha, \beta, \gamma)
\]
bezeichnen.

Dann gehört zu jeder $p$-adischen Zahl~$A$ ein Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$,
und da ja $w^{k(p-1)} = 1$ ist, da somit allgemeiner
\[
A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = p^{\alpha} w^{\beta+k(p-1)} e^{\gamma}
\]
ist, so gehören zu jeder Zahl~$A$ unendlich viele Logarithmen
\[
\Tag{(2^{a})}
\lg A = (\alpha, \beta + k(p-1), \gamma),
\]
welche aus einem unter ihnen durch Vermehrung des zweiten Exponenten
um ein beliebiges Multiplum von $(p - 1)$ hervorgehen. Speziell
besitzt die Zahl $1 = p^{0} w^{0} e^{0}$ den Logarithmus $(0, 0, 0)$ und allgemeiner
die Logarithmen $(0, k(p - 1), 0)$, und da die Gleichung
\[
p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}
%[** TN: Small parentheses in the original]
  = p^{\alpha} w^{\beta} (1 + \frac{\gamma}{1} + \dots) = 1
\]
dann und nur dann erfüllt ist, wenn $\alpha = 0$, $\beta = k(p - 1)$, $\gamma = 0$
\Errata{st}{ist}, so folgt, daß dann und nur dann $A = 1$ ist, wenn $\lg A =
(0, k(p - 1), 0)$ ist. Es ist also stets $\lg(1) = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0)$.
Hieraus ergibt sich sofort der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Zwei $p$-adische Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn
sich ihre Logarithmen nur im zweiten Exponenten um ein Vielfaches
von $p - 1$ unterscheiden.
\end{Theorem}

In der Tat folgt ja aus der Gleichung
\[
A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'},
\]
daß
\[
\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} = 1,
\]
\PageSep{181}{165}
also $\alpha = \alpha'$, $\gamma = \gamma'$, $\beta = \beta' + k(p - 1)$ sein muß.

Ferner hat $0$ den Logarithmus
\[
\Tag{(3)}
\lg (0) = (+\infty, \beta ,\gamma),
\]
wo $\beta$ und $\gamma$ beliebig gewählt werden können.

Umgekehrt gehört zu jedem Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$, dessen erster
Exponent~$\alpha$ nur nicht negativ unendlich ist, eine eindeutig bestimmte
$p$-adische Zahl $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$, deren Logarithmus gleich $(\alpha, \beta, \gamma)$ ist und
welche \so{der Numerus von~$(\alpha, \beta, \gamma)$} genannt werden soll. Zu
\index{Numerus e.\ Logarithmus}%
$(-\infty, \beta, \gamma)$ gehört keine $p$-adische Zahl, da eine solche ja niemals
eine negativ unendliche Ordnungszahl besitzt.

Wir wollen auch für die Logarithmen die Gleichheit und eine Verknüpfungsoperation
\index{Gleichheit!der Logarithmen}%
definieren, welche wir \so{Addition} nennen wollen,
und von der sofort zu sehen ist, daß für sie die Grundeigenschaften
der Addition gelten, sowie daß im Bereiche der Logarithmen die Addition
unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist.

\begin{Theorem}
Zwei Logarithmen
\[
a = (\alpha, \beta, \gamma) \qquad a' = (\alpha', \beta', \gamma')
\]
heißen dann und nur dann \so{gleich} $(a = a')$, wenn ihre ersten und
dritten Exponenten beziehlich gleich sind und ihre zweiten Exponenten
sich um ein Multiplum von~$p - 1$ unterscheiden, \dh\ modulo~$(p - 1)$
kongruent sind; ferner auch, wenn $\alpha = \alpha' = \infty$ ist.

Sind
\[
a = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad a' = (\alpha', \beta', \gamma')
\]
zwei beliebige Logarithmen, so wollen wir unter der \so{Summe}~$a + a'$
\index{Summe!der Logarithmen}%
derselben den Logarithmus:
\[
a + a' = (\alpha + \alpha', \beta + \beta', \gamma + \gamma')
\]
verstehen.
\end{Theorem}

Offenbar ist die so definierte Addition der Logarithmen eine assoziative
\index{Addition der Logarithmen}%
und kommutative Operation und für sie besteht, wenn man
$\lg (0) = (+\infty, \beta, \gamma)$ als Subtrahendus ausschließt, das Gesetz der unbeschränkten
und eindeutigen Subtraktion: Sind nämlich $a = (\alpha, \beta, \gamma)$
\PageSep{182}{166}
und $a' = (\alpha', \beta', \gamma')$ zwei beliebige Logarithmen, so gibt es, falls $a$ nicht
$\lg (0)$ ist, einen einzigen Logarithmus $x = (\xi, \eta, \zeta)$, für welchen
\[
a + x = a'
\]
wird, nämlich den Logarithmus
\[
x = (\alpha' - \alpha, \beta' - \beta, \gamma' - \gamma).
\]
Dieser soll also die \so{Differenz} der Logarithmen $a'$~und~$a$ genannt und
\index{Differenz der Logarithmen}%
durch $a' - a$ bezeichnet werden.

Ist dagegen $a = \lg (0)$, $a' \neq \lg (0)$, so besitzt die Gleichung
\[
(+\infty, \beta, \gamma) + (\xi, \eta, \zeta) = (\alpha', \beta', \gamma')
\]
im Bereiche der Logarithmen keine Lösung, da ja $\xi = \alpha' - \infty = -\infty$
sein müßte.

Die Logarithmen aller $p$-adischen Zahlen bilden somit bei Ausschluß
von $\DPchg{\log}{\lg}(0)$ einen Modul, in dem die beiden soeben definierten
zu einander inversen Operationen der Addition und Subtraktion unbeschränkt
und eindeutig ausführbar sind.

Es gibt also ein einziges Nullelement
\[
0 = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0) = \lg (1),
\]
welches als das Einheitselement für die Addition angesehen werden
kann, da allein für dieses $a + 0 = a$ ist.

Sind $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ und $A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'}$ zwei beliebige $p$-adische
Zahlen, zu denen also die Logarithmen:
\[
a = \lg A = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad
a' = \lg A' = (\alpha', \beta', \gamma')
\]
gehören, so sind zunächst nach dem \aSeite{164} bewiesenen Satze $A$~und~$A'$
dann und nur dann gleich, wenn ihre Logarithmen $a$~und~$a'$ gleich
sind; ferner gehören zu dem Produkte und dem Quotienten
\[
A·A' = p^{\alpha+\alpha'} w^{\beta+\beta'} e^{\gamma+\gamma'} \quad\text{und}\quad
\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'}
\]
von zwei beliebig gegebenen Zahlen $A$~und~$A'$ die Logarithmen $a + a'$
und $a - a'$, \dh\ es bestehen genau wie in der elementaren Analysis
die Gleichungen:
\PageSep{183}{167}
\[
\Tag{(4)}
\lg (AA') = \lg A + \lg A', \quad
\lg \left(\frac{A}{A'}\right) = \lg A - \lg A'.
\]
Wendet man die erste Gleichung auf ein Produkt von $m$ gleichen Faktoren
an, so folgt:
\[
\Tag{(4^{a})}
\lg (A^{m}) = m\lg A = (m\alpha, m\beta, m\gamma).
\]

Aus der allgemein gültigen logarithmischen Darstellung der
$p$-adischen Zahlen ziehe ich noch die wichtige Folgerung, auf welche
ich bereits \aSeite{158} unten hingewiesen hatte:
\begin{Theorem}
Die einzigen Einheitswurzeln, welche im Körper~$K(p)$ der
$p$-adischen Zahlen vorhanden sind, sind die $p - 1$\; $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln
$(1, w, w^{2}, \dots w^{p-2})$ bzw.\ für $p = 2$ die Zahlen~$±1$.
\end{Theorem}

Soll nämlich $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ einer Gleichung $x^{m} = 1$ genügen, so muß
\[
A^{m} = p^{m\alpha} w^{m\beta} e^{m\gamma} = 1,
\]
also $m\alpha = m\gamma = 0$ sein; \dh\ nur die Zahlen $A = w^{\beta}$ sind Einheitswurzeln.

Ist
\[
\Tag{(5)}
A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}
\]
eine beliebige Zahl, so will ich die größte im Hauptlogarithmus~$\gamma$ enthaltene
Potenz~$p^{\kappa}$ von $p$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus}
nennen. Dieser Teiler ist also für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$p^{1}$,
für $p = 2$ mindestens gleich~$2^{2}$. Ferner soll für ein ungerades $p$ der
größte gemeinsame Teiler
\[
\Tag{(6)}
\delta = (\beta, p - 1)
\]
des Index mit~$p - 1$ \so{der Teiler dieses Index} oder \so{der Indexteiler
von~$A$} genannt werden; für $p = 2$ wird der entsprechende
\index{Indexteiler!einer $p$-adischen Zahl}%
Teiler
\[
\Tag{(6^{a})}
\delta = (\beta, 2),
\]
\dh\ gleich $1$~oder~$2$, je nachdem $\beta$ gerade oder ungerade ist. Im
ersten Falle ist der Indexteiler stets und nur dann gleich~$1$, wenn
$(\beta, p - 1) = 1$,  wenn also $w^{\beta}$~eine primitive Einheitswurzel ist; er hat
seinen größten Wert $\delta = p - 1$ bzw.\ $\delta = 2$, wenn $\beta$~ein Multiplum von
$p - 1$ bzw.\ von~$2$, wenn also $w^{\beta} = 1$ ist. Der Indexteiler~$\delta$ ist von
\PageSep{184}{168}
der Wahl der primitiven Wurzel~$w$ ganz unabhängig; denn ist $w'$ eine
der $\phi(p - 1)$ primitiven Wurzeln, so ist ja $w = w'^{r}$, wo $(r, p - 1) = 1$
ist, und es wird $w^{\beta} = w'^{r\beta}$; somit ist für die primitive Wurzel~$w'$
\[
\delta' = (r\beta, p - 1) = (\beta, p - 1) = \delta.
\]
Setzen wir jetzt in~\Eq{(5)}
\[
\beta = \delta\beta_{0} , \quad
\gamma = p^{\kappa} \gamma_{0},
\]
so ergibt sich für jede Zahl~$A$ die Darstellung
\[
\Tag{(7)}
A = p^{\alpha} w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa}\gamma_{0}},
\]
welche bei eingehenderen Untersuchungen häufig gebraucht werden
wird.


\Section{§ 4.}{Untersuchung der $p$-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$
als Modul.}

Ich wende mich nun zu einer eingehenderen Untersuchung der
$p$-adischen Zahlen $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ für eine beliebige Potenz~$p^{k}$ von $p$ als
Modul. Hierbei kann ich von vornherein die Ordnungszahl $\alpha = 0$, \dh\
die zu betrachtenden Zahlen $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ als Einheiten voraussetzen, da
es ja auf dasselbe herauskommt, ob man $A = p^{\alpha} E$ modulo~$p^{k}$ oder ob
man $E$ modulo~$p^{k-\alpha}$ untersucht.

Zuerst erledige ich die beiden trivialen Fälle, daß der Modul~$p^{k}$
gleich~$2^{1}$ oder gleich~$2^{2}$ ist. Da nun für den Bereich von~$2$ jede Einheit
\[
E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv (-1)^{\beta} \equiv ±1\ (\mod.~4)
\]
ist, weil ja hier der Hauptlogarithmus von $\gamma$ mindestens durch $4$ teilbar
ist, und da modulo~$2$ außerdem noch die beiden Einheitswurzeln $+1$
und~$-1$ kongruent werden, so ergeben sich hier die beiden auch an
sich selbstverständlichen Sätze:
\begin{Theorem}
Modulo $2$ betrachtet sind alle dyadischen Einheiten kongruent~$+1$,
für den Modul~$4$ existieren allein die beiden inkongruenten
Einheiten $+1$~und~$-1$.
\end{Theorem}
\PageSep{185}{169}

Im folgenden kann und soll daher jetzt, falls $p = 2$ ist, immer
$k \geqq 3$ vorausgesetzt werden. Dann besteht der folgende allgemeine
Satz:
\begin{Theorem}
Eine $p$-adische Einheit $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ ist dann und nur dann
kongruent~$1$ modulo~$p^{k}$, wenn:
\[
w^{\beta} = 1, \quad \gamma \equiv 0\ (\mod.~p^{k})
\]
ist, wenn also ihr Index~$\beta$ durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$
durch $p^{k}$ teilbar ist.
\end{Theorem}

Betrachtet man nämlich die Kongruenz:
\[
\Tag{(1)}
E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) \quad\text{bzw.}\quad
E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~2^{k})
\]
zunächst modulo~$p$ bzw.\ für $p = 2$ modulo~$2^{2}$ und beachtet, daß für
diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ wird, so ergibt sich:
\[
w^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~p) \quad\text{bzw.}\quad
(-1)^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~4),
\]
und da die Potenzen $(1, w, \dots w^{p-2})$ modulo~$p$ bzw.\ $(-1, +1)$
modulo~$4$ inkongruent sind, so muß $w^{\beta} = 1$ bzw.\ $(-1)^{\beta} = 1$ sein.
Die dann aus~\Eq{(1)} folgende Kongruenz:
\[
e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k})
\]
ist aber nach \Eq{(11)} \aSeite{137} allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $p^{k}$ teilbar
ist.

Zwei Einheiten
\[
E \DPtypo{\equiv}{=} w^{\beta} e^{\gamma}, \quad
E' = w^{\beta'} e^{\gamma'}
\]
sind also allein dann modulo~$p^{k}$ kongruent, wenn ihr Quotient
\[
\frac{E}{E'} = w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}),
\]
wenn also:
\begin{align*}
%[** TN: Reformatted to match (4^{a}) below]
\beta  &\equiv \beta'\ (\text{$\mod.~p - 1$\Add{,} bzw.\ $\mod.~2$}), \\
\gamma &\equiv \gamma'\ (\mod.~p^{k})
\end{align*}
ist. Also bilden für ein ungerades $p$ die $(p - 1) p^{k-1} = \phi(p^{k})$ Einheiten:
\PageSep{186}{170}
\[
\Tag{(2)}
w^{\beta} e^{p(c_{0}+c_{1}p+\dots+c_{k-2}p^{k-2})}
\quad
%[** TN: Not as small as elsewhere in the original]
\begin{Conditions}
\left(
\begin{aligned}
 \beta &= 1, 2, \dots p-1 \\
 c_{i}   &= 0, 1, \dots p-1
\end{aligned}
\right)
\end{Conditions},
\]
für $p = 2$ die $2·2^{k-2} = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Zahlen
\[
\Tag{(2^{a})}
(-1)^{\beta}·e^{4(c_{0}+c_{1}·2+\dots+c_{k-3}·2^{k-3})}
\quad
\begin{Conditions}
\left(
\begin{aligned}
 \beta &= 1, 2 \\
 c_{i}   &= 0, 1
\end{aligned}
\right)
\end{Conditions}
\]
ein vollständiges System modulo $p^{k}$ inkongruenter Einheiten.

Die $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten oder, was dasselbe
ist, die zugehörigen Einheitsklassen für den Modul~$p^{k}$ bilden, wie \aSeite{102}
unten bereits ausgeführt wurde, eine endliche Gruppe, und allein
hieraus ergab sich nach dem Fermatschen Satze, daß für jede Einheit~$E$
die Kongruenz:
\[
\Tag{(3)}
E^{\phi(p^{k})} \equiv 1\ (\mod.~p^{k})
\]
besteht. Es ergibt sich aber weiter aus der \aSeite{105} durchgeführten
Untersuchung der endlichen Gruppen, daß jede Einheit~$E$ zu einem
Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ als Exponenten gehört, wenn nämlich $d$ die
kleinste positive Zahl ist, für welche
\[
E^{d} \equiv 1\ (\mod.~p^{k})
\]
ist. Dann sind die $d$ ersten Potenzen $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ sämtlich
modulo~$p^{k}$ inkongruent.

Ich will jetzt den Exponenten~$d$ bestimmen, zu dem eine gegebene
Einheit
\[
E = w^{\beta} e^{\gamma} = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}}
\]
gehört, für welche der Indexteiler gleich~$\delta$ und der Teiler des Hauptlogarithmus
gleich~$p^{\kappa}$ ist. Soll dann
\[
\Tag{(4)}
E^{d} = w^{\delta d\beta_{0}} e^{p^{\kappa} d\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p^{k})
\]
sein, so muß nach dem auf der vorigen Seite bewiesenen Satze~$\delta d\beta_{0}$
durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und $p^{\kappa} d\gamma_{0}$ durch $p^{k}$ teilbar sein, \dh\ es muß:
\[
\Tag{(4^{a})}
\begin{aligned}
\delta d &\equiv 0\ (\text{$\mod.~p-1$, bzw.\ $\mod.~2$}) \\
p^{\kappa} d &\equiv 0\ (\mod.~p^{k})
\end{aligned}
\]
sein. Ist also $\delta'$ der zu $\delta$ komplementäre Divisor von $p - 1$ bzw.\ von
$2$~und~$p^{\kappa'}$ der zu $p^{\kappa}$ komplementäre Divisor von~$p^{k}$, so daß
\PageSep{187}{171}
\[
\Tag{(5)}
\begin{aligned}
\delta\delta' &= p - 1 \text{ bzw.} = 2 \\
p^{\kappa}·p^{\kappa'} &= p^{k}
\end{aligned}
\]
ist, so folgen aus~\Eq{(4^{a})} durch Division mit~$\delta$ bzw.\ mit~$p^{\kappa}$ für $d$ die
beiden Kongruenzen:
\[
\Tag{(4^{b})}
d \equiv 0\ (\mod.~\delta'), \quad
d \equiv 0\ (\mod.~p^{\kappa'}),
\]
\dh\ die Kongruenz~\Eq{(4)} ist allein dann erfüllt, wenn $d$ durch das kleinste
gemeinsame Vielfache $[\delta', p^{\kappa'}]$ der beiden zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ komplementären
Teiler teilbar ist. Es ergibt sich also der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Eine Einheit~$E$, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus
den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zu dem Exponenten:
\[
\Tag{(6)}
d = [\delta', p^{\kappa'}],
\]
wenn $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ die in bezug auf $p - 1$ (bzw.~$2$) und $p^{k}$
komplementären Teiler zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ sind.
\end{Theorem}

Ist nun $p$ eine ungerade Primzahl, so sind $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ teilerfremd,
\dh\ es ist dann stets $d = \delta' p^{\kappa'}$. Ist dagegen $p = 2$, so ist $\delta' = 1$ oder~$2$;
also ist stets $\delta'$ ein Teiler von~$2^{\kappa'}$, mithin $d = 2^{\kappa'}$, außer in dem
trivialen Falle, wo $\delta' = 2$\DPtypo{}{,} $2^{\kappa'} = 1$, wo also $\delta = 1$, $2^{\kappa} = 2^{k}$ ist. Hier
ist $E = (-1)e^{2^{k}} \equiv -1\ (\mod\DPtypo{}{.}~2^{k})$, und dann gehört $(-1)$ auch wirklich
nicht zum Exponenten $2^{\kappa'} = 1$, sondern zum Exponenten $\delta' = 2$.
Schließen wir also diesen trivialen Fall aus, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Eine Einheit, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus
den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zum Exponenten
\[
\Tag{(6^{a})}
d = \delta' p^{\kappa'} = \tfrac{p-1}{\delta} p^{k-\kappa} \quad\text{oder}\quad
2^{\kappa'} = 2^{k-\kappa},
\]
je nachdem $p$ ungerade oder die gerade Primzahl~$2$ ist.
\end{Theorem}

Da für eine ungerade Primzahl der Teiler $p^{\kappa}$ des Hauptlogarithmus
mindestens gleich~$p^{1}$, für $p = 2$ aber $2^{\kappa}$ mindestens
gleich $4$ sein muß, während im ersten Falle $\delta$ stets ein Teiler von
$p - 1$ ist, so ergibt sich jetzt wieder, daß für ein ungerades $p$
jeder Exponent~$d$ ein Teiler von $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$, für $p = 2$
aber schon ein Teiler von $\phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$ sein muß.
\PageSep{188}{172}

\begin{Theorem}
Jede Einheit gehört also modulo~$p^{k}$ zu einem Exponenten,
welcher ein Teiler von $\phi(p^{k})$ oder für $p = 2$ schon von $\phi(2^{k-1})$
ist.
\end{Theorem}

Es sei jetzt umgekehrt
\[
\Tag{(7)}
d = \delta' p^{\kappa'} \quad\text{bzw.}\quad d = 2^{\kappa'}
\]
ein beliebiger Teiler von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von~$\phi(2^{k-1})$; wir fragen, wie viele
und welche Einheiten
\[
E = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad
E = (-1)^{\beta} e^{2^{\kappa} \gamma_{0}}
\]
gerade zu diesem Exponenten~$d$ gehören. Nach dem soeben bewiesenen
Satze gehört nun für ein ungerades $p$ die obige Einheit zum Exponenten~$d$,
wenn ihr Indexteiler~$\delta$ und der Teiler $p^{\kappa}$ ihres Hauptlogarithmus komplementär
bzw.\ zu $\delta'$ und zu $p^{\kappa'}$ sind; für $p = 2$ ist $\beta$ beliebig, während
$2^{\kappa}$ ebenfalls zur $2^{\kappa'}$ komplementär sein muß. Sind also $\delta$ und $p^{\kappa}$ so gewählt,
so gehören alle und nur die Einheiten~$E$ zum Exponenten~$d$, bei
welchen für jedes ungerade~$p$
\[
\Tag{(8)}
\begin{alignedat}{5}
&(\delta\beta_{0}, p - 1)      &&= (\delta\beta_{0}, \delta\delta')               &&=   &\delta,    \quad &\text{also}\quad  &(\beta_{0}, \delta')      &= 1, \\
&(p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{k}) &&= (p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{\kappa} p^{\kappa'}) &&={} &p^{\kappa},\quad &\Ditto{also} &(\gamma_{0}, p^{\kappa'}) &= 1
\end{alignedat}
\]
ist, dagegen für $p = 2$\; $\beta = 1$ oder $2$ sein kann, während
\[
\Tag{(8^{a})}
(\gamma_{0}, 2^{\kappa'}) = 1
\]
sein muß. Da nun die Anzahl aller zu $\delta'$ teilerfremden inkongruenten
Zahlen~$\beta_{0}$ gleich~$\phi(\delta')$, die aller modulo~$p^{\kappa'}$ inkongruenten zu $p^{\kappa'}$ teilerfremden
Zahlen~$\gamma_{0}$ gleich~$\phi(p^{\kappa'})$ ist, so ist für ein ungerades $p$ die Anzahl
der zum Exponenten~$d$ gehörigen Einheiten gleich $\phi(\delta') \phi(p^{\kappa'}) = \phi(d)$,
für $p = 2$ ist jene Anzahl gleich~$2\phi(2^{\kappa'})$, weil hier für jedes $e^{2^{\kappa} \gamma_{0}}$
die zugehörige Einheitswurzel $(-1)^{\beta}$ gleich~$±1$ sein kann. In dem
vorher ausgeschlossenen trivialen Falle $p = 2$, $d = 2^{0} = 1$ gehört zum
Exponenten~$1$ modulo~$2^{k}$ offenbar nur die eine Einheit $E = +1$; die
Anzahl der zu diesen Exponenten gehörigen Einheiten ist also allein
in diesem Falle $d = 2^{0}$ gleich $\phi(2^{0}) = 1$ und nicht gleich $2\phi(2^{0}) = 2$.
Sieht man also auch hier von diesem trivialen Ausnahmefalle ab, so
ergibt sich das folgende allgemeine Resultat:
\PageSep{189}{173}
\begin{Theorem}
Die Anzahl aller Modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche
zu einem beliebigen Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von $\phi(2^{k-1})$ als Exponenten
gehören, ist stets gleich $\phi(d)$ bzw.\ gleich~$2\phi(d)$.
\end{Theorem}


\Section{§ 5.}{Die primitiven Wurzeln modulo~$p^{k}$. Die Theorie der
Indices für eine Primzahlpotenz als Modul.}

Von besonderer Bedeutung sind auch für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$
diejenigen Einheiten, welche für diesen Modul zu dem höchsten überhaupt
möglichen Exponenten gehören, nämlich zu $c = \phi(p^{k})$ bzw.\ zu
$c = \phi(2^{k-1})$. Diese Einheiten mögen auch hier \so{primitive Wurzeln
modulo~$p^{k}$} genannt werden. Für, sie muß in~\Eq{(7)} auf vor.\ Seite
\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p^{k}$}%
\[
\delta = 1,\ p^{\kappa} = p \quad\text{bzw.}\quad 2^{\kappa} = 2^{2}
\]
sein. Alle primitiven Wurzeln sind also in der Form
\[
\Tag{(1)}
r = w^{\beta_{0}} e^{p\gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad ±e^{4\gamma_{0}}
\]
enthalten, wo $(\gamma_{0}, p) = 1$ und $(\beta_{0}, p - 1) = 1$ ist, also $\bar{w} = w^{\beta_{0}}$ eine
beliebige \emph{primitive} Einheitswurzel bedeutet. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$
inkongruenten primitiven Wurzeln endlich ist
\[
\Tag{(2)}
\phi(c) = \phi(\phi(p^{k})) \quad\text{bzw.}\quad
\phi(c) = \phi(\phi(2^{k-1})) = 2^{k-3}.
\]

Wir können die notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
daß eine Einheit
\[
g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\,g_{2}\dots
\]
für eine beliebige Primzahlpotenz~$p^{k}$ eine primitive Wurzel ist, in wesentlich
einfacherer Weise aussprechen: Ist nämlich $p$ zunächst ungerade,
so muß ja
\[
\Tag{(3)}
g = \bar{w}·e^{p\gamma_{0}}
\]
sein. Betrachtet man diese Gleichung zunächst modulo~$p$ und beachtet,
daß $e^{p\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p)$ ist, so ergibt sich die notwendige Bedingung:
\[
\Tag{(4)}
g_{0} \equiv \bar{w}\ (\mod.~p),
\]
\dh\ $g$~muß modulo~$p$ einer der $\phi(p - 1)$ primitiven Einheitswurzeln
kongruent sein. Ist $k = 1$, so ist diese Bedingung auch hinreichend,
\PageSep{190}{174}
und wir erhalten das bereits \aSeite{161} gefundene Resultat, daß die
$\phi(p - 1)$ modulo~$p$ inkongruenten primitiven Wurzeln die Anfangsglieder
der primitiven Einheitswurzeln sind. Ist dagegen $k > 1$, und
betrachtet man die Gleichung~\Eq{(3)} jetzt modulo~$p^{2}$, so ergibt sich, da ja
\[
e^{p\gamma_{0}} \equiv 1 + p\gamma_{0}\ (\mod.~p^{2})
\]
ist, außer \Eq{(4)} noch die zweite Kongruenz:
\[
\Tag{(4^{a})}
g \equiv \bar{w}(1 + p\gamma_{0})\ (\mod.~p^{2}),
\]
wo nur $\gamma_{0}$ durch $p$ nicht teilbar sein darf. Sind umgekehrt diese beiden
Bedingungen erfüllt, so ist nach \Seite{172}~\Eq{(8)} $g$~eine primitive Wurzel
modulo~$p^{k}$.

Die zweite Bedingung ist nun offenbar stets und nur dann erfüllt,
wenn
\[
g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2})
\]
ist. Wir erhalten also jetzt das einfache Resultat:
\begin{Theorem}
Eine Zahl~$g$ ist stets und nur dann eine primitive Wurzel für
eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer ungeraden Primzahl ($k > 1$), wenn sie
den beiden Bedingungen
\[
g \equiv \bar{w}\ (\mod.~p),\quad
g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2})
\]
genügt, wo $\bar{w}$ irgendeine der $\phi(p - 1)$ primitiven $p$-adischen Einheitswurzeln
bedeutet.

Offenbar können wir diese Bedingung auch so aussprechen:

Eine Zahl $g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\dots$ ist stets und nur dann eine primitive
Wurzel für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$, wenn sie mit der reduzierten
Darstellung einer primitiven Einheitswurzel $\bar{w} = \bar{w}_{0}\MathOrd{,}\bar{w}_{1} \dots$ in
der ersten Stelle übereinstimmt, in der zweiten Stelle aber von
ihr abweicht.
\end{Theorem}

Man findet also sicher eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p^{k}$,
wenn man in einer beliebigen primitiven Einheitswurzel die zweite Stelle
beliebig verändert; die weiteren Stellen können beliebig gewählt
oder einfach fortgelassen werden.

So folgt \zB\ daraus, daß für die sechsten Einheitswurzeln im
Körper~$K(7)$ nach \Seite{156}
\PageSep{191}{175}
\[
w = 3\MathOrd{,}46\dots,\quad
w^{5} = 5\MathOrd{,}20\dots
\]
die beiden primitiven Wurzeln sind, daß die beiden Zahlen
\[
g = 3\MathOrd{,}00\dots,\quad
g' = 5\MathOrd{,}00\dots
\]
primitive Wurzeln für jede beliebige Potenz von $7$ als Modul sind.

Ebenso folgt aus der Tabelle \aSeite{158},
daß für jede Potenz
von $13$ als Modul \zB\ $2$,~$6$,~$11$ und~$7$ primitive Wurzeln sein
müssen, da sie mit den vier primitiven Einheitswurzeln $w = 6\MathOrd{,}19\dots$,
$w^{5}$,~$w^{7}$,~$w^{11}$ in der ersten Stelle übereinstimmen, in der zweiten aber
von ihnen abweichen.

Endlich können wir dieselbe Bedingung auch in einer Form aussprechen,
welche die vorgängige Berechnung der primitiven Einheitswurzeln
bis zur zweiten Stelle nicht voraussetzt. Ist nämlich $a$~eine
durch $p$ nicht teilbare ganze Zahl, etwa eine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$,
und $w_{a}$~die zugehörige Einheitswurzel, so ist:
\[
w_{a} = a + (a^{p} - a) + (a^{p^{2}} - a^{p}) + \dots
\]
und diese ist immer dann eine primitive Einheitswurzel, wenn $a$ modulo~$p$
zum Exponenten $p - 1$ gehört, wenn also $a$~eine primitive Kongruenzwurzel
modulo~$p$ ist. Da ferner alle auf das zweite Glied folgenden
Differenzen $(a^{p^{2}} - a^{p})$,~\dots\ nach \Eq{(2^{a})} auf \Seite{154} durch $p^{2}$ teilbar sind, so
folgt aus der obigen Gleichung die Kongruenz:
\[
w_{a} \equiv a + (a^{p} - a)\ (\mod.~p^{2}).
\]
Dann und nur dann ist also $a$ auch modulo~$p^{2}$ zu $w_{a}$ kongruent, wenn
$a^{p} - a$ oder also wenn $a^{p-1} - 1$ nicht bloß durch~$p$, sondern auch durch
$p^{2}$ teilbar ist. Ist das nicht der Fall, so ist hiernach $a$~eine primitive
Wurzel für jede Potenz~$p^{k}$ von~$p$ als Modul.

\begin{Theorem}
Eine ganze Zahl~$a$ ist also dann und nur dann eine primitive
Wurzel modulo~$p^{k}$, wenn sie eine primitive Wurzel modulo~$p$ ist
und wenn außerdem $(a^{p-1} - 1)$ nicht durch $p^{2}$ teilbar ist.
\end{Theorem}

So sind \zB\ die beiden Zahlen $g = 3$, $g' = 5$ modulo~$7^{k}$ primitive
Wurzeln, weil sie modulo~$7$ zum Exponenten~$6$ gehören, und weil außerdem:
\PageSep{192}{176}
\[
3^{6} - 1 \equiv 5^{6} - 1 \equiv -7\ (\mod.~49)
\]
ist, also beide Differenzen nicht durch $7^{2}$ teilbar sind.

Im Falle $p = 2$ gehört nach \Eq{(1)} auf \Seite{173} für $k > 2$ jede
Einheit
\[
\Tag{(5)}
g = ±e^{4\gamma_{0}} = ±(1 + 4\gamma_{0} + \dots)
\]
modulo~$2^{k}$ zum höchsten möglichen Exponenten~$2^{k-2}$, für welche $\gamma_{0}$
nicht durch $2$ teilbar ist. Betrachten wir diese Gleichung als Kongruenz
modulo~$8$ und beachten, daß alle auf das zweite Glied von $e^{4\gamma_{0}}$ folgenden
Summanden durch $8$ teilbar sind, während $4\gamma_{0}$ kongruent~$4$ oder kongruent
Null ist, je nachdem $\gamma_{0}$ eine Einheit ist oder nicht, so ergibt
sich der einfache Satz:
\begin{Theorem}
Eine ungerade Zahl~$g$ gehört stets und nur dann modulo~$2^{k}$
zum höchsten Exponenten~$2^{k-2}$, ist also für diesen Modul eine primitive
Wurzel, wenn
\[
\Tag{(5^{a})}
g \equiv ± 5\ (\mod.~8)
\]
ist. Speziell sind also $g = 5$ und $g = 3$ primitive Wurzeln für jede
Potenz~$2^{k}$, deren Exponent größer als $2$ ist.
\end{Theorem}

Ist $p$ ungerade, und $g$~eine primitive Wurzel modulo~$p^{k}$, gehört
also $g$ für diesen Modul zum Exponenten $c = \phi(p^{k})$, so sind die $\phi(p^{k})$
Potenzen
\[
1,\ g,\ g^{2},\ \dots\ g^{c-1}
\]
lauter modulo~$p^{k}$ inkongruente Einheiten, und da die Anzahl aller für
diesen Modul inkongruenten Einheiten ebenfalls gleich~$c$ ist; so ergibt
sich der Satz:
%[** TN: Text justification inconsistent in the original]
\begin{Theorem}
Jede Einheit modulo~$p^{k}$, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet,
läßt sich auf eine einzige Weise in der Form
\[
\Tag{(6)}
E \equiv g^{\epsilon}\ (\mod.~p^{k})\quad
\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original]
(\epsilon = 0, 1, \dots c - 1)
\end{Conditions}
\]
darstellen; wir nennen bei ein für allemal festgehaltener primitiver
Wurzel~$g$\; $\epsilon$~\so{den Index von~$E$ modulo~$p^{k}$} und schreiben
\index{Index!einer Einheit modulo~$p^{k}$}%
diese Beziehung
\[
\Tag{(6^{a})}
(\epsilon) = \Ind E. %[** TN: Missing dot on "Ind" in original]
\]
\end{Theorem}
\PageSep{193}{177}

Ist $p = 2$, und wird $k \geqq 2$ angenommen, so gehört nach \Eq{(5)} auf
voriger Seite modulo~$2^{k}$ jede Einheit
\[
g = +e^{4\gamma_{0}},
\]
speziell also $g = +5$ zum Exponenten $c = 2^{k-2}$; dann stellen die
$2c = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Potenzen:
\[
\Tag{(7)}
\begin{alignedat}{4}
  1,  &&  g,  &&  g^{2},\ \dots\ && g^{c-1}& \\
 -1,\ && -g,\ && -g^{2},\ \dots\ &&-g^{c-1}&
\end{alignedat}
\]
lauter modulo~$g^{k}$ inkongruente Einheiten dar. Denn die in einer von
jenen beiden Reihen stehenden Zahlen sind ja modulo~$2^{k}$ inkongruent,
und zwei in verschiedenen Reihen stehende Zahlen sind
schon modulo $2^{2} = 4$ inkongruent, da ja $g$ und somit auch alle
Potenzen von~$g$ kongruent~$1$ modulo~$4$ sind, während alle Zahlen~$-g^{h}$
der zweiten Reihe modulo~$4$ kongruent~$-1$ sind. Hier gilt
also speziell für $g = 5$ der Satz:
\begin{Theorem}
Jede dyadische Einheit läßt sich modulo~$2^{k}$ auf eine einzige
Weise in der Form:
\[
\Tag{(8)}
E \equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon}\ (\mod.~2^{k})\quad
\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original]
\left(
\begin{aligned}
  \delta &= 0, 1 \\
\epsilon &= 0, 1, \dots c - 1
\end{aligned}
\right)
\end{Conditions}
\]
darstellen. Wir nennen hier das Ziffernsystem~$(\delta, \epsilon)$ \so{den Index
von~$E$ modulo~$2^{k}$} und schreiben diese Beziehung
\index{Index!einer Einheit modulo~$2^{k}$}%
\[
\Tag{(8^{a})}
(\delta, \epsilon) = \Ind E.
\]
\end{Theorem}

Der Index~$(\epsilon)$ einer Einheit~$E$ modulo~$p^{k}$ beziehungsweise das Indexsystem~$(\delta, \epsilon)$
modulo~$2^{k}$ hat ganz dieselben Grundeigenschaften, wie
der Logarithmus einer beliebigen $p$-adischen Zahl für den Bereich von~$p$.
Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, will ich auch hier die
Gleichheit zweier Indizes sowie die Addition derselben ganz ähnlich wie
\index{Gleichheit!der Indizes d.\ Einheiten}%
dort definieren und dann zeigen, daß die Indizes der Einheiten genau
denselben Gesetzen gehorchen, wie die Logarithmen der Zahlen.

\begin{Theorem}
Zwei Indizes $(\epsilon)$~und~$(\epsilon')$ für eine ungerade Primzahlpotenz~$p^{k}$
sollen \so{gleich} heißen ($(\epsilon) = (\epsilon')$), wenn ihre Zahlenwerte sich
nur um ein Vielfaches von $c = \phi(p^{k})$ unterscheiden, wenn also
\PageSep{194}{178}
\[
\Tag{(9)}
\epsilon = \epsilon' \ (\mod.~(p - 1) p^{k-1})
\]
ist. Zwei Indexsysteme $(\delta, \epsilon)$, $(\delta', \epsilon')$ für eine Potenz~$2^{k}$ heißen gleich,
wenn $\delta$~und~$\delta'$ modulo $2$,~$\epsilon$ und~$\epsilon'$ modulo $c = \phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$
kongruent sind. Die Gleichung $(\delta, \epsilon) = (\delta', \epsilon')$ ist also nur ein
anderer Ausdruck für das Bestehen der Kongruenzen:
\[
\Tag{(9^{a})}
\delta \equiv \delta'\ (\mod.~2),\quad
\epsilon \equiv \epsilon'\ (\mod.~2^{k-2}).
\]
Ferner definiere ich die Summe bzw.\ die Differenz zweier Indizes
durch die Gleichungen
\[
\Tag{(9^{b})}
(\epsilon) ± (\epsilon') = (\epsilon ± \epsilon'),\quad
(\delta, \epsilon) ± (\delta', \epsilon')
  = (\delta ± \delta', \epsilon ± \epsilon')\DPtypo{}{.}
\]
\end{Theorem}

Dann bestehen auch hier die folgenden Sätze, durch die das Rechnen
mit den Indizes vollständig und höchst einfach geregelt wird:
\begin{Theorem}
Zwei Einheiten modulo~$p$
\[
b \equiv g^{\beta} \quad\text{und}\quad
b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k})
\]
sind, falls $p$ ungerade ist, stets und nur dann modulo~$p^{k}$ kongruent,
wenn ihre Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ gleich, \dh\ wenn ihre Indexexponenten
$\beta$~und~$\beta'$ modulo $c = \phi(p^{k})$ kongruent sind; und das entsprechende
gilt für die Indizes von zwei modulo~$2^{k}$ kongruenten
dyadischen Einheiten.
\end{Theorem}

Sind
\[
b \equiv g^{\beta}\quad b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k})
\]
zwei beliebige Einheiten, also $(\beta)$~und~$(\beta')$ ihre Indizes, so folgt aus den
Kongruenzen:
\[
bb' \equiv g^{\beta+\beta'}\quad
\frac{b}{b'} \equiv g^{\beta-\beta'}\ (\mod.~p^{k})
\]
der Satz, welcher mit dem entsprechenden für die Logarithmen genau
übereinstimmt:
\begin{Theorem}
Der Index eines Produktes ist gleich der Summe der Indizes
seiner Faktoren; der Index eines Quotienten ist gleich der Differenz
der Indizes von Zähler und Nenner.

In der Tat folgt ja aus den beiden obigen Kongruenzen:
\PageSep{195}{179}
\begin{align*}
\Ind (bb') &= (\beta + \beta') = \Ind b + \Ind b',  \\
\Ind \left(\frac{b}{b'}\right) &= (\beta - \beta') = \Ind b - \Ind b'.
\end{align*}
\end{Theorem}
Aus den entsprechenden Kongruenzen:
\[
\begin{alignedat}{2}
b &\equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon} &
b' &\equiv (-1)^{\delta'} 5^{\epsilon'}  \\
bb' &\equiv (-1)^{\delta+\delta'} 5^{\epsilon+\epsilon'}\quad &
\frac{b}{b'} &\equiv (-1)^{\delta-\delta'} 5^{\epsilon-\epsilon'}
\end{alignedat}
\ (\mod.~2^{k})
\]
folgt, daß derselbe Satz auch für $p = 2$ richtig ist.

Bei der Untersuchung von Kongruenzen für eine bestimmte Primzahlpotenz~$p^{k}$
als Modul ist es vorteilhaft, ganz wie bei den Logarithmen
auch hier \emph{Tafeln}, sogen.\ Indextafeln zu benutzen und zwar immer ein
Paar von Tafeln, von denen die eine nach den Zahlen (Numeri)~$b$, die
andere nach den Indizes~$\beta$ geordnet ist; für den Zahlentheoretiker sind
solche Tabellen geradezu unentbehrlich. \Name{C.~G.~J. Jacobi} hat so einfache
Methoden zur Berechnung solcher Tabellen angegeben, daß er zur Herstellung
eines umfangreichen derartigen Tafelwerkes, des "`Canon arithmeticus"',
der alle Primzahlen und alle Primzahlpotenzen unter $1000$
berücksichtigt, einen Artillerieunteroffizier anleiten konnte. Als Beispiel
diene folgende Tabelle, in der $p = 13$, $g = 2$ angenommen ist:
\begin{gather*}
\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|}
\hline\Strut
    b = 1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 &\Z6 &\Z7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 & 12 \\
\beta = 0 &  1 &  4 &  2 &  9 &  5 & 11 &  3 &  8 & 10 &  7 &  6 \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|}
\hline\Strut
\beta = 0 &\Z1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 &  6 &  7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 \\
    b = 1 &  2 &  4 &  8 &  3 &  6 & 12 & 11 &  9 &  5 & 10 &  7 \\
\hline
\end{array}
\end{gather*}

Aus der ersten Tabelle findet man zu jeder Einheit~$b$ den zugehörigen
Index~$\beta$, aus der zweiten zu jedem Index~$\beta$ die zugeordnete Zahl~$b$.
Die erste liefert also die Lösung jeder Kongruenz $g^{x} \equiv b\ (\DPchg{\text{modulo }}{\mod.}~13)$,
die zweite die Lösungen aller Kongruenzen $y \equiv g^{\beta}\ (\mod.~13)$.

\ZB\ ist also für $p = 13$ und $g = 2$: $\Ind 9 = 8$, $\Ind 10 = 10$,
daher $\Ind (9·10) \equiv 8 + 10 \equiv 6\ (\mod.~12)$, $\Ind \left(\dfrac{9}{10}\right) \equiv 8 - 10 \equiv -2
\equiv +10\ (\mod. 12)$, also folgt aus der zweiten Tabelle:
\PageSep{196}{180}
\[
9·10 \equiv 12\ (\mod.~13),\quad \frac{9}{10} \equiv 10\ (\mod.~13).
\]

Ferner findet man \zB\ für die Primzahlpotenz $27 = 3^{3}$, für welche
$c = \phi(3^{3}) = 2·3^{2} = 18$ ist, und wo als primitive Wurzel~$2$ genommen
werden kann, die beiden folgenden Tabellen (vgl.\ \aaO\ \aSeite{222}),
deren Einrichtung leicht verständlich ist
{\small
\[
\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|}
\multicolumn{11}{c}{\text{Numeri}} \\
\hline\Strut
\text{I.}
   &  0 &  1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 \\
\hline\Strut
   &  1 &  2 &  4 &  8 & 16 &  5 & 10 & 20 & 13 & 26 \\
1. & 25 & 23 & 19 & 11 & 22 & 17 &  7 & 14 &    &    \\
\hline
\multicolumn{11}{c}{} \\ %[** TN: Top-alignment hack]
\end{array}\quad
\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|}
\multicolumn{11}{c}{\text{Indizes}} \\
\hline\Strut
\text{N.}
  &\PadTo{10}{0}
      & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\PadTo{10}{6}
                              &  7 &\PadTo{10}{8}
                                       & 9  \\
\hline\Strut
  &   & 0 & 1 & · & 2 & 5 & · & 16 & 3 & ·  \\
1 & 6 &13 & · & 8 &17 & · & 4 & 15 & · & 12 \\
2 & 7 & · &14 &11 &·  &10 & 9 &    &   &    \\
\hline
\end{array}
\]}

Die erste Tabelle gibt zu allen Indizes der Reihe $0$,~$1$,~$2$,~\dots~$17$
die Numeri, die zweite zu allen Einheiten aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$26$ die
Indizes. In der zweiten Tabelle fehlen bei den Vielfachen von~$3$ natürlich
die Indizes, da sie ja modulo~$27$ keine Einheiten sind.

Für den Modul~$27$ ergibt sich \zB\ aus der zweiten Tabelle
\[
\Ind 13 = 8,\quad \Ind 10 = 6,
\]
also mit Hilfe der ersten Tabelle:
\begin{gather*}
\Ind (10· 13) \equiv 14 = \Ind 22,\quad
\Ind \left(\frac{13}{10}\right) \equiv 2 = \Ind 4,\ (\mod.~18) \\
\Ind \left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 16·2 \equiv 14 = \Ind 22\ (\mod.~18).
\end{gather*}

Also erhält man die Kongruenzen modulo~$27$:
\[
10·13 \equiv 22,\quad
\frac{13}{10} \equiv 4,\quad
\left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 22\ (\mod.~27),
\]
von denen wenigstens die beiden ersten leicht direkt nachgeprüft werden
können.

Um ein Indexsystem modulo~$p^{k}$ aufzusuchen, muß man eine feste
primitive Wurzel~$g$ wählen; nimmt man für den nämlichen Modul~$p^{k}$
eine andere primitive Wurzel~$g'$ und bestimmt das zu dieser gehörige
Indexsystem, so erscheinen letzterem gegenüber alle Indizes des ersten
\PageSep{197}{181}
Systems mit einer und derselben Zahl, nämlich dem Index von $g'$ in
bezug auf das erste System, multipliziert, ganz ebenso wie beim
Übergang von einem Logarithmensystem zu einem andern. In der Tat,
ist $g' \equiv g^{\alpha}\ (\mod.~p^{k})$, so ist ja für denselben Modul $g'^{\beta'} \equiv g^{\alpha\beta'}$.

Während sich bei dieser Transformation aber im allgemeinen die
Indizes der einzelnen Zahlen ändern, bleiben für einen beliebigen ungeraden
Modul~$p^{k}$ zwei Indizes stets für jede primitive Wurzel unverändert.
Es ist nämlich für eine beliebige primitive Wurzel $g = we^{p\gamma_{0}}$
\[
g^{0} \equiv 1,\quad
g^{\efrac{c}{2}} = g^{\efrac{p-1}{2}\, p^{k-1}}
  = \left(w^{\efrac{p-1}{2}}\right)^{p^{k-1}} e^{p^{k} \gamma_{0}·\efrac{p-1}{2}}
  \equiv -1\ (\mod.~p^{k}),
\]
da nach \Seite{152} unten $w^{\efrac{p-1}{2}} = -1$ und $p^{k-1}$ ungerade ist; also ist stets
\[
\Tag{(10)}
\Ind (1) = 0,\quad
\Ind (-1) = \frac{c}{2}.
\]


\Section{§ 6.}{Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige
Primzahlpotenz\DPtypo{}{.} Lineare Kongruenzen im $p$-adischen
Zahlkörper.}

Ich benutze die Exponentialdarstellung der Einheiten modulo~$p^{k}$
um den verallgemeinerten Wilsonschen Satz zu beweisen:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten ist für
diesen Modul kongruent~$-1$, wenn $p$ ungerade, kongruent~$+1$,
wenn $p = 2$ ist. Eine Ausnahme macht nur der Modul~$2^{2}$, denn
für ihn ist ja das Produkt~$1·3$ kongruent~$-1$.
\end{Theorem}

Stellt man nämlich alle jene Einheiten modulo~$p^{k}$ als Potenzen
einer primitiven Wurzel~$g$ dar, so ergibt sich für ein ungerades $p$ unter
Benutzung von~\Eq{(10)}
\[
\Tag{(1)}
\prod E \equiv g^{1+2+\dots+(c-1)}
  = \left(g^{\efrac{c}{2}}\right)^{c-1}
  \equiv (-1)^{c-1} \equiv -1\ (\mod.~p^{k})
\]
da $(c - 1)$ ungerade ist.

Im Falle $p = 2$ ergibt die Darstellung \Eq{(7)} auf \Seite{177} aller Einheiten
modulo~$2^{k}$, da $c = 2^{k-2}$ für $k > 2$ gerade ist, die Kongruenz:
\PageSep{198}{182}
\[
\Tag{(1^{a})}
\prod E \equiv (-1)^{c}(g^{1+2+\dots+(c-1)})^{2}
  = +(g^{c})^{c-1} \equiv +1\ (\mod.~2^{k}),
\]
und damit ist der Wilsonsche Satz allgemein bewiesen.

Auch ohne Benutzung der primitiven Wurzeln folgt die Richtigkeit
des Wilsonschen Satzes sofort aus der Exponentialdarstellung
der Einheiten~$E$ modulo~$p^{k}$. In der Tat ist ja für ein ungerades
$p$ jede Einheit
\[
E_{rs} \equiv w_{r} e^{ps}\ (\mod.~p^{k})\qquad
\begin{Conditions}
\left(
\begin{aligned}
r &= 1, 2, \dots p - 1\\
s &= 0, 1, \dots (p^{k-1} - 1)
\end{aligned}
\right)
\end{Conditions},
\]
wo $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ die $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln mit den Anfangsgliedern
$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ sind. Dann ist zunächst das für ein bestimmtes
$r$ auf alle $p^{k-1}$ Werte von~$s$ erstreckte Produkt:
\[
\Tag{(2)}
\begin{aligned}
\prod_{(s)}E_{rs}
   = \prod_{s=0}^{p^{k-1}-1} w_{r} e^{ps}
  &= w_{r}^{p^{k-1}} · e^{p(1+2+\dots+(p^{k-1}-1))} \\
  &= w_{r} e^{p^{k}\efrac{p^{k-1}-1}{2}} \equiv w_{r}\ (\mod.~p^{k})
\end{aligned}
\]
da ja $w_{r}^{p} = w_{r}$, also auch $w_{r}^{p^{k}} = w_{r}$, und der Exponent von~$e$ durch $p^{k}$ teilbar
ist. Multipliziert man in dieser Gleichung noch über alle Werte von
$r$ und beachtet, daß $w_{1} w_{2} \dots w_{p-1} = -1$ ist, so ergibt sich in der Tat:
\[
\prod_{r} \prod_{s} E_{rs} \equiv -1\ (\mod.~p^{k}).
\]

Ganz ebenso wird der Wilsonsche Satz für eine Potenz~$2^{k}$ von~$2$
als Modul bewiesen, falls $k > 2$ ist. Denken wir uns hier alle Einheiten
in der Form \Eq{(2^{a})} \aSeite{170} dargestellt:
\[
±E_{s} \equiv ±e^{2^{2}·s}\ (\mod.~p^{k})\qquad
\begin{Conditions}
(s = 0, 1, \dots (2^{k-2} - 1))
\end{Conditions}
\]
und multiplizieren zuerst die $2^{k-2}$ Einheiten mit demselben Vorzeichen
$+1$~oder~$-1$, so erhält man
\[
\Tag{(2^{a})}
\begin{aligned}
\prod_{(s)} (±1) E_{s}
  &\equiv (±1)^{2^{k-2}}·e^{2^{2}(1+2+\dots+(2^{k-2}-1))} \\
  &= e^{2^{2}·2^{k-3}(2^{k-2}-1)}
   \equiv +e^{2^{k-1}}\ (\mod.~2^{k}),
\end{aligned}
\]
da der Exponent von~$e$ kongruent~$2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ ist. Also wird das
Produkt jener beiden Teilprodukte kongruent $e^{2·2^{k-1}} \equiv +1\ (\mod.~2^{k})$.
\PageSep{199}{183}

Aus den beiden in \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} abgeleiteten Kongruenzen:
\index{Kongruente!Zahlen}%
\begin{alignat*}{2}
&\prod_{(s)} E_{rs} \equiv w_{r}\ &&(\mod.~p^{k}) \\
&\prod_{(s)} ±E_{s} \equiv 1\ &&(\mod.~2^{k-1})
\end{alignat*}
ergeben sich noch die beiden folgenden interessanten Sätze:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche
für diesen Modul kongruent~$r$, welche also von der Form $np + r$
sind, ist für denselben Modul der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$
kongruent.

Das Produkt aller derjenigen modulo~$2^{k}$ inkongruenten Einheiten,
welche von der Form $4n + 1$ bzw.\ $4n + 3$ sind, ist modulo~$2^{k-1}$
kongruent~$1$.
\end{Theorem}

Als letzte Anwendung der bisher durchgeführten Betrachtungen löse
ich die allgemeine lineare Kongruenz
\[
\Tag{(3)}
AX \equiv A'\ (\mod.~M)
\]
auf, in welcher $A$,~$A'$ und der Modul~$M$ beliebige ganze oder gebrochene
$p$-adische Zahlen sein können, und bestimme die Anzahl ihrer modulo~$M$
inkongruenten Lösungen. Hierzu gebe ich zuerst die allgemeinste
Definition der Kongruenz zweier $p$-adischen Zahlen für einen beliebigen
$p$-adischen Modul~$M$, welche vollständig mit der früher für eine beliebige
Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul gegebenen übereinstimmt und sofort
auf diese zurückgeführt werden kann:
\begin{Theorem}
Zwei Zahlen $B$~und~$B'$ heißen \so{kongruent für den
Modul~$M$}, wenn ihre Differenz durch $M$ teilbar ist.
\end{Theorem}

Hiernach ist also genau wie \aSeite{40} unten die Kongruenz:
\[
\Tag{(4)}
B \equiv B'\ (\mod.~M)
\]
nur ein anderer Ausdruck für das Bestehen einer Gleichung:
\[
\Tag{(4^{a})}
B' = B + MG,
\]
in der $G$~eine beliebige \emph{ganze} $g$-adische Zahl bedeutet. Ist $M = p^{m}E$,
wo $E$~eine Einheit bedeutet, so geht die Gleichung~\Eq{(4^{a})} in
\[
\Tag{(4^{b})}
B' = B + p^{m}EG = B + p^{m}\bar{G}
\]
\PageSep{200}{184}
über und sie ist dann und nur dann erfüllt, wenn $\bar{G} = EG$ ebenfalls
eine ganze $p$-adische Zahl, wenn also
\[
\Tag{(4^{c})}
B' \equiv B\ (\mod.~p^{m}) \quad\text{oder}\quad (\mod.~|M|)
\]
ist, wo $|M|$ den absoluten Betrag von $M$ bedeutet; somit ergibt sich
der Satz:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz~\Eq{(4)} für den $p$-adischen Modul~$M$ ist stets und
nur dann erfüllt, wenn sie für seinen absoluten Betrag besteht.
\end{Theorem}

Da endlich die Gleichung~\Eq{(4^{a})} bestehen bleibt, wenn man sie mit
einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl~$C$ multipliziert oder sie
durch $C$ dividiert, so folgt der Satz:
\begin{Theorem}
Eine Kongruenz:
\[
\Tag{(4)}
B \equiv B'\ (\mod.~M)
\]
bleibt richtig, wenn man sie mit einer $p$-adischen Zahl $C \neq 0$
multipliziert oder dividiert, vorausgesetzt, daß ihr Modul in
derselben Weise umgeformt wird; erfüllen also $B$~und~$B'$ die
Kongruenz~\Eq{(4)}, so ist für jede von Null verschiedene Zahl~$C$:
\[
\Tag{(4^{d})}
CB \equiv CB'\ (\mod.~CM), \quad
\frac{B}{C} \equiv \frac{B'}{C}\ \left(\mod.~\frac{M}{C}\right).
\]
\end{Theorem}

Aus der obigen Kongruenz~\Eq{(1)} ergibt sich nun durch Anwendung
von \Eq{(4^{d})}~und~\Eq{(4^{c})}
\[
\Tag{(5)}
X \equiv \frac{A'}{A} = x_{0}\ \left(\mod.~\left|\frac{M}{A}\right|\right),
\]
wo $x_{0}$ also modulo $\left|\dfrac{M}{A}\right|$ eindeutig bestimmt ist. Daher genügt $X$ dann
und nur dann der Kongruenz~\Eq{(1)}, wenn
\[
\Tag{(6)}
X = x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G
\]
ist, wo $G$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet.

Wieviele unter diesen Zahlen~\Eq{(6)} sind nun modulo~$M$ inkongruent?
Sollen zwei Lösungen
\PageSep{201}{185}
\[
x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G \quad\text{und}\quad
x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G'
\]
modulo~$M$ kongruent sein, so gilt für ihre Differenz:
\[
\left|\frac{M}{A}\right|(G' - G) \equiv 0\ (\mod.~|M|)
\]
oder nach Division mit $\left|\dfrac{M}{A}\right|$:
\[
G' \equiv G\ (\mod.~|A|).
\]
Also sind alle und nur die modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der
vorgelegten Kongruenz~\Eq{(1)} in der Form:
\[
\frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G
\]
enthalten, in der $G$ ein vollständiges System aller modulo $|A| = p^{a}$
inkongruenten ganzen Zahlen durchläuft.

Ist die Ordnungszahl~$a$ von $A$ positiv, so ist die Anzahl aller
modulo~$p^{a}$ inkongruenten ganzen Zahlen
\[
G = g_{0} + g_{1}p + \dots + g_{a-1} p^{a-1}
\]
gleich $p^{a} = |A|$; ist dagegen $a = -\bar{a} \leqq 0$, so sind alle ganzen Zahlen~$G$
modulo~$p^{-\bar{a}}$ kongruent; in diesem Falle hat also unsere Kongruenz
nur die eine Lösung $x = \dfrac{A'}{A}$.

\begin{Theorem}
Die Anzahl aller modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der Kongruenz
\[
AX \equiv A'\ (\mod.~M)
\]
ist also gleich $|A|$ oder gleich~$1$, je nachdem $A$ ganz oder gebrochen
ist; jene Anzahl ist also stets gleich dem kleinsten gemeinsamen
Vielfachen~$[1, |A|]$ von $1$~und~$|A|$.
\end{Theorem}

Ich untersuche jetzt, ob die Kongruenz
\[
\Tag{(1)}
AX \equiv A'\ (\mod.~M)
\]
\so{ganzzahlige} Lösungen besitzt, und, falls dies der Fall sein sollte,
\index{Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen}%
wie groß ihre Anzahl ist. Dabei kann ich voraussetzen, daß $A$,~$A'$ und
\PageSep{202}{186}
$M$ von nicht negativer Ordnung sind; denn durch Multiplikation der
Kongruenz~\Eq{(1)} mit einer geeigneten Potenz von $p$ kann die allgemeinste
Kongruenz leicht auf diesen Fall reduziert werden.

Ferner können und wollen wir $|A| > |M|$ voraussetzen; denn für
$|A|\lesssim |M|$ wird ja die Kongruenz $0·X \equiv A'\ (\mod.~M)$ nur in dem trivialen
Falle durch ganzzahlige $X$ befriedigt, daß $A' \equiv 0$, daß also
auch $|A'| \lesssim |M|$ ist, und dann durch alle $p^{m} = |M|$ modulo~$M$ inkongruenten
ganzen Zahlen. Ist dagegen $|A| > |M|$, so ist in der allgemeinen
Lösung:
\[
X = \frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G
\]
der zweite Summand ganz; also besitzt unsere Kongruenz stets und nur
dann eine ganzzahlige Lösung, wenn auch $\dfrac{A'}{A}$ ganz, wenn also $A'$ durch
$A$ teilbar ist, und nach dem allgemeinen Resultate hat sie dann genau
$p^{a} = |A|$ modulo~$M$ inkongruente ganzzahlige Lösungen. Bezeichnen
wir wieder durch $(A, M) = (p^{a}, p^{m})$ den größten gemeinsamen Teiler
von $A$~und~$M$, \dh\ die niedrigere von den beiden Potenzen $p^{a}$~und~$p^{m}$,
so hat die Kongruenz~\Eq{(1)} in jedem der beiden unterschiedenen
Fälle stets und nur dann eine Lösung, wenn $A'$ durch $(A, M)$ teilbar
ist; und sie besitzt dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente
Lösungen.

Wir wollen jede Lösung der Kongruenz $AX \equiv A'\ (\mod.~M)$ als
\so{einen Wert des Quotienten $\dfrac{A}{A'}$ modulo~$M$} bezeichnen und
$A'$~und~$A$ den \so{Zähler} und den \so{Nenner} desselben nennen. Dann
können wir das Gesamtergebnis der letzten Untersuchung folgendermaßen
aussprechen:
\begin{Theorem}
Der Quotient $\dfrac{A'}{A}$ besitzt modulo~$M$ stets und nur dann einen
\index{Wert e.\ Quotienten modulo~$M$}%
ganzzahligen Wert, wenn sein Zähler~$A'$ durch $(A, M)$ teilbar ist, und
zwar hat er dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente Werte,
welche sich um Multipla von~$|M/A|$ unterscheiden.
\end{Theorem}

So hat \zB\ für den Bereich von $3$ die Kongruenz
\[
18X \equiv 63\ (\mod.~81)
\]
\PageSep{203}{187}
mindestens eine ganzzahlige Lösung, weil $63$ durch $(18, 81) = 9$ teilbar
ist. Alle modulo~$81$ inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz
sind in der Form:
\[
X = \frac{63}{18} + \left|\frac{81}{18}\right|n = \frac{7}{2} + 9n
\]
enthalten, wo $\dfrac{7}{2}$ modulo $\left|\dfrac{81}{18}\right| = 9$ bestimmt ist, also gleich~$8$ gesetzt
werden kann und wo $n$~ein vollständiges Restsystem modulo $|18| = 9$,
also etwa die Zahlenreihe $0$,~$±1$, $±2$, $±3$,~$±4$ durchläuft. Die
sämtlichen $9$ Lösungen $X = 8 + 9n$ sind hiernach:
\[
-28,\ -19,\ -10,\ -1,\ +8,\ +17,\ +26,\ +35,\ +44.
\]

Ebenso besitzt für den Bereich von $2$ die Kongruenz:
\[
12X \equiv 40\ (\mod.~32)
\]
die Lösungen:
\[
X = \frac{40}{12} + \left|\frac{32}{12}\right|·n = \frac{10}{3} + 8n,
\]
wo $\dfrac{10}{3}$ modulo~$8$ kongruent~$6$ ist, und $n$~ein vollständiges Restsystem
modulo $|12| = 4$ durchläuft. Die vier modulo~$32$ inkongruenten
Lösungen jener Kongruenz sind also $6$,~$14$,~$22$,~$30$.

Schließt man den trivialen Fall, daß $A$ durch $M$ teilbar ist,
aus, so spricht sich das auf vor.~S. abgeleitete Schlußresultat einfacher
so aus:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
AX \equiv A'\ (\mod.~M)
\]
besitzt stets und nur dann ganzzahlige Lösungen, wenn $A'$ durch
$|A|$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau $|A|$ modulo~$M$ inkongruente
Wurzeln, welche sich um Multipla von $|M/A|$ unterscheiden.
\end{Theorem}
\PageSep{204}{188}


\Chapter{Neuntes Kapitel.}
{Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe
der $g$-adischen Zahlen.}

\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der
$g$-adischen Zahlen.}

Im fünften Kapitel (\Seite{86}~ff.)\ war gezeigt worden, wie sich
die Untersuchung aller $g$-adischen Zahlen für eine beliebige zusammengesetzte
Grundzahl~$g$ vollständig auf die Betrachtung derjenigen
Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ reduzieren läßt, deren Grundzahlen
$p$,~$q$,~\dots~$r$ die sämtlichen in $g$ enthaltenen verschiedenen Primzahlen
sind. Ich will jetzt zeigen, wie einfach sich die genauere Untersuchung
der Zahlen des $g$-adischen Zahlringes~$R(g)$ auf Grund der im
vorigen Kapitel für die $p$-adischen Zahlkörper gewonnenen Resultate
gestaltet.

Im fünften Kapitel hatte sich als Hauptresultat ergeben, daß
alle $g$-adischen Zahlen auf eine einzige Weise entweder in der sogen.\
additiven oder in der multiplikativen Normalform darstellbar sind.
Die letztere Art werden wir im folgenden wesentlich benutzen; daher
sollen die vorher gefundenen Sätze hier noch einmal ausgesprochen
werden:
\begin{Theorem}
Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle ihre
verschiedenen Primfaktoren, so ist jede $g$-adische Zahl auf eine
einzige Weise in der sogen.\ multiplikativen Normalform darstellbar:
\[
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g).
\]
\PageSep{205}{189}
Hier sind die $g$-adischen Zahlen $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, die sogen.\ \so{Komponenten
von~$A$}, eindeutig durch die Bedingungen bestimmt,
daß \zB\ für die erste:
\[
\frakA_{p} = A\ (p),\quad
\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
\frakA_{p} = 1\ (r)
\]
ist, während für die übrigen entsprechende Bestimmungsgleichungen
bestehen. Sind umgekehrt:
\[
\alpha_{p},\quad \alpha_{q},\ \dots\quad \alpha_{r}
\]
beliebig vorgegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahlen, so
gibt es eine einzige $g$-adische Zahl~$A$, welche für die Bereiche von
$p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist.
\end{Theorem}

Aus diesem Satze folgte sofort der weitere:
\begin{Theorem}
Sind
\[
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r};\quad
B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r}
\]
zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist:
\[
AB = (\frakA_{p}\frakB_{p})(\frakA_{q}\frakB_{q}) \dots (\frakA_{r}\frakB_{r})
\]
die Darstellung ihres Produktes in der Normalform.
\end{Theorem}

Aus den Untersuchungen des vierten Kapitels hatte sich \aSeite{67}
unten ergeben, daß im Bereiche der $g$-adischen Zahlen die Grundgesetze
\Iref{I\Add{)}}--\Iref{VI\Add{)}} des ersten Kapitels unbeschränkt gelten. Während aber
in dem Ringe~$R(g)$ die Subtraktion unbeschränkt und eindeutig ausführbar
ist, gilt dasselbe nicht für die Division; es ist jetzt aber leicht,
die Divisionsregeln in diesem Ringe ebenfalls vollständig und einfach
anzugeben.

Sind nämlich $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen
\index{Quotient!$g$-adischer Zahlen}%
wir auch hier jede $g$-adische Zahl~$X$, welche der Gleichung:
\[
\Tag{(1)}
AX = B\ (g)
\]
genügt, durch
\[
\Tag{(1^{a})}
X = \frac{B}{A}\ (g)
\]
bezeichnen und sie \so{einen Quotienten von $B$~und~$A$} oder
\PageSep{206}{190}
\so{einen Bruch} nennen, dessen Zähler~$B$, dessen Nenner $A$ ist. Ist
wieder
\[
A = \frakA_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r}; \quad
B = \frakB_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r}
\]
die Darstellung von $A$~und~$B$ in der Normalform, und ist $X = X_{p}X_{q} \dots X_{r}$
dieselbe Darstellung für die unbekannte Zahl~$X$, so sind ihre Komponenten
durch die Forderungen bestimmt, daß \zB\ $X_{p}$ den Gleichungen:
\[
\Tag{(2)}
\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad
X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
X_{p} = 1\ (r)
\]
genügen muß, deren erste sich aus der Betrachtung der Gleichung~\Eq{(1)}
für den Bereich von $p$ ergibt, während die letzten erfüllt sein müssen,
damit $X_{p}$~eine $p$-Komponente sei. Für die anderen Komponenten bestehen
die entsprechenden Gleichungen:
\[
\Tag{(2^{a})}
\begin{gathered}
\frakA_{q}X_{q} = \frakB_{q}\ (q),\quad X_{q} = 1\ (p),\ \dots\quad X_{q} = 1\ (r) \\
\DotRow{1}.
\end{gathered}
\]
Sind umgekehrt für ein System $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ von $g$-adischen Zahlen
die Gleichungen \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} sämtlich erfüllt, so besteht für die aus
ihnen multiplikativ zusammengesetzte Zahl~$X$ die Gleichung~\Eq{(1)}. Sind
endlich $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ und $(X'_{p}, X'_{q}, \dots X'_{r})$ zwei verschiedene Lösungen
von \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})}, so sind die ihnen entsprechenden Lösungen
$X$~und~$X'$ ebenfalls verschieden, da eine $g$-adische Zahl~$X$ durch ihre
Komponenten $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ eindeutig bestimmt ist.

Wir brauchen daher nur zu untersuchen, wie viele und welche Lösungen
die Gleichungssysteme \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} für die verschiedenen Komponenten
$X_{p}$,~$X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ haben, und dabei können wir uns auf die eine
Komponente~$X_{p}$ und die sie bestimmenden Gleichungen~\Eq{(2)} beschränken.

Wir wollen nun ähnlich wie vorher jede Lösung $X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(2)}
durch
\[
\Tag{(3)}
X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}
\]
bezeichnen, und sie einen \so{Bruch} oder \so{einen Quotienten
der beiden $p$-Komponenten $\frakB_{p}$~und~$\frakA_{p}$} nennen; $\frakB_{p}$~heiße
wieder \so{der Zähler}, $\frakA_{p}$~\so{der Nenner} dieses Bruches. Dann ist also
jeder Wert jenes Bruches durch die Bedingungen
\PageSep{207}{191}
\[
\Tag{(3^{a})}
\frakA_{p}\left(\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\right) = \frakB_{p}\ (p)\DPtypo{.}{,}\quad
\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (q),\ \dots\quad
\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (r)
\]
bestimmt. Entsprechend sollen die Lösungen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ der Gleichungen~\Eq{(2^{a})}
bzw.\ durch $\dfrac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$ bezeichnet werden. Dann besteht also der
Satz:
\begin{Theorem}
Sind
\[
A = \frakA_{p}·\frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad
\DPtypo{\frakB}{B} = \frakB_{p}·\frakB_{q} \dots \frakB_{r}
\]
zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist
\[
\Tag{(4)}
\frac{B}{A}
  = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}\ (g)
\]
die Darstellung eines jeden Wertes ihres Quotienten in der Normalform,
falls solche Werte überhaupt existieren.
\end{Theorem}

Wir haben jetzt also zu untersuchen, ob für beliebig gegebene
$g$-adische Zahlen $A$~und~$B$ bzw.\ für beliebige $p$-Komponenten $\frakA_{p}$
und~$\frakB_{p}$ die Gleichungen:
\[
\Tag{(5)}
\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad
X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
X_{p} = 1\ (r)
\]
Lösungen $X_{p} = \dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$ haben, und, falls dies der Fall ist, welches diese sind.
Diese Gleichungen besitzen nun stets und nur dann Lösungen~$X_{p}$, wenn
die erste von ihnen allein solche hat, und jeder Lösung~$\xi_{p}$ dieser einen
Gleichung:
\[
\Tag{(5^{a})}
\frakA_{p}\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p)
\]
entspricht eine eindeutig bestimmte Lösung~$X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(5)}.
Ist nämlich~$\xi_{p}$, eine $p$-adische Zahl, welche eine Lösung von~\Eq{(5^{a})} ist,
so gibt es ja nach \Seite{87}~\Eq{(2)} eine einzige $g$-adische Zahl~$X_{p}$, für welche
die Gleichungen
\[
X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad
X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
X_{p} = 1\ (r)
\]
sämtlich erfüllt sind, welche also eine Lösung von~\Eq{(5)} ist.

Da nun der Bereich $K(p)$ der $p$-adischen Zahlen einen Körper
bildet, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})} stets eine eindeutig bestimmte Lösung,
\PageSep{208}{192}
wenn $\frakA_{p} \neq 0\ (p)$, wenn also der Wert von $A$ für den Bereich von
$p$ von Null verschieden ist, oder, was dasselbe ist, wenn $A$ nicht den
zu $p$ gehörigen Primteiler~$O_{p}$ der Null enthält.

In diesem Falle ist also:
\[
X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\ (g)
\]
eindeutig bestimmt. Gilt das entsprechende für alle Komponenten
$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, sind also die Werte von $A$ für den Bereich aller in $g$ enthaltenen
Primzahlen von Null verschieden, enthält mithin $A$ keinen einzigen
Primteiler der Null, so sind hiernach alle Komponenten $\dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$
von~$\dfrac{B}{A}$, also auch $\dfrac{B}{A}$ selbst, eindeutig bestimmt.

\begin{Theorem}
Der Quotient $\dfrac{B}{A}$ zweier $g$-adischen Zahlen ist also eine eindeutig
bestimmte $g$-adische Zahl, wenn der Nenner $A$ keinen Primteiler
der Null enthält. In diesem Falle ist hiernach die Division
stets unbeschränkt und eindeutig ausführbar.
\end{Theorem}

Es möge jetzt
\[
A = O_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r}
\]
einen, etwa den zu $p$ gehörigen Primteiler der Null enthalten, während
die übrigen Komponenten beliebig sein können. Dann geht die Gleichung~\Eq{(5^{a})}
zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ über in
\[
0·\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p),
\]
und diese besitzt dann und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn
auch $\frakB_{p} = 0\ (p)$ ist, wenn also
\[
B = O_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r}
\]
ebenfalls den zu $p$ gehörigen Primfaktor der Null enthält. Ist das aber
der Fall, so wird die Gleichung
\[
0·\xi_{p} = 0\ (p)
\]
durch jede $p$-adische Zahl erfüllt. Daher werden die zugehörigen Gleichungen:
\PageSep{209}{193}
\[
X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad
X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad
X_{p} = 1\ (r)
\]
zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ durch jede $g$-adische Zahl
befriedigt, deren $p$-Komponente ganz beliebig ist, während sie für den
Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich~$1$ wird. In diesem Falle hat also diese
$p$-Komponente:
\[
\Tag{(6)}
X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = \frac{O_{p}}{O_{p}}
\]
unendlich viele Werte, sie erscheint hier in der unbestimmten Form
$\dfrac{O_{p}}{O_{p}}$ einer $p$-Komponente, welche für den Bereich von $p$ jeden Wert annehmen
kann. Ist dagegen $\frakA_{p} = O_{p}$, $\frakB_{p} \neq O_{p}$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})}
innerhalb $R(g)$ keine Lösung, und das Gleiche gilt in diesem Falle
von der ganzen Gleichung $AX = B\ (g)$, da dann $X$ eben keine $p$-Komponente
besitzen kann. Auch hier wollen wir die Zahlgröße
\[
X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{O_{p}}
\]
einführen, aber dabei bemerken, daß sie nicht im Ringe~$R(g)$ der
$g$-adischen Zahlen vorkommt. Entsprechendes gilt natürlich für die
übrigen Komponenten. Wir können also das Schlußresultat unserer
Untersuchung folgendermaßen aussprechen:
\begin{Theorem}
Der Quotient:
\[
\frac{B}{A} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}
\]
zweier $g$-adischen Zahlen ist stets und nur dann \emph{eindeutig} bestimmt,
wenn der Nenner keinen Primteiler der Null enthält. Besitzt dagegen
der Nenner~$A$ gewisse von den Primteilern der Null, so existiert
der Quotient~$B/A$ stets und nur dann, wenn der Zähler mindestens
dieselben Primteiler enthält, und dann kann für die zugehörigen
in unbestimmter Form erscheinenden Komponenten
\[
\frac{O_{p}}{O_{p}} \quad\text{bzw.}\quad \frac{O_{q}}{O_{q}},\ \dots
\]
jede beliebige $p$-~bzw.\ $q$-Komponente gesetzt werden. Ist dagegen
auch nur ein Komponentennenner ein Primteiler der Null, ohne
\PageSep{210}{194}
daß für den zugehörigen Komponentenzähler dasselbe gilt, so
existiert dieser Bruch $\dfrac{B}{A}$ im Bereiche der $g$-adischen Zahlen nicht.
\end{Theorem}

So ergibt sich \zB\ die vollständige Lösung der Gleichung
\[
\Tag{(7)}
AX = 0\ (g)
\]
in der Form:
\[
X = \frac{0}{A} = \frac{O_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}}
\]
und liefert stets mindestens eine $g$-adische Zahl~$X$, wie auch $A$ beschaffen
sein mag. Enthält $A$ keinen Primteiler der Null, so ist $X = 0$ die
einzige Lösung der obigen Gleichung, \dh\ in diesem Falle ist $AX$
nur dann Null, wenn $X = 0$ ist. Ist dagegen \zB\ $\frakA_{p} = O_{p}$, so gibt
es unendlich viele verschiedene Lösungen unserer Gleichung~\Eq{(7)}, die alle
in der Form:
\[
X = \frac{O_{p}}{O_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}}
\]
enthalten sind.

Ferner liefert die Gleichung:
\[
\Tag{(7^{a})}
AX = 1
\]
für $X$ die Lösung
\[
X = \frac{1}{A}
  = \frac{1_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{1_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{1_{r}}{\frakA_{r}}
\]
und diese existiert stets und nur dann im Ringe~$R(g)$ und ist dann
eindeutig bestimmt, wenn $A$ keinen Primteiler der Null enthält.

Ich bemerke endlich noch, daß \zB\ die $g$-adischen Zahlen, welche
rationalen Zahlen~$\dfrac{m}{n}$ gleich sind, niemals einen Primteiler der Null enthalten
können; denn eine solche Zahl müßte ja, wenn sie \zB\ den Divisor~$O_{p}$
besäße, durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sein, was nur
für die Zahl Null der Fall ist. Der Bereich aller derjenigen $g$-adischen
Zahlen, welche den rationalen Zahlen gleich sind, bildet also einen Körper,
\PageSep{211}{195}
da ja in ihm neben den drei anderen elementaren Rechenoperationen
auch die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist.

Endlich mögen die entsprechenden Resultate für die Darstellung
der $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform wenigstens kurz
erwähnt werden: Sind
\[
A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r},\quad
B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r}
\]
zwei beliebige in der additiven Normalform dargestellte $g$-adische Zahlen,
so sind die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient derselben
durch die Gleichungen bestimmt:
\[
\Tag{(8)}
\begin{gathered}
A + B = (A_{p} + B_{p}) + (A_{q} + B_{q}) + \dots + (A_{r} + B_{r}) \\
A - B = (A_{p} - B_{p}) + (A_{q} - B_{q}) + \dots + (A_{r} - B_{r}) \\
AB = A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots + A_{r}B_{r} \\
\frac{B}{A} = \frac{B_{p}}{A_{p}} + \frac{B_{q}}{A_{q}} + \dots + \frac{B_{r}}{A_{r}}.
\end{gathered}
\]
In diesen vier Gleichungen sind \zB\ die $p$-Komponenten diejenigen
$g$-adischen Zahlen, welche für den Bereich von $p$ bzw.\ gleich
\[
A + B,\quad A - B,\quad AB,\quad \frac{B}{A},
\]
dagegen für den Bereich aller übrigen Primzahlen gleich Null sind.
Auch hier sind diese Komponenten für $A + B$, $A - B$, $AB$ immer eindeutig
bestimmt. Für den Quotienten~$\dfrac{B}{A}$ dagegen sind diese Komponenten
stets und nur dann eindeutig bestimmt, wenn keine einzige der
Nennerkomponenten $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ Null ist, wenn also der Nenner
keinen einzigen Primteiler der Null besitzt. Ist dagegen \zB\ $A_{p} = 0$,
so existiert der Bruch $\dfrac{B}{A}$ stets und nur dann in~$R(g)$, wenn auch $B_{p} = 0$
ist, und in diesem Falle stellt das Symbol $\dfrac{0_{p}}{0_{p}} = \dfrac{0}{0}$ jede $g$-adische Zahl
dar, deren $p$-adischer Wert ganz beliebig sein kann, während sie für
den Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich Null ist. Die Beweise dieser Sätze sind
genau ebenso zu führen wie dies für die multiplikative Darstellung der
Zahlen geschehen ist.
\PageSep{212}{196}


\Section{§ 2.}{Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die
Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl.}

Ich benutze nun die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen
Normalform, um zunächst die Begriffe des absoluten Betrages
einer Zahl, ihrer Einheitswurzel und ihrer Haupteinheit von den
$p$-adischen auf die allgemeinsten $g$-adischen Zahlen zu übertragen.

Ist
\[
\Tag{(1)}
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g)
\]
die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der Normalform, so
ist jede ihrer Komponenten, \zB\ $\frakA_{p}$ eindeutig durch ihren Wert für
den Bereich von $p$ bestimmt, oder also durch die $p$-adische Zahl~$a_{p}$,
welcher $\frakA_{p}$ oder auch $A$ selbst für den Bereich von $p$ gleich ist. Jede
solche $p$-adische Zahl~$a_{p}$ konnten wir nun für den Bereich von $p$ eindeutig
in der folgenden Form darstellen:
\[
\Tag{(2)}
a_{p} = p^{\alpha_{p}} w_{p} E_{p}\ (p).
\]
Hier bedeutet $p^{\alpha_{p}} = |a_{p}|$ den absoluten Betrag der Zahl~$a_{p}$, also $\alpha_{p}$ die
Ordnungszahl derselben, $w_{p}$~die ihr zugehörige $(p - 1)$-te Einheitswurzel
oder für $p = 2$ eine der Einheiten~$±1$, und $E_{p}$~die zugeordnete Haupteinheit
modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$.

Um nun die der $p$-adischen Zahl~$a_{p}$ entsprechende $g$-adische
$p$-Komponente $\frakA_{p}$ in derselben Weise darzustellen bezeichne ich jetzt
durch
\[
\bar{p},\quad \bar{w}_{p} \quad\text{und}\quad \bar{E}_{p}
\]
diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, welche für den
Bereich von $p$ bzw.\ gleich
\[
p,\quad w_{p} \quad\text{und}\quad E_{p}
\]
sind, während sie für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ alle den Wert Eins haben.
Dann ist offenbar die Komponente~$\frakA_{p}$ folgendermaßen dargestellt:
\[
\Tag{(2^{a})}
\frakA_{p} = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{w}_{p} \bar{E}_{p}\ (g).
\]
Macht man die entsprechenden Festsetzungen für die anderen Bereiche
von $q$,~\dots~$r$ und stellt dann die Werte $a_{q}$,~\dots~$a_{r}$ von $A$ für diese
\PageSep{213}{197}
Bereiche analog dar, wie das in~\Eq{(2)} für $a_{p}$ geschehen ist, so erhält man
für $\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ die Gleichungen:
\[
\Tag{(3)}
\begin{aligned}
\frakA_{q} &= \bar{q}^{\alpha_{q}} \bar{w}_{q} \bar{E}_{q} \\
\PadTo{\frakA_{q}}{\vdots} \\
\frakA_{r} &= \bar{r}^{\alpha_{r}} \bar{w}_{r} \bar{E}_{r}
\end{aligned}
\quad (g),
\]
und durch Multiplikation aller dieser Gleichungen ergibt sich endlich
die folgende einfache Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl~$A$:
\[
\Tag{(4)}
A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r} = GwE,
\]
wo:
\[
\Tag{(4^{a})}
G = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}},\quad
w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r},\quad
E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}
\]
gesetzt ist.

Die $g$-adische Zahl~$G$ ist eindeutig dadurch bestimmt, daß sie für
den Bereich einer jeden Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich dem absoluten Betrage
von $A$ für den Bereich derselben ist; und ebenso sind $w$ und $E$
die $g$-adischen Zahlen, welche für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich
der zu $A$ gehörigen zugeordneten Einheitswurzel bzw.\ der entsprechenden
Haupteinheit sind. Aus diesem Grunde soll im folgenden
\index{Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl}%
\index{Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}%
\index{Haupteinheit!zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}%
\[
\Tag{(5)}
G = |A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}}
\]
\so{der absolute Betrag der $g$-adischen Zahl} heißen, und $w$ und
$E$ nenne ich \so{ihre Einheitswurzel} und \so{ihre Haupteinheit}.

Die beiden letzten Bezeichnungen werden dadurch gerechtfertigt,
daß $w$ in der Tat eine gewisse $g$-adische Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit
für einen gewissen leicht angebbaren Modul~$g_{0}$ ist. Es gehört
nämlich in der Gleichung $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$ jeder der Faktoren rechts,
\zB~$\bar{w}_{p}$, für den Bereich von $g$ zu einem Exponenten~$d_{p}$, welcher ein
Teiler von $p - 1$ oder von $2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder gleich~$2$
ist; denn es ist ja dann und nur dann
\[
\bar{w}_{p}^{d_{p}} = 1\ (g),
\]
wenn dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$ erfüllt ist, da sie für
die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ für jedes $d_{p}$ besteht. Es ist also $d_{p}$ einfach der
\PageSep{214}{198}
Exponent, zu dem die $p$-adische Einheitswurzel~$w_{p}$ gehört. Sind nun
$d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten, zu denen $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ gehören,
und ist
\[
d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}]
\]
ihr kleinstes gemeinsames Multiplum, so genügt $w$ für den Bereich von
$g$ der Gleichung
\[
w^{d} = (\bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r})^{d}
  = \bar{w}_{p}^{d} \bar{w}_{q}^{d} \dots \bar{w}_{r}^{d} = 1\ (g),
\]
weil dieselbe Gleichung für jeden der Faktoren $\bar{w}_{p}^{d}$,~\dots~$\bar{w}_{r}^{d}$ für sich erfüllt
ist; also ist $w$ wirklich eine $g$-adische Einheitswurzel; ferner \emph{gehört} aber
$w$ auch zu diesem Exponenten~$d$, denn eine Potenz:
\[
w^{\bar{d}} = \bar{w}_{p}^{\bar{d}} \bar{w}_{q}^{\bar{d}} \dots \bar{w}_{r}^{\bar{d}}\ (g)
\]
kann nur dann gleich Eins sein, wenn jede der rechts stehenden Potenzen
für sich gleich Eins, wenn also $\bar{d}$ durch das kleinste gemeinsame
Vielfache $d$ von $d_{p}$,~\dots~$d_{r}$ teilbar ist.

Die Haupteinheit $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist dadurch bestimmt, daß sie,
falls $p$,~$q$,~\dots~$r$ ungerade sind, für jede von diesen Primzahlen, also auch
für ihr Produkt als Modul, kongruent Eins sein muß; ist dagegen eine
von diesen, etwa~$p$, gleich~$2$, so muß $E$ für die Moduln $4$,~$q$,~\dots~$r$, also
auch für das Produkt $4q \dots r$ kongruent Eins sein. Setzen wir also in
den beiden unterschiedenen Fällen
\[
\Tag{(6)}
g_{0} = pq \dots r \quad\text{bzw.}\quad g_{0} = 4q \dots r,
\]
und bezeichnen wir in der Folge diese Zahl als \so{die zu $g$ gehörige
reduzierte Grundzahl}, so können wir den Satz aussprechen:
\begin{Theorem}
Eine Zahl $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist stets und nur dann die
Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl, wenn sie von der Form $1 + g_{0}n$,
wenn sie also im gewöhnlichen Sinn eine Haupteinheit für die zu
\index{Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte}%
$g$ gehörige reduzierte Grundzahl $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ ist.
\end{Theorem}

Beachtet man endlich noch, daß die so gefundene Darstellung
einer Zahl~$A$ für den Bereich von $g$ eindeutig ist, weil diese durch die Komponenten
$\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, eindeutig bestimmt wird, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in der
Form
\PageSep{215}{199}
\[
A = |A|·w·E
\]
darstellen, wo $|A|$ der absolute Betrag von~$A$, $w$~eine $g$-adische
Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet.
\end{Theorem}

Sind
\[
\Tag{(7)}
A = GwE \qquad A' = G'w'E'
\]
zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so ergeben sich für ihr Produkt und
ihren Quotienten die Gleichungen
\[
\Tag{(7^{a})}
\begin{aligned}
         AA' &= (GG') · (ww') · (EE') \\
\frac{A}{A'} &= \left(\frac{G}{G'}\right) · \left(\frac{w}{w'}\right) · \left(\frac{E}{E'}\right),
\end{aligned}
\]
und da das Produkt und der Quotient von zwei absoluten Beträgen
oder zwei Einheitswurzeln oder zwei Haupteinheiten, falls dieselben
existieren, wieder ein absoluter Betrag oder eine Einheitswurzel oder
eine Haupteinheit ist, wie aus den entsprechenden Resultaten für die
Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ sofort folgt, so haben wir in~\Eq{(7^{a})} die Darstellung
eines Produktes bzw.\ eines Quotienten von zwei Zahlen in der Normalform
gewonnen. Nur der Quotient
\[
\frac{|A|}{|A'|} = \frac{G}{G'}
  = \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}}
    \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots
    \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}}
\]
existiert nicht immer im Ringe~$R(g)$, nämlich nach \Seite{193} unten stets
und nur dann nicht, wenn der Nenner $A'$ einen Primteiler der Null enthält,
welcher im Zähler nicht vorkommt. In diesem Falle ist \zB\ $\alpha'_{p}
= +\infty$, während $\alpha_{p}$ endlich ist; dann allein enthält $\dfrac{G}{G'}$ mindestens den
Faktor~$\bar{p}$ in der Potenz~$-\infty$.


\Section{§ 3.}{Die Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen.}

Ebenso wie dies früher bei den $p$-adischen Zahlen geschah, will ich
nun jeder $g$-adischen Zahl
\[
A= |A|·w·E
\]
eine \so{Ordnungszahl für den Bereich von~$g$} zuordnen. Ist
\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$g$}%
nämlich
\PageSep{216}{200}
\[
|A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}}
\]
ihr absoluter Betrag, so will ich unter ihrer Ordnungszahl das System:
\[
\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})
\]
der in $|A|$ auftretenden Exponenten oder das System der Ordnungszahlen
verstehen, welche $A$ für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besitzt.

Die einzelnen Exponenten $\alpha_{p}$,~\dots~$\alpha_{r}$, mögen \so{die Elemente
von~$\alpha$} heißen. Im allgemeinen sind diese Elemente endliche ganze
\index{Element einer Ordnungszahl}%
Zahlen; nur dann ist etwa $\alpha_{p} = +\infty$, wenn $A$ den zugehörigen Primteiler~$O_{p}$
der Null enthält. Dagegen kann kein Element von $A$ gleich
$-\infty$ sein; führt die Rechnung auf eine Ordnungszahl mit negativ unendlichem
Elemente, so ist damit ausgesprochen, daß die zugehörige
Zahl innerhalb $R(g)$ nicht existiert.

Jede Zahl $A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}$ besitzt eine eindeutig bestimmte
Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$, deren Elemente eben die Ordnungszahlen
der einzelnen Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von
$p$,~$q$,~\dots~$r$ sind; und umgekehrt gehören zu jeder Ordnungszahl~$\alpha$
$g$-adische Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl besitzen. Ist
speziell $A = \dfrac{m}{n}$ eine rationale Zahl, so ist ihre Ordnungszahl einfach
das Exponentensystem der in $A$ enthaltenen Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$;
von Null verschiedene rationale Zahlen besitzen also stets Ordnungszahlen
mit lauter endlichen Elementen.

In den Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen treten uns hier \emph{Zahlensysteme}
\index{Zahlensysteme}%
entgegen, mit denen wir wie mit Zahlen zu rechnen haben
werden. Um dies ebenso einfach wie das Rechnen mit Zahlen ausführen zu
können, will ich für beliebige Zahlsysteme gleich an dieser Stelle die vier
elementaren Rechenoperationen definieren. Seien also $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ beliebige
Zahlbereiche, in deren jedem die elementaren Rechenoperationen
wie im ersten Kapitel definiert sind. Ich betrachte dann
Systeme
\[
\Tag{(1)}
b = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{t}), \quad
b' = (b'_{1}, b'_{2}, \dots b'_{t}),\ \dots,
\]
deren Elemente bzw.\ den Bereichen $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ angehören. Dann
definiere ich, genau wie dies im ersten Kapitel \aSeite{14}~ff.\ geschah, für
\PageSep{217}{201}
diese neuen Elemente $(b, b', \dots)$ die vier elementaren Rechenoperationen
durch die Gleichungen:
\[
\Tag{(2)}
\begin{alignedat}{3}
b + b' &={} &
  (b_{1} + b'_{1}, &&   b_{2} + b'_{2}, &\dots b_{t} + b'_{t}) \\
b - b' &={} &
  (b_{1} - b'_{1}, &&\, b_{2} - b'_{2}, &\dots b_{t} - b'_{t}) \\
bb' &={} &
  (b_{1} b'_{1}, &&     b_{2} b'_{2}, &\dots b_{t} b'_{t})   \\
\frac{b}{b'} &={} &
  \biggl(\frac{b_{1}}{b'_{1}},
                &&\frac{b_{2}}{b'_{2}}, &\dots \frac{b_{t}}{b'_{t}}\biggr).
\end{alignedat}
\]
Speziell ist dann $1 = (1, 1, \dots 1)$ das Einheitselement, $0 = (0, 0, \dots 0)$
das Nullelement für diese Zahlensysteme. Allgemein muß unter
$1 + 1 + \dots + 1 = m$ das System $(m, m, \dots m)$ verstanden werden.
Ist endlich $b$ ein beliebiges und $m = (m, m, \dots)$ ein System mit
lauter gleichen Elementen, so ist
\[
\Tag{(2^{a})}
mb = (mb_{1}, mb_{2}, \dots mb_{t}),\quad
\frac{b}{m} = \left(\frac{b_{1}}{m}, \frac{b_{2}}{m}, \dots \frac{b_{t}}{m}\right).
\]

Wenden wir diese Definition der Summe und Differenz von zwei
Zahlensystemen speziell auf die Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$,
$\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ von zwei Zahlen $A$~und~$A'$ an, so ergibt sich aus den
beiden Gleichungen für den absoluten Betrag eines Produktes bzw.\ eines
Quotienten
\[
\Tag{(3)}
\begin{aligned}
|AA'| &= |A||A'|,\quad \left|\frac{A}{A'}\right| = \frac{|A|}{|A'|}: \\
|AA'| &= \bar{p}^{\alpha_{p}+\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}+\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}+\alpha'_{r}} \\
\left|\frac{A}{A'}\right|
      &= \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}},
\end{aligned}
\]
\dh\ es besteht der Satz:
\begin{Theorem}
Die Ordnungszahl des Produktes zweier Zahlen ist gleich der
Summe der Ordnungszahlen der Faktoren, die Ordnungszahl eines
Quotienten ist gleich der Differenz der Ordnungszahlen von Zähler
und Nenner.
\end{Theorem}

Denn sind $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$, $\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ die Ordnungszahlen
von $A$~und~$A'$, so sind diejenigen von $AA'$~und~$\dfrac{A}{A'}$ bzw.\ gleich
\[
(\alpha_{p} ± \alpha'_{p},
 \alpha_{q} ± \alpha'_{q}, \dots
 \alpha_{r} ± \alpha'_{r}) = \alpha ± \alpha'.
\]
\PageSep{218}{202}

Die Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ soll \so{negativ} heißen, wenn
auch nur einer ihrer Bestandteile eine negative ganze Zahl ist. Wir
sagen $\alpha$ ist \so{Null}, wenn alle Bestandteile Null sind. Dagegen soll eine
Ordnungszahl \so{$\alpha$~nicht negativ} heißen, wenn alle ihre Bestandteile
\index{Gleichheit!zweier Ordnungszahlen}%
\index{Negative Ordnungszahlen}%
positiv oder Null sind. Dann folgt aus den \aSeite{96} f.\ bewiesenen
Sätzen, daß eine $g$-adische Zahl dann und nur dann eine Einheit ist,
wenn sie die Ordnungszahl $0 = (0, 0, \dots 0)$ hat; denn allein dann sind
ja alle ihre Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$
bzw.\ Einheiten. Alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen sind von
nicht negativer Ordnung, während alle gebrochenen Zahlen eine negative
Ordnungszahl haben. Eine Zahl enthält stets und nur dann einen Primteiler
der Null, wenn ihre Ordnungszahl einen unendlich großen Bestandteil
hat.

Von zwei Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$
soll \so{$\alpha$~gleich oder größer als~$\alpha'$} heißen, wenn jedes der
Elemente von $\alpha$ gleich oder größer ist als das entsprechende Element
von $\alpha'$ wenn also $\alpha - \alpha'$ nicht negativ ist. Sind alle entsprechenden
Elemente von $\alpha$~und~$\alpha'$ gleich, so ist $\alpha = \alpha'$. Es ist klar, daß hier
zwei Ordnungszahlen im allgemeinen nicht in der Beziehung stehen
müssen, daß die eine gleich oder größer ist als die andere, denn
gewisse Elemente von $\alpha$ können ja größer und gewisse andere kleiner
sein als die entsprechenden von~$\alpha'$.


\Section{§ 4.}{Die Anordnung der $g$-adischen Zahlen nach ihrer Größe.
\index{Größe!d.\ $g$-adischen Zahlen}%
Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die Exponentialfunktion
und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus
der $g$-adischen Zahlen.}

Ich will nun auch die $g$-adischen Zahlen ebenso wie früher die
$p$-adischen nach ihrer Größe anordnen.

Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$
\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}}%
und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$ ihre Ordnungszahlen, so wollen wir \so{$A$~kleiner
als $A'$ bzw. äquivalent~$A'$} nennen ($A \lesssim A'$), wenn die Ordnungszahl
von $A$ größer als die von $A'$ bzw.\ dieser gleich ist, wenn also
nach der \aSeite{112} gegebenen Definition jede der Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\DPtypo{\frakA}{\frakA_{r}}$
\PageSep{219}{203}
von $A$ in den zugehörigen Körpern $K(p)$,~\dots~$K(r)$ kleiner als die
entsprechende Komponente von $A'$ bzw.\ dieser äquivalent ist. Selbstverständlich
gibt es nach dieser Definition Zahlen $A$~und~$A'$, auf
welche diese Größenbeziehung nicht angewendet werden kann, da
von den entsprechenden Elementen ihrer Ordnungszahlen \zB\
$\alpha_{p} > \alpha'_{p}$, $\alpha_{q} < \alpha'_{q}$,~\dots\ sein kann.

Ist $A \lesssim A'$, so besteht eine Gleichung
\[
A = DA',
\]
wo $D$ die nicht negative Ordnungszahl $\alpha - \alpha' = (\alpha_{p} - \alpha'_{p}, \dots \alpha_{r} - \alpha'_{r})$
hat, also eine \emph{ganze} Zahl ist. Auch hier ist also jede $g$-adische Zahl~$A$
durch jede ihr äquivalente oder größere Zahl teilbar und nur durch
solche Zahlen. Ganz besonders muß hervorgehoben werden, daß
auch im Ringe der $g$-adischen Zahlen wieder der Satz gilt, daß die Summe
beliebig vieler Zahlen $A_{1}$,~$A_{2}$,~\dots~$A_{\nu}$, welche alle nicht größer als $D$
sind, ebenfalls nicht größer als diese Zahl ist. Allein auf diesem Satze
beruht die Möglichkeit, alle für die Konvergenz $p$-adischer Reihen bewiesenen
Sätze unmittelbar auf die $g$-adischen Reihen auszudehnen.

Auch bei den $g$-adischen Zahlen wollen wir wieder unendliche
Reihen
\[
A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \dots
\]
in den Kreis der Betrachtung ziehen, vorausgesetzt, daß sie für den
Bereich von $g$ konvergieren, \dh\ eindeutig bestimmte Zahlen darstellen.
Wir stellen auch hier genau die gleiche Definition der Konvergenz auf,
wie für die Reihen im Körper~$K(p)$:
\begin{Theorem}
Eine $g$-adische Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn
für ein beliebig klein gegebenes aber von Null verschiedenes $\delta$ eine
natürliche Zahl~$n$ so groß gewählt werden kann, daß die Summe
von beliebigen und beliebig vielen Gliedern:
\[
A^{(\nu_{1})} + A^{(\nu_{2})} + \dots + A^{(\nu_{m})},
\]
deren Indizes sämtlich oberhalb $n$ liegen, kleiner als $\delta$ ist.
\end{Theorem}

Durch wörtlich dieselben Betrachtungen wie in dem früheren einfachen
Falle gelangen wir auch hier zu der einen notwendigen und hinreichenden
Konvergenzbedingung:
\PageSep{220}{204}
\begin{Theorem}
Eine $g$-adische Reihe $A^{(0)} + A^{(1)} + \dots$ ist stets und nur
dann konvergent, wenn die Bedingung
\[
\lim_{n=\infty} A^{(n)} = 0\ (g)
\]
erfüllt ist.
\end{Theorem}

Schreibt man alle Reihenglieder in der additiven Normalform:
\[
A^{(n)} = A_{p}^{(n)} + A_{q}^{(n)} + \dots + A_{r}^{(n)}
\]
und beachtet, daß $A^{(n)}$ dann und nur dann bei genügend großem $n$
für den Bereich von $g$ beliebig klein wird, wenn dasselbe für ihre einzelnen
Komponenten im Bereiche der zugehörigen Primzahl gilt, so
können wir das allgemeine Konvergenzkriterium auch so aussprechen:
\begin{Theorem}
Eine Reihe
\[
\sum A^{(n)} = \sum A_{p}^{(n)} + \sum A_{q}^{(n)} + \dots + \sum A_{r}^{(n)}
\]
konvergiert stets und nur dann, wenn die aus den Komponenten
ihrer Glieder gebildeten Reihen für den Bereich der zugehörigen
Primzahl konvergieren.
\end{Theorem}

Alle Sätze über die Konvergenz der Reihen, speziell diejenigen für
die Potenzreihen im Körper der $p$-adischen Zahlen, beruhten allein auf
der Einteilung dieser Zahlen nach der Größe und auf dem Satze, daß
die Summe beliebig vieler Zahlen, welche alle nicht größer als eine Zahl~$\delta$
sind, ebenfalls nicht größer als $\delta$ ist. Da nun dieser Satz auch für die
Größenanordnung der $g$-adischen Zahlen gilt, so folgt, daß wir alle Betrachtungen
des sechsten Kapitels Wort für Wort auf die $g$-adischen
Reihen, insbesondere die $g$-adischen Potenzreihen, übertragen können.
So erhalten wir also auch für diese Reihen den folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Ist
\[
y = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots
\]
eine Potenzreihe mit $g$-adischen Koeffizienten und ist $\xi$ ein $g$-adischer
Wert von~$x$, für welchen jedes Glied $a_{i} \xi^{i}$ derselben unterhalb
einer endlichen Größe liegt, so konvergiert diese Reihe für jedes
$x < \xi$ unbedingt und gleichmäßig und ist in diesem ganzen Bereich
eine stetige und differenzierbare Funktion von~$x$.
\end{Theorem}
\PageSep{221}{205}

Ich wende dieses Ergebnis auch hier auf die Untersuchung der
Exponentialreihe
\[
e^{\zeta} = 1 + \frac{\zeta}{1} + \frac{\zeta^{2}}{1·2} + \dots
\]
an unter der Voraussetzung, daß $\zeta$~eine $g$-adische Zahl ist. Die Konvergenzbedingung
\[
\lim_{n=\infty} \frac{\zeta^{n}}{n!} = 0\ (g)
\]
ist dann und nur dann für den Bereich von $g$ erfüllt, wenn sie für den
Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besteht, wenn also $\zeta$ bzw.\ durch $p$,~$q$,~\dots~$r$ oder
falls $p = 2$ sein sollte, wenn $\zeta$ durch $4$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist; es muß also
$\zeta$~ein Multiplum von $(pq \dots r)$ bzw.\ von $(4q \dots r)$ sein, damit die
Reihe für $e^{\zeta}$ konvergent ist. Nach der \aSeite{198}~\Eq{(6)} eingeführten Bezeichnung
können wir dieses Resultat so aussprechen:
\begin{Theorem}
Die Exponentialreihe $e^{\zeta}$ konvergiert stets und nur dann unbedingt
\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$}%
und gleichmäßig im Bereiche der $g$-adischen Zahlen, wenn
$\zeta$~ein Multiplum der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$ ist.
\end{Theorem}

Ist dies der Fall, so stellt die Reihe
\[
e^{\zeta} = 1 + \eta = 1 + g_{0} G\ (g)
\]
eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ dar; und umgekehrt gehört zu jeder solchen
Haupteinheit $1 + \eta$ ein eindeutig bestimmtes Multiplum $\zeta$ von~$g_{0}$,
für welches $e^{\zeta} = 1 + \eta$ ist, nämlich die Zahl, welche durch die Reihe
\[
\zeta = \lg(1 + \eta)
  = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots
\]
dargestellt ist. Dieselbe konvergiert unter genau derselben Voraussetzung
über $\eta$ wie die Exponentialreihe.

Dieses Resultat ermöglicht es, jede Haupteinheit~$e^{\zeta}$ modulo~$g_{0}$ in
der multiplikativen Normalform zu schreiben: Stellen wir nämlich $\zeta$
in der additiven Normalform
\[
\zeta = \zeta_{p} + \zeta_{q} + \dots + \zeta_{r}
\]
dar, so ist \zB\ $\zeta_{p}$ für den Bereich von $p$ durch $p$ teilbar, für den Bereich
aller übrigen Primzahlen aber gleich Null. Also ist in
\PageSep{222}{206}
\[
e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}+\zeta_{q}+\dots+\zeta_{r}}
  = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}}
\]
\zB\ $e^{\zeta_{p}} = 1 + \eta_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich dem $p$-adischen
Werte von~$e^{\zeta}$, also eine Haupteinheit modulo~$p$, für den Bereich von
$q$,~\dots~$r$ aber gleich Eins. Entsprechendes gilt für die übrigen
Potenzen $e^{\zeta_{q}}$,~\dots~$e^{\zeta_{r}}$.

Ich will daher für eine beliebige Haupteinheit $E = e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}}$
die $g$-adische Zahl~$\zeta$ \so{ihren Logarithmus}, und die $g$-adischen
\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Haupteinheit}%
Zahlen $\zeta_{p}$,~$\zeta_{q}$,~\dots~$\zeta_{r}$ die Komponenten dieses Logarithmus nennen;
diese Beziehung zwischen $E$ und $\zeta$ bzw.\ dem System $(\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})$
will ich wieder durch die Gleichung:
\[
\lg E = \zeta = (\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})\quad (g)
\]
bezeichnen. Jede der Komponenten des $\lg E$, \zB~$\zeta_{p}$, ist dann die
eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, für welche:
\[
\zeta_{p} = \lg E\ (p),\quad
\zeta_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad
\zeta_{p} = 0\ (r)
\]
ist, und $\zeta_{p}$ und $E_{p}$ sind durch die Gleichungen
\[
E_{p} = e^{\zeta_{p}}\quad
\zeta_{p} = \lg E_{p}\ (g) %[** TN: Moduli aligned in original, not preserving]
\]
miteinander verbunden.

Ist
\[
E = e^{\gamma} = 1 + \eta
\]
eine beliebige Haupteinheit modulo~$g_{0}$, so besteht zwischen $\gamma$~und~$\eta$ die
Gleichung:
\[
\gamma = \eta - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots
   = \eta \left(1 - \frac{\eta}{2} + \frac{\eta^{2}}{3} - \dots\right),
\]
und da die in der Klammer auf der rechten Seite stehende Reihe
selbst eine Haupteinheit für $g_{0}$ ist, weil ja dasselbe für jeden Teiler
$4$,~$p$, $q$,~\dots~$r$ von~$g_{0}$ gilt, so ergibt sich auch hier ebenso wie in~\Eq{(11)}
\aSeite{137} die Äquivalenz
\[
\gamma \sim \eta\ (g),
\]
\dh\ $\gamma$ ist dann und nur dann durch eine beliebige Potenz
\PageSep{223}{207}
$G = p^{K} q^{L} \dots r^{M}$ teilbar, wenn dasselbe für $\gamma$ gilt. Es besteht also
der Satz:
\begin{Theorem}
Eine Einheit $E = 1 + \eta$ ist stets und nur dann eine Haupteinheit
für eine beliebige keine anderen Primteiler als $g$ enthaltende
Zahl $G = p^{K} \dots r^{L}$, wenn ihr Logarithmus durch $G$ teilbar ist.
\end{Theorem}

Aus der Definitionsgleichung für den Logarithmus
\[
e^{\lg E} = E
\]
und aus der Fundamentaleigenschaft der Exponentialfunktion ergeben
sich die Gleichungen:
\begin{align*}
                    \lg (EE') &= \lg E + \lg E' \\
\lg \left(\frac{E}{E'}\right) &= \lg E - \lg E'.
\end{align*}

Ich wende dieses Resultat an auf die Darstellung
\[
A = GwE\ (g)
\]
einer beliebigen $g$-adischen Zahl, wo
\[
E = 1 + \eta = 1 + g_{0}\bar{\eta}
\]
eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet. Wir können nämlich jetzt
\[
E = e^{\gamma}
\]
setzen und erhalten so den wichtigen Satz:
\begin{Theorem}
Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in
der Form:
\[
A = Gwe^{\gamma}\ (g)
\]
schreiben, wo $G$ der absolute Betrag, $w$~die Einheitswurzel und
$e^{\gamma}$~die Haupteinheit von $A$ ist. Wir wollen wie \aSeite{164} oben bei
den $p$-adischen Zahlen auch jetzt $\gamma$ \so{den Logarithmus der
Haupteinheit oder den Hauptlogarithmus} von $A$
\index{Hauptlogarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}%
nennen.
\end{Theorem}
\PageSep{224}{208}


\Section{§ 5.}{Die Elemente der Algebra im Ringe der $g$-adischen
Zahlen. Die $g$-adischen Einheitswurzeln.}

Ich betrachte endlich noch die algebraischen Gleichungen im Gebiete
\index{Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$}%
der $g$-adischen Zahlen, um die für einen Körper~$K(p)$ \aSeite{145}~ff.\ gefundenen
Resultate auf diese allgemeineren Bereiche zu übertragen.

Ist
\[
\Tag{(1)}
F(x) = A^{(0)} x^{m} + A^{(1)} x^{m-1} + \dots + A^{(m)} = 0\ (g)
\]
eine beliebige Gleichung \Ord{$m$}{-ten} Grades, so heißt eine $g$-adische Zahl~$x$
\so{eine Wurzel dieser Gleichung}, wenn $F(x) = 0\ (g)$ ist.

Ist nun $x$ eine solche Wurzel, und denken wir uns diese in der additiven
bezw.\ in der multiplikativen Normalform dargestellt, so daß
\[
\Tag{(2)}
x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r}\ (g)
\]
ist, so ergibt sich, wenn man die Gleichung $F(x) = 0$ der Reihe nach
für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet,
\[
\Tag{(3)}
\begin{aligned}
0 &= F(x) = F(x_{p}) = F(\frakx_{p})\ (p) \\
\DotRow{2} \\
0 &= F(x) = F(x_{r}) = F(\frakx_{r})\ (r),
\end{aligned}
\]
\dh\ jene Komponenten sind Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich
von $p$,~$q$,~\dots~$r$. Sind umgekehrt
\[
\Tag{(4)}
\xi_{p},\ \xi_{q},\ \dots\ \xi_{r}
\]
je eine $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Wurzel unserer Gleichung,
und ist
\[
x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r}
\]
diejenige eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl in der additiven oder in
der multiplikativen Normalform, deren Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$
bzw.\ gleich $\xi_{p}$,~$\xi_{q}$,~\dots~$\xi_{r}$ sind, so ist
\[
F(x) = 0\ (g),
\]
weil ja dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ erfüllt ist.
Es ergibt sich also der folgende wichtige Satz, durch den die Auflösung
\PageSep{225}{209}
einer beliebigen Gleichung im Bereiche der $g$-adischen Zahlen auf die
vollständige Auflösung derselben Gleichung im Bereiche der Körper
$K(p)$,~\dots~$K(r)$ reduziert wird:
\begin{Theorem}
Eine Gleichung
\[
F(x) = 0\ (g)
\]
besitzt stets und nur dann mindestens eine $g$-adische Wurzel, wenn
dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$
mindestens eine Wurzel hat. Sind ferner $m_{p}$,~$m_{q}$,~\dots~$m_{r}$ die Anzahlen
der verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung in jenen Körpern,
so hat dieselbe Gleichung genau $m_{p}·m_{q} \dots m_{r}$ verschiedene $g$-adische
Wurzeln.
\end{Theorem}

Ich wende dieses Resultat an auf die Lösung der Frage, wie viele
und welche $g$-adische Zahlen Einheitswurzeln sind. Die Lösungen der
Gleichung:
\[
\Tag{(5)}
x^{m} = 1\ (g)
\]
für den Bereich von $g$ setzen sich nun in der vorher angegebenen Weise
aus den Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$,
\dh\ aus den Wurzeln der Gleichungen:
\[
\Tag{(5^{a})}
x^{m} = 1\ (p),\quad
x^{m} = 1\ (q),\ \dots\quad
x^{m} = 1\ (r)
\]
zusammen; und die Zahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung~\Eq{(5)}
ist gleich dem Produkte der entsprechenden Anzahlen für die Gleichungen~\Eq{(5^{a})}.
Eine Zahl~$w$ ist also stets und nur dann eine $g$-adische Einheitswurzel,
wenn ihre Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ Einheitswurzeln
für diese Bereiche sind. Ist also
\[
\Tag{(6)}
w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}\ (g)
\]
die multiplikative Zerlegung von~$w$, so muß $\bar{w}_{p}$ für den Bereich von $p$
einer der $p - 1$ bzw.\ $2$ (für $p = 2$) $p$-adischen Einheitswurzeln gleich
sein~usw. Also ist die Zahl aller verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln
gleich
\[
(p - 1)(q - 1) \dots (r - 1) \quad\text{oder}\quad 2(q - 1) \dots (r - 1),
\]
je nachdem $g$ ungerade ist oder auch den Primfaktor~$2$ enthält. Jene
Anzahl ist also in beiden Fällen gleich~$\phi(g_{0})$, wenn wie \aSeite{198}~\Eq{(6)}
\PageSep{226}{210}
$g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ gleich $4q \dots r$ die zu $g$ gehörige reduzierte
Grundzahl bedeutet. Es gibt also wirklich nur diese $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen
Einheitswurzeln $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$, denen wir schon \aSeite{198} begegnet waren, und von denen jede zum Exponenten
\[
d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}]
\]
gehört, wenn $d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten sind, zu denen $w$ für
die Bereiche $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ gehört. Da $d_{p}$ ein Teiler von $p - 1$
bzw.\ von~$2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder $p = 2$ ist, und da das entsprechende
für $d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ gilt, so genügen alle $g$-adischen Einheitswurzeln
der Gleichung:
\[
\Tag{(7)}
x^{\mu} = 1\ (g),
\]
wo in den beiden vorher unterschiedenen Fällen:
\[
\Tag{(7^{a})}
\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1]
\]
ist; und zu diesem höchsten Exponenten selbst gehören \ua\ alle diejenigen
Einheitswurzeln, deren Werte für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$
\emph{primitive} Einheitswurzeln sind.

Jede der $\phi(g_{0})$ voneinander verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln
kann also als $g_{0}$-adische Zahl:
\[
\Tag{(8)}
w^{(r)} = r + r_{1} g_{0} + r_{2} g_{0}^{2} + \dots
  = r\MathOrd{,}r_{1}\,r_{2}\,\dots\ (g_{0})
\]
geschrieben werden und sie ist dann einer der $\phi(g_{0})$ Einheiten~$r$
modulo~$g_{0}$ kongruent und durch dieses ihr Anfangsglied $r$ eindeutig
bestimmt. Dies folgt unmittelbar daraus, daß das Entsprechende
nach \Seite{154}~\Eq{(4)}
für ihre Komponenten $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ und die
Moduln $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt. Hieraus ergibt sich, daß eine $g$-adische Einheitswurzel~$w$
dann und nur dann kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ sein kann,
wenn sie gleich $w^{(r)}$ ist.

Um die $g$-adischen Einheitswurzeln ebenso einfach darzustellen,
wie dies \aSeite{156} unten im Körper der $p$-adischen Zahlen geschah,
bezeichne ich jetzt durch $w_{p}$~eine $g$-adische Einheitswurzel, deren
Wert für den Bereich von $p$ eine \emph{ein für alle Male fest gewählte
primitive} $p$-adische Einheitswurzel ist, während sie für den Bereich
von $q$,~\dots~$r$ den Wert Eins hat. Haben $w_{q}$,~\dots~$w_{r}$ die entsprechende
\PageSep{227}{211}
Bedeutung für die Körper $K(q)$,~\dots~$K(r)$, so sind alle und nur die
$g$-adischen Einheitswurzeln in der Form:
\[
\Tag{(9)}
w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}
\]
eindeutig dargestellt, wenn, \zB\ $\beta_{p}$ ein vollständiges Restsystem
modulo~$p - 1$ bzw.\ modulo~$2$ durchläuft und entsprechendes für die
andern Exponenten gilt.

Ich will auch hier das Exponentensystem:
\[
\Tag{(10)}
(\beta) = (\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}),
\]
durch welches die Einheitswurzel~$w$ eindeutig bestimmt wird, den \so{Index
von~$w$} nennen und diese Beziehung durch die Gleichung:
\index{Gleichheit!der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln}%
\index{Index!einer $g$-adischen Einheitswurzel}%
\[
\Tag{(11)}
(\beta) = \Ind w
\]
ausdrücken. Zwei in dieser Form dargestellte Einheitswurzeln
\[
\Tag{(12)}
w  = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} \quad\text{und}\quad
w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}}
\]
sind dann und nur dann gleich, wenn sich die entsprechenden Exponenten
nur um ganzzahlige Multipla bzw.\ von
\[
p - 1,\ q - 1,\ \dots\ r - 1 \quad\text{bzw.}\quad 2,\ q - 1,\ \dots\ r - 1
\]
unterscheiden.

Für das Rechnen mit diesen Indizes will ich wieder die \aSeite{201}
oben angegebenen Vorschriften einführen, wonach
\[
\Tag{(13)}
\begin{aligned}
      (\beta) ± (\beta') &= (\beta_{p} ± \beta'_{p}, \dots \beta_{r} ± \DPtypo{\beta_{r}}{\beta'_{r}}) \\
         (\beta)(\beta') &= (\beta_{p}\beta'_{p}, \dots \beta_{r}\beta'_{r}) \\
\frac{(\beta)}{(\beta')} &= \left(\frac{\beta_{p}}{\beta'_{p}}, \dots \frac{\beta_{r}}{\beta'_{r}}\right)
\end{aligned}
\]
sein soll. Ich nenne zwei Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ \so{gleich}, wenn die zugehörigen
Einheitswurzeln~\Eq{(12)} gleich sind, wenn also:
\[
\Tag{(14)}
\begin{aligned}
(\beta') &= (\beta_{p} + k_{p}(p - 1), \dots \beta_{r} + k_{r}(r - 1)) \\
         &= (\beta) + (k) (P),
\end{aligned}
\]
ist, wo $(k) = (k_{p}, k_{q}, \dots k_{r})$ ein beliebiges ganzzahliges System bedeutet,
und
\PageSep{228}{212}
\[
\Tag{(15)}
P = (p - 1, q - 1, \dots r - 1), \quad\text{bzw.}\quad (2, q - 1, \dots r - 1)
\]
ist, je nachdem die Grundzahl~$g$ ungerade oder gerade ist. Dieser Index~$P$
soll \so{die Periode der Indizes~$(\beta)$} genannt werden. Dann
\index{Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln}%
besagt die soeben bewiesene Gleichung,
\begin{Theorem}[\noindent]
daß zwei Einheitswurzeln $w$~und~$w'$ dann und nur dann gleich sind,
wenn ihre Indizes gleich sind, wenn sie sich also um ein ganzzahliges
Vielfaches~$(k)$ der Periode~$(P)$ unterscheiden, oder kürzer
gesprochen, wenn ihre Indizes modulo~$(P)$ kongruent sind.
\end{Theorem}

Bei dieser Definition der Kongruenz zweier Indizes besagt die Kongruenz:
\[
(\beta') \equiv (\beta)\ \DPtypo{\mod.~(P)}{(\mod.~(P))}
\]
das Bestehen der gewöhnlichen Kongruenzen
\[
\beta'_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad
\beta'_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)),
\]
wobei, wie stets im Folgenden, im Falle $p = 2$\; $p - 1$~durch $2$ ersetzt
werden muß. Sind
\[
w  = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}},\quad
w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}}
\]
zwei beliebige Einheitswurzeln, so kann der Inhalt der beiden Gleichungen
\[
ww' = w_{p}^{\beta_{p}+\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}+\beta'_{r}},\quad
\frac{w}{w'} = w_{p}^{\beta_{p}-\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}-\beta'_{r}}
\]
durch die Indexgleichungen:
\[
\Tag{(16)}
\begin{aligned}
\Ind (ww') &= \Ind w + \Ind w' \\
\Ind \left(\frac{w}{w'}\right) &= \Ind w - \Ind w'
\end{aligned}
\]
ausgesprochen werden.

Zieht man aus jedem Elemente $\beta_{p}$,~\dots~$\beta_{r}$ eines Indexsystems
$(\beta) = (\beta_{p}, \dots \beta_{r})$ den größten gemeinsamen Teiler mit dem entsprechenden
Elemente $p - 1$,~\dots~$r - 1$ der Periode~$(P)$ heraus, so
daß also
\[
\Tag{(17)}
\beta_{p} = \delta_{p}·\beta_{p}^{(0)},\ \dots\quad
\beta_{r} = \delta_{r}·\beta_{r}^{(0)}
\]
ist, so läßt sich jeder Index in der Form darstellen
\PageSep{229}{213}
\[
\Tag{(17^{a})}
(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)}),
\]
wo das System $(\delta) = (\delta_{p}, \dots \delta_{r})$ ein Teiler der Periode~$(P)$ ist. Ich
\index{Teiler!eines Indexsystemes}%
will das System~$(\delta)$ den \so{Teiler des Indexsystems~$(\beta)$}
nennen und das komplementäre Indexsystem~$(\delta')$, für welches:
\index{Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes}%
\[
\Tag{(18)}
(\delta)(\delta') = (\delta_{p} \delta'_{p}, \dots \delta_{r} \delta'_{r}) = (P)
\]
ist, als \so{den komplementären Teiler jenes Indexsystemes}
bezeichnen. Dann ist in~\Eq{(17^{a})} offenbar das System~$(\beta^{(0)})$
zu dem komplementären System~$(\delta')$ von $(\delta)$ in der Weise teilerfremd,
daß seine entsprechenden Elemente $\beta_{p}^{(0)}$,~\dots~$\beta_{r}^{(0)}$ bzw.\ zu
$\delta'_{p}$,~\dots~$\delta'_{r}$ relativ prim sind.

Hiernach kann der Exponent~$d$, zu dem eine beliebige $g$-adische
\DPtypo{Einheitwurzel}{Einheitswurzel}~$w$ gehört, sehr einfach durch den komplementären Teiler
ihres Indexsystemes ausgedrückt werden. In der Tat ist ja $d$ der
kleinste positive Exponent, für welchen $w^{d} = 1$, für welchen also
\[
d \Ind w \equiv 0\ (\mod.~(P))
\]
ist. Schreibt man nun $\Ind w$~und~$(P)$ in der Form $(\delta)(\beta^{(0)})$ und
$(\delta)(\delta')$, so geht die obige Bedingung über in
\[
d(\delta)(\beta^{(0)}) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')),
\]
oder für die einzelnen Elemente in die Kongruenz:
\[
d\delta_{p}\beta_{p}^{(0)} \equiv 0\ (\mod.~\delta_{p}\delta'_{p}),\ \dots,
\]
\dh\ in die einfacheren
\[
d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{p}),\quad
d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{q}),\ \dots,
\]
oder das Indexsystem $(d) = (d, d, \dots d)$ ist das kleinste System mit
gleichen Elementen, für welches:
\[
(d) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')),
\]
welches also durch das zu $(\delta)$ komplementäre System~$(\delta')$ teilbar
ist. Es ist also der Exponent
\[
\Tag{(19)}
d = [(\delta')] = [\delta'_{p}, \delta'_{q}, \dots \delta'_{r}]
\]
\PageSep{230}{214}
\index{Quadratische!Form}%
das kleinste gemeinsame Multiplum der Elemente des zu $(\delta)$ komplementären
Divisors~$(\delta')$.

Ich löse im Anschluß an diese Darstellung der $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen
Einheitswurzeln noch die Frage nach dem Werte des Produktes aller
dieser Zahlen. Aus dem letzten \aSeite{152} bewiesenen Satze folgt für
$m = p - 1$, daß das Produkt $w_{1}w_{2} \dots w_{p-1}$ aller $p$-adischen Einheitswurzeln
immer gleich $-1$ ist, und dasselbe gilt auch für das
Produkt $(+1)(-1)$ der beiden dyadischen Einheitswurzeln. Ich
beweise jetzt den allgemeinen Satz:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln ist gleich~$-1$
oder gleich~$+1$, je nachdem $g$~eine Primzahlpotenz ist oder
mindestens zwei verschiedene Primfaktoren enthält.
\end{Theorem}

Ist nämlich:
\[
w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}
\]
die Darstellung aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln, so kommt unter
ihnen jeder Faktor, etwa~$w = w_{p}^{\beta_{p}}$, genau so oft vor, als es verschiedene
Exponentenkombinationen $(\beta_{q}, \dots \beta_{r})$ gibt, \dh\ genau $\phi\left(\dfrac{g_{0}}{p}\right)$- bzw.\
$\phi\left(\dfrac{g_{0}}{4}\right)$-mal, je nachdem $p$ ungerade oder gerade ist. Setzen wir also
in den beiden unterschiedenen Fällen $g_{0} = pP$ bzw.\ $4P$ und entsprechend
für die anderen Primfaktoren:
\[
g_{0} = qQ = \dots = rR,
\]
so ergibt sich für das Produkt aller $g$-adischen Einheitswurzeln offenbar
die Gleichung:
\begin{align*}
\prod w &= (\prod_{(\beta_{p})} w_{p}^{\beta_{p}})^{\phi(P)}
           (\prod_{(\beta_{q})} w_{q}^{\beta_{q}})^{\phi(Q)} \dots
           (\prod_{(\beta_{r})} w_{r}^{\beta_{r}})^{\phi(R)}\ (g)\\
        &= (-1)_{p}^{\phi(P)}
           (-1)_{q}^{\phi(Q)} \dots
           (-1)_{r}^{\phi(R)}\ (g),
\end{align*}
wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für die Bereiche von
$q$,~\dots~$r$ aber gleich $+1$ ist; in der Tat ist ja \zB\ das Produkt aller $p - 1$
Einheiten $w_{p}^{\beta_{p}}$ nach dem früheren speziellen Satze für den Bereich von $p$
gleich~$-1$. Da nun endlich jeder der Exponenten $\phi(P)$,~\dots~$\phi(R)$
\PageSep{231}{215}
nach \Seite{98} Mitte eine gerade Zahl ist, sobald nur $P$,~\dots~$R$ größer als
Eins ist (der einzige Fall $P = 2$, wofür $\phi(P)$ sonst noch ungerade ist,
tritt ja hier nie auf), so ist jenes Produkt in der Tat stets gleich~$+1$,
sobald $g_{0}$ mehr als eine Primzahl enthält, da dasselbe für den
Bereich von allen in $g$ enthaltenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt.


\Section{§ 6.}{Die Logarithmen der $g$-adischen Zahlen.}

Mit Hilfe der nun vollständig durchgeführten Exponentendarstellung
des absoluten Betrages, der Einheitswurzel und der Haupteinheit
einer beliebigen $g$-adischen Zahl
\[
A = GwE = (\bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}})
          (w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}})
          (e^{\gamma_{p}} e^{\gamma_{q}} \dots e^{\gamma_{r}})
\]
können wir nun den Logarithmus einer solchen Zahl genau so einfach
\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}%
definieren, wie dies vorher für die $p$-adischen Zahlen möglich war. Ich
will nämlich jetzt von den drei Zahlensystemen:
\[
(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}),\quad
( \beta) = ( \beta_{p},  \beta_{q}, \dots  \beta_{r}),\quad
(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r})
\]
das erste, wie bereits auf \Seite{200} oben erwähnt wurde, \so{die
Ordnungszahl}, das zweite System \so{den Index} und das dritte
\index{Index!einer $g$-adischen Zahl}%
\so{den Hauptlogarithmus} der $g$-adischen Zahl~$A$ nennen und ich
will jetzt als \so{Logarithmus von~$A$} das aus diesen drei Systemen
gebildete neue System:
\[
\tag*{(1)}
\lg A = ((\alpha), (\beta), (\gamma))\DPtypo{,}{}
  = ((\alpha_{p}, \dots \alpha_{r}),
      (\beta_{p}, \dots  \beta_{r}),
     (\gamma_{p}, \dots \gamma_{r}))\ (g)
\]
bezeichnen. Auch hier will ich als \so{die Summe} und \so{die Differenz
zweier Logarithmen} die Systeme:
\index{Differenz der Logarithmen}%
\index{Summe!der Logarithmen}%
\[
\Tag{(2)}
((\alpha), (\beta), (\gamma)) ± ((\alpha'), (\beta'), (\gamma'))
  = ((\alpha ± \alpha'), (\beta ± \beta'), (\gamma ± \gamma'))
\]
bezeichnen.

Eine Zahl~$A$ enthält stets und nur dann einen Teiler der Null, etwa~$O_{p}$,
wenn das entsprechende Element~$\alpha_{p}$ ihrer Ordnungszahl gleich~$+\infty$
ist, während die zugehörigen Elemente $\beta_{p}$~und~$\gamma_{p}$ des Index und des
Hauptlogarithmus beliebig sein können; denn dann sind ja in der
$p$-Komponente $\frakA = \bar{p}^{\infty} w_{p} E_{p}$\; $w_{p}$~und~$E_{p}$ ganz beliebig. Abgesehen
von diesem Falle gehört zu jeder Zahl~$A$ ein \emph{eindeutig} bestimmter Logarithmus
\PageSep{232}{216}
$((\alpha), (\beta), (\gamma))$, und umgekehrt entspricht jedem Logarithmus
eine eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, \so{sein Numerus}.

Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, und ist
\[
((\alpha), (\beta), (\gamma)) = \lg A,\quad
((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) = \lg A',
\]
so bestehen für die Logarithmen ihres Produktes und ihres
Quotienten, falls dieser existiert, die Gleichungen:
{\small
\begin{align*}
\lg(AA')
  &= ((\alpha + \alpha'), (\beta + \beta'), (\gamma + \gamma'))
   = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) + ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) \\
\lg \frac{A}{A'}
  &= ((\alpha - \alpha'), (\beta - \beta'), (\gamma - \gamma'))
   = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) - ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')),
\end{align*}}%
\dh\ es gelten auch hier die Fundamentalformeln für das Rechnen mit
Logarithmen:
\[
\Tag{(3)}
\begin{aligned}
       \lg (AA') &= \lg A + \lg A' \\
\lg \frac{A}{A'} &= \lg A - \lg A'.
\end{aligned}
\]
Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt sofort aus den Formeln~\Eq{(7^{a})}
\[
AA' = (GG')(ww')(EE'),\quad
\frac{A}{A'} = \frac{G}{G'}·\frac{w}{w'}·\frac{E}{E'},
\]
welche \aSeite{199} hergeleitet wurden.

Allein in dem Falle ist die Division durch $A'$ nicht möglich, wenn
$A'$ gewisse Teiler der Null enthält, die nicht auch im Zähler~$A$ vorkommen.
Allein dann besitzt die Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ im Logarithmus von
$\dfrac{A}{A'}$ gewisse Elemente, die $-\infty$ sind, denen also keine $g$-adische Zahl entspricht.
Haben dagegen $A$~und~$A'$ beide etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so ist
das entsprechende Element $\alpha_{p} - \alpha'_{p}$ der Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ gleich
$\infty - \infty$, kann also jeden ganzzahligen Wert besitzen, und das Gleiche
gilt von den Elementen $\beta_{p} - \beta'_{p}$ und $\gamma_{p} - \gamma'_{p}$, da in ihnen sowohl der
Minuendus wie der Subtrahendus beliebig angenommen werden dürfen.
Es geht also auch aus dem $\lg \dfrac{A}{A'}$ hervor, daß in diesem Falle der
$p$-adische Wert von $\dfrac{A}{A'}$ eine ganz beliebige $p$-adische Zahl sein kann.

Im folgenden werde ich häufig das System $(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r})$
durch die eine zugehörige Zahl
\PageSep{233}{217}
\[
\gamma = \gamma_{p} + \gamma_{q} + \dots + \gamma_{r}
\]
ersetzen, so daß dann
\[
\Tag{(1^{a})}
\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma)
\]
wird.

Es sei ferner wieder $(\delta) = (\delta_{p}, \delta_{q}, \dots \delta_{r})$ der Teiler des Index~$(\beta)$,
\index{Teiler!des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl}%
so daß
\[
(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)})
\]
ist, wo $(\delta)$~einen Teiler der Periode $P = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\
$= (2, \dots r - 1)$ bedeutet und $(\beta^{(0)})$ zu dem komplementären
Periodenteiler~$(\delta')$ relativ prim ist. Ebenso sei
\[
\bar{g} = \bar{p}^{\bar{k}} \bar{q}^{\bar{l}} \dots \bar{r}^{\bar{m}} = |\gamma|
\]
der absolute Betrag des Hauptlogarithmus~$\gamma$, so daß:
\[
\gamma = \bar{g}·\gamma_{0}
\]
ist, wo $\gamma_{0}$~eine $g$-adische Einheit bedeutet und wo sicher $\bar{g} \lesssim g_{0}$ ist.
Dann können wir also den Logarithmus einer $g$-adischen Zahl genau
so wie denjenigen einer $p$-adischen Zahl in der Form:
\[
\lg A = ((\alpha), (\delta)(\beta^{(0)}), \bar{g}\gamma_{0})
\]
darstellen; und auch hier will ich das System~$(\delta)$ den \so{Indexteiler}
\index{Indexteiler!einer $g$-adischen Zahl}%
und die Zahl~$\bar{g}$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus von~$A$}
nennen.


\Section{§ 7.}{Untersuchung der Zahlen für einen beliebigen zusammengesetzten
Modul~$g$.}

Ich wende die Ergebnisse des vorigen Abschnittes an auf die
genauere Untersuchung der Zahlen~$A$ für eine beliebige zusammengesetzte
Zahl
\[
g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}
\]
als Modul. Auch hier kann ich wie \aSeite{168} Mitte von vornherein die zu
\PageSep{234}{218}
untersuchende Zahl als Einheit, ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$
also gleich Null voraussetzen.

Jede $g$-adische Einheit ist nun eindeutig in der Form
\[
E = we^{\gamma} = w_{d} e^{\bar{g}\gamma_{0}}
\]
darstellbar, wo
\[
w = w_{d} = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}
\]
eine Einheitswurzel bedeutet, welche zum Exponenten~$d$ gehören möge,
so daß also $w_{d}^{d}$ die kleinste Potenz von $w_{d}$ mit positivem Exponenten
ist, welche gleich~$1$ wird; ferner möge
\[
\bar{g} = p^{\bar{k}} q^{\bar{l}} \dots r^{\bar{m}}
\]
den Teiler des Hauptlogarithmus von $E$ bedeuten, welcher stets ein
Vielfaches von $g_{0}$ sein muß.

Ich untersuche jetzt alle diese Einheiten modulo~$g$ und nehme der
Einfachheit wegen auch $g$ als ein Vielfaches der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$
an, \dh\ ich setze voraus, daß, falls der Modul~$g$ gerade sein sollte,
dieser mindestens durch $4$ teilbar ist. Die entsprechenden Resultate
für einen Modul $g = 2q^{l} \dots r^{m}$ können leicht gesondert ausgesprochen
werden.
\begin{Theorem}
Eine Einheit $E = we^{\gamma}$ ist stets und nur dann kongruent~$1$
modulo~$g$, \dh\ eine Haupteinheit modulo~$g$, wenn ihre Einheitswurzel~$w$
gleich Eins und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch $g$ teilbar
ist.
\end{Theorem}

Betrachtet man nämlich die Kongruenz:
\[
E = we^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g)
\]
zuerst modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ ist, so folgt
als notwendige Bedingung $w \equiv 1\ (\mod.~g_{0})$ und sie ist nach \Seite{210}
unten nur dann erfüllt, wenn $w = 1$ ist. Die dann übrigbleibende
Kongruenz
\[
e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g)
\]
ist aber nach \Seite{207} oben allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $g$ teilbar
ist; und damit ist unsere Behauptung bewiesen.
\PageSep{235}{219}

Zwei Einheiten
\[
E = we^{\gamma} \quad
E' = w'e^{\gamma'}
\]
sind also dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn
\[
w = w' \quad\text{und}\quad \gamma \equiv \gamma'\ (\mod.~g)
\]
ist, wenn also ihre Einheitswurzeln gleich und ihre Hauptlogarithmen
modulo~$g$ kongruent sind; denn allein dann ist ja ihr Quotient
\[
\frac{E}{E'} = \frac{w}{w'}\, e^{\gamma-\gamma'}
\]
modulo~$g$ kongruent~$1$. Also sind in der Form:
\[
E = w^{(r)} e^{g_{0}s}
\]
alle modulo~$g$ inkongruenten Einheiten enthalten, wenn $w$ alle $\phi(g_{0})$
Einheitswurzeln und $s$ alle $\dfrac{g}{g_{0}}$ Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ durchläuft. Die
Anzahl aller dieser inkongruenten Einheiten ist also gleich $\dfrac{g}{g_{0}} \phi(g_{0})$,
\dh\ gleich~$\phi(g)$, wie eine leichte Rechnung zeigt.

Jede der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten:
\[
E = w_{d} e^{\bar{g} \gamma_{0}}
\]
gehört nun für diesen Modul zu einem Exponenten~$\delta$, und zwar ist dieser
die kleinste positive Zahl, für welche:
\[
E^{\delta} = w_{d}^{\delta} e^{\bar{g} \delta \gamma_{0}}\ (\mod.~g)
\]
ist. Hiernach ist $\delta$ die kleinste positive Zahl, welche erstens selbst
durch $d$ und für welche zweitens $\bar{g}\delta$ durch $g$ teilbar ist, \dh\ es ist
\[
\Tag{(1)}
\delta = \left[d, \frac{g}{\,\bar{g}\,}\right].
\]
Den größten Exponenten~$\bar{\delta}$, zu dem eine Einheit $E = we^{\gamma}$ überhaupt
modulo~$g$ gehören kann, erhält man, wenn man für $w$~eine primitive
Wurzel~$w_{\mu}$ wählt, welche zu dem höchsten Exponenten
\[
\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1]
\]
\PageSep{236}{220}
gehört, und wenn man zugleich den Teiler~$\bar{g}$ des Hauptlogarithmus möglichst
klein, also gleich $g_{0}$ wählt, so daß also
\[
\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}}
\bar{\delta} = \left[\mu, \frac{g}{g_{0}}\right]
\]
wird. Alle anderen Exponenten $\delta = \left[d, \dfrac{g}{\,\bar{g}\,}\right]$ sind nämlich Teiler von~$\bar{\delta}$,
weil nach \Seite{210}~\Eq{(7)} $d$~ein Teiler von $\mu$ und $\dfrac{g}{\,\bar{g}\,}$~ein Teiler von $\dfrac{g}{g_{0}}$ ist.
Es ergibt sich also der Satz:
\begin{Theorem}
Jede Einheit gehört modulo~$g$ zu einem Exponenten~$\delta$, welche
ihrerseits sämtlich Teiler des größten unter ihnen $\bar{\delta}$ sind. Jede Einheit
genügt also modulo~$g$ der Kongruenz:
\[
\Tag{(2)}
x^{\bar{\delta}} \equiv 1\ (\mod.~g),
\]
wo $\bar{\delta} = \left[\mu, \dfrac{g}{g_{0}}\right]$ ist, und dies ist die Kongruenz niedrigsten Grades,
der alle $\phi(g)$ Einheiten modulo~$g$ genügen.
\end{Theorem}

Am einfachsten können die modulo $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ inkongruenten
Einheiten ohne jede Voraussetzung über $g$ mit Hilfe der primitiven
Wurzeln modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ additiv oder multiplikativ dargestellt
werden, welche wir \aSeite{173} in die Rechnung eingeführt haben. Jede
Einheit~$E$ konnte eindeutig als Summe bzw.\ als Produkt ihrer Komponenten
für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ in einer der Formen dargestellt
werden:
\[
\Tag{(3)}
E = E_{p} + E_{q} + \dots + E_{r}\ (g) \quad
E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r}\ (g),
\]
wo \zB\ $E_{p}$~und~$\frakE_{p}$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen waren,
welche für den Bereich von $p$ gleich~$E$, für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$
aber gleich Null bzw.\ gleich Eins sind. Betrachtet man nun diese Gleichungen
als Kongruenzen modulo~$g$, so ergeben sich die Kongruenzen:
\[
E \equiv E_{p}^{(0)} + E_{q}^{(0)} + \dots + E_{r}^{(0)}\ (\mod.~g),\quad
E \equiv \frakE_{p}^{(0)} \frakE_{q}^{(0)} \dots \frakE_{r}^{(0)}\ (\mod.~g),
\]
wo \zB\ die ganzen rationalen Zahlen $E_{p}^{(0)}$ bzw.\ $\frakE_{p}^{(0)}$ die Anfangsglieder
von $E_{p}$ und $\frakE_{p}$ sind, welche modulo~$p^{k}$ kongruent~$E$, dagegen modulo
$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent Null bzw.\ kongruent Eins sind. Es sei nun $c_{p}$ bzw.\
$\frakc_{p}$ je eine rationale Zahl, welche für die als ungerade vorausgesetzte
\PageSep{237}{221}
Primzahlpotenz~$p^{k}$ als Modul eine primitive Wurzel, dagegen modulo
$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent~$0$ bzw.\ kongruent Eins ist, und es mögen $c_{q}$ bzw.\
$\frakc_{q}$,~\dots~$c_{r}$ bzw.\ $\frakc_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die ungeraden Primzahlpotenzen
$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ haben. Ist dann $g = p^{k} \dots r^{m}$ ungerade, so ergeben
sich für alle $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten die beiden
folgenden additiven und multiplikativen Darstellungen:
\[
\Tag{(4)}
\begin{aligned}
E \equiv c_{p}^{b_{p}} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}}
  \equiv \frakc_{p}^{b_{p}} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g)& \\
\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original]
(b_{p} = 0, 1, \dots \phi(p^{k}) - 1;\ \dots)
\end{Conditions}.&
\end{aligned}
\]

Sollte dagegen $g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m}$ gerade sein, so konnten wir ja alle
$\phi(2^{k}) = 2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ inkongruenten dyadischen Einheiten eindeutig
in der Form darstellen
\[
(-1)^{\alpha} 5^{\beta}\quad
\begin{Conditions}
\left(
\begin{aligned}
\alpha &= 0, 1 \\
\beta  &= 0, 1, \dots \phi(2^{k-1}) - 1
\end{aligned}
\right)\end{Conditions}.
\]
Bezeichnen wir also hier durch $(\bar{-1})$~und~$\bar{5}$ bzw.\ durch $(\ubar{-1})$~und~$\ubar{5}$ zwei
rationale Zahlen, welche modulo~$2^{k}$ kongruent $-1$~und~5, aber modulo
$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ bzw.\ kongruent $0$~oder~$1$ sind, so ergibt sich hier die Darstellung:
\[
E \equiv (\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}}
  \equiv (\ubar{-1})^{\alpha} \ubar{5}^{\beta} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g).
\]
Hierbei ist zu bemerken, daß, falls $p^{k} =2 ^{1}$ ist, $\alpha = \beta = 0$, für $p^{k} = 2^{2}$
$\alpha = 0$,~$1$, aber $\beta = 0$ zu setzen ist.

Im folgenden wollen wir immer von der Darstellung~\Eq{(4)} der Einheiten
modulo~$g$ ausgehen, aber dabei bemerken, daß falls $p$ gerade
sein sollte, die Potenz~$c_{p}^{b_{p}}$ durch das Potenzprodukt $(\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta}$, also der
Exponent~$b_{p}$ durch das Exponentensystem $(\alpha, \beta)$ zu ersetzen ist. Ich
nenne nun das Exponentensystem $(b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})$, durch das dann jede
der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ eindeutig bestimmt wird,
\so{den Index von~$E$ modulo~$g$} und setze:
\index{Index!einer Einheit modulo~$g$}%
\[
\Ind E = (b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})\ (\mod.~g),
\]
wo die einzelnen Exponenten $b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ bzw.\ nur modulo $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$
gerechnet werden oder wo wieder wie \aSeite{211} unten zwei Indizes
$(b_{p}, \dots b_{r})$ und $(b'_{p}, \dots b'_{r})$ als gleich betrachtet werden, wenn ihre
entsprechenden Elemente $b_{p}$~und~$b'_{p}$ modulo $\phi(p_{r}^{k})$,~\dots\ $b_{r}$~und~$b'_{r}$
modulo $\phi(r^{m})$ kongruent sind.
\PageSep{238}{222}

Speziell ist dann
\[
\Ind 1 = (0, 0, \dots 0),
\]
und es bestehen wieder die Gleichungen:
\begin{align*}
\Ind (EE') &= \Ind E + \Ind E' \\
\Ind \left(\frac{E}{E'}\right) &= \Ind E - \Ind E',
\end{align*}
wenn wieder die Summe und die Differenz zweier Indizes wie \aSeite{211}~\Eq{(13)}
definiert werden.

Gehört $E$ modulo~$g$ zum Exponenten~$\delta$, so ist $\delta$ die kleinste positive
Zahl, für welche $E^{\delta} \equiv 1\ (\mod.~g)$, wofür also
\[
\Ind (E^{\delta}) = (\delta b_{p}, \delta b_{q}, \dots \delta b_{r}) = (0, 0, \dots 0),
\]
\dh\ für ungerades~$g$:
\[
\delta b_{p} \equiv 0\ (\mod.~\phi(p^{k})),\ \dots\quad
\delta b_{r} \equiv 0\ (\mod.~\phi(r^{m})),
\]
für gerades $g$ aber:
\[
\delta\alpha \equiv 0\ (\mod.~2),\quad
\delta\beta  \equiv 0\ (\mod.~2^{k-2}),\ \dots\quad
\delta b_{r} \equiv \DPtypo{}{0}\ (\mod.~\phi(r^{m}))
\]
ist. Den größten Wert $\bar{\delta}$ von $\delta$ erhält man, wenn man alle Exponenten
$b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ teilerfremd bzw.\ zu $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$ annimmt, wenn man also
\zB\ speziell alle gleich~$1$ voraussetzt. Also gehören in den vier unterschiedenen
Fällen:
\[
g = p^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad
2^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad
2^{2} q^{l} \dots r^{m},\quad
2q^{l} \dots r^{m}
\]
\zB\ die Einheiten:
\[
\Tag{(5)}
\bar{E} = \frakc_{p} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad
(\ubar{-1}) \ubar{5} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad
(\ubar{-1}) \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad
\frakc_{q} \dots \frakc_{r}
\]
modulo~$g$ zum höchsten Exponenten~$\bar{\delta}$, wo $\bar{\delta}$~offenbar das kleinste gemeinsame
Vielfache der Exponenten ist, zu denen die Komponenten
von~$\bar{E}$ in~\Eq{(5)} gehören. In den vier unterschiedenen Fällen ist also
\[
\Tag{(6)}
\begin{alignedat}{2}
\bar{\delta} &=  &[\phi(p^{k}), \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\
             &={}&[2, 2^{k-2}, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\
             &=  &[2, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]&          \\
             &=  &[\phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]&.
\end{alignedat}
\]
\PageSep{239}{223}
Hieraus folgt zunächst, daß dieser höchste Exponent~$\bar{\delta}$ ein Teiler von
$\phi(g)$ ist; denn in allen vier soeben unterschiedenen Fällen ist ja das
Produkt der in der eckigen Klammer stehenden Zahlen genau gleich
$\phi(g)$ und dieses ist ja stets durch das kleinste gemeinsame Vielfache
derselben teilbar.

Nur in dem Falle ist nun das kleinste gemeinsame Vielfache~$\bar{\delta}$
der in den eckigen Klammern stehenden Zahlen \emph{gleich} ihrem Produkte~$\phi(g)$,
wenn alle jene Zahlen teilerfremd sind. Allein in diesem Falle sind
also die $\phi(g)$ Potenzen
\[
1,\ \bar{E},\ \bar{E}^{2},\ \dots\ \bar{E}^{\phi(g)-1}
\]
modulo~$g$ inkongruent; für diese Moduln~$g$ allein sind also alle Einheiten
modulo~$g$ als Potenzen einer einzigen primitiven Einheit darstellbar. Dies
ist, wie schon früher bewiesen worden war, sicher der Fall, falls $g = 2$,
$4$,~$p^{k}$ ist, wenn $p$ irgendeine ungerade Primzahl bedeutet. Enthält nun im
ersten der vier in~\Eq{(6)} unterschiedenen Fälle $g$ auch nur zwei ungerade Primfaktoren
$p$~und~$q$, so sind $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$ und $\phi(q^{l}) = (q - 1) q^{l-1}$
sicher nicht teilerfremd, da sie beide durch $2$ teilbar sind. Im zweiten
Falle haben, da $k \geqq 3$ ist, die beiden ersten Elemente $2$~und~$2^{k-2}$ den
gemeinsamen Teiler~$2$; dasselbe gilt im dritten Falle für $2$~und~$\phi(q^{l})$;
nur dann, wenn $g = 2^{2}$ ist, ist also hier die Bedingung für die Existenz
einer solchen primitiven Wurzel erfüllt. Ebenso ist im vierten Falle
$g = 2q^{l} \dots r^{m}$ diese Bedingung dann und nur dann erfüllt, wenn $g$ außer
$2$ keinen oder nur einen ungeraden Primfaktor enthält. So ergibt sich
jetzt also der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Alle modulo $g$ inkongruenten Einheiten lassen sich dann und
nur dann für diesen Modul als Potenzen einer primitiven Einheit
darstellen, wenn
\[
g = 2,\ 4,\ p^{k} \quad\text{oder}\quad 2p^{k}
\]
ist, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet.
\end{Theorem}


\Section{§ 8.}{Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul~$g$. ---
Die Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo~$g$.}

Als erste Anwendung beweise ich jetzt den Wilsonschen Satz für
eine beliebige zusammengesetzte Zahl
\PageSep{240}{224}
\[
g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} \quad\text{bezw.}\quad
g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m},
\]
und zwar kann ich voraussetzen, daß $g$ mindestens zwei verschiedene
Primfaktoren $p$,~$q$ bzw.\ $2$,~$q$ enthält, da der Fall einer einzigen Primzahlpotenz
bereits vorher vollständig behandelt worden ist. Dann kann
der Wilsonsche Satz folgendermaßen \DPtypo{ausgepsochen}{ausgesprochen} werden:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist
modulo~$g$ stets kongruent~$+1$; nur dann ist es kongruent~$-1$, wenn
$g = 2q^{l}$ das Doppelte einer ungeraden Primzahlpotenz ist.
\end{Theorem}

Denkt man sich jede der modulo~$g$ inkongruenten Einheiten in der
multiplikativen Normalform dargestellt:
\[
E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r},
\]
so durchläuft \zB\ der Wert von $\frakE_{p}$ modulo~$p^{k}$ ein vollständiges System
inkongruenter Einheiten usw.; bildet man ferner das über alle $\phi(g)$
inkongruenten Einheiten~$E$ erstreckte Produkt, so kommt jede Komponente~$\frakE_{p}$
so oft vor, als es modulo $P = q^{l} \dots r^{m}$ inkongruente Produkte
$E_{q}$,~\dots~$E_{r}$ gibt, \dh\ jedes $E_{p}$ kommt genau $\phi(P)$ mal in jenem Produkte
vor. Hieraus ergibt sich für das Produkt aller Einheiten~$E$ die folgende
Darstellung:
\[
\prod E = (\prod \frakE_{p})^{\phi(P)}·(\prod \frakE_{q})^{\phi(Q)} \dots (\prod \frakE_{r})^{\phi(R)},
\]
wenn wieder $P$,~$Q$,~\dots~$R$ die zu $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Faktoren
von $g$ sind. Nach dem \aSeite{181}~ff.\ bewiesenen Satze ist aber jedes
der rechts stehenden Partialprodukte $\prod\frakE_{p}$,~\dots\ modulo $p^{k}$,~\dots\ kongruent~$-1$,
und jeder der Exponenten, \zB~$\phi(P)$, ist nach \Seite{98}
Mitte gerade, außer wenn $P = 2$, wenn also $g = 2q^{l}$ ist; und da hier
$\prod \frakE_{q} \equiv -1$ ist, so ergibt sich in der Tat die Richtigkeit des oben
aufgestellten Satzes. Zusammenfassend können wir also den allgemeinen
Wilsonschen Satz in der folgenden Form aussprechen:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist
modulo~$g$ stets kongruent~$±1$, und zwar ist es allein in den Fällen
kongruent~$-1$, wenn
\[
g = 4,\ p^{k},\ 2p^{k}
\]
ist, in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$.
\end{Theorem}
\PageSep{241}{225}

Nur kurz möchte ich die Ausdehnung des \aSeite{181} für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$
geführten direkten Beweises des Wilsonschen Satzes auf
den Fall eines beliebigen zusammengesetzten Moduls angeben, um einen
interessanten Satz zu beweisen, der die Verallgemeinerung desjenigen
\aSeite{183} ist. Denken wir uns wieder die $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten
Einheiten in der Form gegeben:
\[
E_{rs} = w_{r} e^{g_{0}s},
\]
wo $w_{r}$ diejenige eindeutig bestimmte Einheitswurzel sein soll, welche
kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ ist, so sind für ein festes $r$ die Einheiten~$E_{rs}$ für
$s = 0$, $1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ alle und nur diejenigen modulo~$g$ inkongruenten Einheiten,
welche modulo~$g_{0}$ kongruent~$r$, welche also in der arithmetischen
Reihe $r + g_{0}h$ enthalten sind. Das Produkt dieser $\dfrac{g}{g_{0}}$ Einheiten wird also:
\[
\Tag{(1)}
\prod_{s=0}^{\efrac{g}{g_{0}}-1}E_{rs}
  = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}\left(1+2+\dots+\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)\right)}
  = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}·\efrac{1}{2}\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)}.
\]
Ist nun $\dfrac{g}{g_{0}}$ ungerade, also g höchstens durch $4$ teilbar, so ist $\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$
ganz, also der Exponentialfaktor kongruent~$1$ modulo~$g$. Ist dagegen
$\dfrac{g}{g_{0}}$ gerade, also $g$ mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Exponent von
$e$ nur durch $\dfrac{g}{2}$ teilbar, also der \DPtypo{Eponentialfaktor}{Exponentialfaktor} nur kongruent~$1$
modulo~$\dfrac{g}{2}$. Also ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Das Produkt aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, welche in
einer arithmetischen Reihe der Form $r + g_{0}h$ enthalten sind, ist stets
kongruent der $\left(\dfrac{g}{g_{0}}\right)$-ten Potenz der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$
für den Modul~$g$ oder den Modul~$\dfrac{g}{2}$, je nachdem $g$ höchstens durch
$4$ oder mindestens durch $8$ teilbar ist.
\end{Theorem}

Multipliziert man noch \Eq{(1)} über alle $\phi(g_{0})$ Werte von~$r$, so erhält
man wieder den Wilsonschen Satz.
\PageSep{242}{226}

Als Abschluß dieser Untersuchungen werde jetzt die Auflösung
der allgemeinen linearen ganzzahligen Kongruenz für eine beliebige zusammengesetzte
Zahl $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ als Modul auf den schon \aSeite{183}
behandelten Fall reduziert, daß dieser Modul eine Primzahlpotenz ist.
Hier gilt, wie jetzt bewiesen werden soll, der folgende einfache Satz:
\begin{Theorem}
Die ganzzahlige Kongruenz:
\[
\Tag{(2)}
AX \equiv A'\ (\mod.~g)
\]
besitzt stets und nur dann eine ganzzahlige Lösung, wenn $A'$ durch
den größten gemeinsamen Teiler:
\[
\Tag{(3)}
d = (A, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}
\]
von $A$~und~$g$ ebenfalls teilbar ist, und in diesem Falle ist die Anzahl
aller modulo~$g$ inkongruenten ganzzahligen Lösungen dieser Kongruenz
genau gleich~$d$.
\end{Theorem}

Schreibt man nämlich die Zahlen $A$,~$A'$ und~$X$ modulo~$g$ in ihrer
multiplikativen Normalform, so geht die vorgelegte Kongruenz in die
folgende über:
\[
(\frakA_{p} X_{p}) (\frakA_{q} X_{q}) \dots (\frakA_{r} X_{r})
  \equiv \frakA'_{p} \frakA'_{q} \dots \frakA'_{r}\ (\mod.~g),
\]
welche dann und nur dann erfüllt ist, wenn die Kongruenzen
\[
\Tag{(4)}
\frakA_{p} X_{p} \equiv \frakA'_{p}\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad
\frakA_{r} X_{r} \equiv \frakA'_{r}\ (\mod.~r^{m})
\]
jede für sich bestehen, und aus jedem Lösungssystem derselben ergibt sich
dann je eine eindeutig bestimmte Lösung der vorgelegten Kongruenz. Nun
bewies ich aber \aaO, daß \zB\ die erste der Kongruenzen~\Eq{(4)} dann
und nur dann eine ganzzahlige Lösung hat, wenn $\frakA'_{p}$ durch den größten
gemeinsamen Teiler von $(\frakA_{p}, p^{k}) = d_{p}$ teilbar ist, und daß dann die
Anzahl aller inkongruenten Lösungen gleich $d_{p}$ ist, und das entsprechende
gilt für die anderen Kongruenzen in~\Eq{(4)}. Ferner ist offenbar
\[
(\frakA_{p}, p^{k}) = (A, p^{k}) = p^{k_{0}},
\]
wo $p^{k_{0}}$ die in $d = (A, g) = (A, p^{k} q^{l} \dots r^{m})$ enthaltene Potenz von $p$
bedeutet usw. Also besitzt die Kongruenz~\Eq{(2)} überhaupt nur dann eine
\PageSep{243}{227}
ganzzahlige Lösung, wenn $\frakA'_{p}$~durch~$p^{k_{0}}$, $\frakA'_{q}$~durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ $\frakA'_{r}$~durch~$r^{m_{0}}$,
wenn also $A'$~durch~$d$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so ist die Anzahl
aller modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ inkongruenten Systeme von Lösungen
$X_{p}$,~\dots~$X_{r}$ in~\Eq{(4)} gleich $p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} = d$, und somit besitzt in der
Tat die Kongruenz~\Eq{(2)} genau $d$~inkongruente Lösungen, unsere Behauptung
ist also vollständig bewiesen.
\PageSep{244}{228}


\Chapter{Zehntes Kapitel.}
{Die Auflösung der reinen Gleichungen und
der reinen Kongruenzen. Die quadratischen
Gleichungen und Kongruenzen.}

\Section{§ 1.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der
$g$-adischen Zahlen.}

Ich wende mich nun zur Untersuchung der Frage, wann eine beliebige
reine Gleichung
\[
\Tag{(1)}
x^{\mu} = A\ (g)
\]
im Bereiche der $g$-adischen Zahlen Wurzeln besitzt, und, falls dies
der Fall sein sollte, wie groß die Anzahl dieser Wurzeln ist. Wir setzen
dabei zunächst voraus, daß $A$ keinen Nullteiler enthält.

Die zweite Frage kann nun zunächst sehr leicht vollständig gelöst
werden: Hat nämlich die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt \emph{eine} Lösung~$x_{0}$, so daß
also:
\[
\Tag{(1^{a})}
x_{0}^{\mu} = A\ (g)
\]
ist, und ist $x$ irgendeine andere Lösung derselben Gleichung, so enthalten
beide ebenfalls keinen Teiler der Null, und für ihren Quotienten
$\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right) = w$ erhalten wir aus \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} die Gleichung:
\[
\Tag{(1^{b})}
\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\mu} = w^{\mu} = 1\ (g).
\]
Jede Lösung unserer Gleichung hängt also mit irgendeiner unter ihnen
durch eine Gleichung
\[
\Tag{(1^{c})}
x = x_{0} w\ (g)
\]
\PageSep{245}{229}
zusammen, in der $w$ eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel ist, und umgekehrt ist jede
solche Zahl~\Eq{(1^{c})} auch wirklich eine Lösung von~\Eq{(1)}.

Wir haben also nur die Anzahl aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln
\[
\Tag{(2)}
w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}\ (g)
\]
im Ringe~$R(g)$ zu bestimmen. Eine solche Zahl genügt nun stets und
nur dann der Gleichung $w^{\mu} = 1$, wenn
\[
\mu \Ind w = \mu(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}) = 0,
\]
wenn also
\[
\Tag{(2^{a})}
(\mu)(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P))
\]
ist, wo $(\mu) = (\mu, \mu, \dots \mu)$ das zu $\mu$ gehörige Indexsystem und
$(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$ die Periode für die
Indexsysteme ist. Ist nun
\[
\Tag{(3)}
(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)}),
\]
ist also $(\delta)$ der Indexteiler von~$(\mu)$, so daß
\[
(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1))
\]
ist, und bedeutet $(\delta')$ den komplementären Teiler zu~$(\delta)$, für den also
$(P) = (\delta) (\delta')$ ist, dann folgt aus~\Eq{(2^{a})}
\[
(\delta)(\mu^{(0)})(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')),
\]
also, da $(\mu^{(0)})$ zu $(\delta')$ teilerfremd ist:
\[
(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')),
\]
\dh\ es muß
\[
\Tag{(4)}
(\beta) = (\delta')(\beta^{(0)})
\]
sein, wo das System $(\beta^{(0)}) = (\beta_{p}^{(0)}, \beta_{q}^{(0)}, \dots \beta_{r}^{(0)})$ ganz beliebig
angenommen werden kann. Ist umgekehrt das Indexsystem~$(\beta)$ durch
$(\delta')$ teilbar, so ist in der Tat:
\[
(\mu)(\beta) = (\delta)(\delta')(\mu^{(0)})(\beta^{(0)})
\]
durch $(P) = (\delta)(\delta')$ teilbar, also die Zahl~$w$ in~\Eq{(2)} eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel.
Man erhält also alle verschiedenen, \dh\ modulo $(P) = (\delta)(\delta')$
inkongruenten \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln, wenn man in dem Indexsystem
\PageSep{246}{230}
\[
(\delta')(\beta^{(0)})
  = (\delta'_{p} \beta^{(0)}_{p}, \dots \delta'_{r} \beta^{(0)}_{r})
\]
die Elemente von $(\beta^{(0)})$ ein vollständiges Restsystem modulo~$(\delta)$
durchlaufen läßt; denn dann durchlaufen die Elemente von $(\delta')(\beta^{(0)})$
alle modulo $(P) = (\delta') (\delta)$ inkongruenten durch $(\delta')$ teilbaren Indizes.
Also ist die Anzahl aller verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln gleich
\[
\Tag{(5)}
n((\delta)) = \delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r} = \prod (\mu, p - 1),
\]
wenn hier wie stets im Folgenden~$n((\delta))$ das Produkt aller Elemente
eines Systems~$(\delta)$ bedeuten. Wir erhalten also den folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Die Anzahl aller $g$-adischen Wurzeln der Gleichung
\[
x^{\mu} = A\ (g)
\]
ist entweder gleich Null oder gleich
\[
\Tag{(5)}
n((\mu), (P)) = \prod_{p/g} (\mu, p - 1).
\]
wo das Produkt über alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu erstrecken
ist. Alle Wurzeln dieser Gleichung gehen aus einer von
ihnen durch Multiplikation mit einer \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzel hervor.
\end{Theorem}
Es ist hierbei zu bemerken, daß, falls $g$ den Primfaktor~$2$ enthält, im
ersten Faktor des obigen Produktes~\Eq{(5)} $p - 1$ durch $2$ zu ersetzen ist.

Ich untersuche nun, wann die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine $g$-adische
Wurzel~$x$ besitzt. Ist $(\xi)$ die Ordnungszahl, $(\eta)$~der Index, $\zeta$~der
Hauptlogarithmus von~$x$, ist also
\[
\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta),
\]
so folgt aus jener Gleichung, daß
\[
\mu \lg x = (\mu·(\xi), \mu·(\eta), \mu·\zeta) = \lg A
\]
sein muß. Ist also:
\[
\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma)
\]
der Logarithmus von~$A$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} stets und nur dann
eine Lösung, wenn man Systeme $(\xi)$,~$(\eta)$ und einen Hauptlogarithmus~$\zeta$
so bestimmen kann, daß die drei Gleichungen
\PageSep{247}{231}
\[
\Tag{(6)}
\mu·(\xi) = (\alpha),\quad
\mu·(\eta) = (\beta),\quad
\mu·\zeta = \gamma
\]
erfüllt sind.

Aus der ersten Gleichung bestimmt sich das System~$(\xi)$ von $x$
eindeutig durch die Gleichung:
\[
\Tag{(7)}
(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right)
\]
und sie liefert dann und nur dann ein eindeutig bestimmtes ganzzahliges
System, wenn $\left(\dfrac{\alpha}{\mu}\right)$ ganz,
\begin{Theorem}[\noindent]
wenn also in $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ alle Exponenten durch $\mu$
teilbar sind.
\end{Theorem}

Um zunächst die dritte Gleichung~\Eq{(6)} aufzulösen, seien:
\[
\mu = g_{\mu}·\epsilon_{\mu},\quad
\gamma = g_{\gamma}\DPtypo{}{·}\epsilon_{\gamma},
\]
wo
\[
g_{\mu}    = |\mu|    = \bar{p}^{k_{\mu}}    \bar{q}^{l_{\mu}}    \dots \bar{r}^{m_{\mu}},\quad
g_{\gamma} = |\gamma| = \bar{p}^{k_{\gamma}} \bar{q}^{l_{\gamma}} \dots \bar{r}^{m_{\gamma}},
\]
die absoluten Beträge von $\mu$~und~$\gamma$, also $\epsilon_{\mu}$~und~$\epsilon_{\gamma}$\; $g$-adische Einheiten
sind. Dann liefert die Auflösung
\[
\Tag{(7^{a})}
\zeta = \frac{\gamma}{\mu}
  = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}·\frac{\epsilon_{\gamma}}{\epsilon_{\mu}}
  = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}} \epsilon
\]
dieser dritten Gleichung nur dann einen Hauptlogarithmus, wenn der
absolute Betrag $\dfrac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}$ von $\zeta$ mindestens durch~$g_{0}$,
\begin{Theorem}[\noindent]
wenn also $\gamma$ mindestens durch $|\mu g_{0}|$ teilbar ist,
\end{Theorem}
wo $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ wieder die reduzierte Grundzahl bedeutet.
Ist das der Fall, so ist auch der Hauptlogarithmus $\zeta = \dfrac{\gamma}{\mu}$
eindeutig bestimmt.

Endlich besitzt die zweite Gleichung~\Eq{(6)} stets und nur dann mindestens
eine Lösung~$(\eta)$, wenn diese die Systemgleichung
\[
(\mu)(\eta) = (\beta)
\]
\PageSep{248}{232}
erfüllt, oder wegen der \aSeite{211} gegebenen Definition der Gleichheit
zweier Indexsysteme, wenn dieselbe der Kongruenz:
\[
\Tag{(8)}
(\mu)(\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P))
\]
genügt, wo wieder $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$
die Indexperiode bedeutet. Diese Kongruenz für jene Systeme vertritt
dann einfach die entsprechenden gewöhnlichen Kongruenzen:
\[
\mu \eta_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad
\mu \eta_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)),
\]
von denen sie nur eine Zusammenfassung ist.

Es sei nun wieder $(\delta)$ der Teiler des zum Exponenten~$\mu$ gehörigen
Indexsystemes~$(\mu)$, so daß also:
\[
\Tag{(9)}
(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1))
\]
ist, und $(\delta')$ der zu $(\delta)$ komplementäre Divisor der Periode; dann
ist
\[
\Tag{(10)}
(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)})\quad (P) = (\delta)(\delta'),
\]
und das System~$(\mu^{(0)})$ ist zu $(\delta')$ teilerfremd. Schreibt man dann
die Kongruenz~\Eq{(8)} in der Form:
\[
(\delta) (\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(\delta)(\delta')),
\]
so erkennt man, daß diese nur dann erfüllt sein kann, wenn:
\[
(\beta) = (\delta) (\beta^{(0)})
\]
ebenfalls durch $(\delta)$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so geht unsere Kongruenz
in die einfachere:
\[
\Tag{(11)}
(\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta^{(0)})\ (\mod.~(\delta'))
\]
über, und diese besitzt, da $(\mu^{(0)})$ modulo~$(\delta')$ ein Einheitssystem ist,
die modulo~$(\delta')$ eindeutig bestimmte Lösung:
\[
\Tag{(11^{a})}
(\eta_{0}) \equiv \left(\frac{\beta^{(0)}}{\mu^{(0)}}\right)\ (\mod.~(\delta')).
\]
Dieses ganzzahlige System genügt der Kongruenz~\Eq{(11)} und ist mithin
\emph{eine} Lösung der Kongruenz~\Eq{(11)}. Ist $(\eta)$ irgendeine andere Lösung
derselben, so ergibt sich aus den beiden Kongruenzen:
\[
(\mu) (\eta) \equiv (\beta)\quad (\mu) (\eta_{0}) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P))
\]
\PageSep{249}{233}
für die Differenz
\[
(\bar{\beta}) = (\eta - \eta_{0})
\]
jener beiden Systeme die Kongruenz
\[
\Tag{(12)}
(\mu) (\bar{\beta}) \equiv 0\ (\mod.~(P)).
\]
Dies ist aber genau diejenige Kongruenz~\Eq{(2^{a})}, deren vollständige Auflösung
uns die Indexsysteme~$(\bar{\beta})$ aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln $w$ lieferte.
Besitzt also die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine Wurzel~$x_{0}$, für welche
\[
\Tag{(13)}
\lg x_{0} = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta)
\]
ist, so wird der Logarithmus jeder anderen Lösung~$x$ durch die Gleichung:
\begin{align*}
\Tag{(13^{a})}
\lg x
  &= ((\xi), (\eta_{0} + \bar{\beta}), \zeta)
   = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta) + ((0), (\bar{\beta}), 0) \\
  &= \lg x_{0} + \lg w = \lg (wx_{0})
\end{align*}
gegeben, in welcher $w$ wiederum eine der $n((\delta))$ verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten}
Einheitswurzeln ist; aus dieser Gleichung folgt endlich durch Übergang
zum Numerus, genau wie in~\Eq{(1^{c})},
\[
\Tag{(14)}
x = x_{0}w.
\]
Fassen wir alle Ergebnisse zusammen, so ergibt sich der folgende Satz,
durch den die Frage nach den Wurzeln von beliebigen reinen Gleichungen
vollständig gelöst wird:
\begin{Theorem}
Die Gleichung
\[
x^{\mu} = A\ (g)
\]
besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann eine
Wurzel, wenn
\begin{Enum}
\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$,

\Item{2)} ihr Index~$(\beta)$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des Index~$(\mu)$,

\Item{3)} ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch das Produkt $g_{0} |\mu|$ teilbar ist.
\end{Enum}
Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt diese Gleichung
genau $n((\delta))$ Wurzeln, welche sich nur um \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzeln
unterscheiden.
\end{Theorem}
\PageSep{250}{234}

Der zweiten auf den Index von $A$ bezüglichen Bedingung kann
eine andere einfache Form auf Grund des folgenden Satzes gegeben
werden:
\begin{Theorem}
Der Index~$(\beta)$ ist stets und nur dann durch den Indexteiler~$(\delta)$
des Index~$(\mu)$ teilbar, wenn für dessen komplementären Teiler~$(\delta')$
die Indexgleichung:
\[
\Tag{(15)}
(\delta') (\beta) = 0
\]
erfüllt ist.
\end{Theorem}
In der Tat folgt ja aus der Kongruenz:
\[
\Tag{(16)}
(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta))
\]
durch Multiplikation mit dem System~$(\delta')$
\[
\Tag{(16^{a})}
(\delta') (\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P)),
\]
da $(\delta) (\delta') = (P)$ ist, und daraus also die Gleichung~\Eq{(15)}; und umgekehrt
ergibt sich aus dem Bestehen der zweiten Kongruenz~\Eq{(16^{a})} die
Richtigkeit der ersten~\Eq{(16)}.


\Section{§ 2.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper
der $p$-adischen Zahlen.}

Ich spezialisiere das soeben gewonnene allgemeinste Resultat zunächst
für den Fall, daß die Grundzahl eine \emph{ungerade} Primzahl ist.
Dann kann dasselbe in dem folgenden Satze ausgesprochen werden:
\begin{Theorem}
Die Gleichung
\[
x^{\mu} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p)
\]
besitzt im Körper der $p$-adischen Zahlen dann und nur dann mindestens
eine Wurzel, wenn
\begin{Enum}
\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ ein Vielfaches von $\mu$ ist,

\Item{2)} der Index~$\beta$ durch den größten gemeinsamen Teiler~$\delta$ von
$\mu$ und $p - 1$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn $\beta·\dfrac{p - 1}{\delta}$
durch $p - 1$ teilbar ist.
\PageSep{251}{235}

\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ mindestens durch $p^{m+1}$ teilbar
ist, wenn $p^{m}$ die in $\mu$ enthaltene Potenz von $p$ bedeutet.
\end{Enum}

Sind diese drei Bedingungen erfüllt, und ist
\[
x_{0} = p^{\efrac{\alpha}{\mu}}·w^{\efrac{\beta}{\mu}}·e^{\efrac{\gamma}{\mu}}\ (p)
\]
eine Wurzel der obigen Gleichung, so hat dieselbe genau $\delta$ verschiedene
$p$-adische Wurzeln, und zwar sind diese gleich
\[
x_{0},\quad
w_{\delta} x_{0},\quad
w_{\delta}^{2} x_{0},\ \dots\quad
w_{\delta}^{\delta-1} x_{0} ,
\]
wenn $w_{\delta}$ eine primitive \Ord{$\delta$}{-te} Einheitswurzel bedeutet.
\end{Theorem}

Für den Bereich der dyadischen Zahlen ergibt sich das folgende
Resultat:
\begin{Theorem}
Die Gleichung:
\[
x^{\mu} = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{\gamma}\ (2)
\]
besitzt im Körper der dyadischen Zahlen stets und nur dann
wenigstens eine Lösung, wenn
\begin{Enum}
\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ durch $\mu$ teilbar ist,

\Item{2)} der Index~$\beta$ durch $\delta = (\mu, 2)$ teilbar, \dh\ wenn für ein
gerades $\mu$\; $\beta = 0$ ist,

\Item{3)} $\gamma$ mindestens durch $2^{m+2}$ teilbar ist, falls wieder $m$ die
Ordnungszahl von $\mu$ bedeutet.
\end{Enum}
Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat die obige Gleichung eine
Wurzel~$x_{0}$ oder zwei Wurzeln~$±x_{0}$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\mu$ ungerade oder
gerade ist.
\end{Theorem}
Ist speziell $A = 0$, so besitzt in den beiden hier betrachteten Fällen
die Gleichung $x^{\mu} = 0\ (p)$ nur die eine, aber $\mu$-fache Wurzel $x = 0\ (p)$.

Natürlich kann man auch umgekehrt die allgemeine Lösung der
Gleichung
\[
\Tag{(1)}
x^{\mu} = A\ (g)
\]
im Ringe~$R(g)$ aus den soeben abgeleiteten Sätzen für die zugehörigen
Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ ableiten. Denn die Anwendung der \aSeite{209}
bewiesenen allgemeinen Theoreme auf die vorliegende Gleichung~\Eq{(1)}
ergibt sofort den Satz:
\PageSep{252}{236}
\begin{Theorem}
Die Gleichung~\Eq{(1)} besitzt für den Bereich der zusammengesetzten
Zahl~$g$ stets und nur dann überhaupt eine Wurzel, wenn
dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$
mindestens eine Wurzel hat, wenn also die Gleichungen:
\[
\Tag{(2)}
x^{\mu} = A\ (p),\quad
x^{\mu} = A\ (q),\ \dots\quad
x^{\mu} = A\ (r)
\]
sämtlich lösbar sind. Ist dies der Fall, und sind, wie aus dem oben
bewiesenen Satze hervorgeht,
\[
\Tag{(3)}
\delta_{p} = (\mu, p - 1),\quad
\delta_{q} = (\mu, q - 1),\ \dots\quad
\delta_{r} = (\mu, r - 1)
\]
die Anzahlen der verschiedenen Wurzeln jener Gleichungen~\Eq{(2)},
so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} genau $\delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r}$, verschiedene
Wurzeln.
\end{Theorem}

Enthält $A$ einen oder mehrere Teiler der Null, ist also \zB\ $A = 0\ (p)$,
so hat die erste der Gleichungen~\Eq{(2)} nur die eine $p$-adische Lösung
$x = 0\ (p)$. In diesem Falle ist also das zugehörige $\delta_{p}$ gleich~$1$ anzunehmen,
und die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der
Gleichung~\Eq{(1)} ist gleich $\delta_{q} \dots \delta_{r}$.


\Section{§ 3.}{Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul~$g$.}

Ich benutze die im §~1 durchgeführte Untersuchung zur Lösung
der folgenden wichtigen Aufgabe:
\begin{Theorem}
Wieviele und welche Lösungen besitzt die Kongruenz:
\[
\Tag{(1)}
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
für eine beliebige ganze Zahl
\[
\Tag{(1^{a})}
g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}
\]
als Modul?
\end{Theorem}

Um diese Aufgabe völlig allgemein und doch einfach lösen zu können,
beweise ich zuerst den folgenden Fundamentalsatz über allgemeine
Kongruenzen, welcher bei allen ähnlichen Fragen angewendet wird:
\begin{Theorem}
Es sei:
\[
\Tag{(2)}
F(x) \equiv 0\ (\mod.~g)
\]
\PageSep{253}{237}
eine beliebige ganzzahlige Kongruenz, und
\[
g = g_{1}g_{2}\quad
(g_{1}, g_{2}) = 1
\]
irgendeine Zerlegung ihres Moduls in zwei teilerfremde Faktoren.
Sind dann:
\[
\Tag{(2^{a})}
F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}) \quad\text{und}\quad
F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{2})
\]
dieselbe Kongruenz für je einen dieser Faktoren als Modul, so ist
die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln von \Eq{(2)} gleich
dem Produkte der modulo~$g_{1}$ bzw.\ modulo~$g_{2}$ inkongruenten Lösungen
der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}.
\end{Theorem}
Ist nämlich $x$ irgendeine Lösung von~\Eq{(2)}, so befriedigt dasselbe $x$ offenbar
jede der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}, da $g_{1}$~und~$g_{2}$ Teiler von $g$ sind,
und sind $x$~und~$x'$ zwei modulo~$g$ inkongruente Wurzeln von~\Eq{(2)}, so können
sie auch nicht sowohl für~$g_{1}$ als auch für~$g_{2}$ als Moduln kongruent sein.
Sind umgekehrt $x_{1}$~und~$x_{2}$ je eine Wurzel der beiden Kongruenzen~\Eq{(2^{a})},
so gibt es nach \Seite{94} eine modulo~$g$ eindeutig bestimmte Zahl~$x$,
für welche:
\[
x \equiv x_{1}\ (\mod.~g_{1}),\quad
x \equiv x_{2}\ (\mod.~g_{2})
\]
wird, und da für sie:
\[
F(x) \equiv F(x_{1}) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}),\quad
F(x) \equiv F(x_{2}) \equiv 0\ (\mod.~g_{2})
\]
ist, so gilt, wegen $(g_{1}, g_{2}) = 1$, dieselbe Kongruenz auch modulo $g_{1} g_{2} = g$,
\dh\ diese Zahl ist in der Tat eine Wurzel von~\Eq{(2)}, \wzbw.

Es sei nun in der zu untersuchenden Kongruenz~\Eq{(1)}
\[
(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})
\]
die Ordnungszahl von $A$ im Ringe~$R(g)$, während wegen~\Eq{\DPtypo{(1a)}{(1^{a})}}
\[
(\kappa) = (k, l, \dots m)
\]
diejenige des Moduls~$g$ ist. Dann wird nach der \aSeite{202} unten gegebenen
Größenanordnung im allgemeinen weder $A \lesssim g\ (g)$ noch $A > g\ (g)$
sein, da ja für je zwei entsprechende Ordnungszahlen \zB\ $\alpha_{p} \geqq k$ und
$\alpha_{q} < l$ sein kann. Dagegen kann man, wenn keiner jener beiden Fälle
vorliegt, offenbar $g$ stets und nur auf eine Weise so in ein Produkt~$g_{1} g_{2}$
von zwei teilerfremden Faktoren zerlegen, daß im Ringe~$R(g_{1})$\; $A \lesssim g_{1}$,
\PageSep{254}{238}
dagegen im Ringe~$R(g_{2})$\; $A > g_{2}$ ist. Bezeichnet man dann durch
$\psi(A, g)$ die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz~\Eq{(1)},
während $\psi(A, g_{1})$ und $\psi(A, g_{2})$ dieselbe Bedeutung für die entsprechenden
Kongruenzen besitzen, deren Moduln bzw.\ $g_{1}$~und~$g_{2}$
sind, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze:
\[
\psi(A, g) = \psi(A, g_{1})·\psi(A, g_{2}).
\]
Damit ist also die vollständige Auflösung der allgemeinen Kongruenz~\Eq{(1)}
reduziert auf die beiden Fälle, daß das eine Mal $A \lesssim g\ (g)$, daß also
$A$ durch $g$ teilbar ist, während das andere Mal $A > g\ (g)$, und zwar \emph{jede}
Ordnungszahl $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots\ im gewöhnlichen Sinne kleiner ist als die entsprechende
$k$,~$l$,~\dots\ von~$g$. Ich brauche daher nur die beiden Fälle zu
untersuchen, daß in der ursprünglichen Kongruenz~$A$ entweder durch
$g$ teilbar ist, oder daß $A > g\ (g)$ ist.

Im ersten Falle nun genügt eine Zahl~$x$ dann und nur dann der
Kongruenz:
\[
\Tag{(4)}
x^{\mu} \equiv A \equiv 0\ (\mod.~g),
\]
wenn $x^{\mu} \lesssim g\ (g)$, wenn also
\[
x \lesssim g^{\efrac{1}{\mu}}
  = {\Errata{p^{\efrac{k}{}}}{p^{\efrac{k}{\mu}}}} q^{\efrac{l}{\mu}} \dots r^{\efrac{m}{\mu}}\ (g)
\]
ist. Ich bezeichne nun durch
\[
\Tag{(5)}
\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}
  = p^{\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}
    q^{\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots
    r^{\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}}\ (g)
\]
die im gewöhnlichen Sinne kleinste positive ganze Zahl, für welche
\[
\Tag{(5^{a})}
g^{\efrac{1}{\mu}} \gtrsim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}\ (g)
\]
ist; das ist dasjenige Produkt~\Eq{(5)}, dessen Exponenten $\left\{\dfrac{k}{\mu}\right\}$,~\dots\ $\left\{\dfrac{m}{\mu}\right\}$
die kleinsten ganzen Zahlen sind, welche im gewöhnlichen Sinne größer
oder gleich den Brüchen $\dfrac{k}{\mu}$,~\dots\ $\dfrac{m}{\mu}$ sind. Dann ist also eine Zahl~$x$
eine Wurzel von~\Eq{(4)}, wenn $x \lesssim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}$, wenn also:
\[
x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi
\]
\PageSep{255}{239}
ist, wo $\xi$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet; und zwei solche Lösungen
\[
\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi \quad\text{und}\quad
\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi'
\]
sind dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn
\[
\xi \equiv \xi'\
\DPchg{\mod.~\biggl(\frac{g}{\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}}\biggr)}
{\biggl(\mod.~\frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}\biggr)}
\]
ist. Man erhält also alle und nur die modulo~$g$ inkongruenten Lösungen
von~\Eq{(4)} in der Form:
\[
x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi,
\]
wo $\xi$ ein vollständiges Restsystem modulo $\dfrac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}$ durchläuft; und da die
Anzahl der Glieder eines Restsystemes für einen beliebigen absolut
ganzzahligen Modul~$M$ gleich $M$ ist, so erhalten wir das erste Resultat:
\begin{Theorem}[\noindent]
Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz:
\[
x^{\mu} \equiv 0\ (\mod.~g)
\]
ist stets
\[
\Tag{(6)}
\psi(0, g) = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}
  = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}
    q^{l-\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots
    r^{m-\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}},
\]
und sie sind alle in der Form:
\[
\Tag{(7)}
x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi,
\]
enthalten, wo $\xi$~ein vollständiges Restsystem für den obigen Divisor
$\psi(0, g)$ durchläuft.
\end{Theorem}

Ich betrachte jetzt zweitens die Kongruenz:
\[
\Tag{(8)}
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g),
\]
wo jetzt $|A|$ jeden der Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$ weniger oft enthält
als~$g$, so daß $\dfrac{g}{|A|}$ mindestens durch $(pq \dots r)$, \dh\ durch $g_{0}$ oder
\PageSep{256}{240}
$\dfrac{g_{0}}{2}$ teilbar ist, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Der Einfachheit
wegen will ich vorläufig voraussetzen, daß $\dfrac{g}{|A|}$ in beiden Fällen
durch $g_{0}$ teilbar ist. Soll dann $x$ die obige Kongruenz erfüllen, so muß,
wenn wieder $\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta)$ ist,
\[
|x|^{\mu} = |A|,
\]
also
\[
\Tag{(9)}
(\mu\xi) = (\alpha)\qquad
(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right),
\]
\dh\ es muß wieder die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch $\mu$ teilbar sein.
Setzt man dann also in~\Eq{(8)}
\[
x = |A^{\efrac{1}{\mu}}| \bar{x},
\]
dividiert jene Kongruenz durch $|A|$ und beachtet, daß dann
$\dfrac{A}{|A|} = E = we^{\gamma}$ die zu $A$ gehörige Einheit ist, so ergibt sich für die
unbekannte Einheit $\bar{x} = \bar{w} e^{\bar{\gamma}}$ die Kongruenz:
\[
\bar{x}^{\mu} \equiv E\ (\mod.~\bar{g}),
\]
wo $\bar{g} = \dfrac{g}{|A|}$ \ndV\ eine mindestens durch $g_{0}$ teilbare Zahl bedeutet.
Betrachtet man nun diese Kongruenz:
\[
\bar{w}^{\mu} e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv we^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g})
\]
zunächst nur modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma}$ und
$e^{\mu\bar{\gamma}}$ beide kongruent~$1$ sind, so ergibt sich zunächst genau wie \aSeite{218}
\[
\bar{w}^{\mu} \equiv w\ (\mod.~g_{0}),
\]
und diese Kongruenz ist, da alle Einheitswurzeln modulo~$g_{0}$ inkongruent
sind, nur möglich, wenn
\[
\bar{w}^{\mu} = w\ (g)
\]
ist; \dh\ jede zu einer Kongruenzwurzel~$x$ gehörige Einheitswurzel wird
durch dieselbe Gleichung definiert, wie diejenigen, welche vorher zu
den Gleichungswurzeln gehörten. Nur dann besitzt also auch die Kongruenz~\Eq{(8)}
\PageSep{257}{241}
eine Wurzel, wenn der Index~$(\beta)$ von $w$ durch den Indexteiler
$(\delta) = ((\mu), (P))$ des Index~$(\mu)$ teilbar ist, und dann hat die
zu einer Lösung gehörige Einheitswurzel genau $n((\delta)) = \prod(\mu, p - 1)$
verschiedene Werte.

Betrachtet man nun die nach dem Wegheben mit $\bar{w}^{\mu} = w$ übrigbleibende
Kongruenz
\[
\Tag{(10)}
e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv e^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g}),
\]
so ist sie nach \Seite{206} flgde.\ stets und nur dann erfüllt, wenn die Exponenten
auf beiden Seiten modulo~$\bar{g}$ kongruent sind, wenn also:
\[
\Tag{(10^{a})}
\mu \bar{\gamma} \equiv \gamma\ (\mod.~\bar{g})
\]
ist, und wenn außerdem $\gamma$~und~$\bar{\gamma}$ beide durch $g_{0}$ teilbar sind. Setzt
man also:
\[
\gamma = g_{0} \gamma_{0}\qquad
\bar{\gamma} = g_{0} \bar{\gamma}_{0}
\]
so ist $\bar{\gamma}_{0}$ als ganze Zahl so zu bestimmen, daß:
\[
\Tag{(10^{b})}
\mu \bar{\gamma}_{0} \equiv \gamma_{0}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}}\right),
\]
ist. Nach \Seite{226} besitzt diese Kongruenz stets und nur dann eine Lösung,
wenn $\gamma_{0}$ durch
\[
\delta = \left(\mu, \frac{\bar{g}}{g_{0}}\right),
\]
wenn also $\gamma$ durch:
\[
g_{0} \delta = (\mu g_{0}, \bar{g}) = \left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right)
\]
teilbar ist. Ist diese letzte Bedingung erfüllt, so folgt aus \Eq{(10^{b})} durch
Division mit~$\mu$, wobei der Modul nur durch $\delta$ dividiert zu werden
braucht,
\[
\bar{\gamma}_{0} \equiv \frac{\gamma_{0}}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}\delta}\right),
\]
oder nach Multiplikation mit~$g_{0}$
\[
\bar{\gamma} \equiv \frac{\gamma}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{\delta}\right).
\]
\PageSep{258}{242}
Alle und nur die Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$,~\dots\ von~\Eq{(10^{a})} sind also in der Reihe:
\[
\frac{\gamma}{\mu} + t\frac{\bar{g}}{\delta},\quad
\frac{\gamma}{\mu} + t'\frac{\bar{g}}{\delta},\ \dots
\]
enthalten, wo $t$,~$t'$,~\dots\ beliebige ganze Zahlen bedeuten, und zwei solche
Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$ sind allein dann modulo~$g$ kongruent, wenn
\[
(t' - t) \frac{\bar{g}}{\delta} \equiv 0\ (\mod.~g),
\]
wenn also
\[
t' \equiv t\ \left(\mod.~\frac{g\delta}{\bar{g}}\right)
\]
ist. Also ist die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Hauptlogarithmen~$\gamma$
der Wurzeln~$x$ gleich:
\[
\frac{g\delta}{\bar{g}}
  = \frac{g \left(\mu, \dfrac{g}{g_{0} |A|}\right)·|A|}{g}
  = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right).
\]
Fassen wir also das Ergebnis dieser Untersuchung zusammen, so ergibt
sich der Satz:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g),
\]
in welcher $g$ durch $g_{0} |A|$ teilbar ist, besitzt stets und nur dann
Wurzeln, wenn
\begin{Enum}
\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$,

\Item{2)} der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler $(\delta) = ((\mu), (P))$
des Index~$(\mu)$,

\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right)$ teilbar
ist.
\end{Enum}
Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt die obige Kongruenz
genau
\[
\left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) n ((\delta))
  = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) \prod (\mu, p - 1)
\]
modulo~$g$ inkongruente Lösungen.
\end{Theorem}
\PageSep{259}{243}
Diese Bedingungen stimmen genau mit den für die Auflösbarkeit der
binomischen Gleichung gefundenen überein; nur tritt in der dritten
an die Stelle des Divisors $g_{0} |\mu|$ sein größter gemeinsamer Teiler mit~$\dfrac{g}{|A|}$,
und die Anzahl der Kongruenzlösungen ist das $\left(\mu |A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$-fache
der entsprechenden Anzahl für die zugehörige Gleichung.

Ist speziell der Modul~$g$ im Verhältnis zu $|A|$ von so hoher Ordnung,
daß $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, so sind die drei Bedingungen für die
Auflösbarkeit unserer Kongruenz mit denjenigen für die Auflösbarkeit
der entsprechenden Gleichung identisch, weil ja dann $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right) = \mu g_{0}$
ist; und da der in dem Ausdruck für die Anzahl der \DPtypo{Kongurenzwurzeln}{Kongruenzwurzeln}
auftretende Teiler $\left(|\mu A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$ gleich $|\mu A|$ wird, so ergibt sich hier
der einfache Satz:
\begin{Theorem}[\noindent]
Die Kongruenz
\[
\Tag{(11)}
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
besitzt, falls $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, dann und nur dann
eine Lösung, wenn die entsprechende Gleichung
\[
\Tag{(11^{a})}
x^{\mu} = A\ (g)
\]
eine solche hat, und die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Kongruenzwurzeln
ist dann genau das $|\mu A|$-fache von der Anzahl der
Gleichungswurzeln.
\end{Theorem}

Solange $g$ also noch nicht durch $|\mu g_{0} A|$ teilbar ist, braucht die
\emph{Gleichung}~\Eq{(11^{a})} nicht auflösbar zu sein, obwohl die \emph{Kongruenz}~\Eq{(11)}
eine Lösung hat, \dh\ es kann sehr wohl $A$ modulo~$g$ einer \Ordsup{$\mu$}{-ten}
Potenz kongruent sein, ohne daß diese Zahl für den Bereich von $g$ eine
\Ordsup{$\mu$}{\DPtypo{te}{-te}}~Potenz ist. Ist dagegen $g$~ein Vielfaches von~$|\mu g_{0} A|$, so ist $A$
dann und nur dann für den Bereich von $g$ eine \Ordsup{$\mu$}{-te} Potenz, wenn dasselbe
modulo~$g$ der Fall ist, und während bei den zuerst erwähnten irregulären
Moduln~$g$ die Anzahl der Kongruenzwurzeln modulo~$g$ mit wachsendem
$g$ ebenfalls zunimmt, bleibt sie von der Grenze $|\mu g_{0} A|$ ab unverändert
gleich dem $|\mu A|$-fachen der Anzahl der Gleichungswurzeln.

Ist speziell $A = E$ eine Einheit, und enthält $\mu$ ebenfalls keinen der
Primteiler, von~$g$, so ergibt sich das einfachere Resultat:
\PageSep{260}{244}
\begin{Theorem}[\noindent]
Die Gleichung
\[
\Tag{(12)}
x^{\mu} = E\ (g),
\]
deren Grad zu $g$ teilerfremd ist, besitzt stets und nur dann eine
Lösung, wenn die entsprechende Kongruenz
\[
\Tag{(12^{a})}
x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~g_{0})
\]
für die reduzierte Grundzahl als Modul auflösbar ist, wenn also für
die einfacheren Kongruenzen:
\[
\Tag{(12^{b})}
x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~p) \quad
x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~q),\ \dots\quad
x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~r)
\]
sämtlich das Gleiche gilt; (hier ist für ein gerades $g$ der Modul~$p$
durch $4$ zu ersetzen). Unter dieser Voraussetzung hat die Gleichung~\Eq{(12)}
und die Kongruenz~\Eq{(12^{a})} gleich viele, nämlich genau
$\prod(\mu, p - 1)$ verschiedene Lösungen.
\end{Theorem}

Ich nehme ferner speziell an, daß nur der Wurzelexponent~$\mu$ zum
Modul~$g$ teilerfremd ist. Dann fällt die dritte Bedingung für die Lösbarkeit
der Kongruenz~\Eq{(1)} fort, da jetzt nach der Voraussetzung \aSeite{240}
oben
\[
\left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = \left(g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = g_{0}
\]
und $\gamma$ stets durch $g_{0}$ teilbar ist; das Gleiche gilt in diesem Falle nach
\Seite{233} unten für die entsprechende Gleichung. Ferner wird in diesem
Falle die Anzahl der Lösungen wegen derselben Voraussetzung gleich
$|A| n((\delta))$. Es ergibt sich also der einfache Satz:
\begin{Theorem}[\noindent]
Die Kongruenz
\[
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
besitzt, falls ihr Grad zum Modul teilerfremd ist, stets und nur
dann eine Lösung, wenn die Ordnungszahl von $A$ durch $\mu$ und
ihr Index durch $(\delta) = ((\mu), (P))$ teilbar ist. Die Anzahl der
modulo~$g$ inkongruenten Lösungen ist in diesem Falle gleich
$|A|·n((\delta))$.
\end{Theorem}

Ich spezialisiere endlich das allgemeine Resultat auch hier für den
Fall, daß der Modul~$g$ unserer Kongruenz eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer
Primzahl~$p$ ist, bemerke aber dabei, daß hier mitunter der Fall einer
\PageSep{261}{245}
ungeraden Primzahl~$p$ von dem der geraden Primzahl~$2$ geschieden
werden muß.

Zuerst behandle ich besonders den einfachsten Fall, daß $p = 2$ und
daß die Ordnungszahl~$\alpha$ von $A$ gleich $k - 1$ ist, \dh\ die Kongruenz:
\[
\Tag{(13)}
x^{\mu} \equiv 2^{k-1} u\ (\mod.~2^{k}),
\]
wo $u = (-1)^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige ungerade Zahl bedeutet; nur dieser Fall
folgt nämlich nicht aus unserem allgemeinen Satze, da hier $\dfrac{g}{|A|} = 2$, also
nicht durch $g_{0} = 2^{2}$ teilbar ist. Hier bietet aber die direkte Auflösung
der Kongruenz nicht die geringste Schwierigkeit dar.

Zunächst muß ja auch hier $k - 1$ durch $\mu$ teilbar sein, und dies
ist die einzige Bedingung dafür, daß die obige Kongruenz eine Lösung
hat. Ist sie nämlich erfüllt, und setzt man:
\[
x = 2^{\efrac{k-1}{\mu}}·\bar{u},
\]
so muß $\bar{u}$ ungerade sein und der Kongruenz:
\[
\bar{u}^{\mu} \equiv u\ (\mod.~2)
\]
genügen, welche für jede beliebige ungerade Zahl~$\bar{u}$ erfüllt ist. Dann
besitzt die Kongruenz~\Eq{(13)} alle Lösungen:
\[
2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u},\quad
2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u}',\ \dots
\]
wo $\bar{u}$,~$\bar{u}'$,~\dots\ beliebige ungerade Zahlen bedeuten. Zwei solche Lösungen
sind allem dann modulo~$2^{k}$ kongruent, wenn für die zugehörigen Zahlen
$\bar{u}$~und~$\bar{u}'$ die Kongruenz:
\[
\bar{u} \equiv \bar{u}'\ \left(\mod.~2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right)
\]
besteht, und da die Anzahl aller modulo~$2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}$ inkongruenten ungeraden
Zahlen oder Einheiten gleich
\[
\phi\left(2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right)
  = 2^{k-1-\efrac{k-1}{\mu}}
  = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}}
\]
\PageSep{262}{246}
ist, weil hier die Ordnungszahl $\alpha = k - 1$ ist, so ergibt sich das
folgende einfache Resultat:
\begin{Theorem}
Im Falle $\alpha = k - 1$ besitzt die Kongruenz:
\[
\Tag{(14)}
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~2^{k})
\]
stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn die Ordnungszahl~$\alpha$
von $A$ durch $\mu$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau
\[
\Tag{(14^{a})}
\psi(A, 2^{k}) = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}}
\]
modulo~$2^{k}$ inkongruente Wurzeln.
\end{Theorem}

Man erkennt, daß in diesem einzigen Ausnahmefalle $\alpha = k - 1$
die Anzahl $2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} = 2^{\alpha-\left\{\efrac{\alpha}{\mu}\right\}}$ mit derjenigen $2^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}$ übereinstimmt, welche
für den nächst höheren Fall $\alpha = k$ aus der Spezialisierung von \Eq{(6)}~\aSeite{239}
für $g = 2^{k}$ folgt.

In allen anderen Fällen ergibt sich aus den beiden Sätzen \aSeite{239} und 242
unmittelbar das folgende Resultat:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz:
\[
\Tag{(15)}
x^{\mu} \equiv A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (\mod.~p^{k})
\]
besitzt, falls $\alpha \geqq k$, also $A \equiv 0\ (\mod.~p^{k})$ ist, stets genau:
\[
\Tag{(15^{a})}
\psi(A, p^{k}) = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}
\]
modulo~$p^{k}$ inkongruente Wurzeln.

Ist dagegen $\alpha < k$, also $A$ nicht durch $p^{k}$ teilbar, so besitzt
sie stets und nur dann Lösungen, wenn:
\begin{Enum}
\Item{1)} $\alpha$ durch $\mu$,

\Item{2)} $\beta$ durch $(\mu, p - 1)$ bzw.\ durch $(\mu, 2)$,

\Item{3)} $\gamma$ durch $p (|\mu|, p^{k-\alpha-1})$ bzw.\ durch $4(|\mu|, 2^{k-\alpha-2})$
teilbar ist.
\end{Enum}

Sind diese drei Bedingungen sämtlich erfüllt, so hat diese Kongruenz:
\begin{align*}
\Tag{(15^{b})}
\psi(A, p^{k})
  &=(p^{\alpha}  |\mu|, p^{k-1}) (\mu, p - 1) \\
  &= p^{\alpha} (|\mu|, p^{k-\alpha-1}) (\mu, p - 1)
\end{align*}
\PageSep{263}{247}
beziehungsweise:
\begin{align*}
\Tag{(15^{c})}
\psi(A, 2^{k})
  &= (2^{\alpha} |\mu|, 2^{k-2}) (\mu, 2) \\
  &= 2^{\alpha} (|\mu|, 2^{k-\alpha-2}) (\mu, 2)
\end{align*}
inkongruente Lösungen, je nachdem der Modul eine ungerade
Primzahlpotenz oder eine Potenz von $2$ ist.
\end{Theorem}

Aus diesen speziellen Resultaten folgt jetzt auch unmittelbar eine
andere einfache Lösung der allgemeinen Kongruenz, und zwar ohne jede
beschränkende Voraussetzung. Aus dem allgemeinen Theorem auf
\Seite{236} unten erhält man nämlich offenbar den Satz:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
für einen beliebigen zusammengesetzten Modul $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$
besitzt stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn das Gleiche
für jede der Kongruenzen:
\[
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad
x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~r^{m})
\]
gilt, und für die Anzahl $\psi(A, g)$ ihrer inkongruenten Lösungen
besteht die Gleichung:
\[
\psi(A, g) = \psi(A, p^{k}) \dots \psi(A, r^{m}).
\]
\end{Theorem}


\Section{§ 4.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen.}

Ich wende die in diesem Kapitel durchgeführten allgemeinen Untersuchungen
an auf die Auflösung der reinen quadratischen Gleichung:
\[
\Tag{(1)}
x^{2} = A\ (g),
\]
eine Gleichung, auf die sich, wie am Schluß dieses Paragraphen
gezeigt werden wird, die Auflösung jeder beliebigen quadratischen
Gleichung vollständig reduzieren läßt. Zur Behandlung unserer
Gleichung brauchen wir nur in dem allgemeinen auf \Seite{233} ausgesprochenen
Satze $\mu = 2$ zu setzen. Zunächst nehme ich an, daß $A$
keinen Teiler der Null enthält. Dann ergibt sich aus jenem Satze, daß
die obige Gleichung nur dann eine Wurzel im Ringe~$R(g)$ besitzt, wenn
ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ durch $2$ teilbar ist. Wir
\PageSep{264}{248}
wollen in der Folge ein ganzzahliges System \so{gerade} nennen, wenn alle
seine Elemente gerade Zahlen sind. Dann läßt sich unsere erste Bedingung
dahin formulieren, daß die Ordnungszahl $(\alpha) = (2\alpha^{(0)})$ von
$A$ ein gerades System sein muß.

Zweitens wird im Falle $\mu = 2$ der Indexteiler~$(\delta)$ des zugehörigen
Systemes $(\mu) = (2)$
\[
(\delta) = ((2), (P)) = ((2, 2), (2, q - 1), \dots (2, r - 1)) = (2),
\]
weil jedes System $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bezw.\ $(2, q - 1, \dots r - 1)$
offenbar gerade, also durch das System~$(2)$ teilbar ist. Also ist die zweite
Bedingung, daß der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des
Systems~$(2)$ teilbar ist, dann und nur dann erfüllt, wenn auch dieser
Index $(\beta) = (2\beta^{(0)})$ ein gerades System ist.

Endlich ist der absolute Betrag~$|\mu|$ für den Bereich von $g$ im
Falle $\mu = 2$ offenbar gleich~$1$, wenn $g$ ungerade, aber gleich~$2$, sobald
$g$ eine gerade Zahl ist. Also besagt die dritte Bedingung in unserem
Falle, daß der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $g_{0}$ oder durch $2g_{0}$
teilbar sein muß, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Für ein ungerades
$g$ ist also diese Bedingung von selbst erfüllt, für ein gerades $g$ dann
und nur dann, wenn der Hauptlogarithmus nicht bloß durch~$4$, sondern
mindestens durch $8$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn die zu $A$ gehörige
Haupteinheit von der Form $8n + 1$ ist.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} eine
Lösung, die $g$-adische Zahl~$A$ ist also eine $g$-adische Quadratzahl.
Eine dieser Lösungen ist dann offenbar die folgende eindeutig bestimmte
$g$-adische Zahl:
\[
x_{0} = \sqrt{A}
  = \bar{p}^{\efrac{\alpha_{p}}{2}} ·
    \bar{q}^{\efrac{\alpha_{q}}{2}} \dots
    \bar{r}^{\efrac{\alpha_{r}}{2}} ·
    \bar{w}_{p}^{\efrac{\beta_{p}}{2}} ·
    \bar{w}_{q}^{\efrac{\beta_{q}}{2}} \dots
    \bar{w}_{r}^{\efrac{\beta_{r}}{2}} · e_{\vphantom{r}}^{\efrac{\gamma}{2}},
\]
deren Exponenten $\dfrac{\alpha_{p}}{2}$~\dots\ $\dfrac{\beta_{p}}{2}$,~\dots\ absolut ganz sind, während $\dfrac{\gamma}{2}$ wieder
durch $g_{0}$ teilbar, also ein Hauptlogarithmus ist. Nach dem Satze
\aSeite{233} unten ist dann die Anzahl aller verschiedenen Wurzeln dieser
Gleichung gleich
\[
n((\delta)) = n(2, 2, \dots 2) = 2^{\rho},
\]
wenn $\rho$ die Anzahl aller verschiedenen Primfaktoren $(p, q \dots r)$ bzw.\
$(2, q, \dots r)$ von $g$ bedeutet, und sie unterscheiden sich von $x_{0}$ um je
\PageSep{265}{249}
eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln, \dh\ um je eine Wurzel~$\epsilon$ der
reinen Gleichung
\[
\Tag{(2)}
\epsilon^{2} = 1\ (g).
\]
Alle und nur diese $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln sind in der Formel:
\[
\Tag{(2^{a})}
\epsilon = (-1)_{p}^{\epsilon_{p}}
           (-1)_{q}^{\epsilon_{q}} \dots
           (-1)_{r}^{\epsilon_{r}}
\]
enthalten, wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für diejenigen
von $q$,~\dots~$r$ gleich~$+1$ ist, usw., und wo jeder der $\rho$~Exponenten
$\epsilon_{p}$,~\dots\ gleich Null oder Eins sein kann. Wir erhalten also
das folgende allgemeine Resultat:
\begin{Theorem}
Die Gleichung
\[
x^{2} = A\ (g)
\]
besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann Wurzeln,
wenn die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$ gerade
Systeme sind und wenn, falls $g$ gerade ist, der Hauptlogarithmus~$\gamma$
von $A$ durch $8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so
besitzt diese Gleichung~$2^{\rho}$ verschiedene Wurzeln, wenn $g$\; $\rho$ verschiedene
Primfaktoren hat, und diese unterscheiden sich nur um
je eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln.
\end{Theorem}

Ich spezialisiere dieses Resultat jetzt für den Fall, daß der Bereich
$R(g)$ ein $p$-adischer Zahlkörper ist, dessen Grundzahl eine beliebige
ungerade Primzahl oder $2$ sein kann, schließe jetzt aber den Fall nicht
aus, daß die zu untersuchende Zahl~$A$ gleich Null ist. Dann ergibt sich
der Satz:
\begin{Theorem}
Die Gleichung
\[
\Tag{(3)}
x^{2} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p)
\]
besitzt, falls $A \neq 0$ ist, stets und nur dann eine Lösung, \dh\ $A$
ist stets und nur dann eine $p$-adische Quadratzahl, wenn $\alpha$ und
$\beta$ gerade Zahlen sind, und wenn außerdem, falls $p = 2$ ist, $\gamma$~durch
$8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat diese
Gleichung die beiden verschiedenen Werte
\[
±\sqrt{A}, \quad\text{wo}\quad
\sqrt{A} = p^{\efrac{\alpha}{2}} w^{\efrac{\beta}{2}} e^{\efrac{\gamma}{2}}
\]
\PageSep{266}{250}
ist. Ist $A = 0$, so hat die obige Gleichung nur die eine, allerdings
doppelt zu zählende Wurzel $x = 0$.
\end{Theorem}

Wir wollen in wesentlicher Verallgemeinerung einer von \Name{Legendre}
\index{Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$}%
gegebenen Bezeichnung unter dem Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right)$ die Zahlen $+1$,~$-1$
oder~$0$ verstehen, je nachdem $A$ entweder eine von Null verschiedene
$p$-adische Quadratzahl oder keine Quadratzahl oder endlich $A = 0$ ist.
Dann ist also
\[
\Tag{(4)}
\setlength{\TmpLen}{0.6\textwidth}%
\begin{alignedat}{2}
\left(\frac{A}{p}\right) &= +1,\quad
&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$, wenn $\alpha$ und $\beta$ gerade und wenn (für $p = 2$) $\gamma$~durch~$8$ teilbar ist,} \\
\left(\frac{A}{p}\right) &= -1,
&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$ und mindestens eine der vorigen Bedingungen nicht erfüllt ist,}\\
\left(\frac{A}{p}\right) &= 0
&&\text{wenn $A = 0$ ist,}
\end{alignedat}
\]
und der obige Satz kann dann kürzer folgendermaßen ausgesprochen
werden:
\begin{Theorem}
Die Anzahl der $p$-adischen Wurzeln der quadratischen Gleichung
\[
x^{2} = A\ (p)
\]
ist stets gleich
\[
1 + \left(\frac{A}{p}\right);
\]
\end{Theorem}
denn sie ist in den drei unterschiedenen Fällen gleich $2$,~$0$ oder~$1$.

Wendet man dieses Resultat an auf die Lösung der allgemeinen
Gleichung~\Eq{(1)} in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$, so ergibt der Satz
\aSeite{209} in diesem Falle das folgende einfache Resultat:
\begin{Theorem}
Die Anzahl der verschiedenen $g$-adischen Wurzeln, welche die
Gleichung
\[
\Tag{(5)}
x^{2} = A\ (g)
\]
besitzt, ist stets gleich
\[
\Tag{(5^{a})}
\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) %[** Small inner () in original]
\]
wo die Multiplikation auf alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu
erstrecken ist.
\end{Theorem}
\PageSep{267}{251}
Hieraus ergibt sich endlich noch der Satz:
\begin{Theorem}
Besitzt die obige Gleichung überhaupt eine Lösung, so hat sie
genau $2^{\rho-\sigma}$ verschiedene Wurzeln, wenn $\rho$ die Anzahl der verschiedenen
Primfaktoren von~$g$, $\sigma$~die Anzahl der Nullteiler von
$A$ bedeutet.
\end{Theorem}
In der Tat sind ja unter dieser Voraussetzung von den $\rho$ Faktoren
in dem Produkte~\Eq{(5^{a})} genau $\sigma$ gleich~$1$, die übrigen $\rho - \sigma$ gleich~$2$.

Zieht man in der Gleichung~\Eq{(5)} aus der Zahl~$A$ die größte in ihr enthaltene
Quadratzahl heraus, so läßt sie sich stets eindeutig in der Form
schreiben:
\[
A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g)
\]
wo $A_{0}$, der sog.\ \so{reduzierte Bestandteil von~$A$}, die folgende
\index{Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl}%
Form hat:
\[
A_{0} = \bar{p}^{\alpha_{p}^{(0)}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}^{(0)}}
  · w_{p}^{\beta_{p}^{(0)}} \dots w_{r}^{\beta_{r}^{(0)}}
  \DPtypo{}{·} e^{4\gamma_{\vphantom{r}}^{(0)}}\DPtypo{}{.}
\]

Hier sind die Systeme $(\alpha^{(0)})$~und~$(\beta^{(0)})$ offenbar die kleinsten nicht
negativen Reste, welche die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$
modulo~$(2)$ besitzen, ihre Bestandteile $(\alpha_{p}^{(0)}, \dots) (\beta_{p}^{(0)} \dots)$ sind also
alle gleich $0$~oder~$1$; der Hauptlogarithmus~$4\gamma^{(0)}$ dagegen ist stets gleich
Null, wenn $g$ ungerade ist, und gleich $0$~oder~$4$, wenn $g$ gerade ist, es ist
nämlich $4\gamma^{(0)}$ der kleinste nicht negative Rest des Hauptlogarithmus~$4\gamma$
von $A$ modulo~$8$; $\gamma^{(0)}$~selbst ist also ebenfalls gleich Null oder~$1$.
Enthält $A$ einen Teiler des Null, ist also etwa $\alpha_{p} = +\infty$, so muß dieser
mit $A_{1}$ verbunden werden; alsdann sind also $\alpha_{p}^{(0)}$,~$\beta_{p}^{(0)}$ und, falls
$p = 2$ ist, auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null.

Die Gleichung
\[
x^{2} = A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g)
\]
besitzt nach dem soeben bewiesenen Satze stets und nur dann eine Lösung,
\dh\ $A$ ist allein dann eine $g$-adische Quadratzahl, wenn ihr reduzierter
Bestandteil $A_{0} = 1$, wenn also:
\[
\lg A_{0} = ((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)}) = 0
\]
ist.

Rechnen wir alle $g$-adischen Zahlen~$A$ in eine und dieselbe Klasse,
\PageSep{268}{252}
welche sich nur um eine Quadratzahl unterscheiden, so gehören zwei
solche Zahlen $A$~und~$A'$ stets und nur dann in dieselbe Klasse, wenn ihre
reduzierten Zahlen $A_{0}$~und~$A_{0}'$ gleich sind. Die Anzahl dieser Klassen
ist daher gleich der Anzahl aller verschiedenen reduzierten Zahlen. Ist
%[** TN: "\rho" character printed upside-down in the original]
$\rho$ wieder die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von~$g$, so gibt es
genau $2^{2\rho}$ oder $2^{2\rho+1}$ verschiedene Indexsysteme $((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)})$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem}
$g$ ungerade oder gerade ist, weil jeder der $2\rho$~Indizes $\alpha_{p}^{(0)}$,~\dots\
$\beta_{p}^{(0)}$,~\dots\ und für ein gerades $g$ auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null oder Eins sein kann.

Auf die jetzt vollständig durchgeführte Auflösung der reinen Gleichung~\Eq{(1)}
läßt sich, wie bereits oben erwähnt wurde, die Lösung der
allgemeinen quadratischen Gleichung
\[
\Tag{(6)}
ax^{2} + bx + c = 0\ (g)
\]
reduzieren. Dabei können und wollen wir voraussetzen, daß der Koeffizient~$a$
der höchsten Potenz von $x$ keinen Nullteiler enthält. Besäße
nämlich $a$ etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so würde sich ja \Eq{(6)} für den Bereich
von $p$ auf die lineare Gleichung:
\[
bx + c = 0\ (p)
\]
reduzieren, \dh\ es würde $x = -\dfrac{c}{b}\ (p)$ sein, und die quadratische Gleichung
wäre nur noch für den Bereich der übrigen Primfaktoren von $g$
aufzulösen. Hat aber $a$ keinen Nullteiler, so ergibt die Auflösung von
\Eq{(6)} in der gewöhnlichen Weise für $x$ die Gleichung:
\[
\Tag{(6^{a})}
x = \frac{-b + \sqrt{A}}{2a},
\]
wo $A = b^{2} - 4ac$ die Diskriminante unserer Gleichung ist, und jedem
der verschiedenen Werte von $\sqrt{A}$ entspricht eine Wurzel unserer
Gleichung.

\begin{Theorem}
Die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der
Gleichung~\Eq{(6)} ist also stets gleich
\[
\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right),
\]
wenn $A = b^{2} - 4ac$ die Gleichungsdiskriminante bedeutet.
\end{Theorem}
\PageSep{269}{253}

Genau ebenso läßt sich die vollständige Auflösung der allgemeinen
kubischen und biquadratischen Gleichung in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$
durchführen.


\Section{§ 5.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen.}

Ich wende jetzt die Ergebnisse des §~3 an, um die allgemeine reine
quadratische Kongruenz:
\[
\Tag{(1)}
x^{2} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
für einen beliebigen Modul und ein beliebiges ganzzahliges $A$ vollständig
aufzulösen.

Setzen wir in dem ersten der beiden \aSeite{238} unterschiedenen Fälle
$(A \equiv 0\ (\mod.~g))$\; $\mu = 2$, so ergibt sich für die Anzahl $\psi(0, g)$ der
modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln die Gleichung:
\[
\psi(0, g)
  = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{2}}\bigr\}}
  = \prod p^{k-\left\{\efrac{k}{2}\right\}}
  = \prod p^{\left[\efrac{k}{2}\right]}
  = [\sqrt{g}],
\]
wo $\left[\dfrac{k}{2}\right]$ wieder die größte in dem Bruche $\dfrac{k}{2}$ enthaltene und entsprechend
$[\sqrt{g}]$ die größte in $\sqrt{g}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet.

\begin{Theorem}
Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz:
\[
\Tag{(2)}
x^{2} \equiv 0\ (\mod.~g)
\]
ist also stets gleich:
\[
\Tag{(2^{a})}
\psi(0, g) = [\sqrt{g}]
\]
\end{Theorem}

So hat \zB\ die Kongruenz
\[
x^{2} \equiv 0\ (\mod.~360)
\]
genau $[\sqrt{360}] = [2^{\efrac{3}{2}}·3·5^{\efrac{1}{2}}] = 6$ Wurzeln, nämlich die sechs modulo~$360$
inkongruenten Multipla von
\[
2^{\bigl\{\efrac{3}{2}\bigr\}}
  · 3^{\bigl\{1\bigr\}}
  · 5^{\bigl\{\efrac{1}{2}\bigr\}} = 60\DPtypo{}{.}
\]
\PageSep{270}{254}

Der zweite der \aaO\ unterschiedenen Fälle wird nun im wesentlichen
durch den Satz vollständig erledigt, welcher aus dem \Seite{243} bewiesenen
Theorem für $\mu = 2$ hervorgeht:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
x^{2} \equiv A\ (\mod.~g),
\]
in welcher $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ auch durch
$|2A|$ teilbar ist, stets und nur dann eine Lösung, wenn die entsprechende
Gleichung eine solche hat, und zwar ist die Anzahl der
inkongruenten Lösungen derselben das $|2A|$-fache der \aSeite{249}
bestimmten Anzahl der Gleichungswurzeln.
\end{Theorem}

Hierdurch wird die Frage der Auflösbarkeit der reinen quadratischen
Kongruenz für einen ungeraden Modul~$g_{u}$ vollkommen und für
einen geraden Modul $g = 2^{k} g_{u}$ in allen Fällen außer den beiden entschieden,
wo $A$ durch $2^{k-2}$ und $2^{k-1}$ genau teilbar ist, wo also
$\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $2^{2}$ ist; denn für einen ungeraden Modul ist ja
$|2A| = |A|$, für einen geraden $|2A| = 2|A|$, und abgesehen von
jenen beiden Fällen ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2A|$ teilbar, wenn diese Zahl
durch $|A|$ teilbar ist. So ergibt sich der folgende allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
x^{2} \equiv A\ (\mod.~g),
\]
in welcher $g$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt stets genau
\[
\Tag{(3)}
%[** TN: Small inner () in five subsequent equations]
\psi(A, g) = |2A|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right)
\]
modulo~$g$ inkongruente Wurzeln. Eine Ausnahme bilden nur die
beiden Fälle, wo $\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $4$ ist.
\end{Theorem}

Jene Anzahl ist also $|2A|·2^{\rho}$ oder~$0$, je nachdem alle $\rho$
Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right) = 1$ oder auch nur eines gleich~$-1$ ist. Die hier ausgeschlossenen
Fälle endlich ergeben sich höchst einfach aus dem
\aSeite{238} oben bewiesenen Satze, daß für $g = 2^{k} g_{u}$
\PageSep{271}{255}
\[
\Tag{(4)}
\begin{aligned}
\psi(A, g)
  &= \psi(A, 2^{k}) \psi(A, g_{u}) \\
  &= \psi(A, 2^{k}) |2A|_{g_{u}} \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right)
\end{aligned}
\]
ist. Es ist also für jene beiden Fälle nur noch $\psi(A, 2^{k})$ zu berechnen.

Ist nun $A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{4\gamma_{0}}$ und zuerst $\alpha = k - 2$, so muß nach
\Seite{246} $\alpha$~und~$\beta$ gerade sein, während der Hauptlogarithmus~$4\gamma_{0}$ durch
$(4|2|, 2^{2}) = 2^{2}$ teilbar sein muß, was also hier keine neue Bedingung
ergibt. Alsdann erhalten wir nach \Eq{\DPtypo{(15c)}{(15^{c})}}~\aSeite{247}
\[
\psi(A, 2^{k}) = 2^{k-2} (2, 1) (2, 2) = 2^{k-1} = 2·2^{\alpha},
\]
und aus~\Eq{(4)} folgt endlich:
\[
\Tag{(5)}
\psi(A, g) = |2A| \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right),
\]
wo aber hier das Produkt nur über die ungeraden Primfaktoren von
$g$ zu erstrecken ist.

Ist endlich $\alpha = k - 1$, so folgt aus \Seite{246} oben, daß hier nur die Ordnungszahl~$a$
gerade zu sein braucht, während Index und Hauptlogarithmus
beliebig sein können; alsdann ist $\psi(A, 2^{k}) = 2^{\efrac{k-1}{2}} = 2^{\efrac{\alpha}{2}}$, also
\[
\Tag{(5^{a})}
\psi(A, g) = 2^{\efrac{\alpha}{2}}·|2A|_{g_{u}}
  \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right).
\]
So erhalten wir das folgende höchst einfache Resultat:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
x^{2} \equiv A\ (\mod.~g)
\]
besitzt, falls $|A|$ durch $g$ teilbar ist, genau~$[\sqrt{g}]$, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch
$|2A|$ teilbar ist, genau:
\[
\Tag{(6)}
|2A|·\prod_{p/g} \left(\DPtypo{(}{}1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right)
\]
modulo~$g$ inkongruente Lösungen. In den beiden allein ausgeschlossenen
Fällen $A = 2^{k-2} A_{u}$ bzw.\ $A = 2^{k-1} A_{u}$ gelten die Gleichungen
\Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})}.
\end{Theorem}
\PageSep{272}{256}

Der für die Anwendungen wichtigste Fall ist der, daß
\[
A = E = we^{\gamma}\ (g)
\]
eine Einheit für den Bereich von $g$ ist; dann ergibt sich aus dem letzten
Satze jetzt das folgende Theorem:
\begin{Theorem}
Die Kongruenz
\[
\Tag{(7)}
x^{2} \equiv E\ (\mod.~g)
\]
besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2|$ teilbar ist, genau:
\[
\Tag{(7^{a})}
|2|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right)
\]
modulo~$g$ inkongruente Lösungen.
\end{Theorem}
Nur dann ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ nicht durch $|2|$ teilbar, wenn $g$ gerade und die in
$g$ enthaltene Potenz von~$2$ gleich $2^{1}$~oder~$2^{2}$, wenn also $g = 2g_{u}$
bzw.\ $g = 4g_{u}$ ist. In diesen beiden Fällen folgt aus \Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})}
\[
\Tag{(7^{b})}
\begin{aligned}
\psi(E, 4g_{u}) &=  2\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right) \\
\psi(E, 2g_{u}) &= \Z\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right).
\end{aligned}
\]

Fassen wir diese Ergebnisse übersichtlich zusammen, so ergibt sich
der folgende Satz:
\begin{Theorem}
Eine Kongruenz
\[
x^{2} \equiv E\ (\mod.~g_{u})
\]
besitzt stets und nur dann eine Wurzel, wenn für jede der $\rho$ in dem
ungeraden Modul enthaltenen Primzahlen~$p$
\[
\left(\frac{E}{p}\right) = +1
\]
ist, und dann ist die Anzahl ihrer inkongruenten Wurzeln gleich~$2^{\rho}$.

Dasselbe ist der Fall, wenn der Modul $g = 2g_{u}$ das Doppelte
einer ungeraden Zahl ist. Ist aber $g = 4g_{u}$ das Vierfache einer
ungeraden Zahl, so ist außer den vorigen $\rho$ Bedingungen noch
erforderlich, daß $E$ von der Form $4n + 1$ ist, und dann ist die Anzahl
\PageSep{273}{257}
der Wurzeln gleich $2^{\rho+1}$, wenn $\rho$ wie vorher die Anzahl der
verschiedenen \so{ungeraden} Primfaktoren von $q$ bedeutet. Ist
endlich $g$ durch $8$ teilbar, so muß $E$ außerdem von der Form
$8n + 1$ sein, und dann hat dieselbe Kongruenz genau $2^{\rho+2}$
modulo~$g$ inkongruente Wurzeln.
\end{Theorem}

Sind $x_{0}$ und $x$ zwei beliebige Lösungen der Kongruenz~\Eq{(7)}, so ist
$\dfrac{x}{x_{0}}= \epsilon$ eine Wurzel der Kongruenz
\[
\Tag{(8)}
\epsilon^{2} \equiv 1\ (\mod.~g),
\]
also eine zweite Einheitswurzel modulo~$g$, und umgekehrt liefert jedes
Produkt $x = x_{0}\epsilon$ eine der Wurzeln von~\Eq{(7)}. Alle Wurzeln dieser Kongruenz
gehen also aus einer von ihnen durch Multiplikation mit je
einer zweiten Einheitswurzel modulo~$g$ hervor. Für einen beliebigen
Modul besitzt die Kongruenz~\Eq{(8)} stets Lösungen, \zB\ $\delta = +1$; nach
dem soeben bewiesenen Satze ist also die Anzahl $\psi(1, g)$ aller zweiten
Einheitswurzeln~$\epsilon$ modulo~$g$ in den vorher unterschiedenen Fällen
gleich $2^{\rho}$,~$2^{\rho}$, $2^{\rho+1}$,~$2^{\rho+2}$. Diese Anzahl ist stets ein Multiplum von~$4$,
außer in dem Falle, daß $g$~eine ungerade Primzahlpotenz oder das
Doppelte einer solchen oder gleich $4$ ist, denn allein dann ist $\psi(1, g) = 2^{\rho}$
und $\rho = 1$, bzw.\ $\psi(1, 4) = 2$.

Zu jeder dieser zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ gehört eine andere~$-\epsilon$,
und ihr Produkt ist $-\epsilon^{2} = -1$. Hieraus ergibt sich sofort der Satz:
\begin{Theorem}
Das Produkt $\prod \epsilon$ aller zweiten Einheitswurzeln modulo~$g$
ist für diesen Modul kongruent $(-1)^{\efrac{1}{2}\psi(1, g)}$; es ist also dann und
nur dann kongruent~$-1$, wenn $g$ gleich $4$ oder $p^{k}$ oder $2p^{k}$ ist,
in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$.
\end{Theorem}

Aus diesem Theorem ergibt sich sofort ein neuer und sehr einfacher
Beweis des Wilsonschen Satzes. Betrachtet man nämlich alle $\phi(g)$
modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ und trennt die $\psi(1, g)$ unter
ihnen vorkommenden zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ von den übrigen~$\bar{E}$,
so ist
\[
\prod E = \prod \bar{E} \prod \epsilon
  = (-1)^{\psi(1, g)} \prod \bar{E}\ (\mod.~g).
\]

Das rechtsstehende Produkt $\prod \bar{E}$ aller inkongruenten Einheiten,
welche keine zweiten Einheitswurzeln sind, ist aber kongruent~$+1$, da
\PageSep{274}{258}
zu jedem solchen $\bar{E}$ eine \emph{andere} Einheit~$\bar{E}'$ gehört, für welche
$\bar{E} \bar{E}' \equiv 1\ (\mod.~g)$ ist. Wäre nämlich für eine solche Einheit
$\bar{E} = \bar{E}'$, so müßte ja $\bar{E}^{2} \equiv 1$, also $\bar{E}$~eine zweite Einheitswurzel sein.
Also ist in der Tat $\prod \bar{E} = \prod (\bar{E}\bar{E}') \equiv +1$, \dh\ es ist
\[
\prod E \equiv (-1)^{\psi(1, g)}\ (\mod.~g)
\]
und damit ist der Wilsonsche Satz aufs neue bewiesen.
\PageSep{275}{259}


\Chapter{Elftes Kapitel.}
{Das Reziprozitätsgesetz für die
quadratischen Reste.}

\Section{§ 1.}{Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das
Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma.}

Durch die Untersuchungen des zehnten Kapitels ist die Frage,
ob eine Zahl~$A$ eine $g$-adische Quadratzahl ist oder nicht, theoretisch
vollständig gelöst. Praktisch ist aber diese Lösung noch nicht recht
brauchbar, weil sie die Exponentialdarstellung von $A$ voraussetzt,
welche in jedem speziellen Falle nicht ohne einige Rechnung gegeben
werden kann. Allerdings kann ja die Frage, ob die Ordnungszahl
$(\alpha) = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$ von $A$ gerade ist oder nicht, stets unabhängig von
dieser Darstellung entschieden werden. Deshalb können und wollen
wir im folgenden $A$ stets als $g$-adische Einheit, also $(\alpha) = (0)$ voraussetzen.
Setzen wir nun in dem Theorem \aSeite{243} $A = E$, $\mu = 2$, also
$|g_{0} \mu A| = |2g_{0}|$, so erhalten wir den folgenden einfachen Satz:
\begin{Theorem}
Eine Einheit~$E$ ist stets und nur dann eine $g$-adische Quadratzahl,
wenn die zugehörige Kongruenz:
\[
\Tag{(1)}
x^{2} \equiv E\ (\mod.~|2g_{0}|)
\]
eine Lösung besitzt.
\end{Theorem}

Nehmen wir also der Allgemeinheit wegen
\[
g = 2^{h} p^{k} \dots r^{l}
\]
gleich als gerade an, so ist die Zahl~$E$ dann und nur dann eine $g$-adische
Quadratzahl, wenn für sie die folgenden einfachen Kongruenzen:
\PageSep{276}{260}
\[
\Tag{(1^{a})}
x^{2} \equiv E\ (\mod.~8),\quad
x^{2} \equiv E\ (\mod.~p),\ \dots\quad
x^{2} \equiv E\ (\mod.~r)
\]
sämtlich eine Lösung besitzen. Nur diese sind also im folgenden weiter
zu untersuchen.

Die erste von diesen Kongruenzen ist nach \Seite{257} oben stets
und nur dann erfüllt, wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Ist ferner $p$
eine beliebige ungerade Primzahl, und setzt man \aSeite{242} unten
$A = E$, $\mu = 2$, so erkennt man, daß die Kongruenz:
\[
x^{2} \equiv E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p)
\]
stets und nur dann eine Wurzel hat, wenn $\beta = \Ind E$ gerade ist. Ist
\[
w = g + g_{1}p + \dots\ (p)
\]
die $p$-adische Entwicklung der primitiven Einheitswurzel~$w$, so ist ihr
Anfangsglied $g$~eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p$ und es ist
stets:
\[
E \equiv w^{\beta} \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p).
\]
Man kann also das Ergebnis dieser Untersuchung in dem folgenden
Satze aussprechen:
\begin{Theorem}
Eine Einheit~$E$ ist für den Bereich von $2$ stets und nur dann
eine Quadratzahl, wenn sie von der Form $8n + 1$ ist; für den Bereich
einer ungeraden Primzahl~$p$ ist sie eine Quadratzahl, wenn
ihr Index \emph{für den Bereich von~$p$}, oder, was dasselbe ist, wenn
ihr Index \emph{modulo~$p$} gerade ist.
\end{Theorem}

Besitzt die Kongruenz
\[
x^{2} \equiv E\ (\mod.~8) \quad\text{bzw.}\quad
x^{2} \equiv E\ (\mod.~p)
\]
eine Wurzel, so wollen wir $E$ \so{einen quadratischen Rest
modulo~$2$} bzw.\ \so{modulo~$p$} nennen; dagegen soll $E$ \so{ein Nichtrest
für $2$ bzw}.\ $p$~heißen, wenn jene Kongruenzen keine Wurzel
haben. Hiernach ist $E$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest, je
\index{Quadratische!Reste modulo~$p$}%
nachdem $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem also $E$
für den Bereich von $2$ bzw.\ von $p$ eine Quadratzahl ist oder nicht.

Im Falle $p = 2$ besitzt die Gleichung:
\PageSep{277}{261}
\[
\Tag{(2)}
x^{2} = E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2)
\]
nach \Seite{249} unten stets und nur dann eine Lösung, wenn \emph{sowohl
$\beta$ als auch~$\gamma$} gerade sind, oder, was auf dasselbe herauskommt,
wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Da also hier sowohl der Index als auch
der Hauptlogarithmus von $E$ je eine Bedingung erfüllen müssen, so
wollen wir das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ gleich dem System:
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{E}{2}\right) = ((-1)^{\beta}, (-1)^{\gamma})
\]
setzen, welches die vier Werte $(+1, +1)$, $(-1, -1)$, $(+1, -1)$,
$(-1, +1)$ haben kann; dann ist $E$ stets und nur dann eine
Quadratzahl, also $\left(\dfrac{E}{2}\right) = +1$, wenn das ihm gleiche System auf
der rechten Seite gleich $(+1, +1)$ ist.

Betrachtet man die Gleichung $E = (-1)^{\beta}·e^{4\gamma}$ zuerst modulo~$4$,
und hierauf die aus ihr folgende $E^{2} = e^{8\gamma}$ für den Modul~$16$, so
ergeben sich, da $e^{4\gamma} \equiv 1\ (\mod.~4)$, $e^{8\gamma} \equiv 1 + 8\gamma\ (\mod.~16)$ ist, die
Kongruenzen:
\begin{gather*}
E \equiv (-1)^{\beta} \equiv (1 - 2)^{\beta} \equiv 1 - 2\beta\ (\mod.~4) \\
\Tag{(4)}
\frac{E - 1}{2} \equiv \beta,\quad
\frac{E^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2).
\end{gather*}
Dadurch erhält man also aus~\Eq{(3)} auch die folgende Darstellung des
Legendreschen Zeichens in diesem Falle:
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{E}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{E-1}{2}}, (-1)^{\efrac{E^{2}-1}{8}}\right).
\]

Zwei Einheiten
\[
\Tag{(6)}
E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma} \quad\text{und}\quad
E'= (-1)^{\beta'} e^{4\gamma'}
\]
sind stets und nur dann modulo~$8$ kongruent, wenn $\beta \equiv \beta'$ und $\gamma \equiv \gamma'\
(\mod.~2)$ sind. Sind also $E$~und~$E'$ modulo~$8$ kongruent, so ist
\[
\Tag{(6^{a})}
\left(\frac{E}{2}\right) = \left(\frac{E'}{2}\right).
\]
\PageSep{278}{262}
ist also $E = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon = 1$, $3$,~$5$,~$7$ sein kann, so ergibt sich:
\[
\Tag{(7)}
\left(\frac{E}{2}\right)
  = \left((-1)^{\efrac{\epsilon-1}{2}}, (-1)^{\efrac{\epsilon^{2}-1}{8}}\right),
\]
und da in den vier unterschiedenen Fällen das rechts stehende Symbol
bzw.\ gleich $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$ ist, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ ist $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$, je
nachdem $E = 8n+ 1$, $3$,~$5$,~$7$ ist.
\end{Theorem}

Da ferner für das Produkt der beiden Einheiten~\Eq{(6)}
\[
EE' = (-1)^{\beta+\beta'} e^{4(\gamma+\gamma')}
\]
ist, so besteht die folgende allgemeine Gleichung:
\[
\Tag{(8)}
\left(\frac{EE'}{2}\right) = \left(\frac{E}{2}\right) \left(\frac{E'}{2}\right);
\]
denn der gemeinsame Wert beider Seiten ist ja: $((-1)^{\beta+\beta'}, (-1)^{\gamma+\gamma'})$,
wenn das Produkt zweier Systeme wie \aSeite{201} oben definiert wird.

Ist zweitens $p$ eine ungerade Primzahl und $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige
Einheit modulo~$p$, so ist nach dem Satze \aSeite{260}:
\[
\left(\frac{E}{p}\right) = (-1)^{\beta},
\]
oder, da $-1 = w^{\efrac{p-1}{2}}$ und $E \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist,
\[
\Tag{(9)}
\left(\frac{E}{p}\right) = w^{\beta·\efrac{p-1}{2}} \equiv E^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p);
\]
es besteht also der folgende Satz, das sog.\ \so{Eulersche Kriterium:}
\begin{Theorem}
Eine Einheit~$E$ ist quadratischer Rest oder Nichtrest für eine
\index{Eulersches Kriterium}%
ungerade Primzahl~$p$, je nachdem $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$ kongruent $+1$
oder~$-1$ ist. Das Symbol $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ ist also gleich dem absolut kleinsten
Reste von $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$.
\end{Theorem}

Hieraus ergeben sich sofort die beiden Folgerungen:
\PageSep{279}{263}
\begin{Theorem}
Sind $E$~und~$E'$ modulo~$p$ kongruent, so ist
\[
\Tag{(10)}
\left(\frac{E}{p}\right) = \left(\frac{E'}{p}\right).
\]

Sind $E$~und~$E'$ beliebige Einheiten, so ist stets
\[
\Tag{(11)}
\left(\frac{EE'}{p}\right) = \left(\frac{E}{p}\right) \left(\frac{E'}{p}\right);
\]
\end{Theorem}
denn im ersten Falle ist ja $E^{\efrac{p-1}{2}} \equiv {E'}^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p)$, im zweiten ist der
gemeinsame Wert beider Symbole kongruent~$(EE')^{\efrac{p-1}{2}}$. Speziell ergibt
sich für $E' = E$ die selbstverständliche Folgerung, daß für jede
Einheit~$E$
\[
\Tag{(11^{a})}
\left(\frac{E^{2}}{p}\right) = +1
\]
ist.

Es brauchen hiernach nur die modulo~$p$ inkongruenten Einheiten
$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ oder die ihnen modulo~$p$ abgesehen von der Reihenfolge
kongruenten $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln
\[
1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2}
\]
auf ihren quadratischen Charakter untersucht zu werden. Unter den
letzteren sind nun offenbar genau die Hälfte, nämlich die geraden Potenzen
\[
\Tag{(12)}
1,\ w^{2},\ w^{4},\ \dots\ w^{p-3}
\]
Reste, während die $\dfrac{p - 1}{2}$ ungeraden Potenzen
\[
\Tag{(12^{a})}
w,\ w^{3},\ \dots\ w^{p-2}
\]
Nichtreste sind. Es ist leicht, die beiden Gleichungen des $\left(\dfrac{p - 1}{2}\right)$-ten
Grades aufzustellen, denen die Reste bzw.\ die Nichtreste genügen. Ist
nämlich
\[
\bar{w} = w^{2\alpha+\epsilon},
\]
wo $\epsilon = 0$ oder $1$ ist, je nachdem $\bar{w}$ ein Rest oder Nichtrest ist, so ist ja
\[
\bar{w}^{\efrac{p-1}{2}} = (-1)^{\epsilon},
\]
\PageSep{280}{264}
\dh\ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem $\epsilon$ Null oder Eins ist. Setzen
wir also ein für alle Male
\[
\pi = \frac{p - 1}{2}
\]
so ergibt sich der folgende einfache Satz:
\begin{Theorem}
Unter den $p - 1 = 2\pi$ verschiedenen Einheitswurzeln gibt
es genau $\pi$ quadratische Reste und ebensoviele Nichtreste, und
sie sind die sämtlichen Wurzeln der beiden Gleichungen \Ord{$\pi$}{-ten}
Grades:
\[
\Tag{(13)}
x^{\pi} - 1 = 0 \quad\text{und}\quad
x^{\pi} + 1 = 0,
\]
deren linke Seiten die beiden Faktoren sind, in welche die Funktion
\[
x^{p-1} - 1 = (x^{\pi} - 1) (x^{\pi} + 1)
\]
zerfällt.
\end{Theorem}

Aus den beiden Zerlegungsgleichungen
\[
\Tag{(13^{a})}
x^{\pi} - 1 = \prod (x - w^{2\alpha}),\quad
x^{\pi} + 1 = \prod (x - w^{2\alpha+1})
\]
ergibt sich für $x = 0$:
\[
\Tag{(14)}
\prod w^{2\alpha} = (-1)^{\pi-1},\quad
\prod w^{2\alpha+1} = (-1)^{\pi} ,
\]
und für jedes $p > 3$ liefert die Vergleichung der Koeffizienten von~$x^{\pi-1}$
in~\Eq{(13^{a})} die Gleichungen:
\[
\Tag{(14^{a})}
\sum w^{2\alpha} = 0,\quad
\sum w^{2\alpha+1} = 0.
\]

Es sei
\[
\Tag{(15)}
w^{(1)^{2}},\ w^{(2)^{2}},\ \dots\ w^{(\pi)^{2}}
\]
das vollständige System aller $\pi$ verschiedenen quadratischen Reste
unter den $p - 1$ Einheitswurzeln; dann sind die $2\pi = p - 1$
Einheitswurzeln
\[
\Tag{(15^{a})}
±w^{(1)},\ ±w^{(2)},\ \dots\ ±w^{(\pi)}
\]
alle voneinander verschieden; denn nur dann könnte ja $±w^{(i)} = ±w^{(k)}$
sein, wenn $w^{(i)^{2}} = w^{(k)^{2}}$, wenn also $k = i$ wäre, und die beiden Zahlen
$+w^{(i)}$~und~$-w^{(i)}$ sind ja stets voneinander verschieden. Also bilden die
\PageSep{281}{265}
$p - 1$ Zahlen~\Eq{(15^{a})} ein vollständiges System aller verschiedenen $(p - 1)$-ten
Einheitswurzeln. Da man jede der beiden Quadratwurzeln aus $w^{(i)^{2}}$
durch $+w^{(i)}$ bezeichnen kann, so erhält man $2^{\pi}$ verschiedene solche
Systeme $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$, die ich \so{Halbsysteme} nennen will.
Jedes der $2^{\pi}$~Halbsysteme geht aus einem unter ihnen durch Veränderung
seiner Vorzeichen hervor. Speziell ist $(1, w, w^{2}, \dots w^{\pi-1})$
ein solches Halbsystem, da ja die Quadrate $(1, w^{2}, w^{4}, \dots w^{p-3})$ alle
\index{Halbsystem}%
verschieden sind; aber auch die Einheitswurzeln $(w_{1}, w_{2}, \dots w_{\pi})$,
welche modulo~$p$ den $\dfrac{p - 1}{2}$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ kongruent sind,
bilden ein Halbsystem, weil für zwei solche Einheitswurzeln niemals
$w_{i} = -w_{k}$ oder $w_{i} + w_{k} = 0$ sein kann, da ja sonst für ihre Anfangsglieder
$i + k$ durch $p$ teilbar sein müßte, während doch beide positiv
und kleiner als $\dfrac{p}{2}$ sind.

Mit Hilfe dieser Halbsysteme kann man einen neuen Ausdruck
für den quadratischen Charakter~$\left(\dfrac{\bar{w}}{p}\right)$ einer beliebigen Einheitswurzel
herleiten, welcher für die weiteren Betrachtungen von fundamentaler
Bedeutung ist. Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$ ein beliebiges Halbsystem
und $\bar{w}$ irgendeine Einheitswurzel, so ist auch $(\bar{w} w^{(1)}, \bar{w} w^{(2)}, \dots \bar{w} w^{(\pi)})$
ein Halbsystem, da ja aus jeder Gleichung $\bar{w} w^{(i)} = ±\bar{w} w^{(k)}$ sich
$w^{(i)} = ±w^{(k)}$ ergeben würde; und da sich dieses Halbsystem von dem
vorigen nur durch die Vorzeichen und die Reihenfolge unterscheiden
kann, so bestehen die folgenden Gleichungen:
\[
\Tag{(16)}
\begin{aligned}
\bar{w} w^{(1)}   &= \epsilon_{1}   w^{(1')} \\
\bar{w} w^{(2)}   &= \epsilon_{2}   w^{(2')} \\
\DotRow{2} \\
\bar{w} w^{(\pi)} &= \epsilon_{\pi} w^{(\pi')},
\end{aligned}
\]
wo die $\epsilon = ±1$ und die Indizes $(1', 2', \dots \pi')$ die Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$
in anderer Reihenfolge bedeuten. Multipliziert man diese Gleichungen
miteinander und hebt mit dem Faktor $(w^{(1)} \dots w^{(n)})$, so ergibt sich
die Gleichung:
\[
\bar{w}^{\pi}
  = \left(\frac{\bar{w}}{p}\right)
  = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi}.
\]
\PageSep{282}{266}

Ist also $\mu$ die Anzahl der Vorzeichen~$-1$ auf der rechten Seite,
so folgt:
\[
\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu}.
\]
So ergibt sich der folgende Satz, welcher \so{das Gausssche
Lemma} genannt werden soll, weil dasselbe zuerst von Gauss in
\index{Gausssches Lemma}%
seinem wichtigsten Spezialfall bewiesen worden ist:
\begin{Theorem}
Ist $(w^{(i)})$ ein ganz beliebiges Halbsystem und $w$ irgendeine
Einheitswurzel, so ist stets
\[
\Tag{(17)}
\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu},
\]
wenn $\mu$ die Anzahl der Zeichenwechsel ist, um welche sich das
Halbsystem~$(\bar{w} w^{(i)})$ von dem Halbsysteme~$(w^{(i)})$ unterscheidet.
\end{Theorem}

Da jede durch $p$ nicht teilbare Zahl~$c$ ihrer Einheitswurzel~$w_{c}$
modulo~$p$ kongruent ist, so gelten alle soeben für die Einheitswurzeln
bewiesenen Sätze auch für alle Einheiten modulo~$p$. Diese brauchen
daher hier nur ausgesprochen zu werden:
\begin{Theorem}
Eine Zahl $c \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist stets und nur dann quadratischer
Rest modulo~$p$, wenn ihr Index~$\beta$ modulo~$p$ gerade ist; daher ist
$c$ Rest oder Nichtrest, je nachdem
\[
\Tag{(18)}
c^{\efrac{p-1}{2}} \equiv +1 \quad\text{oder}\quad -1\ (\mod.~p)
\]
ist. (Eulersches Kriterium.) Unter den modulo~$p$ inkongruenten
Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ gibt es also stets gleich viele Reste und
Nichtreste, welche im folgenden immer durch:
\[
a_{1},\ a_{2},\ \dots\ a_{\pi} \quad\text{bzw.}\quad
b_{1},\ b_{2},\ \dots\ b_{\pi}
\]
bezeichnet werden sollen. Dieselben sind die sämtlichen inkongruenten
Wurzeln, welche die Kongruenzen:
\[
\Tag{(19)}
\begin{alignedat}{4}
x^{\pi} - 1 &\equiv (x - a_{1})&&(x - a_{2})&& \dots (x - a_{\pi}) &&\equiv 0 \\
x^{\pi} + 1 &\equiv (x - b_{1})&&(x - b_{2})&& \dots (x - b_{\pi}) &&\equiv 0
\end{alignedat}
\quad (\mod.~p)
\]
besitzen.
\PageSep{283}{267}

Sowohl die Summe aller Reste als auch die Summe aller
Nichtreste ist durch $p$ teilbar, sobald $p > 3$ ist, für ihre Produkte
bestehen die Kongruenzen:
\[
a_{1} a_{2} \dots a_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p+1}{2}},\quad
b_{1} b_{2} \dots b_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \ (\mod.~p).
\]
\end{Theorem}

So sind \zB\ für den Modul $p = 7$, wie eine leichte Rechnung zeigt,
\[
(1, 2, 4) \quad\text{alle Reste,} \qquad
(3, 5, 6) \quad\text{alle Nichtreste.}
\]
Ebenso sind modulo~$11$,
\[
(1, 3, 4, 5, 9) \quad\text{die Reste,} \qquad
(2, 6, 7, 8, 10) \quad\text{die Nichtreste;}
\]
für den Modul~$13$ ergibt sich
\[
(a_{i}) = (1, 3, 4, 9, 10, 12), \qquad
(b_{i}) = (2, 5, 6, 7, 8, 11),
\]
und für die Primzahl~$17$
\[
(a_{i}) = (1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16), \quad
(b_{i}) = (3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14).
\]
Für den Modul~$11$ genügen \zB\ die Reste und die Nichtreste den beiden
Kongruenzen:
\[
\begin{aligned}
x^{5} - 1 &\equiv (x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9) \\
x^{5} + 1 &\equiv (x-2)(x-6)(x-7)(x-8)(x-10)
\end{aligned}
\quad (\mod.~11).
\]
In den angeführten Beispielen überzeugt man sich sofort, daß die
Summe der Reste bzw.\ der Nichtreste jedesmal durch die betreffende
Primzahl teilbar ist, und für die entsprechenden Produkte erhält man
\zB\ für die Moduln $7$,~$11$ und~$13$ die Kongruenzen:
{\small
\begin{alignat*}{3}
\prod a_{i} &= 1·2·4         \equiv +1      &\prod b_{i} &= 3·5·6        \equiv -1  &&(\mod.~7),  \\
\prod a_{i} &= 1·3·4·5·9     \equiv +1      &\prod b_{i} &= 2·6·7·8·10   \equiv -1  &&(\mod.~11), \\
\prod a_{i} &= 1·3·4·9·10·12 \equiv -1\quad &\prod b_{i} &= 2·5·6·7·8·11 \equiv +1\ &&(\mod.~13).
\end{alignat*}}

Man kann aus der Reihe $(1, 2, \dots p - 1)$ auf $2^{\pi}$ verschiedene
Arten ein Halbsystem $(c^{(1)}, c^{(2)}, \dots c^{(\pi)})$ so auswählen, daß die
$p - 1$ Zahlen $(±c^{(i)})$ ein vollständiges System inkongruenter Einheiten
bilden. So sind \zB\ die $\pi$ Zahlen $(1, g, g^{2}, \dots g^{\pi})$, aber
auch die $\pi$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ ein solches Halbsystem, und
\PageSep{284}{268}
speziell für dieses letztere hat Gauss sein Lemma aufgestellt und
bewiesen. Ist nämlich $c$ irgendeine Einheit modulo~$p$, und reduziert
man die $\pi$ Produkte $(1·c, 2·c, \dots \pi·c)$ modulo~$p$ auf ihre absolut
kleinsten Reste $(\epsilon_{1}·1', \epsilon_{2}·2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$ modulo~$p$, so folgt aus dem
\aSeite{265} allgemein bewiesenen Gaussschen Lemma, daß:
\[
\Tag{(20)}
\left(\frac{c}{p}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu}
\]
ist, wenn $\mu$ die Anzahl derjenigen Produkte~$ic$ angibt, deren absolut
kleinster Rest~$\epsilon_{i} i'$ negativ, für welche also $\epsilon_{i} = -1$ ist.

Wählt man statt der \emph{absolut} kleinsten Reste der Produkte~$ic$
jedesmal ihre kleinsten \emph{positiven} Reste, so entsprechen allen und nur
den Produkten, deren absolut kleinste Reste vorher negativ waren,
jetzt positive Reste, welche größer als~$\pi$, \dh\ größer als $\dfrac{p - 1}{2}$ sind.
Wir können also das Gausssche Lemma auch folgendermaßen aussprechen:
\begin{Theorem}
Reduziert man die $\pi$ Produkte $(c, 2c, \dots \pi c)$ auf ihre
kleinsten positiven Reste modulo~$p$, so ist $\left(\dfrac{c}{p}\right)$ gleich~$+1$ oder
gleich~$-1$, je nachdem die Anzahl der über $\dfrac{p - 1}{2}$ liegenden
Reste gerade oder ungerade ist.
\end{Theorem}

Es sei \zB\ $p = 17$, also $\pi = 8$ und $c = 5$; bildet man dann
die kleinsten positiven Reste der acht ersten Multipla von~$5$, indem
man sukzessive $5$ addiert und nach Bedarf $17$ abzieht, so erhält
man die Reihe:
\[
5,\ 10,\ 15,\ 3,\ 8,\ 13,\ 1,\ 6;
\]
und da in ihr drei Zahlen größer als $8$ sind, so ergibt sich $\left(\dfrac{5}{17}\right) = -1$.

Ist $p = 13$, $\pi = 6$, $c = 10$, so folgt aus der entsprechend gebildeten
Reihe:
\[
10,\ 7,\ 4,\ 1,\ 11,\ 8,
\]
da sie vier oberhalb $6$ liegende Zahlen enthält, daß $\left(\dfrac{10}{13}\right) = +1$ ist,
und in der Tat ergibt sich sofort
\PageSep{285}{269}
\[
6^{2} \equiv 10\ (\mod.~13).
\]

Man erkennt so, wie einfach sich für ein nicht zu großes $p$ die
Bestimmung des quadratischen Charakters mittels des Gaussschen
Lemmas gestaltet.


\Section{§ 2.}{Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische
Reziprozitätsgesetz.}

Es sei jetzt $E$ eine beliebige absolut ganze rationale Zahl, welche
durch $p$ nicht teilbar ist. Dann reduziert sich die Bestimmung des
Legendreschen Symboles $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ vollständig auf die drei speziellen
Fälle, daß $E = -1$,~$2$, oder~$q$ ist, wo $q$~irgendeine ungerade Primzahl
bedeutet, \dh\ auf die drei einfachsten Symbole:
\[
\Tag{(1)}
\left(\frac{-1}{p}\right),\quad
\left(\frac{2}{p}\right),\quad
\left(\frac{q}{p}\right).
\]
Setzt man nämlich
\[
E = PQ^{2},
\]
wo $Q^{2}$ die größte in $E$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, also
\[
P = ±qr \dots s
\]
lauter einfache Primfaktoren enthält, unter denen auch $2$ vorkommen
kann, so besteht wegen \Eq{(11)}~und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} die Gleichung:
\[
\left(\frac{E}{p}\right)
  = \left(\frac{P}{p}\right)
  = \left(\frac{±1}{p}\right) \left(\frac{q}{p}\right) \dots \left(\frac{r}{p}\right),
\]
es sind also in der Tat nur jene drei einfachen Symbole~\Eq{(1)} genauer
zu untersuchen.

Der Wert der beiden ersten Symbole $\left(\dfrac{-1}{p}\right)$ und $\left(\dfrac{2}{p}\right)$ kann für
eine beliebige Primzahl~$p$ leicht bestimmt werden: Da nämlich
zunächst
\[
-1 = w^{\efrac{p-1}{2}}
\]
ist, also den Index~$\dfrac{p - 1}{2}$ hat, so ist $-1$ eine $p$-adische Quadratzahl
\PageSep{286}{270}
oder nicht, je nachdem $\dfrac{p - 1}{2}$ gerade oder ungerade, je nachdem also $p$
von der Form $4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. Es ergibt sich also der folgende
sog.\ \so{erste Ergänzungssatz}:
\begin{Theorem}
Die Zahl~$-1$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen $5$,~$13$,
\index{Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz}%
$17$, $29$, $37$,~\dots\ von der Form $4n + 1$, quadratischer Nichtrest
aller Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$, $23$,~\dots\ von der Form~$4n + 3$.
\end{Theorem}

Auch aus dem Gaussschen Lemma folgt dieser Ergänzungssatz
unmittelbar: Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(n)})$ ein beliebiges Halbsystem,
und $\bar{w} = -1$, so enthält das Halbsystem
\[
(\bar{w} w^{(i)}) = (-w^{(1)}, -w^{(2)}, \dots -w^{(\pi)})
\]
gegen das vorige genau $\pi$ Zeichenwechsel, \dh\ es ist
\[
\Tag{(2)}
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\pi} = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}.
\]

Auch den zweiten Ergänzungssatz, \dh\ den Wert des Symboles
$\left(\dfrac{2}{p}\right)$ liefert das Gausssche Lemma ohne weiteres. Setzt man nämlich
in dem Satze \aSeite{268} $c = 2$, so sind alle $\pi$ Produkte $(2, 4, \dots 2\pi)$
kleiner als~$p$, also ihre eigenen kleinsten positiven Reste modulo~$p$. Von
ihnen sind die $\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ ersten $2$,~$4$,~\dots\ $2\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ offenbar nicht größer
als~$\pi$, während die $\pi - \left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ folgenden sämtlich über $\pi$ liegen.
Bezeichnet man also wieder wie \aSeite{238}~\Eq{(5)} durch $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ die kleinste ganze
Zahl, welche $\geqq \dfrac{\pi}{2}$ ist, und beachtet, daß dann offenbar stets
\[
\left[\frac{\pi}{2}\right] + \left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi \quad\text{also}\quad
\left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi - \left[\frac{\pi}{2}\right]
\]
ist, so ergibt sich für das zu untersuchende Legendresche Zeichen die
folgende allgemeine Bestimmung:
\[
\left(\frac{2}{p}\right)
  = (-1)^{\bigl\{\efrac{\pi}{2}\bigr\}}
  = (-1)^{\bigl\{\efrac{p-1}{4}\bigr\}}.
\]
\PageSep{287}{271}
Setzt man $p = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon= 1 $,~$3$, $5$,~$7$ sein kann, so ist
\[
\left\{\frac{p - 1}{4}\right\}
  = 2n + \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\}
  \equiv \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\}\ (\mod.~2),
\]
und da in den vier unterschiedenen Fällen $\dfrac{\epsilon - 1}{4}$ gleich $0$,~$\dfrac{1}{2}$, $1$,~$\dfrac{3}{2}$,
also $\left\{\dfrac{\epsilon - 1}{4}\right\} = 0$, $1$, $1$,~$2$ wird, so kann jener zweite Ergänzungssatz
folgendermaßen ausgesprochen werden:
\begin{Theorem}
Die gerade Primzahl~$2$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen
von der Form $8n ± 1$ und quadratischer Nichtrest aller
Primzahlen von der Form~$8n ± 5$.
\end{Theorem}

Benützt man endlich noch die Tatsache, daß offenbar stets:
\[
\left\{\frac{p - 1}{4}\right\}
  \equiv \frac{p^{2} - 1}{8}
  = \frac{(p - 1)(p + 1)}{8}\ (\mod.~2)
\]
ist, da diese Kongruenz in den vier hier allein zu unterscheidenden
Fällen $p \equiv ±1$ bzw.\ $p \equiv ±5\ (\mod.~8)$ richtig ist, so kann derselbe
Ergänzungssatz auch in der Form:
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}}
\]
ausgesprochen werden.

Schreibt man die Primzahl~$p$ für den Bereich von $2$ in der
Form:
\[
p = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2),
\]
wo nach \Eq{(4)} \aSeite{261}:
\[
\frac{p - 1}{2} \equiv \beta,\quad
\frac{p^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2)
\]
ist, so ergibt sich aus der Darstellung des Symboles~$\left(\dfrac{p}{2}\right)$ in \Eq{(5)}~\aSeite{261}
jetzt die folgende Gleichung:
\[
\Tag{(4)}
\biggl(\frac{p}{2}\biggr)
   = \biggl(\!\biggl(\frac{-1}{p}\biggr), \biggl(\frac{2}{p}\biggr)\!\biggr).
\]

Es gilt also der allgemeine Satz:
\PageSep{288}{272}
\begin{Theorem}
Eine Primzahl~$p$ ist stets und nur dann quadratischer Rest,
zu~$2$, wenn sowohl $-1$ als $2$ quadratische Reste zu $p$ sind.
\end{Theorem}

Ich wende mich nun zur Untersuchung der dritten Frage, nach
dem Werte des Symboles $\left(\dfrac{q}{p}\right)$, wenn $q$~und~$p$ zwei beliebige ungerade
Primzahlen sind. Die vollständige Antwort darauf wird durch einen
der wichtigsten Sätze der Zahlentheorie gegeben, welcher wegen seiner
Symmetrie in bezug auf die beiden in ihm auftretenden Primzahlen $p$~und~$q$
den Namen des \so{Reziprozitätsgesetzes} erhalten hat.
\index{Reziprozitätsgesetz}%
Er läßt sich folgendermaßen aussprechen:
\begin{Theorem}
Sind $p$ und $q$ zwei positive ungerade Primzahlen, von denen
wenigstens eine die Form $4n + 1$ hat, so ist stets
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right),
\]
\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Rest (Nichtrest) von~$p$
ist. Haben aber beide Primzahlen die Form~$4n + 3$, so ist
\[
\Tag{(5^{a})}
\left(\frac{p}{q}\right) = -\left(\frac{q}{p}\right),
\]
\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Nichtrest (Rest) von~$p$
ist.
\end{Theorem}

Offenbar kann dieser Satz in der für beide Fälle gültigen symmetrischen
Form:
\[
\Tag{(5^{b})}
\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}}
\]
ausgesprochen werden, denn der Exponent $\dfrac{p - 1}{2}·\dfrac{q - 1}{2}$ von~$(-1)$ ist
dann und nur dann ungerade, wenn $p$~und~$q$ beide die Form~$4n + 3$
haben; nur in diesem Falle ist also das Produkt links gleich~$-1$,
anderenfalls aber stets~$+1$.

Nach diesem Satze ist \zB:
\[
\left(\frac{3}  {7}\right) = -\left(\frac {7} {3}\right),\quad
\left(\frac{13} {7}\right) =  \left(\frac {7}{13}\right),\quad
\left(\frac{17}{29}\right) =  \left(\frac{29}{17}\right),
\]
\PageSep{289}{273}
weil im ersten Falle beide Primzahlen die Form $4n + 3$ haben,
während in den beiden anderen eine bzw.\ beide von der Form $4n + 1$
sind.


\Section{§ 3.}{Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.}

Der Beweis des Reziprozitätsgesetzes ist zuerst von Gauss vollständig
und streng geführt worden. Im Laufe seines Lebens gelang es ihm,
acht verschiedene Beweise für dieses "`theorema fundamentale"' zu
geben, und dieser merkwürdige Satz hat seit Gauss so stark die Geister
gefesselt, daß die Zahl der Beweise jetzt auf über fünfzig gestiegen
ist; indessen lassen sich fast alle in die fünf durch jene
Gaussschen Beweise charakterisierten Klassen einordnen. Ich will hier
nur zwei im wesentlichen von Kronecker herrührende Beweise dieses
Gesetzes geben, welche beide auf dem Gaussschen Lemma beruhen
und in naher Beziehung zum dritten Gaussschen Beweise stehen.

Jede rationale Zahl~$\alpha$, welche nicht selbst ganz ist, liegt stets
zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, nämlich zwischen
der nächst kleineren $[\alpha]$ und der nächst größeren~$\{\alpha\}$, und zwar liegt
sie, wenn sie nicht ein ganzzahliges Multiplum von~$\dfrac{1}{2}$ ist, entweder der
ersten oder der zweiten von ihnen näher. Hiernach können wir alle
reellen Zahlen~$\alpha$, welche nicht ganzzahlige Vielfache von~$\dfrac{1}{2}$ sind, in zwei
Klassen $K^{(+)}$~und~$K^{(-)}$ teilen, je nachdem $\alpha$ näher an $[\alpha]$ oder
näher an $\{\alpha\}$ liegt, je nachdem also der absolute Wert von
\[
\alpha - [\alpha] \quad\text{oder von}\quad
\alpha - \{\alpha\}
\]
kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist. Wir könnten endlich alle ganzzahligen Multipla von~$\dfrac{1}{2}$
in eine dritte Klasse~$K^{(0)}$ rechnen; jedoch werden diese Zahlen in
der folgenden Untersuchung niemals vorkommen. Wir wollen das
Symbol
\[
\Tag{(1)}
((\alpha)) \quad\text{gleich}\quad +1 \quad\text{oder gleich}\quad -1
\]
setzen, je nachdem $\alpha$ der Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ angehört. Dann
\PageSep{290}{274}
besteht für den Wert dieses Symbols immer die Gleichung:
\[
\Tag{(2)}
((\alpha)) = (-1)^{[2a]}.
\]
Gehört nämlich $\alpha$ der ersten bzw.\ der zweiten Klasse an, so ist ja
\[
\alpha = [\alpha] + \frac{\delta}{2} \quad\text{bzw.}\quad
\alpha = \{\alpha\} - \frac{\delta}{2}\DPtypo{.}{,}
\]
wo beide Male $0 < \delta < 1$ ist, und hieraus folgt:
\[
2\alpha = 2[\alpha] + \delta \quad\text{bzw.}\quad
2\alpha = 2\{\alpha\} - \delta,
\]
\dh\ man erhält in den beiden unterschiedenen Fällen für die nächst
kleinere ganze Zahl an~$2\alpha$
\[
[2\alpha] = 2[\alpha] \quad\text{bzw.}\quad
[2\alpha] = 2\{\alpha\} - 1;
\]
dieselbe ist also gerade oder ungerade, je nachdem $\alpha$ zur ersten oder
zur zweiten Klasse gehört, und hieraus folgt die Richtigkeit der
Gleichung~\Eq{(2)}.

Es sei nun $\alpha$ ein positiver Bruch; bezeichnen wir dann für eine
beliebige von Null verschiedene Zahl~$a$ durch
\[
\Tag{(3)}
\sgn(a) \quad\text{die Einheit}\quad +1 \quad\text{oder}\quad -1,
\]
je nachdem $a$ positiv oder negativ ist, so können wir den Wert unseres
Symboles~$((\alpha))$ auch folgendermaßen ausdrücken:
\[
\Tag{(4)}
\begin{aligned}
((\alpha)) &= \sgn (1 - 2\alpha) (2 - 2\alpha) \dots \\
           &= \sgn \prod_{g} (g - 2\alpha),
\end{aligned}
\]
wo das Produkt soweit zu erstrecken ist, als die Faktoren $g - 2\alpha$ noch
negativ werden, \dh\ offenbar auf die Werte $g = 1$, $2$,~\dots~$[2\alpha]$. Da
dann nämlich rechts genau $[2\alpha]$ negative Faktoren stehen, so ist das
Vorzeichen dieser Produkte gleich~$(-1)^{[2\alpha]}$, also wirklich gleich~$((\alpha))$.
Es werde aber bemerkt, daß in~\Eq{(4)} die Multiplikation auch über
$g = [2\alpha]$ hinaus beliebig weit erstreckt werden kann, da ja alle späteren
Faktoren positiv sind. Dividiert man endlich jeden der rechtsstehenden
Faktoren durch die \emph{positive} Zahl~$2$, so wird das Vorzeichen ja
\PageSep{291}{275}
nicht geändert, und wir können die Gleichung~\Eq{(4)} folgendermaßen
schreiben:
\[
\Tag{(4^{a})}
((\alpha)) = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq [2\alpha]} \left(\frac{g}{2} - \alpha\right).
\]
Setzen wir für alle Zahlen $\alpha = g\Add{·}\dfrac{1}{2}$ der dritten Klasse~$K^{(0)}$\; $((\alpha)) = 0$,
und ist entsprechend $\sgn(0) = 0$, so gilt die Gleichung~\Eq{(4^{a})} offenbar
auch für die Zahlen von~$K^{(0)}$ da für sie die linke Seite und ein Faktor
der rechten gleich Null wird. Jedoch wird dieser Fall, wie oben erwähnt
wurde, im Folgenden nicht gebraucht.

Mit Hilfe dieses Satzes wird nun das Reziprozitätsgesetz leicht
folgendermaßen bewiesen: Es seien $p$~und~$q$ zwei beliebige ungerade
Primzahlen, und
\[
\Tag{(5)}
\pi =\frac{p - 1}{2}, \quad
\kappa = \frac{q - 1}{2}\DPtypo{:}{;}
\]
ist dann $(1, 2, \dots \pi)$ ein zu $p$ gehöriges Halbsystem, und reduziert man
die $\pi$ Produkte $(q, 2q, \dots \pi q)$ modulo~$p$ auf ihre absolut kleinsten
Reste, so erhält man das neue Halbsystem $(\epsilon_{1} 1', \epsilon_{2} 2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$,
und dann ist nach dem Gaussschen Lemma \Seite{268}
\[
\Tag{(6)}
\left(\frac{q}{p}\right)
  = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi}
  = \prod_{1}^{\pi} \epsilon_{h}.
\]

Dieser erste Beweis besteht nun in einer Umformung des rechts
stehenden Vorzeichenproduktes in ein anderes, aus dessen Form
unmittelbar hervorgeht, daß es sich bei Vertauschung von $p$ mit $q$ nur
mit $(-1)^{\pi\kappa}$ multipliziert, so daß also in der Tat $\left(\dfrac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\dfrac{q}{p}\right)$
folgt.

Schreibt man nämlich irgendeine der $\pi$~Kongruenzen
\[
\Tag{(7)}
qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p),
\]
in welcher $h$~und~$h'$ beide der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ angehören, als
Gleichung in der Form:
\[
\Tag{(7^{a})}
qh = \epsilon_{h} h' + pk,
\]
so folgt aus ihr
\PageSep{292}{276}
\[
\Tag{(7^{b})}
\frac{qh}{p} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{p} + k;
\]
da nun $\dfrac{h'}{p}$ positiv und kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist, so gehört der Bruch $\dfrac{qh}{p}$ zur
Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$ ist,
\dh\ es ist für jede der $\pi$ Einheiten~$\epsilon_{h}$
\[
\Tag{(8)}
\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{qh}{p}\right)\!\right).
\]

Ersetzt man nun in~\Eq{(4^{a})} $\alpha$ durch $\dfrac{qh}{p}$ und dividiert dann, was ja
erlaubt ist, jeden der Faktoren durch das positive~$q$, so ergibt sich für
$\epsilon_{h}$ die folgende Darstellung:
\[
\Tag{(9)}
\epsilon_{h}
  = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq \left[\frac{2qh}{p}\right]} \left(\frac{g}{2} - \frac{qh}{p}\right)
  = \sgn \prod_{g=1}^{2\kappa} \left(\frac{g}{2q} - \frac{h}{p}\right),
\]
weil ja für jedes~$h$\; $2q\Add{·}\dfrac{h}{p} < 2q·\dfrac{1}{2}$, also $\left[\dfrac{2qh}{p}\right] \leqq q - 1 = 2\kappa$ ist.
Läßt man in diesem Produkte~$g$ zuerst alle geraden und dann alle ungeraden
Zahlen
\[
g = 2k = 2,\ 4,\ \dots\ 2\kappa \quad\text{bzw.}\quad
g = q - 2k = q - 2,\ q - 4,\ \dots\ 1
\]
durchlaufen, so zerlegt sich dasselbe folgendermaßen in zwei andere
Produkte
\[
\Tag{(9^{a})}
\epsilon_{h} = \sgn \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right)
  · \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right),
\]
und aus~\Eq{(6)} ergibt sich für $\left(\dfrac{q}{p}\right)$ die Darstellung:
\[
\tag*{(10)}
\left(\frac{q}{p}\right)
  = \DPchg{\prod_{1}^{\pi}}{\!\prod_{h=1}^{\pi}\!} \epsilon_{h}
  = \sgn \prod_{h=1}^{\pi} \prod_{k=1}^{\kappa}
      \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right)
  · \sgn \prod_{\DPchg{1}{h=1}}^{\pi} \prod_{\DPchg{1}{k=1}}^{\kappa}
      \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right),
\]
in welcher jedes dieser zwei Produkte aus $\pi\kappa$~Faktoren besteht. Vertauscht
man aber in dieser Gleichung $q$~und~$p$ miteinander, so bleibt
das zweite Produkt offenbar ungeändert, während jedes der $\pi\kappa$~ersten
Faktoren in $\left(\dfrac{h}{p} - \dfrac{k}{q}\right)$ übergeht, sich also mit $-1$ multipliziert. Hieraus
\PageSep{293}{277}
ergibt sich, daß in der Tat
\[
\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\frac{q}{p}\right)
\]
ist; also ist das Reziprozitätsgesetz vollständig bewiesen.


\Section{§ 4.}{Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz.}

In \Eq{(10)} des vorigen Paragraphen ist das Legendresche Symbol $\left(\dfrac{q}{p}\right)$
durch zwei Produkte dargestellt, von denen das zweite symmetrisch
in bezug auf $p$~und~$q$ ist, also beim Übergange zu dem inversen Symbole
$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ ungeändert bleibt. Man kann sich nun leicht überzeugen, daß dieses
Symbol schon allein durch das Vorzeichen jenes ersten Produktes dargestellt
wird, so daß in~\Eq{(10)} das zweite Produkt einfach fortgelassen
werden kann, da es immer positiv ist. Hierzu führt der folgende
neue Beweis für das Reziprozitätsgesetz:

Auch hier gehe ich aus von der Kongruenz \Eq{(7)} \aSeite{275}:
\[
\Tag{(1)}
qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p) \quad
\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original]
(h, h' = 1, 2, \dots \pi)
\end{Conditions},
\]
wo wieder $\epsilon_{h} h'$ den absolut kleinsten Rest von~$qh$ modulo~$p$ bedeutet.
Je nachdem hier $\epsilon_{h}$ gleich~$1$ oder gleich~$-1$ ist, läßt sich diese Kongruenz
als Gleichung in der Form:
\[
\Tag{(2)}
qh = q_{h}p + h' \quad\text{bzw.}\quad
qh = q_{h}p + p - h'
\]
schreiben, wo in beiden Fällen
\[
\Tag{(3)}
q_{h} =\left[\frac{qh}{p}\right]
\]
die größte in $\dfrac{qh}{p}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet, wie aus~\Eq{(2)} durch
Division mit~$p$ unmittelbar folgt.

Es sei nun $p$~eine beliebige ungerade Primzahl, während $q = 2$
oder ungerade sein kann. Betrachten wir dann die Gleichungen~\Eq{(2)}
als Kongruenzen modulo~$2$, so gehen sie über in:
\[
\Tag{(4)}
qh \equiv q_{h} + h' \quad\text{bzw.}\quad
qh \equiv q_{h} + h' + 1\ (\mod.~2)
\]
\PageSep{294}{278}
und sie können also gemeinsam in der Form:
\[
\Tag{(4^{a})}
qh \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)
\]
geschrieben werden, wo $\delta_{h} = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$
ist. Hiernach ist $\sum_{1}^{\pi} \delta_{h} = \mu$, wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen
absolut kleinsten Reste modulo~$p$ in dem Systeme $(q, 2q, \dots \pi q)$
bedeutet. Den Kongruenzwert von~$\mu$ modulo~$2$, auf den es ja allein
ankommt, kann man nun in den beiden unterschiedenen Fällen leicht
bestimmen.

Nehmen wir nämlich zuerst $q = 2$ an, so sind in~\Eq{(4^{a})} alle
$q_{h} = \left[\dfrac{2h}{p}\right] = 0$, weil stets $2h < p$ ist, und aus den so sich ergebenden
$\pi$ Kongruenzen:
\[
0 \equiv h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad
\begin{Conditions}
(h' = 1, 2, \dots \pi)
\end{Conditions}
\]
folgt durch Addition derselben:
\begin{gather*}
\mu + \sum h' = \mu + \frac{\pi(\pi + 1)}{2} \equiv 0\ (\mod.~2) \\
\mu \equiv \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2);
\end{gather*}
es ist also in diesem Falle:
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\mu} = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}},
\]
womit der zweite Ergänzungssatz nochmals bewiesen ist.

Ist dagegen auch $q$ ungerade, so geht die Kongruenz~\Eq{(4^{a})} über in:
\[
\Tag{(6)}
h \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad
\begin{Conditions}
(h, h' = 1, 2, \dots \pi)
\end{Conditions}, %[** TN: Small comma in the original]
\]
und durch Summation folgt, da $\sum h = \sum h'$ ist:
\[
\Tag{(6^{a})}
\mu = \sum \delta_{h} \equiv \sum q_{h} = \sum_{1}^{\pi} \left[\frac{qh}{p}\right].
\]
Die Auswertung der rechts stehenden Summe bereitete Gauss noch
wesentliche Schwierigkeiten. Wir können jetzt aber sofort zeigen, daß
für das durch \Eq{(6^{a})} bestimmte $\mu$ die Gleichung:
\PageSep{295}{279}
\[
\Tag{(7)}
(-1)^{\mu} = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right)
\]
besteht, so daß sich nach dem Gaussschen Lemma:
\[
\Tag{(8)}
\left(\frac{q}{p}\right)
  = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right)
\]
ergibt. Multipliziert man nämlich jeden Faktor des in~\Eq{(7)} rechts
stehenden Doppelproduktes mit dem positiven~$q$, so geht es über in:
\[
\sgn \prod_{h} \prod_{k} \left(k - \frac{hq}{p}\right),
\]
und hier erkennt man, daß für ein festes $h$ alle und nur die $\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ Faktoren
negativ sind, für welche $k = 1$, $2$,~\dots~$\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ ist. Also hat in der Tat
das Produkt in~\Eq{(7)} genau $\mu$ negative Faktoren, \dh\ die Richtigkeit
der Gleichung~\Eq{(8)} ist erwiesen. Vertauscht man endlich in dieser
Gleichung~\Eq{(8)} $q$~mit~$p$, so ergibt sich
\[
\Tag{(8^{a})}
\left(\frac{p}{q}\right)
  = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{h}{p} - \frac{k}{q}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}} \left(\frac{q}{p}\right),
\]
und damit ist das Reziprozitätsgesetz zum zweiten Male bewiesen.

Durch die drei Grundgesetze \Eq{(10)},~\Eq{(11)} und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} für
das Legendresche Zeichen, sowie durch die beiden Ergänzungssätze und
das Reziprozitätsgesetz wird die Entscheidung der Frage, ob eine Zahl~$A$
quadratischer Rest, für eine beliebige Primzahl~$p$, oder, was dasselbe
ist, ob sie eine $p$-adische Quadratzahl ist oder nicht, auch für
große Primzahlen~$p$ zu einer sehr leichten Aufgabe. So zeigt man
\zB\ leicht, daß von den beiden Kongruenzen:
\[
x^{2} \equiv 501\ (\mod.~827),\quad
x^{2} \equiv 693\ (\mod.~839)
\]
die erste zwei, die zweite aber keine Lösung besitzt. In der Tat ergeben
die obengenannten Sätze leicht:\PageLabel{280}
\begin{align*}
\left(\frac{501}{827}\right)
  &= \left(\frac{3}{827}\right)\! \left(\frac{167}{827}\right)
   = \left(-\left(\frac{827}{3}\right)\!\right)\!
     \left(-\left(\frac{827}{167}\right)\!\right)
   = \left(\frac{-1}{3}\right)\! \left(\frac{-8}{167}\right) \\
  &= (-1)\left(\frac{-1}{167}\right)\! \left(\frac{2}{167}\right)^{3}
   = (-1)(-1)(+1) = +1 \displaybreak[1]\\
%\PageSep{296}{280}
\left(\frac{693}{839}\right)
  &= \left(\frac{3}{839}\right)^{2}\!
     \left(\frac{7}{839}\right)\!
     \left(\frac{11}{839}\right)
   = \left(\frac{7}{839}\right)\! \left(\frac{11}{839}\right)
   =+\left(\frac{839}{7}\right)\! \left(\frac{839}{11}\right) \\
  &= \left(\frac{-1}{7}\right)\! \left(\frac{3}{11}\right)
   = (-1)(-1) \left(\frac{11}{3}\right)
   = \left(\frac{-1}{3}\right) = -1,
\end{align*}
und unter Benutzung des Canon arithmeticus überzeugt man sich
wirklich, daß die erste Kongruenz die beiden Wurzeln~$±486$ hat.

Mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes können wir für den quadratischen
Charakter der kleineren Primzahlen~$±q$, \zB\ $-2$,~$3$, $-3$, $5$,~$-5$, in
bezug auf eine beliebige ungerade Primzahl~$p$ ähnlich einfache Gesetze
aussprechen, wie dies in den beiden Ergänzungssätzen für $-1$~und~$2$
geschehen ist. So ist~\zB:
\[
\left(\frac{-2}{p}\right)
  = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{2}{p}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}+\efrac{p^{2}-1}{8}}
  = (-1)^{\efrac{(p-1)(p+5)}{8}},
\]
es gilt also der Satz:
\begin{Theorem}
\Item{\DPchg{(I)}{I)}} Die Zahl~$-2$ ist Rest aller Primzahlen $8n + 1$,~$3$, Nichtrest
aller Primzahlen $8n + 5$,~$7$.
\[
\left(\frac{-3}{p}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{3}{p}\right)
  = +\left(\frac{p}{3}\right).
\]
\end{Theorem}
Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind nun von der Form $6n ± 1$,
und da $\left(\dfrac{6n ± 1}{3}\right) = ±1$ ist, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
\Item{\DPchg{(II)}{II)}} Die Zahl~$-3$ ist Rest aller Primzahlen~$6n + 1$, Nichtrest
aller Primzahlen~$6n - 1$.
\[
\left(\frac{3}{p}\right)
  = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{-3}{p}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{p}{3}\right).
\]
\end{Theorem}
Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind entweder von der Form
$12n ± 1$ oder $12 ± 5$. Nach der obigen Gleichung ist für die Primzahlen
der ersten Art
\[
\left(\frac{3}{p}\right) = (+1)(+1) \quad\text{bzw.}\quad
(-1)(-1)\DPtypo{.}{}
\]
also stets~$+1$; für die Primzahlen $12n ± 5$ dagegen ist dasselbe Symbol
gleich $(-1) (+1)$ bzw.\ $(+1) (-1)$, also stets~$-1$.
\PageSep{297}{281}
\begin{Theorem}
\Item{\DPchg{(III)}{III)}} Die Zahl~$3$ ist also Rest aller Primzahlen~$12n ± 1$,
Nichtrest aller Primzahlen~$12n ± 5$.
\end{Theorem}

Ebenso folgt aus der Gleichung:
\[
\biggl(\frac{5}{p}\biggr) = \biggl(\frac{p}{5}\biggr),
\]
wenn man $p = 10n ± 1$ bzw.\ $10n ± 3$ annimmt:
\begin{Theorem}
\Item{\DPchg{(IV)}{IV)}} Die Zahl~$5$ ist Rest aller Primzahlen~$10n ± 1$, Nichtrest
aller Primzahlen~$10n ± 3$.
\end{Theorem}
Und ganz analog ergibt sich leicht aus
\[
\biggl(\frac{-5}{p}\biggr) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \biggl(\frac{p}{5}\biggr):
\]
\begin{Theorem}
\Item{\DPchg{(V)}{V)}} Die Zahl~$-5$ ist Rest aller Primzahlen von der
Form $20n + 1$, $3$,~$7$,~$9$, dagegen Nichtrest aller Primzahlen
$20n - 1$, $-3$,~$-7$,~$-9$.
\end{Theorem}


\Section{§ 5.}{Das Jacobi-Legendresche Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$.}

Aus den im vorigen Abschnitte ausgeführten Zahlenbeispielen
\index{Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$}%
geht hervor, daß die Berechnung des Legendreschen Symboles mit den
bisher gegebenen Hilfsmitteln dadurch erschwert wird, daß alle im
Verlaufe des Verfahrens auftretenden Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt
werden müssen, was bei etwas größeren Zahlen unbequem ist. Um
dies zu vermeiden, hat Jacobi das Legendresche Zeichen in höchst
glücklicher Weise so verallgemeinert, daß die Bestimmung des quadratischen
Charakters einer Zahl ohne jede Faktorenzerlegung ausgeführt
werden kann.

Es seien nämlich $Q$~und~$P$ zwei teilerfremde ganze Zahlen, von
denen die zweite $P = p p' p'' \dots$ nur positiv und ungerade, \dh\ aus
lauter gleichen oder verschiedenen ungeraden Primfaktoren $p$,~$p'$,~\dots\
bestehend vorausgesetzt wird; dann definiert Jacobi das Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$
durch die Gleichung:
\PageSep{298}{282}
\[
\Tag{(1)}
\left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q}{p}\right) \left(\frac{Q}{p'}\right) \dots
  = \prod_{(p)} \left(\frac{Q}{p}\right),
\]
in welcher die $\left(\dfrac{Q}{p}\right)$, $\left(\dfrac{Q}{p'}\right)$,~\dots\ die gewöhnlichen Legendreschen Zeichen
bedeuten. Ist also $P = p$ selbst eine Primzahl, so fällt das Jacobische
mit dem Legendreschen Zeichen zusammen. Das allgemeine Jacobische
Symbol hat ebenfalls immer den Wert~$±1$; dasselbe hat aber zunächst
für die quadratischen Kongruenzen keine Bedeutung, denn die
Gleichung $\left(\dfrac{Q}{P}\right) = \left(\dfrac{Q}{p}\right) \left(\dfrac{Q}{p'}\right) \dots = +1$ würde nur dann aussagen, daß
die Kongruenz $x^{2} \equiv Q\ (\mod.~P)$ Wurzeln besitzt, wenn alle Faktoren
$\left(\dfrac{Q}{p}\right) = +1$ wären, während doch $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ stets und nur dann gleich~$+1$
ist, wenn die Anzahl der Faktoren $\left(\dfrac{Q}{p}\right) = -1$ gerade ist.

Dies Jacobi-Legendresche Symbol besitzt genau dieselben Eigenschaften
\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}%
wie das Legendresche Zeichen, und alle für dieses geltenden Sätze
können aus den vorher für das speziellere Symbol bewiesenen leicht
hergeleitet werden: Allein aus der Definitionsgleichung~\Eq{(1)} folgt, daß
stets
\[
\Tag{(I)}
\left(\frac{Q}{PP'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q}{P'}\right)
\]
ist. Fast ebenso einfach ergibt sich die Richtigkeit der entsprechenden
Gleichung für die Zerlegung des "`Zählers"':
\[
\Tag{(II)}
\left(\frac{QQ'}{P'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right);
\]
denn nach der Grundregel \Eq{(11)} \aSeite{263} für das Legendresche Zeichen
ist ja:
\[
\left(\frac{QQ'}{P'}\right)
  = \prod_{(p)} \left(\frac{QQ'}{p^{(i)}}\right)
  = \prod \left(\frac{Q }{p^{(i)}}\right)
    \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right)
  = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right).
\]

Zerlegt man in $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ sowohl $Q$ als auch $P$ in seine Primfaktoren,
so ergibt die Anwendung von \Eq{(I)}~und~\Eq{(II)} die Gleichung:
\[
\Tag{(2)}
\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{(q_{i})} \prod_{(p_{k})} \left(\frac{q_{i}}{p_{k}}\right),
\]
\PageSep{299}{283}
wo sich die Multiplikation auf alle gleichen oder verschiedenen Primfaktoren
sowohl von~$Q$ als von~$P$ erstreckt.

Drittens besteht genau wie für das Legendresche Zeichen der Satz:
\[
\Tag{(III)}
\text{Ist}\quad Q \equiv Q'\ (\mod.~P), \quad\text{so ist}\quad \left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q'}{P}\right).
\]
Denn aus dem Bestehen dieser Kongruenz folgt, daß auch für jeden
Primfaktor~$p^{(i)}$ von~$P$\; $Q \equiv Q'\ (\mod.~p^{(i)})$, also $\left(\dfrac{Q}{p^{(i)}}\right) = \left(\dfrac{Q'}{p^{(i)}}\right)$ ist,
und hieraus ergibt sich, daß in der Tat
\[
\left(\frac{Q}{P}\right)
  = \prod \left(\frac{Q}{p^{(i)}}\right)
  = \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right)
  = \left(\frac{Q'}{P}\right)
\]
ist.

Ferner gelten für das allgemeine Symbol die beiden Ergänzungssätze
und das Reziprozitätsgesetz. Zunächst besteht auch hier die
Gleichung:
\[
\Tag{(IV)}
\left(\frac{-1}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P-1}{2}},
\]
\dh\ jenes Symbol ist $+1$~oder~$-1$, je nachdem $P$ von der Form
$4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. In der Tat ist ja nach~\Eq{(1)}
\[
\left(\frac{-1}{P}\right)
  = \prod \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\oldsum\efrac{p-1}{2}},
\]
und da
\[
P = pp' \dots
  = (1 + (p - 1)) (1 + (p' - 1)) \dots
  \equiv 1 + \sum (p - 1)\ (\mod.~4)
\]
ist, weil alle weiteren Produkte $(p - 1) (p' - 1) \dots$ mindestens durch
$4$ teilbar sind, so ergibt sich die Kongruenz:
\[
\Tag{(3)}
\frac{P - 1}{2} \equiv \sum_{(p)} \frac{p - 1}{2}\ (\mod.~2)
\]
und damit die Richtigkeit der Gleichung~\Eq{(IV)}. Ebenso einfach beweist
man den zweiten Ergänzungssatz:
\[
\Tag{(V)}
\left(\frac{2}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}},
\]
\PageSep{300}{284}
nach dem $\left(\dfrac{2}{P}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$ ist, je nachdem $P$ gleich $8n ± 1$
oder $8n ± 3$ ist. Auch hier folgt nämlich aus~\Eq{(1)}
\[
\left(\frac{2}{P}\right)
  = \prod \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\oldsum \efrac{p^{2}-1}{8}},
\]
und da hier
\begin{align*}
P^{2} &= p^{2} p'^{2} \dots = (1 + (p^{2} - 1)) (1 + (p'^{2} - 1)) \dots \\
      &\equiv 1 + \sum (p^{2} - 1)\ (\mod.~16)
\end{align*}
ist, weil alle weiteren Produkte $(p^{2} - 1) (p'^{2} - 1) \dots$ sogar mindestens
durch $8^{2} = 64$ teilbar sind, so ist hier
\[
\Tag{(4)}
\frac{P^{2} - 1}{8} = \sum \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2),
\]
und damit ist der zweite Ergänzungssatz bewiesen.

Noch einfacher folgen beide Ergänzungssätze zugleich daraus, daß
nach \Eq{(8)} auf \Seite{262}
\[
\left(\frac{PP'}{2}\right) = \left(\frac{P}{2}\right) \left(\frac{P'}{2}\right)
\]
ist; denn hieraus folgt:
\begin{align*}
\left(\frac{P}{2}\right)
  &= \prod \left(\frac{p}{2}\right)
   = \prod \left(\!\left(\frac{-1}{p}\right)\!,
                   \left(\frac{2}{p}\right)\!\right) \\
  &= \left(\prod \left(\frac{-1}{p}\right)\!,
           \prod \left(\frac{2}{p}\right)\!\right)
   = \left(\!\left(\frac{-1}{P}\right)\!, \left(\frac{2}{P}\right)\!\right);
\end{align*}
und da andererseits nach \Eq{(5)} auf \Seite{261}
\[
\left(\frac{P}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{P-1}{2}} (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{2}}\right)
\]
\DPtypo{st}{ist}, so ergeben sich durch Vergleichung dieser beiden Darstellungen von
$\left(\dfrac{P}{2}\right)$ in der Tat die beiden \DPtypo{Ergängssätze}{Ergänzungssätze} zugleich.

Sind endlich $P$~und~$Q$ beide positiv und ungerade, so besteht auch
für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz:
\PageSep{301}{285}
\[
\Tag{(VI)}
\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right)
  = (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}}.
\]
Wendet man nämlich auf die beiden links stehenden Symbole die vollständige
Zerlegung~\Eq{(2)} an, so ergibt sich bei Anwendung des Reziprozitätsgesetzes
für das Legendresche Zeichen die Gleichung:
\[
\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right)
  = \prod_{p_{i}} \prod_{q_{k}}
      \left(\!\left(\frac{p_{i}}{q_{k}}\right)
            \left(\frac{q_{k}}{p_{i}}\right)\!\right)
  = (-1)^{\oldsum\oldsum \efrac{p_{i}-1}{2}·\efrac{q_{k}-1}{2}}.
\]
Nun ist aber
{\small
\[
\sum_{p_{i}} \sum_{q_{k}} \frac{p_{i}-1}{2}·\frac{q_{k}-1}{2}
  = \left(\sum \frac{p_{i} - 1}{2}\right)·\left(\sum \frac{q_{k} - 1}{2}\right)
  \equiv \frac{P - 1}{2}·\frac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2),
\]}%
da nach~\Eq{(3)} $\sum \dfrac{p_{i} - 1}{2} \equiv \dfrac{P - 1}{2}$,
                 $\sum \dfrac{q_{k} - 1}{2} \equiv \dfrac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2)$ ist;
also gilt für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz.

\begin{Examples}
Beispiele:
\begin{align*}%[** Not aligned in the original]
\left(\frac{425}{907}\right)
  &= \left(\frac{907}{425}\right)
  = \left(\frac{57}{425}\right)
  = \left(\frac{425}{57}\right)
  = \left(\frac{26}{57}\right) \DPchg{=}{} \\
%
  &= \left(\frac{2}{57}\right) \left(\frac{13}{57}\right)
  = +\left(\frac{13}{57}\right)
  = \left(\frac{57}{13}\right)
  = \left(\frac{5}{13}\right)
  = \left(\frac{3}{5}\right) = -1\DPtypo{}{,} \\
%
\left(\frac{427}{997}\right)
  &= -\left(\frac{997}{427}\right)
  = -\left(\frac{143}{427}\right)
  = +\left(\frac{427}{143}\right)
  = \left(\frac{2}{143}\right) = +1\DPtypo{}{.}
\end{align*}
\end{Examples}

Die zu Anfang dieses Paragraphen aufgestellte Definition des Jacobischen
Zeichens ergibt dasselbe als eine nicht ganz naturgemäß erscheinende
Verallgemeinerung des Legendreschen Symboles. Eine andere
und begrifflich höchst einfache Definition desselben Zeichens haben
Kronecker und Schering gefunden, nach welcher dasselbe genau wie
das Legendresche durch das Gausssche Lemma definiert wird.

\begin{Theorem}
Sind nämlich $Q$~und~$P$ zwei beliebige positive teilerfremde
ungerade Zahlen, und reduziert man wieder die $\pi = \dfrac{P - 1}{2}$
Produkte
\[
Q,\ 2Q,\ 3Q,\ \dots\ \pi Q
\]
modulo~$P$ auf ihre absolut kleinsten Reste:
\PageSep{302}{286}
\[
\epsilon_{1} 1',\
\epsilon_{2} 2',\
\epsilon_{3} 3',\ \dots\
\epsilon_{\pi} \pi',
\]
wo die $\epsilon_{i}$ wieder gleich~$±1$ sind und $1'$,~$2'$,~\dots~$\pi'$ offenbar
die Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ in veränderter Reihenfolge bedeuten,
so besteht auch für das Jacobische Symbol die Gleichung
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{Q}{P}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu},
\]
wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen absolut kleinsten
Reste ist.
\end{Theorem}

Um die Richtigkeit dieses Satzes zu beweisen, bezeichnen wir jenes
Vorzeichenprodukt~\Eq{(5)} vorläufig durch $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und weisen nach, daß dasselbe
stets gleich $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ ist. Ist zunächst $P = p$ eine Primzahl, so ist,
da das Gausssche Lemma in diesem Falle gilt, sicher
\[
\Tag{(6)}
\left\{\frac{Q}{P}\right\} = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{,}{.}
\]
Um die Identität von $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ und die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes
allgemein nachzuweisen, genügt es, für das neue
Symbol die Richtigkeit der drei folgenden Gleichungen zu zeigen:
\begin{align*}
\Tag{(I)}
\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\}
  &= \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\} \\
%
\Tag{(II)}
\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\frac{Q}{P''}\right\}
  &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\
%
\Tag{(III)}
\left\{\frac{Q}{P}\right\}
  &= (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} \left\{\frac{P}{Q}\right\}.
\end{align*}

In der Tat folgt ja durch die Anwendung von~\Eq{(II)} für das allgemeine
Symbol die Gleichung:
\[
\left\{\frac{Q}{P}\right\}
  = \prod \left\{\frac{Q}{p_{k}}\right\}
  = \prod \left(\frac{Q}{p_{k}}\right)
  = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{}{.}
\]

Ist hiernach die Identität jener beiden Symbole nachgewiesen, so
braucht man das Reziprozitätsgesetz~\Eq{(III)} nicht mehr als richtig zu erweisen,
\PageSep{303}{287}
wenn der entsprechende Beweis für das Jacobische Zeichen
bereits geführt ist.

Beweist man aber jene drei Gleichungen direkt für $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$, so erhält
man damit einen neuen Beweis für das Jacobische Symbol~$\left(\dfrac{Q}{P}\right)$, und
dies soll noch kurz angegeben werden. Dabei kann man sich auf den
Beweis von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} beschränken, da hieraus der Satz~\Eq{(II)} unmittelbar
folgt. In der Tat bestehen ja dann offenbar die Gleichungen:
\begin{align*}%[** TN: Re-broken]
\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\dfrac{Q}{P''}\right\}
  &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2} \left(\efrac{P'-1}{2} + \efrac{P''-1}{2}\right)}
      \left\{\frac{P'}{Q}\right\} \left\{\dfrac{P''}{Q}\right\} \\
  &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} \left\{\dfrac{P'P''}{Q}\right\} \\
  &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}}
       \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\
  &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\}
\end{align*}
und damit ist Satz~\Eq{(II)} mit Hilfe von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} bewiesen.

Zum Beweise von~\Eq{(III)} läßt sich nun jede der $\pi$~Kongruenzen
\[
Qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~P)
\]
genau ebenso, wie dies in \Eq{(7^{a})}~und~\Eq{(7^{b})} \aSeite{275} für den Fall einer
Primzahl~$P$ geschah, in den beiden Formen schreiben:
\[
Qh = \epsilon_{h} h' + sP,\quad
\frac{Qh}{P} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{P} + s,
\]
\dh\ es ist wieder wie \aaO\
\[
\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right)
\]
oder
\[
\Tag{(7)}
Qh \equiv \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right) h'\ (\mod.~P),
\]
weil ja wieder $\epsilon_{h} = ±1$ ist, je nachdem der Bruch $\dfrac{Qh}{P}$ zur ersten
Klasse~$K^{(+)}$ oder zur zweiten~$K^{(-)}$ gehört. Es ist also auch für das
Scheringsche Zeichen:
\PageSep{304}{288}
\[
\Tag{(8)}
\left\{\frac{Q}{P}\right\}
  = \prod_{h=1}^{h=\pi} \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right).
\]
Durch genau dieselben Umformungen, wie sie \aSeite{276} auf dasselbe
Produkt angewendet wurden, in welchem $P$~eine Primzahl war, ergibt
sich, daß auch in diesem allgemeineren Falle:
\[
\Tag{(9)}
\left\{\frac{Q}{P}\right\}
  = \sgn \prod \prod \left(\frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right)
       · \prod \prod \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right)
\]
sein muß; denn bei allen jenen Umformungen wurde ja davon, daß $P$
eine Primzahl sein sollte, niemals Gebrauch gemacht. Aus dieser Darstellung
des Scheringschen Zeichens folgt aber genau wie \aaO\ auch
für dieses das Bestehen des Reziprozitätsgesetzes~\Eq{(III)}.

Es ist also nur noch nötig, die Gültigkeit des Gesetzes~\Eq{(I)}
\[
\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\}
  = \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\}
\]
zu beweisen. Ersetzt man in dieser Gleichung jedes der drei Symbole
durch das ihm gleiche Vorzeichenprodukt~\Eq{(8)}, so ist zu zeigen,
daß stets:
\[
\Tag{(10)}
\prod_{h'=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right)
  · \prod_{h''=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)
  = \prod_{h  =1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h(Q'Q'')}{P}\right)\!\right)
\]
ist. Ich führe diesen Beweis dadurch, daß ich zeige, wie jeder der rechts
stehenden $\pi$~Faktoren gleich dem Produkte von je einem eindeutig
bestimmten Faktor des ersten und zweiten Produktes links ist. In der
Tat, ist $h'$ irgendeine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$, so ist:
\[
h'(Q'Q'')
  = (h'Q')Q'' \equiv h''Q'' \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P),
\]
wo $h''$ durch $h'$ eindeutig in derselben Zahlenreihe bestimmt ist, und da
genau ebenso
\[
h''Q'' \equiv h \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P)
\]
ist, so ergibt sich aus der obigen Kongruenz:
\[
h'Q'Q'' \equiv h · \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right)
                   \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P).
\]
\PageSep{305}{289}
Andererseits besteht aber für dasselbe Produkt~$h'Q'Q''$ die Kongruenz:
\[
h'(Q'Q'') \equiv \bar{h}·\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P);
\]
die beiden rechten Seiten müssen also modulo~$P$ kongruent sein; und,
da $h$~und~$\bar{h}$ beide positiv und kleiner als $\dfrac{P}{2}$ sind, während die beiden
anderen Faktoren nur $±1$ sein können, so muß $h = \bar{h}$ und außerdem
\[
\left(\!\left(\frac{h'Q'   }{P}\right)\!\right)
\left(\!\left(\frac{h'' Q''}{P}\right)\!\right) =
\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right)
\]
sein. Da endlich $h''$ zugleich mit $h'$ die Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ durchläuft,
so folgt aus diesen $\pi$~Gleichungen wirklich das Bestehen von~\Eq{(10)}, \dh\
die Richtigkeit von~\Eq{(I)}.


\Section{§ 6.}{Der Algorithmus zur Bestimmung von~$\sqrt{E}\ (p)$.}

Ist $\left(\dfrac{E}{p}\right) = +1\ (p)$, also $E$~eine Quadratzahl innerhalb~$K(p)$,
so wird die wirkliche Bestimmung von $\sqrt{E}$ im wesentlichen genau so
ausgeführt, wie die Quadratwurzelausziehung aus einem gewöhnlichen
Dezimalbruche in der elementaren Algebra. Man bestimmt nämlich
bei der zu untersuchenden $p$-adischen Einheit
\[
E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\,e_{3}\,e_{4} \dots\ (p)
\]
zuerst, am einfachsten durch Probieren, falls $p$ nicht zu groß ist, sonst
mit Hilfe der Indextafeln auf eine der beiden möglichen Weisen die
erste Ziffer~$x_{0}$, von
\[
\sqrt{E} = x_{0}\MathOrd{,}x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4} \dots\ (p)
\]
so, daß $x_{0}^{2} \equiv e_{0}\ (\mod.~p)$ ist; dann subtrahiere man $x_{0}^{2}$ von~$E$. Bei der
so sich ergebenden Differenz:
\[
\begin{array}{r*{4}{>{\,}l}}
   & e_{0}\MathOrd{,}&e_{1}&e_{2}& \dots \\
-{}& x_{0}^{2} \\
\cline{2-5}
\multicolumn{1}{r|}{2x_{0}}&0\MathOrd{,}&e'_{1}&e'_{2}& \dots\Strut
\end{array}
\]
dividiere man, um die zweite Ziffer~$x_{1}$ zu erhalten, mit~$2x_{0}$ in~$e'_{1}$, suche
\PageSep{306}{290}
also die modulo~$p$ eindeutig bestimmte Zahl~$x_{1}$, für welche $2x_{0} x_{1} \equiv e'_{1}\
(\mod.~p)$ ist und subtrahiere dann $2x_{0} x_{1}p + x_{1}^{2} p^{2}$ von $0\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots$,
subtrahiere also $2x_{0} x_{1}$ von~$e'_{1}$, aber~$x_{1}^{2}$ von~$e'_{2}$. Die sich so ergebende
Differenz:
\[
\begin{array}{*{4}{r}*{4}{@{\,}l}}
 &0, &e'_{1} &      &e'_{2} &e'_{3} &e'_{4}& \dots \\
-&   &2x_{0} &\,x_{1}  &x_{1}^{2} \\
\hline\Strut
 &   &       &      &e''_{2} &e''_{3} &e''_{4}& \dots
\end{array}
\]
behandle man jetzt in genau derselben Weise weiter und setze diese
Operationen so weit fort, als es der Zweck der Aufgabe nötig macht.
Die Methode stimmt also wirklich im wesentlichen mit derjenigen für
die gewöhnliche Quadratwurzelausziehung überein. Ist der eine der
beiden Werte von~$\sqrt{E}$ gefunden, so ergibt sich der andere $-\sqrt{E}$ ohne
weitere Rechnung.

Wie einfach diese Regel ist, mag das folgende Beispiel lehren:
Nach dem ersten Ergänzungssatz enthält ein Körper~$K(p)$ dann\DPtypo{ und}{}
und nur dann die beiden Wurzeln $±i = ±\sqrt{-1}$ der Gleichung
\[
x^{2} = -1\ (p),
\]
wenn $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$, wenn also $p$ von der Form $4n + 1$ ist. Wir wollen
den einen der beiden Werte von~$i$ für den Bereich von~$5$ berechnen und
zur Bestimmung der letzten Stellen von der natürlich auch hier anwendbaren
sog.\ \emph{abgekürzten Division} Gebrauch machen, die aber,
wie man leicht erkennt, hier viel einfacher anzuwenden ist als bei
Dezimalbrüchen. So ergibt sich das folgende an sich verständliche
Schema:
\[
\begin{array}{rc*{11}{>{\,}l}l}
i = \sqrt{-1} =&
  \multicolumn{13}{l}{
    \sqrt{4\MathOrd{,}4\,4\,4\,4\dots}
               = 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\,2\,3\,0\,3\dots\ (5)} \\
&\phantom{\sqrt{}}&
  4 \\
\cline{4-11}\Strut
&&\multicolumn{1}{r<{\,}|}{4}
   &4&4&4&4&\rlap{\dots} \\
&& &4&1& \\
\cline{5-11}\Strut
&& \multicolumn{2}{r<{\,}|}{42}
     &3&4&4&4&4&\rlap{\dots} \\
&& & &3&0&0&1 \\
\cline{6-12}\Strut
&&\multicolumn{3}{r<{\,}|}{424}
       &4&4&3&4&4&4&\rlap{\dots} \\
\PageSep{307}{291}
&&\multicolumn{4}{r}{4}
  &2&4&1&&\null \\
\cline{7-13}
&\multicolumn{5}{r<{\,}|}{4242}
  &2&4&2&4&4&4&\dots\Strut \\
&&&&&
  &2&3&3&3&0&2 \\
\cline{8-13}
&\multicolumn{6}{r<{\,}|}{42421}
    &1&4&0&4&2&\dots\Strut \\
&&&&&
  & &1&1&3&1&1&\dots \\
\cline{9-13}
&\multicolumn{7}{r<{\,}|}{4242}
      &3&2&2&1&\dots \\
&&&&&
  & & &3&0&4&0&\dots \\
\cline{10-13}
&\multicolumn{8}{r<{\,}|}{424}
        &2&3&0&\dots\Strut \\
&&&&&
  & & & &2&3&3&\dots \\
\cline{11-13}
&\multicolumn{9}{r<{\,}|}{4}
          &0&2&\dots\Strut \\
&&&&&
  & & & & &0&2&\dots \\
\cline{12-13}\Strut
&&&&&
  & & & & & &0&\dots
\end{array}
\]

Durch einfaches Quadrieren überzeugt man sich, daß der hier gefundene
Wert von~$i$ wirklich bis zur neunten Stelle nach dem Komma
genau ist. Endlich ist
\[
-i = 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\,2\,1\,4\,1 \dots\ (5).
\]
\PageSep{308}{292}


\Chapter{Zwölftes Kapitel.}
{Die quadratischen Formen.}

\Section{§ 1.}{Der Körper~$K(p_{\infty})$ aller reellen Zahlen.}

Um die arithmetischen oder Teilbarkeitseigenschaften aller rationalen
Zahlen zu untersuchen, stellten wir sie als $p$-adische Zahlen dar, \dh\
wir betrachteten sie als Elemente derjenigen Zahlkörper~$K(p)$, welche
den einzelnen Primzahlen $2$,~$3$,~$5$,~\dots\ entsprechen. Wollen wir dagegen
ihre Größenbeziehungen zueinander ergründen, so müssen wir sie in
dem Bereiche aller reellen (positiven und negativen, rationalen und
irrationalen) Zahlen betrachten. Auch dieser Bereich bildet einen Körper,
wenn wir die Addition und die Multiplikation im gewöhnlichen Sinne
definieren, weil dann die elementaren Rechenoperationen unbeschränkt
und eindeutig anwendbar sind und immer wieder auf reelle Zahlen
führen.

Jede reelle Zahl~$A$ läßt sich stets nach fallenden Potenzen einer
beliebigen Grundzahl $g \geqq 2$, \zB\ $g = 10$, entwickeln; so ist \zB\ für
die Ludolphsche Zahl~$\pi$ und für die Basis~$e$ der natürlichen Logarithmen:
\begin{align*}
\pi &= 3, 1415\dots = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{5}{10^{4}} + \dots \\
  e &= 2, 7182\dots = 2 + \frac{7}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{8}{10^{3}} + \frac{2}{10^{4}} + \dots
\end{align*}
ganz ebenso, wie die Entwicklung einer analytischen Funktion von~$z$
in der Umgebung der unendlich fernen Stelle $(z = \infty)$ nach fallenden
Potenzen von~$z$ oder eines beliebigen Linearfaktors $z - \alpha$ fortschreitet.

Wegen dieser Analogie will ich den Körper aller reellen Größen
durch $K(p_{\infty})$ bezeichnen, und die Darstellung dieser reellen Größen
\PageSep{309}{293}
\index{Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$}%
durch die zugehörigen positiven oder negativen Dezimalbrüche \so{ihre
Darstellung für den Bereich von~$p_{\infty}$} nennen.

Jede reelle von Null verschiedene Zahl~$A$ läßt sich dann auf eine
einzige Weise in der Form
\[
\Tag{(1)}
%[** TN: Increased spacing before (p_{\infty}), cf. elsewhere]
A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty})
\]
darstellen, in welcher $\beta = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $A$ positiv oder
negativ ist, und wo $\gamma$ ebenfalls eine eindeutig bestimmte reelle Zahl
bedeutet. Auch hier soll $\beta$~\so{der Index}, $\gamma$~\so{der Hauptlogarithmus
von~$A$} heißen, und das System
\index{Hauptlogarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}%
\index{Index!einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}%
\[
\Tag{(2)}
\lg\DPtypo{.}{} A = (\beta, \gamma)\quad (p_{\infty})
\]
\so{der Logarithmus von~$A$ für den Bereich von~$p_{\infty}$}
\index{Logarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}%
genannt werden.

Eine Zahl~$A$ heißt \Ord{$\mu$}{-ter}~\so{Potenzrest für den Bereich von~$p_{\infty}$},
\index{Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$}%
wenn die Gleichung:
\[
\Tag{(3)}
x^{\mu} = A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty})
\]
wenigstens eine reelle Wurzel hat. Ist $\mu$ ungerade, so besitzt jene
Gleichung stets eine einzige reelle Lösung; ist dagegen $\mu$ gerade, so hat
sie dann und nur dann und zwar zwei reelle Lösungen, wenn $\beta$ gerade,
wenn also $A$ positiv ist.

Wir nennen speziell $A$ einen \so{quadratischen Rest für den
Bereich von~$p_{\infty}$}, wenn die Gleichung
\index{Quadratische!Reste für~$K(p_{\infty})$}%
\[
\Tag{(4)}
x^{2} = A\quad (p_{\infty})
\]
reelle Wurzeln besitzt, wenn also $\sqrt{A}$ reell ist; ich will auch
hier das Symbol $\left(\dfrac{A}{p_{\infty}}\right)$ gleich $+1$,~$-1$ oder~$0$ setzen, \DPchg{jenachdem}{je nachdem}
$A \neq 0$ ist und jene Gleichung innerhalb $K(p_{\infty})$ lösbar bzw.\ nicht
lösbar ist, oder $A = 0$ ist. Dann besteht also auch für diesen Bereich,
falls $A \neq 0$ ist, die Gleichung:
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{A}{p_{\infty}}\right) = (-1)^{\beta},
\]
\begin{Theorem}[\noindent]
\dh\ eine reelle Zahl~$A$ ist für den Bereich von~$p_{\infty}$ quadratischer
Rest oder quadratischer Nichtrest, je nachdem ihr Index gerade
\PageSep{310}{294}
oder ungerade ist; und auch hier ist die Anzahl aller Wurzeln
von~\Eq{(4)} stets gleich
\[
1 + \left(\frac{A}{p_{\infty}}\right).
\]
\end{Theorem}


\Section{§ 2.}{Die quadratischen Formen und ihre Teiler.}
\index{Teiler!e.\ quadratischen Form}%

Ich wende nun die im vorigen Kapitel gegebene Theorie der quadratischen
Reste an auf eine kurze Untersuchung der quadratischen
Formen für den Bereich einer Primzahl~$p$ bzw.\ von~$p_{\infty}$.

Unter einer \so{quadratischen Form} versteht man jede
\index{Binäre quadratische Formen}%
\index{Ternäre quadratische Formen}%
ganze homogene Funktion zweiten Grades von mehreren Variablen\DPtypo{.}{,}
\[
\Tag{(1)}
f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n})
  = a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots
  + a_{nn} x_{n}^{2},
\]
deren Koeffizienten gewöhnliche rationale Zahlen sind. Nach der Anzahl~$n$
dieser Variablen unterscheidet man \so{binäre}, \so{ternäre},~\dots\ quadratische
Formen, je nachdem $n = 2$,~$3$,~\dots\ ist. Wir werden im
folgenden fast nur binäre oder ternäre Formen zu betrachten haben.

Eine Primzahl~$p$ heißt \so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn
man den Variablen~$x_{i}$ solche nicht sämtlich verschwindende $p$-adische
Zahlwerte $x_{i} = \xi_{i}$ beilegen kann, daß
\[
f(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p)
\]
ist. Ebenso heiße $p_{\infty}$~\so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn die
Gleichung $f(\xi_{1}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p_{\infty})$ durch $n$ nicht sämtlich verschwindende
reelle Zahlen $\xi_{1}$,~\dots~$\xi_{n}$ befriedigt werden kann. Wir wollen das Symbol:
\[
\left(\frac{f(x_{i})}{p}\right) \quad\text{bzw.}\quad
\left(\frac{f(x_{i})}{p_{\infty}}\right)\quad
\text{gleich~$+1$ oder gleich~$-1$}
\]
setzen, je nachdem $p$ bzw.\ $p_{\infty}$ ein Teiler der quadratischen Form
$f(x_{1}, \dots x_{n})$ ist oder nicht. Die Frage, unter welchen Bedingungen
eine gegebene Primzahl~$p$ ein Teiler einer gegebenen Form ist, bildet
den Hauptgegenstand für die folgenden Untersuchungen.

Wir betrachten die zu untersuchende Form~$f(x_{i})$ jetzt für einen der
Körper~$K(p)$ bzw.~$K(p_{\infty})$.
\PageSep{311}{295}

Transformiert man die Variablen~$x_{i}$ in andere $y_{k}$ durch die Substitutionen:
\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen}%
\[
\Tag{(2)}
\begin{alignedat}{3}
x_{1} &= \alpha_{11} y_{1} &&+ \alpha_{12} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{1n} y_{n} \\
x_{2} &= \alpha_{21} y_{1} &&+ \alpha_{22} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{2n} y_{n} \\
\PadTo{x_{n}}{\vdots} \\
x_{n} &= \alpha_{n1} y_{1} &&+ \alpha_{n2} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{nn} y_{n},
\end{alignedat}
\]
in denen die $\alpha_{ik}$ dem betrachteten Körper angehören, so geht
$f(x_{1}, \dots x_{n})$ in eine neue Form
\[
\Tag{(3)}
g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n})
  = b_{11} y_{1}^{2} + 2 b_{12} y_{1} y_{2} + \dots + b_{nn} y_{n}^{2}
\]
über, welche \so{die aus $f(x_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$
transformierte quadratische Form} genannt
wird. Kann man die Gleichungen~\Eq{(2)} nach $y_{1}$,~\dots~$y_{n}$ auflösen, so stellen
sich auch die $y_{i}$ durch die $x_{k}$ in der Form dar:
\[
\Tag{(2^{a})}
\begin{alignedat}{3}
y_{1} &= \alpha'_{11} x_{1} &&+ \alpha'_{12} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{1n} x_{n} \\
y_{2} &= \alpha'_{21} x_{1} &&+ \alpha'_{22} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{2n} x_{n} \\
\PadTo{y_{n}}{\vdots} \\
y_{n} &= \alpha'_{n1} x_{1} &&+ \alpha'_{n2} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{nn} x_{n}.
\end{alignedat}
\]
Alsdann geht nicht nur $f(x_{i})$ in $g(y_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$,
sondern auch umgekehrt $g(y_{i})$ in $f(x_{i})$ durch die sog.\ \so{inverse Substitution~$(a'_{ik})$}
\index{Inverse Substitution}%
über. Zwei solche Formen sollen \so{äquivalent}
genannt werden.

Jedem Wertsysteme $(\xi_{1}, \dots \xi_{n})$ entspricht durch die Gleichungen
\Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} ein einziges System $(\eta_{1}, \dots \eta_{n})$ und umgekehrt; speziell
entspricht dem "`Nullsystem"' $(0, 0, \dots 0)$ der~$x_{i}$ das Nullsystem
$(0, 0, \dots 0)$ der~$y_{i}$ und umgekehrt.

Sind $f(x_{i})$ und $g(y_{i})$ äquivalente Formen, so ist $p$ dann und nur
dann ein Teiler der ersten, wenn $p$ auch ein Teiler der zweiten ist und
umgekehrt; denn ist $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ eine von Null verschiedene Lösung
der Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$, so ist für die transformierte Form und das
zugeordnete, von Null verschiedene System $(\eta_{1}, \eta_{2}, \dots \eta_{n})$\; $g(\eta_{i}) = 0$
und umgekehrt.

Für die Untersuchung, ob eine Form~$f(x_{i})$ einen Teiler~$p$ besitzt,
kann man also statt dieser eine beliebige äquivalente Form zugrunde legen.
\PageSep{312}{296}
Ebenso kann man natürlich die Form mit einer beliebigen, von Null
verschiedenen Zahl~$a$ multiplizieren oder dividieren, da ja $af(\xi_{i})$ dann
und nur dann Null ist, wenn $f(\xi_{i})$ verschwindet.

Unter den umkehrbaren Transformationen, durch welche $f(x_{i})$ in
eine äquivalente Form~$g(y_{i})$ übergeht, hebe ich die nachstehenden einfachsten
hervor, welche im folgenden allein angewendet werden:
\[
\Tag{(I)}
x_{i} = \alpha_{i} y_{i},\quad
y_{i} = \frac{1}{\alpha_{i}} x_{i},\qquad
\begin{Conditions}
(i = 1, 2, \dots n)
\end{Conditions}
\]
wo $\alpha_{1}$,~$\alpha_{2}$,~\dots~$\alpha_{n}$ beliebige von Null verschiedene Zahlen sind;
\[
\Tag{(II)}
x_{1} = y_{1'},\quad
x_{2} = y_{2'},\ \dots\quad
x_{n} = y_{n'},
\]
wo die Zahlen $1'$,~$2'$,~\dots~$n'$ irgendeine Permutation der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$n$
bedeuten. Durch diese Transformation wird nur die Reihenfolge der
Variablen geändert.
\[
\Tag{(III)}
\begin{alignedat}{5}
x_{1} &= y_{1} + ty_{2} &&           && y_{1} &&= x_{1} - tx_{2} \\
x_{i} &=               &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&=               &&\ x_{i}.
\end{alignedat}
\qquad
\begin{Conditions}
(i = 2, 3, \dots n)
\end{Conditions}
\]
Hierdurch geht $f(x_{i})$ über in:
\begin{gather*}
\Tag{(4)}
\begin{gathered}
g(y_{1}, \dots y_{n})
  = a_{11} (y_{1} + ty_{2})^{2} + 2a_{12} (y_{1} + ty_{2}) y_{2} + a_{22} y_{2}^{2} + \dots \\
  = a_{11} y_{1}^{2} + 2(a_{12} + ta_{11}) y_{1}y_{2} + (t^{2} a_{11} + 2ta_{12} + a_{22}) y_{2}^{2} + \dots.
\end{gathered} \\
%
\Tag{(IV)}
\begin{alignedat}{4}
x_{1} &= y_{1} + \alpha y_{2} && && y_{1} &&= \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\
x_{2} &= y_{1} - \alpha y_{2} && && y_{2} &&= \frac{x_{1} - x_{2}}{2\alpha} \\
x_{i} &= &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&= &&\ x_{i}.
\end{alignedat}
\qquad
\begin{Conditions}
(i = 3,\dots n)
\end{Conditions}. %[** TN: Small period in the original]
\end{gather*}

Mit Hilfe dieser umkehrbaren Elementartransformationen ist es
nun stets möglich, die gegebene Form~$f(x_{i})$ durch eine Substitution
mit gewöhnlichen rationalen Zahlkoeffizienten in eine äquivalente Form
\[
\Tag{(5)}
g(y_{i}) = \alpha_{1} y_{1}^{2} + \alpha_{2} y_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} y_{n}^{2}
\]
mit rationalen Koeffizienten zu transformieren, welche nur die Quadrate
der Unbestimmten enthält. Zunächst kann man nämlich $a_{11}$ von
Null verschieden voraussetzen. Denn wäre $a_{11} = 0$, aber etwa der
Koeffizient~$a_{ii}$ von~$x_{i}^{2}$ nicht Null, so führt die Substitution
\PageSep{313}{297}
\[
x_{1} = y_{i}\DPtypo{}{,}\quad
x_{i} = y_{1},\quad
x_{k} = y_{k}\qquad
\begin{Conditions}
(k = 2, \dots n;\ k \neq i)
\end{Conditions}
\]
unsere Form in eine äquivalente:
\[
g(y_{1}, \dots y_{n}) = a_{ii} y_{1}^{2} + \dots
\]
über, deren erstes Element nicht Null ist. Sind aber alle Elemente
$a_{11} = a_{22} = \dots = a_{nn} = 0$, und ist etwa $a_{12} \neq 0$, so liefert die Substitution:
\[
x_{1} = y_{1} + y_{2},\quad
x_{2} = y_{1} - y_{2},\quad
x_{i} = y_{i}\qquad
\begin{Conditions}
(i = 3, 4, \dots n)
\end{Conditions}
\]
eine äquivalente Form
\[
g(y_{1}, \dots y_{n}) = 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots = 2a_{12} y_{1}^{2} - \dots,
\]
welche die verlangte Eigenschaft hat. Wir können somit von vornherein
$a_{11}$ von Null verschieden voraussetzen. Dann können wir aber zunächst
alle Elemente $a_{12}$,~$a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null machen. Ist nämlich $a_{12}$ etwa von
Null verschieden, so liefert die Substitution~\Eq{(III)} für $t = -\dfrac{a_{12}}{a_{11}}$
nach \Eq{(4)} eine äquivalente Form
\[
g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n}) = a_{11} y_{1}^{2} + 0·y_{1} y_{2} + \dots,
\]
und durch entsprechende Substitutionen~\Eq{(III)}
\begin{align*}
y_{1} &= y'_{1} + \tau y'_{3} \\
\DotRow{2}
\end{align*}
können der Reihe nach die anderen Koeffizienten $a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null
gemacht werden.

In der so umgeänderten Form:
\[
h(z_{1}, \dots z_{n})
  = a'_{11} z_{1}^{2} + \sum_{2}^{n} \sum_{2}^{n} a'_{ik} z_{i} z_{k}
\]
kann nun die nach Abspaltung des ersten Gliedes übrig bleibende quadratische
Form von $z_{2}$,~$z_{3}$,~\dots~$z_{n}$ in genau derselben Weise so transformiert
werden, daß auch hier nur das Quadrat der zweiten Variablen übrig
bleibt, vorausgesetzt, daß auch nur eine der Zahlen $a'_{ik} \neq 0$ ist. In derselben
Weise kann man fortfahren, bis die transformierte Form überhaupt
nur die Quadrate der n Variablen enthält. Wir können und wollen
daher die Form~$f(x_{i})$ gleich in dieser Gestalt:
\PageSep{314}{298}
\[
\Tag{(5)}
f(x_{i}) = \alpha_{1} x_{1}^{2} + \alpha_{2} x_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} x_{n}^{2}
\]
gegeben voraussetzen, in welcher die Koeffizienten~$\alpha_{i}$ gewöhnliche rationale
Zahlen sind.

Wir betrachten die Form~\Eq{(5)} jetzt für einen der Körper~$K(p)$ bzw.\
$K(p_{\infty})$ und untersuchen, wann der betreffende Divisor~$p$ oder~$p_{\infty}$ ein
Teiler jener Form ist. Dabei setzen wir der Einfachheit wegen ein für
allemal voraus, daß keine der Zahlen~$\alpha_{i}$ gleich Null ist. Zunächst können
wir von vornherein $\alpha_{1} = 1$ annehmen, da man ja sonst $f$ durch die von
Null verschiedene Konstante~$\alpha_{1}$ dividieren kann. Es sei nun:
\[
\alpha_{i} = \epsilon_{i} a_{i}^{2}\ (p),\qquad
\begin{Conditions}
(i = 2, 3, \dots n)
\end{Conditions}
\]
wo $a_{i}^{2}$ die größte in $\alpha_{i}$ enthaltene Quadratzahl des betreffenden Körpers~$K(p)$
bedeutet, so führt die Transformation:
\[
a_{i} x_{i} = y_{i}
\]
die Form~$f(x_{i})$ über in die äquivalente
\[
\Tag{(5^{a})}
\begin{aligned}
g(y_{i}) &= \sum \alpha_{i} x_{i}^{2} = \sum \epsilon_{i} (a_{i} x_{i})^{2} \\
         &= y_{1}^{2} + \epsilon_{2} y_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} y_{n}^{2},
\end{aligned}
\]
und wir können daher von vornherein alle Koeffizienten~$\alpha_{i}$ als befreit
von ihren quadratischen Faktoren voraussetzen.

Je nachdem nun der betrachtete Bereich $K(p)$,~$K(2)$ oder~$K(p_{\infty})$
ist, kann jede von Null verschiedene Zahl~$\alpha$ in einer der drei Formen:
\[
\Tag{(6)}
\begin{alignedat}{2}
\alpha &= p^{2a+\delta} w^{2b+\epsilon} e^{2c} = p^{\delta} w^{\epsilon} (p^{a} w^{b} e^{c})^{2} &&(p) \\
\alpha &= 2^{2a+\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta+8c} = 2^{\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta} (2^{a} e^{4c})^{2}\quad && (2) \\
\alpha &= (-1)^{\epsilon} (e^{c})^{2} && (p_{\infty})
\end{alignedat}
\]
dargestellt werden, wo $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sein können und wo für
den Bereich von~$2$\; $e^{4\zeta}$~auch durch $5^{\zeta}$ ersetzt werden kann, da sich beide
Zahlen um eine dyadische Quadratzahl unterscheiden. Es ergibt sich
also der Satz:
\begin{Theorem}
Jede quadratische Form mit rationalen Koeffizienten ist für
\index{Reduzierte Form}%[** TN: Original extry points to page 296]
den Bereich $K(p)$,~$K(2)$,~$K(p_{\infty})$ einer sog.\ \so{reduzierten
Form}:
\[
f(x_{i}) = x_{1}^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2}
\]
\PageSep{315}{299}
äquivalent, wo die reduzierten Koeffizienten~$\epsilon$ in den drei unterschiedenen
Fällen bzw.\
\[
\Tag{(7)}
p^{\delta} w^{\epsilon},\quad
2^{\delta} (-1)^{\epsilon} 5^{\zeta},\quad
(-1)^{\epsilon}
\]
sein können, wenn $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sind. Nur diese reduzierten
Formen sind also auf ihre Teiler $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ zu untersuchen.
\end{Theorem}

Zunächst erkennt man, daß eine Form~$f(x_{i})$ dann und nur dann
den Teiler~$p_{\infty}$ besitzt, wenn mindestens einer der Koeffizienten
$\epsilon_{i} = -1$ ist. Ist nämlich \zB\ $\epsilon_{2} = -1$, so besitzt ja die Gleichung
\[
x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{3} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p_{\infty})
\]
die von Null verschiedene Lösung $(1, 1, 0, \dots 0)$. Sind dagegen
alle $\epsilon_{i} = +1$, so hat die Summe:
\[
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots x_{n}^{2} = 0
\]
im Bereiche der reellen Zahlen offenbar nur die Lösung $(0, 0, \dots 0)$.
Die beiden anderen Fälle, wo der Teiler $p$ oder $2$ ist, sollen in den
beiden nächsten Abschnitten für die binären und ternären Formen
genau untersucht werden. Hier werde nur noch eine für das Folgende
wichtige allgemeine Bemerkung angefügt.

Soll die Gleichung:
\[
f(x_{i}) = x_{1} ^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p)
\]
\Errata{m}{im} Körper~$K(p)$ eine Lösung $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ haben, so kann man sie
stets als ganz und mindestens eine der Größen $\xi_{i}$ als Einheit voraussetzen,
denn anderenfalls kann man ja die ganze Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$
durch das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers $d$ von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$
dividieren, wodurch man eine neue Lösung $\dfrac{\xi_{1}}{d}$,~$\dfrac{\xi_{2}}{d}$,~\dots~$\dfrac{\xi_{n}}{d}$ erhält, die
der obigen Forderung entspricht.

Ich wende die bisher gefundenen Resultate noch an auf die Untersuchung
der Frage, welche Primfaktoren die durch eine \emph{ganzzahlige}
quadratische Form darstellbaren ganzen rationalen Zahlen
\[
m = a_{11} \xi_{1}^{2} + 2a_{12} \xi_{1} \xi_{2} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{2}
  = f(\xi_{i})
\]
enthalten können und welche nicht. Ich brauche hier nur die sog.\
\PageSep{316}{300}
\index{Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form}%
\so{eigentlichen}, \dh\ diejenigen ganzzahligen Darstellungen von~$m$ zu
betrachten, bei denen $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ keinen gemeinsamen Teiler haben.
Haben diese Zahlen nämlich den größten gemeinsamen Teiler~$d$, ist
also allgemein $\xi_{1} = d\xi_{1}^{(0)}$ so muß ja $m = d^{2}·m_{0}$ durch $d^{2}$ teilbar
sein, und hier ergibt sich dann die eigentliche Darstellung:
\[
m_{0} = a_{11} \xi_{1}^{(0)2} + 2a_{12} \xi_{1}^{(0)} \xi_{2}^{(0)} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{(0)2}
\]
von $m_{0}$ durch dieselbe Form.

Eine Primzahl~$p$ heiße in einer quadratischen Form $f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n})$
\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen modulo~$p$}%
\so{enthalten}, wenn diese für ein durch $p$ nicht teilbares Wertsystem
$(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ einen durch $p$ teilbaren Wert $m$ besitzt.

Nennen wir auch hier zwei Formen $f(x_{i})$~und~$g(y_{i})$ \so{modulo~$p$
äquivalent}, wenn jede in die andere durch eine modulo~$p$ ganze
Substitution und durch Multiplikation mit einer durch $p$ nicht teilbaren
ganzen Zahl übergeht, so erkennt man genau, wie \aSeite{295} unten,
daß äquivalente Formen dieselben Primzahlen enthalten.


\Section{§ 3.}{Die binären quadratischen Formen und ihre Teiler.}

Auf Grund der vereinfachenden Voraussetzungen über die zu untersuchende
Form, welche wir im vorigen Abschnitte gefunden haben,
können wir nun leicht entscheiden, ob eine binäre oder eine ternäre
quadratische Form einen bestimmten Teiler $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält.
Ist $f$ zunächst eine binäre Form, so können wir sie stets folgendermaßen
gegeben voraussetzen:
\[
\Tag{(1)}
f(x, y) = x^{2} + \epsilon y^{2},
\]
wo $\epsilon$ für ein ungerades $p$ nur die $4$~Werte:
\[
\Tag{(2)}
1,\quad w,\quad p,\quad pw,
\]
für $p = 2$ aber einen der $8$~Werte:
\[
\Tag{(2^{a})}
±1,\quad ±5,\quad ±2,\quad ±2·5
\]
haben kann, während für $p = p_{\infty}$\; $\epsilon = ±1$ ist. Die Gleichung:
\[
x^{2} + \epsilon y^{2} = 0\ (p)
\]
ist nun stets und nur dann erfüllt, wenn
\PageSep{317}{301}
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{x}{y}\right)^{2} = -\epsilon\ (p)
\]
\dh\ $\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = +1$, wenn also $-\epsilon$ eine $p$-adische Quadratzahl ist. Daraus
folgt sofort, daß $p$ sicher kein Teiler der Form~$f(x, y)$ sein kann, wenn~$\epsilon$,
also auch~$-\epsilon$, durch $p$ teilbar, \dh\ keine Einheit ist. Ist aber $\epsilon$~eine
Einheit, so muß für ein ungerades~$p$:
\[
\left(\frac{-\epsilon}{p}\right)
  = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{\epsilon}{p}\right)
  = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{\epsilon}{p}\right)
  = +1,
\]
also $\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}$ sein. Da nun für $\epsilon$ gleich~$1$ bzw.\ $w\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right)$ gleich~$+1$
bzw.\ $-1$ ist, so besitzt von den beiden Formen $x^{2} + y^{2}$ und $x^{2} + wy^{2}$
die erste oder die zweite den Teiler~$p$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder
$4n + 3$ ist, die andere aber nicht.

Für $p = 2$ ist nach dem Satze \aSeite{260} von den acht Werten~\Eq{(2^{a})}
von~$-\epsilon$ allein $-\epsilon = +1$ quadratischer Rest zu~$2$; nur die Form
$x^{2} - y^{2}$ besitzt also den Teiler~$2$. Endlich hat allein die Form $x^{2} - y^{2}$
den Teiler~$p_{\infty}$.

Wir erhalten also den folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Von den für den Bereich $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ reduzierten vier, acht, zwei
binären quadratischen Formen besitzt jedesmal eine einzige den
zugehörigen Teiler, nämlich für ein ungerades $p$ die Form $x^{2} + y^{2}$
oder $x^{2} + wy^{2}$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder $4n + 3$ ist, für $p = 2$
und für $p = p_{\infty}$ jedesmal die Form~$x^{2} - y^{2}$.
\end{Theorem}

Jede binäre quadratische Form\footnote
  {Bei den binären Formen ist es zweckmäßig, den mittleren Koeffizienten
  durch $\Errata{2b}{b}$ zu bezeichnen.}
\[
f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}
\]
kann, falls nicht beide äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ Null sind, wenn
also \zB\ $a \neq 0$ ist, folgendermaßen geschrieben werden:
\[
\Tag{(4)}
4af(x, y) = (2ax + by)^{2} - (b^{2} - 4ac)y^{2} = \xi^{2} - D\eta^{2},
\]
wo
\[
\Tag{(4^{a})}
D = b^{2} - 4ac
\]
\PageSep{318}{302}
\so{die Diskriminante der Form~$f$} genannt wird. Sie geht also
\index{Diskriminante binärer Formen}%
durch die umkehrbare Substitution:
\[
\Tag{(5)}
\begin{alignedat}{4}
 \xi &= 2ax + b&&y,\qquad & x &= \frac{1}{2a} \xi - \frac{b}{2a}&& \eta \\
\eta &=        &&y,       & y &=                                && \eta
\end{alignedat}
\]
und durch Multiplikation mit der von Null verschiedenen Zahl~$4a$ in
die Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ über. Führt man diese in die reduzierte Form
$\bar{\xi}^{2} + \epsilon \bar{\eta}^{2}$ über und beachtet, daß sich dann $+\epsilon$ von~$-D$ nur um eine
Quadratzahl für den betreffenden Bereich unterscheidet, daß also
$\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = \left(\dfrac{D}{p}\right)$ ist, so folgt, daß die ursprüngliche Form dann und nur
dann den Divisor $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält, wenn das zugehörige Symbol
$\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist. In dem vorher ausgeschlossenen Falle $a = c = 0$ gilt
genau dasselbe, denn dann enthält die Form $f(x, y) = bxy$ jede Primzahl~$p$
als Teiler, da sie für $x = 0$, $y \neq 0$ verschwindet; und da in diesem
Falle auch
\[
\left(\frac{D}{p}\right) = \left(\frac{b^{2}}{p}\right) = +1
\]
ist, so bildet dieser Fall keine Ausnahme für unser allgemeines Resultat.
Es gilt also der Satz:
\begin{Theorem}
Für die quadratische Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ besteht
stets die Gleichung:
\[
\Tag{(6)}
\left(\frac{f(x, y)}{p}\right) = \left(\frac{D}{p}\right),
\]
wenn $D = b^{2} - 4ac$ ihre Diskriminante ist.
\end{Theorem}

Es sei nun
\[
f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}
\]
eine binäre quadratische Form, und $p$~eine ungerade Primzahl, welche
weder in ihrer Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ noch zugleich in beiden
äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ enthalten ist. Dann folgt aus den Gleichungen~\Eq{(5)},
daß auch modulo~$p$\; $f(x, y)$~äquivalent der reduzierten Form
$\xi^{2} - D\eta^{2}$ ist; und da die Kongruenz
\PageSep{319}{303}
\[
\xi^{2} - D\eta^{2} \equiv 0\ (\mod.~p)
\]
dann und nur dann eine Lösung außer der selbstverständlichen $\xi \equiv \eta \equiv 0$
besitzt, wenn $\left(\dfrac{\xi}{\eta}\right)^{2} \equiv D\ (\mod.~p)$, wenn also $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist, und da genau
dasselbe gilt, wenn $a \equiv c \equiv 0\ (\mod.~p)$ also $D \equiv bxy\ (\mod.~p)$ ist,
wie ganz ebenso wie a.~vor.~S. bewiesen wird, so ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}
Alle durch eine binäre quadratische Form eigentlich darstellbaren
Zahlen:
\[
m = ax^{2} + bxy + cy^{2}
\]
enthalten außer ev.\ den Teilern der Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ nur
solche ungerade Primzahlen~$p$, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$, aber keine
einzige, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist.
\end{Theorem}
Eine ganze Zahl~$m$ kann daher nur dann durch eine quadratische
Form $f(x, y)$ eigentlich darstellbar sein, wenn sie keine einzige ungerade
Primzahl enthält, zu der $D$ Nichtrest ist.

\begin{Examples}
Beispiele: Ist speziell $b = 0$, so sind in der Form $ax^{2} + cy^{2}$ nur solche
ungerade Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-4ac}{p}\right) = \left(\dfrac{-ac}{p}\right) = +1$
ist. So sind \zB\ durch die Form $x^{2} + y^{2}$ nur solche Zahlen eigentlich
darstellbar, für deren ungerade Primfaktoren $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$ ist, welche
also nur Primfaktoren von der Form $4n + 1$ enthalten. In der Form
$x^{2} + 2y^{2}$ sind außer $2$ nur Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-2}{p}\right) = +1$
ist, welche also nach \Seite{280}~\Eq{(I)} von der Form $8n + 1$ oder $8n + 3$ sind. Die
Form $x^{2} - 2y^{2}$ enthält außer $2$ nur Primteiler, für welche $\left(\dfrac{2}{p}\right) = +1$
ist, welche also von der Form $8n ± 1$ sind. Die Form $x^{2} + 3y^{2}$ stellt
nur Zahlen~$m$ eigentlich dar, für deren ungerade Primfaktoren außer~$3$\;
$\left(\dfrac{-3}{p}\right) = +1$ ist, welche also alle von der Form $6n + 1$ sind,~usw.
\end{Examples}

Diese Sätze geben uns die Möglichkeit, in manchen Fällen den
\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}%
bereits auf \Seite{32} erwähnten Satz wunderbar einfach zu beweisen, daß
in jeder arithmetischen Reihe $ax + b$, wenn $(a, b) = 1$ ist, unendlich
\PageSep{320}{304}
viele Primzahlen enthalten sind; in diesen Fällen kann nämlich der
Beweis dieses allgemeinen Satzes genau ebenso geführt werden, wie in
dem auf \Seite{30} angegebenen Euklidischen Beweise dafür, daß die Anzahl
\emph{aller} Primzahlen unendlich groß ist. Zunächst gebe ich zwei
Fälle dieses Satzes, welche die Theorie der quadratischen Formen noch
nicht voraussetzen:

\begin{Examples}
\Item{\DPchg{1.}{1)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen von der Form~$4n - 1$.

Angenommen nämlich, die Anzahl dieser Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$,~\dots~$p$
sei endlich, und $p$ sei die letzte unter ihnen, so ist die aus ihnen gebildete
Zahl
\[
m = 4(3·7·11· \dots p) - 1
\]
ungerade und von der Form~$4n - 1$; sie muß also mindestens einen
Primfaktor von derselben Form haben, und da sie durch $3$,~$7$,~\dots~$p$
geteilt stets den Rest~$-1$ läßt, so gibt es außer diesen sicher noch weitere
Primzahlen dieser Form; unsere Behauptung ist also bewiesen.

\Item{\DPchg{2.}{2)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$6n - 1$.

Alle Primzahlen außer $3$ haben entweder die Form~$6n + 1$ oder
$6n - 1$. Wäre nun die Anzahl der letzteren endlich und $p$~die letzte
unter ihnen, so wäre wieder die aus ihnen gebildete Zahl
\[
m = 6(5·11·17·23 \dots p) - 1
\]
von derselben Form; sie müßte also mindestens einen Primfaktor~$6n - 1$
haben, und daraus schließen wir genau wie vorher, daß es zum mindesten
eine Primzahl $q = 6n - 1$ geben muß, welche größer als $p$ ist.

\Item{\DPchg{3.}{3)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen $p = 4n + 1$.

Wäre nämlich die Anzahl $5$,~$13$, $17$, $29$,~\dots~$p$ dieser Primzahlen
endlich, und $p$~die letzte, so hätte die Zahl
\[
m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1^{2},
\]
da sie von der Form $x^{2} + y^{2}$ ist, nur Teiler von der Form~$4n + 1$,
und da sie durch die vorher angegebenen nicht teilbar ist, so muß es
außer diesen sicher noch andere geben.

\Item{\DPchg{4.}{4)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$8n + 5$.
\PageSep{321}{305}

Der Beweis wird genau ebenso wie in~\Eq{(3)} geführt: Angenommen, die
Anzahl dieser Primzahlen $5$,~$13$,~\dots~$p$ wäre endlich, und $p$ ihre letzte;
die aus ihnen gebildete Zahl
\[
m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1 = x^{2} + y^{2}
\]
hat nur Teiler von der Form~$4n + 1$; alle ihre Primfaktoren haben also
die Form $8n + 1$ oder~$8n + 5$. Da sie selbst aber offenbar die Form
$8n + 5$ hat, so muß wenigstens einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form
besitzen und von den vorher aufgeführten verschieden sein.
\end{Examples}

Ganz ebenso folgt aus der Betrachtung der Zahl
\[
m = (7·13·19 \dots p)^{2} + 3·1^{2},
\]
welche nach \Seite{303} unten außer $2$ nur Primteiler von der Form
$6n + 1$ hat, daß die Anzahl aller dieser Primzahlen unendlich groß
sein muß. Ist $m = (11·19·43 \dots p)^{2} + 2·1^{2}$, wo in der Klammer
alle Primzahlen der Form $8n + 3$ bis zu einer gewissen $p$ hin stehen,
so hat $m$ nach \Seite{303} nur Primteiler der Formen $8n + 1$ und $8n + 3$;
da sie aber selbst von der letzteren Form ist, so muß auch mindestens
einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form haben. Also ist die Anzahl
aller Primzahlen von der Form $8n + 3$ unendlich groß.

Dasselbe folgt für die Primzahlen $8n - 1$ aus der Betrachtung der
Zahl $m = (7·23 \dots p)^{2} - 2·1^{2}$, welche selbst von der Form $8n - 1$
ist und nach \Seite{303} lauter Primteiler der Form $8n ± 1$ besitzt. Ebenso
zeigt man, daß in der arithmetischen Reihe $12n - 1$ unendlich viele
Primzahlen vorkommen, weil die Zahl $m = (11·23·47·59 \dots p)^{2} - 3·1^{2}$
nach \Seite{281}~III außer $2$ nur Primfaktoren $12n ± 1$ besitzt, und zwar
mindestens einen der zweiten Form haben muß, weil sie offenbar
kongruent~$-2$ modulo~$24$, also von der Form $2(12n - 1)$ ist.

Es gibt unendlich viele Primzahlen $10n - 1$, weil
\[
m = (19·29·59 \dots p)^{2} - 5·1^{2},
\]
wie man nach \Seite{281}~IV leicht erkennt, außer $2$ nur Primfaktoren
$10n ± 1$ hat; und da $m$ selbst von der Form $20n + 1 - 5 = 4(5n - 1)$
ist, so muß $m$ mindestens einen Primfaktor $q = 10n - 1$ besitzen.

Wie bereits \aSeite{30} erwähnt wurde, ist es bis jetzt nicht gelungen,
den soeben in speziellen Fällen behandelten Dirichletschen Satz über die
\PageSep{322}{306}
arithmetische Reihe auf rein arithmetischem Wege ohne analytische
Hilfsmittel zu beweisen. Jedoch läßt sich ein solcher Beweis auch für
die speziellen Reihen $ax + 1$ und $ax - 1$ erbringen, wie Genocchi
Annali di matematica, Ser.~2, Bd.~2, S.~256 zuerst vollständig bewiesen
hat. Neuerdings hat Herr I.~Schur (Sitzungsber.\ d.\ Berl.\ math.\ Ges.\
1912, S.~40) für unendlich viele weitere arithmetische Reihen den gleichen
Beweis elementar geführt, \zB\ für die Reihen:
\[
2^{n} x + (2^{n-1} ± 1),\quad
8ax + (2a + 1),\quad
8ax + (4a + 1),\quad
8ax + (6a + 1),
\]
wo $a$~eine beliebige quadratfreie ungerade Zahl bedeuten kann. Allgemein
beweist er den folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Ist $b^{2} \equiv 1\ (\mod.~a)$, und kennt man mindestens eine Primzahl
der Reihe $ax + b$, die größer als $\dfrac{\phi(a)}{2}$ ist, so kann man elementar
schließen, daß in der Reihe $ax + b$ unendlich viele Primzahlen enthalten
sind.
\end{Theorem}

Wir wollen eine binäre Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ für den
Bereich einer Primzahl~$p$ \so{definit} nennen, wenn sie nur Quadratzahlen
oder nur Nichtquadratzahlen darstellt; sie soll \so{indefinit} heißen,
wenn sie sowohl Quadrate wie Nichtquadrate darstellt. Auch diese
Eigenschaft bleibt offenbar bei einer beliebigen Transformation und bei
der Multiplikation mit irgendeiner Einheit modulo~$p$ ungeändert. Wir
betrachten aber nur den Fall einer \emph{ungeraden} Primzahl~$p$, welche
kein Teiler der Diskriminante~$D$ ist. Dann besteht der Satz:
\begin{Theorem}
Eine ganzzahlige Form $f(x, y)$ enthält eine beliebige, nicht in $D$
aufgehende Primzahl~$p$ entweder als Teiler, oder sie ist für den
Bereich von~$p$ indefinit.
\end{Theorem}

Ich brauche also nur zu zeigen, daß, falls $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist, $f(x, y)$
sowohl Quadrate als Nichtquadrate darstellt, und zwar kann dieser
Beweis für die zu $f(x, y)$ äquivalente Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ geführt werden.
Nehmen wir etwa an, diese Form stellte \zB\ lauter Nichtreste dar, so
erhielte man auch lauter Nichtreste, wenn man $\xi = 1$, $2$,~\dots~$\dfrac{p - 1}{2}$ und
$\eta$ jedesmal gleich~$1$ wählt. Da dann $\xi^{2}$ alle inkongruenten Reste
\PageSep{323}{307}
$a_{1}$,~\dots~$a_{\efrac{p-1}{2}}$ durchläuft, und da alle $\dfrac{p - 1}{2}$ Zahlen $(a_{i} - D)$ offenbar
modulo~$p$ inkongruent sind, so ergeben sich hiernach die $\dfrac{p - 1}{2}$ Kongruenzen:
\[
a_{i} - D \equiv b_{i};\ (\mod.~p),\qquad
\begin{Conditions}
(i = 1, 2, \dots \frac{p - 1}{2})
\end{Conditions}
\]
wo die $a_{i}$ alle Reste, die $b_{i}$ alle Nichtreste sind. Addiert man aber alle
diese Kongruenzen und beachtet, daß nach \Seite{267} oben $\sum a_{i} \equiv \sum b_{i} \equiv 0\
(\mod.~p)$ ist, so würde sich $-D·\dfrac{p - 1}{2} \equiv 0\ (\mod.~p)$ ergeben, was mit
unserer Voraussetzung über~$D$ im Widerspruch steht. Da die Annahme,
die Form stellte lauter Reste dar, genau ebenso als unrichtig
erwiesen wird, so ist unser Satz vollständig bewiesen. Auch für
$p = 3$, wo dieser Beweis nicht gilt, stellt die Form $\xi^{2} + \eta^{2}$ sowohl
$1$ als $2$ dar, ist also indefinit.


\Section{§ 4.}{Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler.}

Ich wende mich jetzt zur Untersuchung der ternären quadratischen
Formen und ihrer Teiler. Nach \Seite{298}~\Eq{(5)} kann ich sie von vornherein
in der Form:
\[
f(x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}
\]
gegeben voraussetzen, wo $a$,~$b$,~$c$ beliebige von Null verschiedene
rationale Zahlen sind. Ich will das \aSeite{294} allgemein definierte
Symbol jetzt auch in der folgenden Form schreiben:
\[
\Tag{(1)}
\left(\frac{f}{p}\right) = \left(\frac{a, b, c}{p}\right):
\]
dasselbe ist also~$±1$, je nachdem die Gleichung $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p)$
eine von Null verschiedene Lösung hat oder nicht.

Wir wollen und können dasselbe Symbol auch gleich~$±1$ annehmen,
je nachdem die Gleichung $f = 0$ eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ hat, in welcher
\emph{alle drei} Zahlen von Null verschieden sind oder nicht. Zwei von ihnen
können offenbar nicht Null sein, ohne daß auch die dritte verschwindet.
Besitzt aber jene Gleichung eine Lösung $(0, \eta, \zeta)$, in welcher eine Unbekannte,
\PageSep{324}{308}
\zB\ $x = 0$ ist, so kann man aus ihr stets eine solche
herleiten, in welcher alle drei Unbekannten von Null verschieden sind.

In der Tat, ist $(\eta, \zeta)$ eine von Null verschiedene Lösung der Gleichung
\[
b\eta^{2} + c\zeta^{2} = 0,
\]
so müssen offenbar beide Größen $\eta$~und~$\zeta$ von Null verschieden sein.
Sollen nun $x$,~$y$,~$z$ so gewählt werden, daß
\[
ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p)
\]
ist, so folgt durch Subtraktion der vorigen Gleichung:
\[
ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) + c(z^{2} - \zeta^{2}) = 0.
\]

Wir setzen nun $z = \zeta$ und suchen dann $x$~und~$y$ so zu bestimmen,
daß
\[
ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) = 0,
\]
daß also:
\[
ax^{2} = b(\eta - y) (\eta + y)
\]
wird. Zu dem Zwecke zerlegen wir $b$ irgendwie in das Produkt $b = b_{1} b_{2}$
von zwei ganzen oder gebrochenen Faktoren und wählen $x$~und~$y$ so, daß
\[
ax = b_{1} (\eta - y),\quad
 x = b_{2} (\eta + y)
\]
ist. Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Division:
\[
a = \frac{b_{1}}{b_{2}}·\frac{\eta - y}{\eta + y}, \quad\text{also}\quad
\frac{\eta - y}{\eta + y} = \gamma,
\]
wo
\[
\gamma = \frac{ab_{2}}{b_{1}} = \frac{ab}{b_{1}^{2}}
\]
gesetzt ist. Wir wählen nun den bis jetzt ganz beliebigen Teiler $b_{1}$ von $b$
nur so, daß $\gamma \neq ±1$ ist. Dann wird $y = \eta \dfrac{1 - \gamma}{1 + \gamma}$ weder Null noch
unendlich, und aus der obigen Gleichung ergeben sich also die Werte
\[
x = 2b_{2} \eta·\frac{1}{1 + \gamma},\quad
y = \eta\Add{·} \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma},\quad
z = \zeta,
\]
welche alle von Null verschieden sind.
\PageSep{325}{309}

Um nun ebenso wie für die binären Formen zu entscheiden, welche
ternären Formeln eine gegebene Primzahl~$p$ enthalten, schreiben wir
auch sie in der reduzierten Form:
\[
\Tag{(1^{a})}
f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2},
\]
wo $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ reduzierte Zahlen sind. Hier unterscheiden wir nun die
beiden Fälle, daß entweder $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten sind, oder daß wenigstens
eine von ihnen durch $p$ teilbar ist. Dann beweise ich zuerst den
folgenden Satz:
\begin{Theorem}
Sind $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ beide Einheiten, so besitzt die Form~$f$, falls $p$
ungerade ist, stets den Teiler~$p$, \dh\ in diesem Falle ist stets
$\left(\dfrac{1, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}}{p}\right) = +1$.
\end{Theorem}

Löst man nämlich die Gleichung $f = 0$ nach $x^{2}$ auf, so folgt aus ihr:
\[
x^{2} = (-\epsilon_{1}) y^{2} + (-\epsilon_{2}) z^{2},
\]
wo auch $(-\epsilon_{1}, -\epsilon_{2})$ Einheiten sind. Nach dem \aSeite{306} bewiesenen
Satze besitzt nun die rechts stehende binäre Form entweder den Teiler~$p$,
oder sie ist indefinit, \dh\ sie stellt sowohl Quadrate als auch Nichtquadrate
dar. In jedem Falle kann man also zwei von Null verschiedene
Zahlen $\eta$~und~$\zeta$ so finden, daß:
\[
(-\epsilon_{1}) \eta^{2} + (-\epsilon_{2}) \zeta^{2} = \xi^{2}
\]
wird, wo $\xi$~eine $p$-adische Zahl ist, welche auch Null sein kann. Hiernach
ist aber
\[
x = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta
\]
eine Lösung unserer Gleichung; die obige Behauptung ist also bewiesen.

Da die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ sich von den reduzierten $1$,~$\epsilon_{1}$,~$\epsilon_{2}$ nur um
Quadratzahlen und einen allen gemeinsamen Faktor unterscheiden, so
kann man den soeben bewiesenen Satz auch in der folgenden allgemeineren
Form aussprechen:
\begin{Theorem}
Ist $p$~eine ungerade Primzahl, so ist
\[
\Tag{(2)}
\left(\frac{a, b, c}{p}\right) = +1,
\]
\PageSep{326}{310}
wenn die Koeffizienten alle von gerader oder alle von ungerader
Ordnung sind.
\end{Theorem}

Fast ebenso einfach kann dieselbe Frage für den Fall $p = 2$ entschieden
werden. Sind auch hier $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten, so haben sie die
Form $(-1)^{\gamma_{i}} 5^{\delta_{i}}$, wo die $\gamma_{i}$~und~$\delta_{i}$ gleich Null oder Eins sein können.
Sind beide Indizes $\gamma_{1} = \gamma_{2} = 0$, so ist $\epsilon_{1} \equiv \epsilon_{2} \equiv 1\ (\mod.~4)$, und für
diesen Modul genügt also $f$ in~\Eq{(1^{a})} der Kongruenz:
\[
f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2}
  \equiv x^{2} + y^{2} + z^{2} \equiv 0\ (\mod.~4).
\]
Da aber ein Quadrat $x^{2}$ kongruent Null oder Eins modulo~$4$ wird, je nachdem
$x$ gerade oder ungerade ist, so kann nur dann $f(x, y, z)$ durch $4$
teilbar sein, wenn $x$,~$y$ und~$z$ alle gerade sind, weil andernfalls $x^{2} + y^{2} + z^{2}$
kongruent $1$,~$2$, oder~$3$ sein würde. Weil jedoch eine dieser Zahlen
nach \Seite{299}
immer als Einheit modulo~$2$, also als ungerade vorausgesetzt
werden kann, so ist bewiesen, daß die Form~$f$ nicht den Teiler
$2$ hat, wenn die Indizes von $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ beide Null sind. Hieraus folgt
wie vorher, daß die allgemeine Form
\[
f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}
\]
den Teiler $2$ nicht enthält, wenn $a$,~$b$,~$c$ alle gerade oder alle ungerade
Ordnungszahlen und außerdem alle den gleichen Index haben.

Haben dagegen $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ nicht beide den Index Null, haben also
$a$,~$b$,~$c$ nicht alle denselben Index, aber alle gerade oder alle ungerade
Ordnungszahlen, so ist $2$ stets ein Teiler der Form~$f$. In der Tat kann
man dann immer voraussetzen, daß die Koeffizienten $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ weder
\emph{beide} die Einheitswurzel~$(-1)$ noch auch \emph{beide} den Faktor~$5$ enthalten;
denn wäre dies der Fall, so könnte man $f$ mit~$-1$ bzw.\ mit~$5$ multiplizieren,
und man erhielte so eine äquivalente Form, welche unserer
letzten Forderung genügte. Dann können aber die reduzierten Formen
eventuell durch Vertauschung der Variablen und durch Multiplikation
mit~$-1$ auf eine der drei Formen:
\begin{align*}
&x^{2} + y^{2} - 5z^{2} \\
&x^{2} - y^{2} + 5z^{2} \\
&x^{2} - y^{2} + z^{2}
\end{align*}
gebracht werden, welche alle den Teiler $2$ enthalten, da die erste durch
\PageSep{327}{311}
das Wertsystem $(1, 2, 1)$, die beiden letzten durch $(1, 1, 0)$ zu Null
gemacht werden. Geht man wieder von der reduzierten zur ursprünglichen
Form über, so kann man dieses Resultat in dem folgenden Satz
aussprechen:
\begin{Theorem}
Sind die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ alle von gerader oder alle von
ungerader Ordnung, so ist stets und nur dann:
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{a, b, c}{2}\right) = -1,
\]
wenn diese drei Zahlen gleiche Indizes besitzen, wenn also ihre
ungeraden Bestandteile $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ modulo~$4$ kongruent sind.
\end{Theorem}

Sind zweitens für eine beliebige Primzahl~$p$ nicht alle Koeffizienten
$a$,~$b$,~$c$ von gerader bzw.\ von ungerader Ordnung, so kann man stets voraussetzen,
daß einer von ihnen, etwa~$c$, von ungerader, die beiden anderen,
$a$~und~$b$, von gerader Ordnung sind, da ja im entgegengesetzten Falle die
Form~$pf$ dieser Forderung genügen würde. Daher kann man in diesem
Falle die zugehörige reduzierte Form~$f$ in der Gestalt
\[
f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}
\]
voraussetzen, wo $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ wieder Einheiten sind. Besitzt dann die
Gleichung $f = 0\ (p)$ überhaupt eine von Null verschiedene Lösung, so
hat sie, wie \Seite{299} bewiesen wurde, auch eine solche $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, bei welcher
diese Zahlen ganz sind und wenigstens eine von ihnen eine Einheit
ist. Hier sehen wir, daß dann $\xi$~und~$\eta$ beide Einheiten sein müssen,
denn enthielte etwa $\xi$ die Primzahl~$p$, so würde aus der Gleichung:
\[
\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2} + p \epsilon_{2} \zeta^{2} = 0\ (p)
\]
folgen, daß auch $\eta$ durch $p$ teilbar wäre, und dann müßte dasselbe für
$\zeta$ gelten, da die beiden ersten Summanden durch $p^{2}$ teilbar wären.
Nimmt man nun zunächst $p$ als irgendeine ungerade Primzahl an und
betrachtet unter dieser Voraussetzung die obige Gleichung als Kongruenz
modulo~$p$, so ergibt sich:
\begin{align*}
\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2}   &\equiv 0\ (\mod.~p) \\
\left(\frac{\xi}{\eta}\right)^{2} &\equiv -\epsilon_{1}\ (\mod.~p),
\end{align*}
\dh\ es muß dann notwendig $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ sein. Ist aber diese Bedingung
\PageSep{328}{312}
erfüllt, so ist nach dem \aSeite{301} bewiesenen Satze $p$ ein Teiler der
Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2}$, also auch der Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$; denn besitzt
die erste die Lösung $(\xi, \eta)$, so hat ja die letzte die Lösung $(\xi, \eta, 0)$.

\begin{Theorem}
Die reduzierte quadratische Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$ besitzt
also stets und nur dann den Teiler~$p$, wenn $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ ist.
\end{Theorem}
Hieraus folgt genau wie vorher der allgemeine Satz:
\begin{Theorem}
Sind die Koeffizienten der Form $ax^{2} + by^{2} + c\DPtypo{x}{z}^{2}$ nicht alle
von gerader oder nicht alle von ungerader Ordnung in bezug auf
die ungerade Primzahl~$p$, so besitzt diese dann und nur dann
den Teiler~$p$, wenn
\[
\Tag{(4)}
\left(\frac{-ab}{p}\right) = +1
\]
ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Elemente sind, welche modulo~$2$ kongruente
Ordnungszahlen haben.
\end{Theorem}

Haben etwa $a$~und~$c$ modulo~$2$ inkongruente Ordnungszahlen, so
ist ja sicher $-ac$ Nichtquadratzahl, weil dieses Produkt von ungerader
Ordnung ist. Man kann daher dasselbe Resultat in der folgenden symmetrischen
Form aussprechen:
\begin{Theorem}
Sind $a$,~$b$,~$c$ nicht alle von gerader bzw.\ nicht alle von ungerader
Ordnung, so ist die ungerade Primzahl~$p$ dann und nur dann ein
Teiler von~$f$, wenn wenigstens eines der drei Symbole:
\[
\Tag{(4^{a})}
\left(\frac{-ab}{p}\right),\quad
\left(\frac{-bc}{p}\right),\quad
\left(\frac{-ca}{p}\right)
\]
gleich $+1$ ist.
\end{Theorem}

Ich untersuche endlich, unter welchen Bedingungen die entsprechende
für den Bereich von~$2$ reduzierte Form den Teiler $2$ hat, wann also die
Gleichung
\[
f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2} =0\ (2)
\]
eine Lösung besitzt. Dann muß sie auch hier eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ haben,
in welcher $\xi$~und~$\eta$ beide ungerade sind. Da dann aber
\[
-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2}) = \xi^{2}
\]
\PageSep{329}{313}
sein muß, so besitzt $f$ dann und nur dann den Teiler~$2$, wenn eine Einheit~$\eta$
und eine gerade oder ungerade Zahl~$\zeta$ so gewählt werden können, daß
$-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2})$ von der Form $8n + 1$ ist. Dann ist jedoch
\[
\eta^{2} \equiv 1,\quad
2\zeta^{2} \equiv 2 \text{ oder } 0\ (\mod.~8),
\]
je nachdem $\zeta$ ungerade oder gerade ist; also ist unsere Bedingung dann
und nur dann erfüllt, wenn entweder $1 + \epsilon_{1}$ oder $1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ durch
$8$ teilbar ist. Diese beiden Bedingungen können wir auch in die eine
zusammenziehen, daß
\[
\frac{(1 + \epsilon_{1}) (1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2})}{8}
\]
eine gerade Zahl sein muß. In der Tat ist jener Quotient stets eine ganze
Zahl, da sich die beiden geraden Faktoren des Zählers um das Doppelte~$2\epsilon_{2}$
einer \emph{ungeraden} Zahl unterscheiden. Daher muß einer dieser beiden Faktoren
durch eine höhere als die erste Potenz von~$2$ teilbar sein; der andere
ist dann genau durch $2$ teilbar. Ist also jener eine Faktor genau durch
$4$ teilbar, so enthält der ganze Zähler genau~$8$, der Bruch ist also ungerade,
ist dagegen jener Faktor mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Bruch
gerade; unsere Behauptung ist also bewiesen.

Hiernach können wir das Ergebnis unserer Untersuchung in der
Gleichung:
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{1, \epsilon_{1}, 2\epsilon_{2}}{2}\right)
  = (-1)^{\efrac{(1+\epsilon_{1}) (1+\epsilon_{1}+2\epsilon_{2})}{8}}
\]
aussprechen oder auch in dem Satze:
\begin{Theorem}
Die Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2}$ enthält dann und nur dann den
Teiler~$2$, wenn $\epsilon_{1}$ oder $\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ von der Form $8n - 1$ ist.
\end{Theorem}

Betrachten wir auch hier den allgemeinsten Fall, daß in der Form
\[
f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2)
\]
die Ordnungszahlen von $a$,~$b$,~$c$ nicht alle modulo~$2$ kongruent sind,
so können wir event.\ durch Multiplikation mit~$2$ und Vertauschung
der Variablen erreichen, daß $a$~und~$b$ von gerader, $c$~von ungerader
Ordnung in bezug auf~$2$ ist. Sind dann $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen
Einheiten, so ist $f$~äquivalent $a_{0} x^{2} + b_{0} y^{2} + 2c_{0} z^{2}$, also auch äquivalent
\PageSep{330}{314}
\[
x^{2} + \frac{b_{0}}{a_{0}} y^{2} + 2\frac{c_{0}}{a_{0}} z^{2};
\]
ersetzt man also in~\Eq{(5)} $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ durch $\dfrac{b_{0}}{a_{0}}$~und~$\dfrac{c_{0}}{a_{0}}$ und multipliziert
im Exponenten von~$-1$ mit der ungeraden Zahl~$a_{0}^{2}$, so ergibt sich die
allgemeine Gleichung:
\[
\Tag{(5^{a})}
\left(\frac{a, b, c}{2}\right)
  = (-1)^{\efrac{(a_{0}+b_{0}) (a_{0}+b_{0}+2c_{0})}{8}},
\]
\dh\ es gilt hier der Satz:
\begin{Theorem}
Sind in der ternären Form $f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2)$ die Ordnungszahlen
der drei Koeffizienten nicht alle kongruent modulo~$2$,
und sind $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen Einheiten, so besitzt $f$
stets und nur dann den Teiler~$2$, wenn entweder $a_{0} + b_{0}$ oder
$a_{0} + b_{0} + 2c_{0}$ durch $8$ teilbar ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Koeffizienten
bedeuten, deren Ordnungszahlen modulo~$2$ kongruent sind.
\end{Theorem}


\Section{§ 5.}{Die Darstellung der $p$-adischen Zahlen durch die binären
Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine
Dekompositionssatz.}

Ich benutze die für die ternären Formen hergeleiteten Sätze jetzt,
\index{Hauptform, binäre}%
um die Frage nach der Darstellbarkeit einer gegebenen $p$-adischen Zahl~$e$
durch die \sg\ binäre \so{Hauptform} einer gegebenen Determinante~$d$
\[
x^{2} - dy^{2}
\]
vollständig zu lösen. Ersetzt man in der Gleichung:
\[
\Tag{(1)}
e = x^{2} - dy^{2}\ (p)
\]
$x$~und~$y$ durch $\dfrac{x}{z}$~und~$\dfrac{y}{z}$, so erkennt man ohne weiteres, daß diese
Gleichung dann und nur dann eine Lösung hat, wenn dasselbe für die
homogene Gleichung:
\[
\Tag{(1^{a})}
f(x, y, z) = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2} = 0\ (p)
\]
\PageSep{331}{315}
gilt, wenn also die ternäre quadratische Form~$f(x, y, z)$ den Teiler~$p$
besitzt oder $\left(\dfrac{-1,d,e}{p}\right) = +1$ ist.

Indem wir eine von Hilbert herrührende Bezeichnung erweitern,
wollen wir das Symbol
\[
\Tag{(2)}
\left(\frac{d, e}{p}\right) \quad\text{gleich}\quad \text{$+1$~oder~$-1$}
\]
setzen, je nachdem $e$ durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ für den Bereich von~$p$
darstellbar ist, oder nicht, und zwar soll diese Bezeichnung gelten,
sowohl wenn $p$~eine Primzahl, als auch wenn $p = p_{\infty}$ ist. Dann ergibt
sich aus der soeben durchgeführten Betrachtung für dieses Symbol
die Gleichung:
\[
\Tag{(2^{a})}
\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right),
\]
und da wir dieses letztere in jedem Falle zu finden gelernt haben,
so ist das Hilbertsche Symbol damit auch vollständig bestimmt.
\index{Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$}%

Ist zunächst $p = p_{\infty}$, so ist nach \Seite{299}:
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right)
  = \left(\frac{-1, d, e}{p_{\infty}}\right)
  = +1 \text{ oder } -1,
\]
je nachdem wenigstens eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist, oder
beide negativ sind. Im ersten Falle ist, wie man auch direkt sieht,
die Gleichung $e = x^{2} - dy^{2}$ in reellen Zahlen lösbar, im letzten nicht.
Also besteht hier die einfache Gleichung:
\[
\Tag{(3^{a})}
\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right)
  = -1^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn e-1}{2}};
\]
denn der rechts stehende Exponent ist ja stets und nur dann gleich~$1$,
wenn $d$~und~$e$ beide negativ sind, sonst aber immer gleich Null.

Hieraus folgt sofort, daß für den Bereich von~$p_{\infty}$ stets die Dekompositionsgleichung
gilt:
\[
\Tag{(4)}
\left(\frac{d, ee_{1}}{p_{\infty}}\right)
  = \left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{d, e_{1}}{p_{\infty}}\right);
\]
denn nach \Eq{(3^{a})} entspricht sie der Gleichung:
\PageSep{332}{316}
\[
(-1)^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn (ee_{1})-1}{2}}
  = (-1)^{\left(\efrac{\sgn e-1}{2}+\efrac{\sgn e_{1}-1}{2}\right) \efrac{\sgn d-1}{2}},
\]
welche ja nach \Seite{283}~\Eq{(3)} richtig ist.

Ist ferner $p$ eine \emph{ungerade} Primzahl, so ergeben sich durch Anwendung
der Resultate des vorigen Paragraphen sofort die folgenden Sätze:
\begin{Theorem}
Sind $d$ und $e$ beide durch eine gerade Potenz der ungeraden
Primzahl~$p$ teilbar, so ist stets:
\[
\Tag{(5)}
\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{p}\right) = +1,
\]
wenn $d_{0}$ und $e_{0}$ hier wie stets im folgenden die zu $d$~und~$e$ gehörigen
Einheiten bedeuten, \dh\ in diesem Falle ist $e$ immer
durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ darstellbar.
\end{Theorem}
In der Tat ist ja unter diesen Voraussetzungen das Symbol $\left(\dfrac{-1, d, e}{p}\right)$
nach dem Satze \Eq{(2)}~\aSeite{309} gleich~$+1$.

Es seien jetzt zweitens $d$~und~$e$ nicht beide von gerader Ordnung.
Dann kann eine dieser Zahlen oder auch beide von ungerader Ordnung
sein. Wegen der stets bestehenden Gleichung:
\[
\Tag{(6)}
\left(\frac{e, d}{p}\right) = \left(\frac{d, e}{p}\right)
\]
ist es gleichgültig, welche von beiden Zahlen von ungerader, welche von
gerader Ordnung angenommen wird; wir wollen im folgenden immer
voraussetzen, daß, falls nur eine der beiden Zahlen von ungerader
Ordnung ist, dieses $e$ sein soll.

Ist nun erstens nur $e$ von ungerader Ordnung, so ist nach dem
\aSeite{312}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze:
\[
\Tag{(7)}
\left(\frac{d, e}{p}\right)
  = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right)
  = \left(\frac{-1, d_{0}, pe_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{d_{0}}{p}\right).
\]

Sind dagegen $d$~und~$e$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach
demselben Satze:
\[
\Tag{(8)}
\left(\frac{d, e}{p}\right)
  = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right)
  = \left(\frac{-1, pd_{0}, pe_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)\DPtypo{}{.}
\]
\PageSep{333}{317}

Wir können das bisher gefundene Ergebnis in dem folgenden
Satze zusammenfassen:
\begin{Theorem}
Ist $p$ eine ungerade Primzahl, so ist das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$
gleich~$1$, $\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, $\left(\dfrac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)$, je nachdem von den beiden Zahlen $d$
und~$e$ keine, eine, nämlich~$e$, oder jede von ungerader Ordnung
in bezug auf~$p$ \Errata{sind}{ist}.
\end{Theorem}

Ist endlich $p = 2$, und sind zuerst $d$~und~$e$ beide durch eine gerade
Potenz von~$2$ teilbar, so ist nach dem Satze \Eq{(3)}~\aSeite{311}\DPchg{.}{}
\[
\left(\frac{d, e}{2}\right)
  = \left(\frac{-1, d, e}{2}\right)
  = \left(\frac{-1, d_{0}, e_{0}}{2}\right)
\]
dann und nur dann gleich~$-1$, wenn $-1$,~$d_{0}$,~$e_{0}$ modulo~$4$ kongruent,
wenn also $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n - 1$ sind. Hieraus
ergibt sich der Satz:
\begin{Theorem}%[** TN: Theorem indentation not present in the original]
Sind $d$ und $e$ modulo~$2$ beide von gerader Ordnung, so ist stets
\[
\Tag{(9)}
\left(\frac{d, e}{2}\right)
  = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right)
  = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}},
\]
denn der rechts stehende Exponent ist ja dann und nur dann ungerade,
wenn $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n + 3$ sind.
\end{Theorem}

Ist zweitens $e$ von ungerader, $d$~aber von gerader Ordnung,
so ist nach \Eq{(5^{a})}~\aSeite{314}:
\[
\Tag{(10)}
\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original]
\left(\frac{d, e}{2}\right)
  &= \left(\frac{d_{0}, 2e_{0}}{2}\right)
   = \left(\frac{-1, d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) \\
  &= (-1)^{\efrac{(d_{0}-1)(d_{0}+2e_{0}-1)}{8}}
   = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\
  &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right).
\end{aligned}
\]
Sind endlich $d_{0}$ und $e_{0}$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach
demselben Satze und nach \Eq{(4)}~\aSeite{284}:
\[
\Tag{(11)}
\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original]
\left(\frac{d, e}{2}\right)
  &= \left(\frac{2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right)
   = \left(\frac{-1, 2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right)\DPchg{=}{} \\
  &= (-1)^{\efrac{(d_{0}+e_{0})(d_{0}+e_{0}-2)}{8}}
   = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{e_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\
  &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right)\! \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right).
\end{aligned}
\]
\PageSep{334}{318}

Wir können das Ergebnis dieser letzten Betrachtung in dem folgenden
einfachen Satze aussprechen:
\begin{Theorem}
Das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{2}\right)$ ist gleich
\[
\Tag{(11^{a})}
\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right),\quad
\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad
\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right)
\]
je nachdem von den beiden Zahlen $d$~und~$e$ keine, eine, nämlich $e$
oder jede von ungerader Ordnung in bezug auf~$2$ ist; und hier ist
\[
\Tag{(11^{b})}
\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}}\DPtypo{}{.}
\]
\end{Theorem}

Mit Hilfe dieser Sätze beweise ich nun sehr leicht den folgenden
\index{Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol}%
Hauptsatz über die Zerlegung des Hilbertschen Symboles:
\begin{Theorem}
Wie auch die Zahlen $d$,~$e$,~$e'$ beschaffen sein mögen, immer
besteht für jeden Bereich~$K(p)$ die Gleichung:
\[
\Tag{(12)}
\left(\frac{d, ee'}{p}\right)
  = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right),
\]
neben welcher, wegen der Symmetrie jenes Symboles, dann
natürlich auch die andere gilt:
\[
\Tag{(12^{a})}
\left(\frac{dd', e}{p}\right)
  = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d', e}{p}\right).
\]
\end{Theorem}

Diese Sätze sind nur ein anderer Ausdruck des folgenden schönen
und einfachen Theorems:
\begin{Theorem}
Sind $e$,~$e'$,~$e''$ drei beliebige Zahlen, für welche
\[
ee'e'' = 1\ (p)
\]
ist, so besteht immer die Gleichung:
\[
\Tag{(13)}
\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right) \left(\frac{d, e''}{p}\right) = 1.
\]
\end{Theorem}

In der Tat folgt ja aus dieser Gleichung durch Multiplikation mit
$\left(\dfrac{d, e''}{p}\right)$:
\PageSep{335}{319}
\[
\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right)
  = \left(\frac{d, e''}{p}\right)
  = \raisebox{1ex}{\Bigg(}
      \frac{d, \dfrac{1}{ee'}}{p}
    \raisebox{1ex}{\Bigg)}
  = \raisebox{1ex}{\Bigg(}
      \frac{d, \dfrac{(ee')^{2}}{ee'}}{p}
    \raisebox{1ex}{\Bigg)}
  = \left(\frac{d, ee'}{p}\right).
\]
Umgekehrt folgt durch zweimalige Anwendung von~\Eq{(12)}
\[
\left(\frac{d, e}{p}\right)
\left(\frac{d, e'}{p}\right)
\left(\frac{d, e''}{p}\right)
  = \left(\frac{d, ee'e''}{p}\right)
  = \left(\frac{d, 1}{p}\right) = +1;
\]
denn das letzte Symbol ist~$+1$, da die Gleichung $-x^{2} + dy^{2} + z^{2} = 0$
immer die Lösung $(1, 0, 1)$ hat.

Nur die Richtigkeit von~\Eq{(13)} brauchen wir also zu beweisen.
Dabei müssen wir die Fälle unterscheiden, daß $d$~und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader
oder von ungerader Ordnung in bezug auf $p$ sind. Ich bemerke
nun zunächst, daß von den drei Faktoren $e$,~$e'$,~$e''$ entweder keiner oder
zwei von ungerader Ordnung sind, da ihr Produkt gleich~$1$ ist.

Es sei nun $p$ zuerst eine \emph{ungerade} Primzahl; ist dann $d$ von gerader
Ordnung, und nehmen wir zunächst $e$,~$e'$,~$e''$ alle ebenfalls von
gerader Ordnung an, so ist unsere Gleichung richtig, denn nach \Eq{(5)}
geht sie dann über in
\[
\Tag{(14)}
(+1)(+1)(+1) = +1;
\]
ist dagegen unter der gleichen Voraussetzung über~$d$\; $e$~von gerader,
aber $e'$~und~$e''$ beide von ungerader Ordnung, so wird in unserer Gleichung
das zweite und dritte Symbol nach \Eq{(7)}~\aSeite{316} gleich~$\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, dieselbe
wird hier also:
\[
\Tag{(14^{a})}
(+1) \left(\frac{d_{0}}{p}\right) \left(\frac{d_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{d_{0}^{2}}{p}\right) = +1.
\]

Ist ferner $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ aber von gerader Ordnung,
so geht \Eq{(13)} nach demselben Satze über in
\[
\Tag{(14^{b})}
\left(\frac{e_{0}}{p}\right)
\left(\frac{e'_{0}}{p}\right)
\left(\frac{e''_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{1}{p}\right) = 1;
\]
und wenn endlich $d$ wieder von ungerader Ordnung ist, während $e$ von
gerader, $e'$~und~$e''$ von ungerader Ordnung vorausgesetzt werden, so ergibt
die Anwendung von \Eq{(8)}~\aSeite{316} auf die zu untersuchende Gleichung:
\[
\Tag{(14^{c})}
\left(\frac{e_{0}}{p}\right)
\left(\frac{-e'_{0}d_{0}}{p}\right)
\left(\frac{-e''_{0}d_{0}}{p}\right)
  = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}·d_{0}^{2}}{p}\right) = +1,
\]
\PageSep{336}{320}
und damit ist unsere Behauptung für eine beliebige ungerade Primzahl~$p$
vollständig bewiesen.

Zweitens sei $p = 2$. Dann enthält nach \Eq{(11^{a})}~und~\Eq{(11^{b})} die linke
Seite von~\Eq{(13)} als ersten Bestandteil das Produkt:
\begin{align*} %[** TN: Not aligned in the original]
\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right)
\left(\frac{d_{0}, e'_{0}}{2}\right)
\left(\frac{d_{0}, e''_{0}}{2}\right)
  &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}
            \left(\efrac{e_{0}-1}{2}+\efrac{e'_{0}-1}{2}+\efrac{e''_{0}-1}{2}\right)} \\
  &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}\, \efrac{e_{0} e'_{0} e''_{0}-1}{2}} = +1,
\end{align*}
da ja auch das Produkt der zu $e$,~$e'$,~$e''$ gehörigen Einheiten gleich~$1$ ist.
Wir haben also nur zu zeigen, daß das Produkt der in~\Eq{(13)} noch hinzutretenden
Zusatzfaktoren:
\[
\Tag{(15)}
1,\quad \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right)
\]
für sich ebenfalls gleich~$+1$ ist. Dieser letzte Beweis stimmt aber
wörtlich mit dem vorher für ein ungerades $p$ geführten überein, denn
hier waren die Werte der in~\Eq{(13)} überhaupt auftretenden Symbole in
denselben Fällen:
\[
\Tag{(15^{a})}
1,\quad \left(\frac{d_{0}}{p}\right),\quad \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right),
\]
und da für die Multiplikation der in~\Eq{(15^{a})} stehenden Symbole genau
dieselben Sätze bestehen wie für die in~\Eq{(15)} aufgeführten, so ergibt
sich auch hier die Richtigkeit unserer Gleichung in den vier unterschiedenen
Fällen. Wir erhalten nämlich als das Produkt der Zusatzfaktoren,
genau wie in \Eq{(14)},~\Eq{(14^{a})},~\Eq{(14^{b})} und~\Eq{(14^{c})}, für:
\begin{Theorem}
\Item{1.} $d$ von gerader und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung:
\[
\Tag{(16)}
(+1)(+1)(+1) = +1.
\]

\Item{2.} $d$ von gerader, $e$ von gerader, $e'$,~$e''$ von ungerader Ordnung:
\[
\Tag{(16^{a})}
(+1) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) = +1.
\]

\Item{3.} $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung:
\[
\Tag{(16^{b})}
\left(\frac{2}{e_{0}}\right) \left(\frac{2}{e'_{0}}\right) \left(\frac{2}{e''_{0}}\right) = +1.
\]
\PageSep{337}{321}

\Item{4.} $d$ von ungerader, $e$ von gerader, $e'$~und~$e''$ aber von ungerader
Ordnung:
\[
\left(\frac{2}{e_{0}}\right)
\left(\frac{2}{e'_{0} d_{0}}\right)
\left(\frac{2}{e''_{0} d_{0}}\right) = +1.
\]
\end{Theorem}

Da wir die Richtigkeit von~\Eq{(12)} für den Bereich von~$p_{\infty}$ schon
\aSeite{315} in~\Eq{(4)} bewiesen hatten, so ist die Gültigkeit der Dekompositionsgleichung~\Eq{(13)}
für die Bereiche von $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ vollständig dargetan.


\Section{§ 6.}{Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären
quadratischen Formen.}

Wir sind jetzt imstande, einen Fundamentalsatz in der Theorie der
\index{Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen}%
ternären quadratischen Formen zu beweisen, welcher das Reziprozitätsgesetz
nebst seinen Ergänzungssätzen als speziellen Fall enthält, und
der für die Theorie der quadratischen Zahlkörper eine der wichtigsten
Grundlagen bildet. Außerdem zeigt er den engen Zusammenhang
zwischen den Bereichen $K(2)$,~$K(p)$,~$K(p_{\infty})$, welche hier zum ersten
Male in die Arithmetik eingeführt worden sind. Dieser Satz läßt sich
folgendermaßen aussprechen:
\begin{Theorem}
Jede ternäre quadratische Form:
\[
f(x_{1}, x_{2}, x_{3})
  = a_{11} x_{1}^{2} + 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots + a_{33} x_{3}^{2}
\]
mit rationalen Zahlkoeffizienten besitzt stets eine endliche, und
zwar eine gerade Anzahl von Nichtteilern. Oder, was dasselbe
ist: das auf alle Stellen $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ erstreckte Produkt
\[
\prod_{(p)} \left(\frac{f(x_{1}, x_{2}, x_{3})}{p}\right)
\]
ist stets gleich~$+1$.
\end{Theorem}

Beim Beweise dieses Satzes können wir die Form~$f$ durch eine umkehrbare
Transformation und durch Multiplikation mit einer von Null
verschiedenen rationalen Zahl auf die Form
\[
f = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2}
\]
\PageSep{338}{322}
transformiert annehmen, deren Koeffizienten $d$~und~$e$ ganze rationale
Zahlen sind. Dann ist also nur zu zeigen, daß das Produkt:
\[
\prod_{(p)} \left(\frac{d, e}{p}\right) = +1
\]
ist. Dabei bemerke ich zunächst, daß in diesem Produkte sicher alle
diejenigen Faktoren gleich~$+1$ sind, also fortgelassen werden können,
in welchen $p$ ungerade und weder in~$d$ noch in~$e$ enthalten ist. Es
kommen also jedesmal nur endlich viele Faktoren überhaupt in Betracht,
nämlich die ungeraden Primfaktoren von $d$~oder~$e$ und außerdem
eventuell $2$~und~$p_{\infty}$.

Der Beweis dieses Satzes beruht allein auf dem vorher behandelten
Zerlegungssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$. Ist nämlich $d = d_{1} d_{2}$ irgendeine
Zerlegung von~$d$ in zwei ganzzahlige Faktoren, von denen einer auch
$-1$ sein kann, so ist ja:
\[
\prod_{(p)} \left(\frac{d_{1} d_{2}, e}{p}\right)
  = \prod_{(p)} \left(\frac{d_{1}, e}{p}\right)
  · \prod_{(p)} \left(\frac{d_{2}, e}{p}\right).
\]
Unser Satz ist also für $d = d_{1} d_{2}$ bewiesen, wenn seine Richtigkeit für
$d = d_{1}$ und $d = d_{2}$ feststeht. Da man nun sowohl $d$ als auch $e$ so lange
zerlegen kann, bis alle Faktoren entweder Primzahlen oder~$-1$ geworden
sind, so erkennt man, daß der Satz für jedes System~$(d, e)$ bewiesen sein
wird, wenn gezeigt ist, daß die folgenden sieben einfachsten Produkte:
\begin{gather*}
\prod_{(p)} \left(\frac{-1, -1}{p}\right),\quad
\prod_{(p)} \left(\frac{-1,  2}{p}\right),\quad
\prod_{(p)} \left(\frac{-1,  q}{p}\right),\\
\prod_{(p)} \left(\frac{ 2,  2}{p}\right),\quad
\prod_{(p)} \left(\frac{ 2,  q}{p}\right),\\
\prod_{(p)} \left(\frac{ q,  q}{p}\right),\quad
\prod_{(p)} \left(\frac{ q,  r}{p}\right)
\end{gather*}
sämtlich gleich $+1$ sind, in denen $q$~und~$r$ beliebige ungerade Primzahlen
bedeuten. Jene sieben Spezialfälle können aber mit Hilfe der Ergänzungssätze
und des Reziprozitätsgesetzes ohne weiteres bewiesen werden, wenn
man beachtet, daß in jenen Produkten außer den zum "`Nenner"' $2$~und~$p_{\infty}$
gehörigen Symbolen immer nur diejenigen beachtet zu werden brauchen,
für welche $p$ in $d$~oder~$e$ enthalten ist. Nur beim ersten Produkte ist~$p_{\infty}$
\PageSep{339}{323}
zu berücksichtigen, denn hier ist wegen \Eq{(3^{a})} \aSeite{315} $\left(\dfrac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$;
für alle anderen ist der bezügliche Faktor~$+1$, da hier stets mindestens
eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist. Ferner werde noch einmal
daran erinnert, daß für zwei ungerade Zahlen $a$~und~$b$ das Symbol $\left(\dfrac{a, b}{2}\right)$
gleich~$+1$ ist, wenn wenigstens eine dieser Zahlen die Form $4n + 1$
hat, im entgegengesetzten Falle aber gleich~$-1$ ist. So ergeben sich
mit Hilfe der Formeln \aSeite{317} leicht die Gleichungen:
{\small
\begin{alignat*}{2}
\tag*{(1)} &
\prod \biggl(\frac{-1, -1}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\biggr)
      \biggl(\frac{-1, -1}{2}\biggr) = (-1)(-1) = +1 \\
%
\tag*{(2)} &
\prod \biggl(\frac{-1, 2}{ p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{-1, 2}{ 2}\biggr)
    = \biggl(\frac{-1,+1}{ 2}\biggr) \biggl(\frac{2}{-1}\biggr)
%[** Omitting break in the original, see also below]
    = (+1)(+1) = +1 \\
%
\tag*{(3)} &
\prod \biggl(\frac{-1, q}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{-1, q}{2}\biggr)
      \biggl(\frac{-1, q}{q}\biggr)
    = (-1)^{\efrac{q-1}{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\
%
\tag*{(4)} &
\prod \biggl(\frac{2, 2}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{2, 2}{2}\biggr)
    = \biggl(\frac{1, 1}{2}\biggr) \biggl(\frac{2}{1}\biggr) = +1 \\
%
\tag*{(5)} &
\prod \biggl(\frac{2, q}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{2, q}{2}\biggr)
      \biggl(\frac{2, q}{q}\biggr)
    = \biggl(\frac{1, q}{2}\biggr)
      \biggl(\frac{2}{q}\biggr)
      \biggl(\frac{2}{q}\biggr) = +1 \\
%
\tag*{(6)} &
\prod \biggl(\frac{q, q}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{q, q}{2}\biggr)
      \biggl(\frac{q, q}{q}\biggr)
    = (-1)^{\bigl(\efrac{q-1}{2}\bigr)^{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\
%
\tag*{(7)} &
\prod \biggl(\frac{q, r}{p}\biggr)
  &&= \biggl(\frac{q, r}{2}\biggr)
      \biggl(\frac{q, r}{q}\biggr)
      \biggl(\frac{q, r}{r}\biggr)
    = (-1)^{\efrac{q-1}{2}·\efrac{r-1}{2}} \biggl(\frac{r}{q}\biggr) \biggl(\frac{q}{r}\biggr)
    = +1.
\end{alignat*}}

Damit ist dieser Fundamentalsatz vollständig bewiesen. Man erkennt,
daß er außer dem Dekompositionssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$
vollständig die Ergänzungssätze und das Reziprozitätsgesetz voraussetzt.

Dagegen ergibt sich aus diesem Satze ein neuer Beweis der beiden
Ergänzungssätze und des Reziprozitätsgesetzes für das Jacobi-Legendresche
\PageSep{340}{324}
\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}%
Symbol. Wir wollen dasselbe noch in der Weise verallgemeinern,
daß wir auch den "`Nenner"' ebenso wie den "`Zähler"' als positiv oder
negativ voraussetzen; und zwar soll dann immer
\[
\Tag{(8)}
\left(\frac{Q}{-P }\right) =
\left(\frac{Q}{ P }\right) =
\left(\frac{Q}{|P|}\right)
\]
sein, so daß allgemein, wenn $P = ±pp' \dots$ ist,
\[
\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{p} \left(\frac{Q}{p}\right)
\]
wird.

Sind nun
\[
P = ±pp' \dots,\quad
Q = ±qq' \dots
\]
zwei beliebige ungerade teilerfremde Zahlen, so ergibt die Anwendung
unseres Fundamentalsatzes auf die drei quadratischen Formen:
\begin{alignat*}{2}
&-x^{2} - \PadTo[r]{Qy^{2}}{ y^{2}} &&+ Pz^{2} \\
&-x^{2} + \PadTo[r]{Qy^{2}}{2y^{2}} &&+ Pz^{2} \\
&-x^{2} +                   Qy^{2}  &&+ Pz^{2}
\end{alignat*}
die drei Gleichungen:
\begin{align*}
1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{-1,P}{p}\right)
   = \left(\frac{-1, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{-1, P}{2}\right)
   = \prod_{p/P} \left(\frac{-1, P}{p}\right) \\
  &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}+\efrac{P-1}{2}}
   · \prod_{p/P} \left(\frac{-1}{p}\right)
   = (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}} \left(\frac{-1}{P}\right), \dbrk
1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{2, P}{p}\right)
   = \left(\frac{2, P}{2}\right) \prod_{p/P} \left(\frac{2, P}{p}\right)
   = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}} \left(\frac{2}{P}\right), \dbrk
1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{Q, P}{p}\right)
   = \left(\frac{Q, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{Q, P}{2}\right)
     \prod_{p/P} \left(\frac{Q, P}{p}\right)
     \prod_{q/Q} \left(\frac{Q, P}{q}\right) \\
  &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}}
     \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{P}{Q}\right),
\end{align*}
\dh\ es bestehen für dieses verallgemeinerte Jacobi-Legendresche Zeichen
die Gleichungen
\PageSep{341}{325}
\[
\Tag{(9)}
\begin{alignedat}{2}
&\left(\frac{-1}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}}  \\
&\left(\frac{ 2}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{P^{2} -1}{8}} \\
&\left(\frac{ Q}{P}\right)
  &&= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}}
 \left(\frac{ P}{Q}\right).
\end{alignedat}
\]

Für dieses allgemeine Symbol gilt also das gewöhnliche Reziprozitätsgesetz,
wenn wenigstens eine der beiden Zahlen $P$~und~$Q$ positiv
ist. Sind aber beide negativ, so ist das sonst geltende Vorzeichen noch
mit~$-1$ zu multiplizieren. So ist \zB\
\[
\left(\frac{-13}{-7}\right) = -\left(\frac{-7}{-13}\right),\quad
\left(\frac{ 13}{-7}\right) = +\left(\frac{-7}{ 13}\right),
\]
weil $(-7)$ von der Form $4n + 1$ ist.


\Section{§ 7.}{Über die Darstellung der rationalen Zahlen durch
binäre Formen.}

Ich wende den im vorigen Paragraphen bewiesenen Fundamentalsatz
\index{Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen}%
an auf die Untersuchung der Frage nach der Darstellbarkeit einer
rationalen Zahl~$m$ durch eine beliebige binäre Form
\[
f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}
\]
von nicht verschwindender Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für einen beliebigen
Bereich~$K(p)$.

Nun besitzt die Gleichung
\[
\Tag{(1)}
m = f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}\ (p)
\]
stets und nur dann eine Lösung, wenn die zugehörige Gleichung:
\[
\Tag{(1^{a})}
f(x, y, z) = ax^{2} + bxy + cy^{2} - mz^{2} = 0\ (p)
\]
eine solche hat, wenn also die ternäre Form $f(x, y, z)$ den Teiler~$p$ enthält;
denn jeder Lösung $(\xi, \eta)$ von~\Eq{(1)} entspricht ja eine solche
$(\xi, \eta, 1)$ von~\Eq{(1^{a})}, und umgekehrt liefert jedes Wertsystem $(\xi, \eta, \zeta)$,
\PageSep{342}{326}
welches \Eq{(1^{a})} befriedigt, und in dem nach dem Satze \aSeite{308} $\zeta \neq 0$ angenommen
werden kann, eine Lösung $x = \dfrac{\xi}{\zeta}$, $y = \dfrac{\eta}{\zeta}$ von~\Eq{(1)}.

Wenden wir nun unser Fundamentaltheorem \aSeite{321} auf die
ternäre Form~\Eq{(1^{a})} an, so ergibt sich der folgende einfache Satz:
\begin{Theorem}
Die Anzahl der Körper~$K(p)$, innerhalb deren eine gegebene
rationale Zahl~$m$ nicht durch eine gegebene binäre Form von nichtverschwindender
Diskriminante dargestellt werden kann, ist endlich
und stets eine gerade Zahl.
\end{Theorem}

Die Bedingung
\[
\Tag{(2)}
\left(\frac{f(x, y, z)}{p}\right) = +1
\]
für die Darstellbarkeit von $m$ durch $f(x, y)$ läßt sich nun leicht durch
das Hilbertsche Symbol ausdrücken. Dabei können wir von vornherein
voraussetzen, daß wenigstens einer der beiden äußeren Koeffizienten
$a$~und~$c$ von $f(x, y)$ nicht Null ist; denn anderenfalls könnte ja
$f(x, y) = bxy$ durch die Substitution \Eq{(IV)} \aSeite{296}: $x = \xi + \eta$, $y = \xi - \eta$
in die äquivalente Form $b\xi^{2} - b\eta^{2}$ transformiert werden. Ist aber
etwa $a \neq 0$, so ist
\begin{align*}
-4a f(x, y, z)
  &= -(2ax + by)^{2} + (b^{2} - 4ac)y^{2} + 4amz^{2} \\
  &= -\xi^{2} + D\eta^{2} + 4am\zeta^{2},
\end{align*}
wenn:
\[
2ax + by = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta
\]
gesetzt wird. Also liefert \Eq{(2)} als notwendige und hinreichende Bedingung
für die Darstellbarkeit von~$m$ durch $f(x, y)$ für den Bereich
von~$p$:
\[
\Tag{(2^{a})}
\left(\frac{D, 4am}{p}\right) = \left(\frac{D, am}{p}\right) = +1
\]
oder:
\[
\Tag{(2^{b})}
\left(\frac{D, m}{p}\right) = \left(\frac{D, a}{p}\right).
\]

Alle durch eine bestimmte Form $f(x, y)$ für einen gegebenen Bereich
$K(p)$ darstellbaren rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ bilden
\PageSep{343}{327}
einen in sich abgeschlossenen Bereich $(m, m', \dots)$. Für alle und nur
diese Zahlen hat also nach \Eq{(2^{b})} das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ einen und denselben
Wert, welcher $±1$ sein kann. Ich bezeichne ihn durch $C_{p}$ und nenne
ihn \so{den Charakter der Form~$f(x, y)$ in bezug auf~$p$}.
Jede Form~$f$ besitzt für $p_{\infty}$,~$2$ und für jede ungerade Primzahl~$p$ je
einen eindeutig bestimmten Charakter, welcher in jedem Falle leicht
\index{Charakter einer Form in bezug auf~$p$}%
dadurch bestimmt werden kann, daß man für eine geeignet gewählte
durch $f$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ das Symbol $\left(\dfrac{D, \bar{m}}{p}\right)$ berechnet. Insbesondere
kann \zB\ $\bar{m}$ gleich einer der drei folgenden Zahlen:
\[
\Tag{(3)}
a = f(1, 0),\quad a + b + c = f(1, 1),\quad c = f(0, 1)
\]
gewählt werden.

Nur für eine endliche und zwar für eine gerade Anzahl von Bereichen~$K(p)$
sind die Charaktere einer beliebig gegebenen Form~$f(x, y)$
gleich~$-1$. Ist nämlich $m$ irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare rationale
Zahl, so ist ja für jeden Bereich $\left(\dfrac{D, m}{p}\right) = C_{p}$, und aus dem Fundamentalsatz
für das Hilbertsche Symbol ergibt sich also die Gleichung:
\[
\Tag{(4)}
\prod_{p} \left(\frac{D, m}{p}\right) = \prod C_{p} = +1,
\]
womit unsere Behauptung bewiesen ist.

Da der Wert des Symboles $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ ungeändert bleibt, wenn $D$ bzw.\
$m$ mit einer $p$-adischen Quadratzahl multipliziert oder dividiert wird,
so können in demselben $D$~und~$m$ durch die zugehörigen reduzierten
Werte \Eq{(7)} \aSeite{299} ersetzt werden. Setzt man nämlich, je nachdem
der betrachtete Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ ist:
\[
\Tag{(5)}
\begin{alignedat}{3}
D &= (-1)^{\beta} D_{0}^{2},                            &m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2}                         &&(p_{\infty}) \\
D &= p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2},                    &m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2}                &&(p) \\
D &= 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2},\quad &m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}m_{0}^{2}\ &&(2),
\end{alignedat}
\]
wo jedesmal $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ sowie $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, so
ergeben sich in den unterschiedenen Fällen die Gleichungen:
\PageSep{344}{328}
\[
\Tag{(6)}
\begin{aligned}
\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= \left(\frac{(-1)^{\beta}, (-1)^{\beta'}}{p_{\infty}}\right) \\
\left(\frac{D, m}{p}\right)          &= \left(\frac{p^{\alpha} w^{\beta}, p^{\alpha'} w^{\beta'}}{p}\right)\\
\left(\frac{D, m}{2}\right)          &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma}, 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}}{2}\right).
\end{aligned}
\]
Wendet man endlich auf diese Symbole den Dekompositionssatz an,
und beachtet, daß nach den Formeln \aSeite{317} die folgenden
Gleichungen bestehen:
{\small\enlargethispage{12pt}
\[
\tag*{(7)}
\begin{gathered}
\makebox[0pt][c]{$\displaystyle
\left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1,\quad
\left(\frac{p, p}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right),\quad
\left(\frac{p, w}{p}\right) = -1,\quad
\left(\frac{w, w}{p}\right) = +1$,} \\
%
\left(\frac{2, 2}{2}\right) = +1,\quad
\left(\frac{2, -1}{2}\right) = +1,\quad
\left(\frac{-1, -1}{2}\right) = -1, \\
%
\left(\frac{-1, 5}{2}\right) = +1,\quad
\left(\frac{2, 5}{2}\right) = -1,\quad
\left(\frac{5, 5}{2}\right) = +1,
\end{gathered}
\]}%
so ergeben sich aus~\Eq{(6)} die folgenden Gleichungen:
{\small
\[
\tag*{(8)}
\begin{aligned}
\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right)
  &= \left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right)^{\beta\beta'} = (-1)^{\beta\beta'} \\
%
\left(\frac{D, m}{p}\right)
  &= \left(\frac{p, p}{p}\right)^{\alpha\alpha'}
     \left(\frac{p, w}{p}\right)^{\alpha\beta'+\alpha'\beta}
     \left(\frac{w, w}{p}\right)^{\beta\beta'} \\
  &= \left(\frac{-1}{p}\right)^{\alpha\alpha'} (-1)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'}
   = (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\
%
\left(\frac{D, m}{p}\right)
  &= \left(\frac{2, 2}{2}\right)^{\alpha\alpha'}
   · \left(\frac{2, -1}{2}\right)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'}
     \left(\frac{-1, -1}{2}\right)^{\beta\beta'}
   · \left(\frac{2, 5}{2}\right)^{\alpha\gamma'+\alpha'\gamma} \\
  &{}· \left(\frac{-1, 5}{2}\right)^{\beta\gamma'+\beta'\gamma}
     \left(\frac{5, 5}{2}\right)^{\gamma\gamma'}
   = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}.
\end{aligned}
\]}%
Aus diesen Gleichungen folgt sofort, daß unser Symbol in allen drei
unterschiedenen Fällen stets und nur dann für \so{jedes}~$m$, \dh\ für
jedes Exponentensystem~$(\beta')$ oder~$(\alpha', \beta')$, oder~$(\alpha', \beta', \gamma')$ gleich~$+1$
ist, wenn die zu $D$ gehörigen Exponenten~$(\beta)$ oder~$(\alpha, \beta)$ oder~$(\alpha, \beta, \gamma)$
sämtlich gleich Null sind, wenn also $D = D_{0}^{2}$ für den betreffenden Bereich
eine Quadratzahl ist.

Ist dagegen auch nur einer von den Exponenten der zu $D$ gehörigen
Systeme $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$, $(\alpha, \beta, \gamma)$ nicht Null, also gleich~$1$, so erkennt man
\PageSep{345}{329}
leicht, daß bei allen möglichen Wertsystemen $(\beta')$,~$(\alpha', \beta')$, $(\alpha', \beta', \gamma')$
von $m$ genau für die Hälfte die Potenzen
\[
(-1)^{\beta\beta'},\quad
(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad
(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}
\]
gleich~$+1$, für die andere Hälfte aber $-1$ werden. Ist nämlich \zB\
für den Bereich~$K(2)$ einer der Exponenten von~$D$, etwa~$\gamma$, gleich~$1$,
während $\alpha$~und~$\beta$ beliebig sein können, und soll
\[
\left(\frac{D, m}{2}\right) = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\alpha'} = (-1)^{\epsilon}
\]
sein, wo $\epsilon = 0$ oder~$1$ sein kann, so bestimmt sich aus der Kongruenz:
\[
\beta\beta' + \alpha\gamma' + \alpha' \equiv \epsilon\ (\mod.~2)
\]
$\alpha'$ eindeutig durch $\beta'$~und~$\gamma'$, da ja aus ihr:
\[
\alpha' \equiv \epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma'\ (\mod.~2),
\]
folgt. Alle und nur die Exponentensysteme $(\alpha', \beta', \gamma')$, welche je einem
der beiden Werte $0$~und~$1$ von~$\epsilon$ entsprechen, sind also:
\[
(\alpha', \beta', \gamma') = (\epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma', \beta', \gamma'),
\]
wo $\beta'$ und $\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, und das gibt sowohl für $\epsilon = 0$
als für $\epsilon = 1$ wirklich je vier verschiedene Exponentensysteme.

Nach dem soeben in \Eq{(2^{b})}~\aSeite{326} bewiesenen Satze hat nun das Symbol
$\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ für alle und nur die durch $f(x, y)$ innerhalb $K(p)$ darstellbaren
Zahlen~$m$ einen und denselben Wert~$C_{p}$. Ist also $D = D_{0}^{2}$ für $K(p)$
eine Quadratzahl, so ist jenes Symbol für jede Zahl~$m$ gleich~$+1$; also
ist in diesem Falle sicher $C_{p} = +1$, und jede rationale Zahl~$m$ ist für
$K(p)$ durch $f(x, y)$ darstellbar. Ist dagegen $D$ innerhalb $K(p)$ keine
Quadratzahl, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze für die eine Hälfte
aller Zahlklassen das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ gleich~$+1$, für die andere gleich~$-1$;
je nachdem hier also das zugehörige $C_{p}$ den einen oder den anderen
Wert hat, ist nur die eine oder nur die andere Hälfte aller rationalen
Zahlen~$m$ durch die Form~$f(x, y)$ darstellbar. Den Wert von~$C_{p}$ findet
man in jedem Falle, indem man für irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare
\PageSep{346}{330}
Zahl~$\bar{m}$, etwa für $a$,~$c$ oder $a + b + c$, das zugehörige Exponentensystem
$(\bar{\beta})$,~$(\bar{\alpha}, \bar{\beta})$, oder $(\bar{\alpha}, \bar{\beta}, \bar{\gamma})$ bestimmt und dann aus~\Eq{(8)} den Wert
von
\[
C_{p} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right)
\]
entnimmt.

Ich will eine Form $f(x, y)$ für einen Bereich $K(p)$ \so{indefinit}
\index{Definite und indefinite Formen für~$K(p)$}%
nennen, wenn durch sie alle rationalen Zahlen innerhalb $K(p)$ rational
dargestellt werden können; dagegen soll $f(x, y)$ für $K(p)$ \so{definit}
heißen, wenn nur die Hälfte aller rationalen Zahlen durch sie dargestellt
werden kann. Dann kann das Resultat unserer letzten Untersuchung
in dem einfachen Satze ausgesprochen werden:
\begin{Theorem}
Eine Form $f(x, y)$ ist stets und nur dann für $K(p)$ indefinit,
wenn ihre Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für jenen Bereich eine
Quadratzahl ist. Sie ist also für $K(p_{\infty})$ indefinit, wenn $D$ positiv,
sie ist für $K(p)$ bzw.\ für $K(2)$ indefinit, wenn $\left(\dfrac{D}{p}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{D}{2}\right)$
gleich~$+1$ ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist $f(x, y)$
definit, \dh\ es werden von den in allen $2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen enthaltenen
Zahlen~$m$ immer nur die Hälfte, nämlich die in je $1$,~$2$,~$4$ Zahlklassen
enthaltenen Zahlen durch $f(x, y)$ dargestellt.
\end{Theorem}

Wir wollen sagen, daß eine Zahl~$D$ oder~$m$ für den Bereich~$K(p_{\infty})$,
$K(p)$~oder~$K(2)$ zur Zahlklasse $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$ bzw.\ $(\beta')$,
$(\alpha', \beta')$, oder $(\alpha', \beta', \gamma')$ gehört, wenn sie für diesen Bereich das entsprechende
Exponentensystem besitzt, und wir wollen diese Beziehung
jedesmal durch eine Gleichung, \zB\ durch
\[
\Tag{(9)}
D = (\alpha, \beta, \gamma)  \quad\text{oder}\quad
m = (\alpha', \beta', \gamma')\quad (2)
\]
ausdrücken. Dann können die drei allgemeinen Gleichungen \aSeite{328}:
\[
\Tag{(10)}
\begin{aligned}
\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= (-1)^{\beta\beta'} \\
\left(\frac{D, m}{p}\right) &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\
\left(\frac{D, m}{2}\right) &= (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}
\end{aligned}
\]
folgendermaßen spezialisiert werden:
\PageSep{347}{331}

%[** TN: Items hanging-indented in the original, cf. comparable units below]
\Item{I)} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, falls
\begin{alignat*}{2}
D &= (0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= +1 \\
  &= (1),                  &                                     &= (-1)^{\beta'},
\end{alignat*}
wenn $m = (\beta')$ beliebig gegeben ist.

\Item{II)} Für einen Bereich $K(p)$ ist, falls
\begin{alignat*}{2}
D &= (0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p}\right) &=  +1                                \\
  &= (0, 1),                  &                            &= (-1)^{\alpha'}                     \\
  &= (1, 0),                  &                            &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha'+\beta'} \\
  &= (1, 1),                  &                            &= (-1)^{\efrac{p+1}{2}\alpha'+\beta'},
\end{alignat*}
wenn $m = (\alpha', \beta')$ ist.

\Item{III)}  Für den Bereich $K(2)$ ist, falls
\begin{alignat*}{2}
D &= (0, 0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{2}\right) &= +1                            \\
  &= (0, 0, 1),                  &                            &= (-1)^{\alpha'}                \\
  &= (0, 1, 0),                  &                            &= (-1)^{\beta'}                 \\
  &= (1, 0, 0),                  &                            &= (-1)^{\gamma'}                \\
  &= (0, 1, 1),                  &                            &= (-1)^{\alpha'+\beta'}         \\
  &= (1, 0, 1),                  &                            &= (-1)^{\alpha'+\gamma'}        \\
  &= (1, 1, 0),                  &                            &= (-1)^{\beta' +\gamma'}        \\
  &= (1, 1, 1),                  &                            &= (-1)^{\alpha'+\beta'+\gamma'},
\end{alignat*}
wenn $m = (\alpha', \beta', \gamma')$ beliebig gegeben ist.

%[** TN: No paragraph indent in the original, cf. comparable units below]
Wählt man in diesen Gleichungen für $m$ irgendeine \emph{durch~$f(x, y)$
darstellbare Zahl~$\bar{m}$}, so bestimmt diese den Wert des betreffenden
Charakters~$C_{p}$, und alle und nur \DPchg{\emph{die}}{die} Zahlen~$m$ sind durch~$f(x, y)$
darstellbar, für welche
\[
\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p}
\]
ist.
\PageSep{348}{332}

Bei der Bestimmung dieser einzelnen Charaktere können und wollen
wir uns auf den einfachsten Fall beschränken, daß $f(x, y)$ eine sogen.\
\so{primitive Form} ist. Ist nämlich zunächst
\index{Primitive!Formen}%
\[
f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}
\]
eine beliebige Form mit rationalen Koeffizienten, so sei:
\[
\delta = (a, b, c)
\]
der größte gemeinsame Teiler derselben, welcher dann und nur dann
das negative Vorzeichen erhalten soll, wenn $a$~und~$c$ und~$a + b + c$
sämtlich negativ sind. Ist dann:
\[
\Tag{(11)}
\begin{gathered}
a = \delta a_{0},\quad b = \delta b_{0},\quad c = \delta c_{0}, \\
f(x, y) = \delta f_{0}(x\DPtypo{}{,} y) = \delta(a_{0} x^{2} + b_{0} xy + c_{0} y^{2}),
\end{gathered}
\]
so ist $f_{0}(x, y)$ eine ganzzahlige Form mit teilerfremden Koeffizienten,
in welcher von den drei Zahlen $a_{0}$,~$c_{0}$, $a_{0} + b_{0} + c_{0}$ mindestens eine
positiv ist. Eine solche Form soll \so{primitiv} genannt werden. Ist
$D^{(0)} = b_{0}^{2} - 4a_{0} c_{0}$ ihre Diskriminante, so wird
\[
D = D^{(0)} \delta^{2}.
\]

Es sei nun $m = f(\xi, \eta)$ eine für irgendeinen Bereich~$K(p)$ durch
$f(x, y)$ darstellbare Zahl; dann folgt aus der obigen Gleichung~\Eq{(11)} durch
die Substitution $(x = \xi, y = \eta)$
\[
m = f(\xi, \eta) = \delta f_{0} (\xi, \eta) = \delta m_{0},
\]
wo $m_{0} = f_{0} (\xi, \eta)$ eine durch die zugehörige primitive Form darstellbare
Zahl ist. Sind also $C_{p}$~und~$C_{p}^{(0)}$ die Charaktere von $f(x, y)$ und $f_{0}(x, y)$
für den Bereich~$K(p)$, so besteht zwischen ihnen immer die Beziehung:
\[
\Tag{(12)}
\begin{aligned}%[** TN: Not broken/aligned in the original]
C_{p}
  &= \biggl(\frac{D, m}{p}\biggr)
   = \biggl(\frac{D^{(0)}\delta^{2}, m_{0}\delta}{p}\biggr) \\
  &= \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr)
     \biggl(\frac{D^{(0)}, m^{(0)}}{p}\biggr)
  = \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr) C_{p}^{(0)}.
\end{aligned}
\]
Es brauchen somit wirklich im Folgenden nur die Charaktere beliebiger
primitiver Formen untersucht zu werden, da diejenigen für
Formen vom Teiler~$\delta$ aus ihnen durch die Multiplikation mit $\left(\dfrac{D^{(0)}, \delta}{p}\right)$
hervorgehen.
\PageSep{349}{333}

Es sei jetzt also $f(x, y)$ eine primitive Form; dann kann unter
den durch sie darstellbaren Zahlen~$m$ stets eine Zahl~$\bar{m}$ so ausgewählt
werden, daß sie positiv ist, falls der Bereich $K(p_{\infty})$ ist, oder
daß sie für einen der anderen Bereiche $K(p)$ bzw.\ $K(2)$ die betreffende
Primzahl nicht enthält. In der Tat ist ja von den drei durch
$f(x, y)$ darstellbaren ganzen Zahlen
\[
(f(1, 0), f(1, 1), f(0, 1)) = (a, a + b + c, c)
\]
nach der Definition der primitiven Formen mindestens eine positiv,
aber auch mindestens eine durch eine beliebig gegebene Primzahl~$p$
nicht teilbar, da der größte gemeinsame Teiler $(a, a + b + c, c)
= (a, b, c) = 1$ ist. Wählt man also für den betreffenden Bereich
$K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ für $\bar{m}$ jedesmal diejenige Zahl oder
eine von den Zahlen $a$,~$a + b + c$,~$c$ aus, welche positiv ist bzw.\
welche $p$ oder~$2$ nicht enthält, so ist unserer Forderung in jedem Falle
genügt. Für die so gewählte durch $f(x, y)$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ ist also
in den drei unterschiedenen Fällen:
\[
\bar{m} = (0)\quad (p_{\infty}),\qquad
\bar{m} = (0, \bar{\beta})\quad (p),\qquad
\bar{m} = (0, \bar{\beta}, \bar{\gamma})\quad (2),
\]
wo $\bar{\beta}$ bzw.\ $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ durch dieses spezielle $\bar{m}$ bestimmt sind. Setzt man nun
dieses $\bar{m}$ für $m$ in \Iref{I\Add{)}},~\Iref{II\Add{)}},~\Iref{III\Add{)}} ein und beachtet man zugleich, daß für ein
ungerades~$p$
\[
(-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right),
\]
für $p = 2$ aber nach \Seite{271} unten
\[
(-1)^{\bar{\beta}}  = (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}} = \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right),\quad
(-1)^{\bar{\gamma}} = (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} = \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right)
\]
ist, so ergeben sich für die gesuchten Charaktere $C_{p_{\infty}}$,~$C_{p}$,~$C_{2}$ die folgenden
Werte:

\Item{I')} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, wenn
\[
D = (\beta) \text{ ist,}\quad
C_{p_{\infty}} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p_{\infty}}\right) = +1.
\]

\Item{II')} Für einen Bereich $K(p)$ ist, wenn
\PageSep{350}{334}
\begin{alignat*}{2}
D &= (0, \beta) \quad\text{ist,}\quad & C_{p} &= \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right) = +1, \\
  &= (1, \beta) \quad\Ditto{ist},& C_{p} &= (-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right).
\end{alignat*}

\Item{III')} Für den Bereich $K(2)$ ist für:
\begin{alignat*}{4}
D &= (0, 0, \gamma) \quad & C_{2} &=  +1 \\
  &= (0, 1, \gamma)       &       &= (-1)^{\bar{\beta}}              &&= \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}}    \\
  &= (1, 0, \gamma)       &       &= (-1)^{\bar{\gamma}}             &&= \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} \\
  &= (1, 1, \gamma)       &       &= (-1)^{\bar{\beta}+\bar{\gamma}}
                                                                     &&= \left(\frac{-2}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{(\bar{m}-1)(\bar{m}-3)}{8}},
\end{alignat*}
wobei in den unterschiedenen Fällen jedesmal $\beta$ bzw.\ $\gamma$ beliebig gewählt
werden kann.
%\end{Enum}

Zusammenfassend kann man alle diese Resultate über primitive
Formen in dem folgenden einfachen Satze aussprechen:
\begin{Theorem}
Für eine beliebige primitive Form $f(x, y)$ ist stets $C_{p_{\infty}} = +1$;
ferner ist für jede ungerade Primzahl~$p$
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(13)}
C_{p} &= \left(\frac{\bar{m}}{p^{\alpha}}\right),   &&\text{wenn}\quad
D = p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2}                    &&(p),
\intertext{und}
\Tag{(13^{a})}
C_{2} &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta}}{\bar{m}}\right),\quad &&\text{wenn}\quad
D = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2}\quad &&(2)
\end{alignat*}
ist, und wenn jedesmal $\bar{m}$ irgendeine durch $f$ darstellbare Einheit
bedeutet.
\end{Theorem}

Nur für eine endliche Anzahl von Bereichen $K(p)$ kann $C_{p} = -1$
ein. Um diese Bereiche deutlicher charakterisieren zu können, setze
ich
\[
\Tag{(14)}
D = \bar{D} Q^{2},
\]
wo $Q^{2}$ die größte in $D$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, wo also
\index{Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante}}%
die ganze Zahl~$\bar{D}$ lauter einfache Primfaktoren enthält. Dann soll $\bar{D}$
\so{der Kern der Diskriminante~$D$} genannt werden. Da sich
\PageSep{351}{335}
$D$~und~$\bar{D}$ um eine Quadratzahl unterscheiden, so besitzt $\bar{D}$ für jeden
Bereich $K(p)$ dasselbe Exponentensystem $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$
wie~$D$, und für alle und nur die Primteiler des Kernes $\bar{D}$ ist $\alpha = 1$, für
alle anderen $\alpha = 0$.

Aus den Gleichungen \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} folgt nun, daß bei einer primitiven
Form~$C_{p}$, überhaupt nur dann gleich $-1$ sein \emph{kann}, wenn $\alpha = 1$,
wenn also $p$ oder~$2$ eine der im Kern~$\bar{D}$ enthaltenen Primzahlen
ist; außerdem noch für $p = 2$, wenn $\alpha = 0$, $\beta = 1$, wenn also
$\bar{D} = (-1) 5^{\gamma} D_{0}^{2} \equiv -1\ (\mod.~4)$ ist. In allen anderen Fällen ist ja
$C_{p} = +1$, wie aus \Eq{(13)}~und~\Eq{(13^{a})} unmittelbar hervorgeht.

Es ist nun leicht anzugeben, welche Zahlklassen rationaler Zahlen~$m$
jedesmal durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$ von der Diskriminante~$D$,
oder, was ja ganz dasselbe ist, vom Diskriminantenkern~$\bar{D}$
darstellbar sind. Soll nämlich eine Zahl~$m$, welche wir wieder je nach
dem gerade betrachteten Körper $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ in der Form
schreiben:
\begin{alignat*}{2}%[** Set on one line in the original]
m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2} && (p_{\infty}), \\
m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2} && \PadTo{(p_{\infty})}{(p),} \\
m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'} m_{0}^{2}\quad && \PadTo{(p_{\infty})}{(2),}
\end{alignat*}
durch $f(x, y)$ darstellbar sein, so muß ja:
\[
\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p},
\]
\dh\ es muß in den drei unterschiedenen Fällen:
\[
(-1)^{\beta\beta'},\quad
(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad
(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}
\]
gleich dem Werte $(-1)^{\epsilon}$ von $C_{p}$ sein, wie er in \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} durch die
Exponenten $0$,~$\bar{\beta}$,~$\bar{\gamma}$ einer durch $f(x, y)$ darstellbaren Einheit~$\bar{m}$ ausgedrückt
wurde. Löst man also die so sich ergebenden Kongruenzen
modulo~$2$:
\begin{gather*}%[** Set on one line in the original]
\beta\beta' \equiv 0, \qquad
\frac{p - 1}{2} \alpha\alpha' + \alpha\beta' + \beta\alpha'
  \equiv \alpha\bar{\beta}, \\
\beta\beta' + \alpha\gamma' + \gamma\alpha'
  \equiv \beta\bar{\beta} + \alpha\bar{\gamma},
\end{gather*}
wie \aSeite{329} auf, so ergibt sich leicht die folgende vollständige Tabelle
aller durch $f(x, y)$ für den Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ darstellbaren
rationalen Zahlen:
\PageSep{352}{336}

\Item{I'')} für den Bereich $K(p_{\infty})$: Ist
\begin{alignat*}{3}
D&=(0), \quad&&\text{so ist}\quad   &m &= (\beta') \\
 &=(1),      &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist}   &m &= (0).
\end{alignat*}

\Item{II'')} für einen Bereich $K(p)$: Ist
\begin{alignat*}{3}
D &= (0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad            &m &= (\alpha', \beta') \\
  &= (0, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta') \\
  &= (1, 0),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p - 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}) \\
  &= (1, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p + 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}).
\end{alignat*}

\Item{III'')} für den Bereich $K(2)$: Ist
\begin{alignat*}{3}
D &= (0, 0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad            &m &= (\alpha', \beta', \gamma') \\
  &= (0, 0, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta', \gamma') \\
  &= (0, 1, 0),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \bar{\beta}, \gamma') \\
  &= (1, 0, 0),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \beta', \bar{\gamma}) \dbrk
  &= (0, 1, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\beta'+ \bar{\beta}, \beta', \gamma') \\
  &= (1, 0, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\gamma'+\bar{\gamma}, \beta', \gamma') \\
  &= (1, 1, 0),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma') \\
  &= (1, 1, 1),     &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \alpha'+\gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma'),
\end{alignat*}
wo $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ jedesmal die Exponenten der fest gewählten Einheit~$\bar{m}$ sind,
während $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ unabhängig voneinander die Werte Null und Eins
annehmen können. Man sieht hier direkt, daß wirklich jede indefinite
Form, für welche also $D$ bzw.\ gleich $(0)$,~$(0, 0)$, $(0, 0, 0)$ ist, alle möglichen
$2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen für die Bereiche $K(p_{\infty})$,~$K(p)$,~$K(2)$ darstellt, daß
aber jede definite primitive Form nur die Hälfte, nämlich bzw.\ $1$,~$2$,~$4$
solche Zahlklassen darstellen kann.

Ich wende mich nun zur Lösung der Frage, wann eine vorgelegte
rationale Zahl~$m$ \so{überall}, \dh\ für jeden der unendlich vielen Bereiche
$K(p)$,~$K(2)$ und~$K(p_{\infty})$ durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$
darstellbar ist. Ist wieder $D$ ihre Diskriminante, und
\[
\bar{D} = ±2^{\alpha} p_{1} p_{2} \dots p_{\mu}\qquad
\begin{Conditions}
(\alpha=0 \text{ oder } 1)
\end{Conditions}
\]
\PageSep{353}{337}
ihr Diskriminantenkern, so ist $m$ stets und nur dann überall durch
$f(x, y)$ darstellbar, wenn die unendlich vielen Gleichungen:
\[
\left(\frac{\bar{D}, m}{p}\right) = C_{p}
\]
für jeden Bereich $K(p)$ erfüllt sind. Setzen wir entsprechend wie für~$D$
\[
m = \bar{m}k^{2}, \quad\text{wo}\quad
\bar{m} = ±2^{\alpha'} \bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu},
\]
der Kern von~$m$, auch nur einfache Primfaktoren enthält, so reduzieren
sich jene Bedingungen auf die einfacheren:
\[
\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p}.
\]
Wir wollen von vornherein voraussetzen, daß $\bar{m}$ zu $2\bar{D}$ teilerfremd,
daß also
\[
\bar{m} = ±\bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu}
\]
ungerade ist, und die $p_{i}$ von den $\bar{p}_{k}$ verschieden sind. Der allgemeinste
Fall kann wegen der Dekomponierbarkeit des Hilbertschen Symboles
leicht auf diesen reduziert werden. Wir stellen jetzt also die folgende
Frage:
\begin{Theorem}
Wie muß eine Zahl~$m$, deren Kern zu $2\bar{D}$ teilerfremd ist, beschaffen sein,
damit sie für jeden Bereich $K(p)$ durch eine gegebene
primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ darstellbar ist?
\end{Theorem}

Ist zunächst $\bar{D}$ positiv, so kann $\bar{m}$ sowohl positiv als negativ sein;
ist $\bar{D}$ negativ, so muß $\bar{m}$ positiv sein.

Ist zweitens $\bar{p}_{k}$ ein Kernteiler von~$m$, \dh\ irgend einer der Primteiler
von~$\bar{m}$, so folgt aus der \aSeite{317} angegebenen Fundamentaleigenschaft des
Hilbertschen Symboles, daß
\[
\Tag{(15)}\
\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{\bar{p}_{k}}\right)
  = \left(\frac{\bar{D}}{\bar{p}_{k}}\right) = +1
\]
sein muß, weil \ndV\ $\bar{D}$ nicht durch $\bar{p}_{k}$ teilbar, und weil nach
\Eq{(II')} \aSeite{334} $C_{\bar{p}_{k}} = +1$ ist. Ist dagegen $p_{i}$ einer der $\mu$ Kernteiler
von~$\bar{D}$, so muß für ihn
\PageSep{354}{338}
\[
\Tag{(15^{a})}
\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p_{i}}\right) = \left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}}
\]
sein, wo diese Charaktere gleich $+1$~oder~$-1$ sein können, je nach der
Natur von~$f(x, y)$. Durch jede von diesen $\mu$ Gleichungen
\[
\Tag{(15^{b})}
\left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = ±1
\]
wird der Kern $\bar{m}$ modulo~$p_{i}$ genau $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$-deutig bestimmt, denn derselbe
muß ja entweder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$ Reste oder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$
Nichtreste modulo~$p_{i}$ kongruent sein.

Ist endlich $p = 2$, so folgt aus \Eq{(III'')} \aSeite{336}, daß, falls
\begin{alignat*}{3}
\bar{D} &= (0, 0, \gamma)\quad &&\text{ist,}\quad &\bar{m}&= (0, \beta', \gamma') \\
        &= (0, 1, \gamma)      &&\Ditto{ist},     &       &= (0, \bar{\beta}, \gamma') \\
        &= (1, 0, \gamma)      &&\Ditto{ist},     &       &= (0, \beta', \bar{\gamma}) \\
        &= (1, 1, \gamma)      &&\Ditto{ist},     &       &= (0, \gamma' + \bar{\beta} + \bar{\gamma}, \gamma')
\end{alignat*}
sein muß. Ist also im ersten Falle $\bar{D} = (0, 0, \gamma)$, also
\[
\bar{D} \equiv 1\ (\mod.~4),
\]
so ist $\bar{m} \equiv 1$, $3$,~$5$,~$7\ (\mod.~8)$, \dh\ vierdeutig modulo~$8$ bestimmt;
ist dagegen in den drei letzten Fällen:
\[
\bar{D} \equiv -1\ (\mod.~4),\quad
\bar{D} \equiv +2\ (\mod.~8),\quad
\bar{D} \equiv -2\ (\mod.~8),
\]
so ist jedesmal $\bar{m}$ nur zweideutig modulo~$8$ bestimmt.

Ist endlich $p$ eine ungerade Primzahl, welche weder in $\bar{D}$ noch in
$\bar{m}$ enthalten ist, so ist ja die bezügliche Bedingungsgleichung
\[
\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p} = +1
\]
nach dem Satze \aSeite{317} von selbst erfüllt.

Durch die Bedingungen \Eq{(15)}~und~\Eq{(15^{a})} zusammengenommen wird
also der Kern~$\bar{m}$ von~$m$ modulo
\PageSep{355}{339}
\[
\Delta = 8p_{1} p_{2} \dots p_{\mu}
\]
genau $r$-deutig bestimmt, wo
\[
r = 4 \prod \frac{p_{i} - 1}{2} \quad\text{oder}\quad
r = 2 \prod \frac{p_{i} - 1}{2}
\]
ist, je nachdem $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht, \dh\ die Kerne
aller durch $f(x, y)$ möglicherweise darstellbaren Zahlen~$m$ sind stets
in $r$ arithmetischen Reihen:
\[
\Tag{(16)}
\bar{m} = \bar{m}_{0} + \Delta l
\]
enthalten, deren Anfangsglieder~$\bar{m}_{0}$ die $r$ kleinsten positiven modulo~$\Delta$
inkongruenten Lösungen der Gleichungen
\[
\left(\frac{\bar{m}_{0}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}},\quad
\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}_{0}}{2}\right) = C_{2}
\]
sind.

Von diesen Zahlen~$\bar{m}$ in~\Eq{(16)} können nach der \aSeite{337} unten
gemachten Bemerkung entweder die positiven und negativen Glieder
oder nur die positiven Glieder durch $f(x, y)$ dargestellt werden, je nachdem~$\bar{D}$
positiv oder negativ ist.

Nach den Bedingungen~\Eq{(15)} ist endlich eine in den so beschränkten
arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthaltene ganze Zahl~$\bar{m}$ stets und
nur dann der Kern einer durch $f(x, y)$ überall darstellbaren Zahl
$m = \bar{m} k^{2}$, wenn für alle ihre Primfaktoren~$\bar{p}$ der Kern $\bar{D}$ quadratischer
Rest, wenn also der Kern von~$D$ quadratischer Rest des Kernes von~$m$
ist.


\Section{§ 8.}{Einteilung der binären quadratischen Formen
in Geschlechter.}

Wir wollen zwei Formen $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ desselben Kernes~$\bar{D}$
\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!Formen desselben Kernes}%
\index{Geschlechter binärer Formen}%
\so{äquivalent} nennen und sie in ein und dasselbe \so{Formengeschlecht~$G$}
rechnen, wenn sie dieselben rationalen Zahlen $(m, m', m'', \dots)$
überall darstellen, wenn sie also für alle Bereiche $K(p)$,~$K(p')$,~\dots\
dieselben Charaktere $C_{p}$,~$C_{p}'$,~\dots\ besitzen. Sind die betrachteten
Formen primitiv, und sind wieder $(p_{1}, p_{2}, \dots p_{\mu})$ die ungeraden Primteiler
des Kerns, so sind $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ stets und nur dann äquivalent,
wenn die $\mu$ bzw.\ $(\mu + 1)$ Gleichungen:
\PageSep{356}{340}
\begin{align*}
C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}}
\intertext{bzw.}
C_{2} = C'_{2},\quad
C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}}
\end{align*}
sämtlich erfüllt sind, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht,
da ja für alle übrigen Bereiche~$K(p)$ stets $C_{p} = C'_{p} = +1$ ist. Ein
Geschlecht, in welchem alle übrigen Charaktere~$+1$ sind, soll \so{ein
primitives Formengeschlecht vom Kern~$\bar{D}$} genannt werden,
obwohl dasselbe sehr wohl auch nicht primitive Formen enthalten
kann. Nur mit solchen primitiven Geschlechtern wollen wir uns
in den folgenden kurzen Betrachtungen beschäftigen. Wir wollen
das vollständige System
\[
(C_{p_{i}}) \quad\text{bzw.}\quad (C_{2}, C_{p_{i}})
\]
der Charaktere, welche alle Formen eines solchen Geschlechtes für die Bereiche
$(K(p_{i}))$ bzw.\ $(K(2), K(p_{i}))$ besitzen, den \so{primitiven Gesamtcharakter
dieses Geschlechtes} nennen und ihn durch
\[
\Tag{(1)}
\frakC = (C_{p_{i}}) = (C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}}) \quad\text{bzw.}\quad
(C_{p_{0}}, C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}})
\]
bezeichnen, indem wir $p_{0} = 2$ setzen, falls diese Primzahl bei den Charakteren
in Betracht kommt. Dann gehören zwei primitive oder nicht
primitive Formen $f$~und~$f'$ stets und nur dann in dasselbe primitive Geschlecht,
wenn sie dieselben primitiven Gesamtcharaktere $\frakC(f)$~und~$\frakC(f')$
\index{Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts}%
haben, und wenn alle ihre übrigen Charaktere gleich~$+1$ sind.

Die Anzahl aller primitiven Geschlechter kann in den beiden oben
unterschiedenen Fällen höchstens gleich $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ sein, da nach
dem \aSeite{327}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze das Produkt $\prod C_{p_{i}}$ gleich~$+1$ und
somit einer jener Charaktere durch die übrigen eindeutig bestimmt ist,
während jeder von diesen übrigen Charakteren die beiden Werte $+1$
oder $-1$ haben kann.

Kann man für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ ein System von $N = 2^{\mu-1}$
bzw.\ $N = 2^{\mu}$ rationalen Formen vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen, deren Gesamtcharaktere
alle zulässigen Wertsysteme $(±1, ±1, \dots ±1)$ von $\mu$
bzw.\ $\mu + 1$ Elementen sind, während alle übrigen Charaktere $C_{p} = +1$
sind, so ist damit bewiesen, daß die Anzahl der primitiven Geschlechter
vom Kern~$\bar{D}$ wirklich diesen größten möglichen Wert hat; und dieses
Repräsentantensystem:
\PageSep{357}{341}
\[
\Tag{(2)}
(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y), \dots f_{N}(x, y))
\]
hat dann die wichtige Eigenschaft, daß jede rationale Zahl~$m$, welche
überhaupt durch eine primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ überall darstellbar
ist, durch eine und nur eine Form dieses Repräsentantensystemes überall
dargestellt werden kann.

Ich will jetzt ein einfaches Verfahren angeben, nach welchem für
einen bestimmten Kern~$\bar{D}$ ein solches vollständiges Formensystem~\Eq{(2)}
aufgestellt werden kann, und ich will dasselbe dann durch einige
Beispiele erläutern.

Die Formen des hier in Betracht kommenden Repräsentantensystems
können am einfachsten so geschrieben werden:
\[
\Tag{(3)}
f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2}).
\]
Für einen beliebigen Teiler~$a$ hat diese Form den Kern~$\bar{D}$, weil ihre
Diskriminante offenbar gleich $4a^{2} \bar{D}$ ist. Ihr Charakter für einen beliebigen
Bereich~$K(p)$ ist
\[
C_{p}^{(a)} = \left(\frac{\bar{D}, a}{p}\right),
\]
weil ja $a = f_{a}(1, 0)$ durch $f_{a}(x, y)$ darstellbar ist. Speziell sind für
die sogen.\ Haupt- oder Einheitsform $f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$, durch welche
ja die Zahl~$1$ dargestellt wird, die sämtlichen Charaktere
$C_{p}^{(1)} = \left(\dfrac{\bar{D}, 1}{p}\right) = +1$. Eine Form $f_{a}(x, y)$ gehört stets und nur dann
einem primitiven Formengeschlechte an, wenn für alle von den $(\DPtypo{p}{p_{i}})$
bzw.\
von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen Primzahlen~$p$\; $C_{p}^{(a)} = +1$ ist. So sollen
diese Formenteiler~$a$ im Folgenden gewählt vorausgesetzt werden.
Für eine solche Form ist also:
\[
\tag*{(4)}
\frakC(f_{a}) = \frakC(a)
  = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{0}}\right),
          \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{1}}\right), \dots
          \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{\mu}}\right)\!\right)
  = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{i}}\right)\!\right)
\]
der Gesamtcharakter; alle übrigen Charaktere sind gleich~$+1$. Speziell
ist für die Einheitsform $f_{1}(x, y)$ der Charakter~$\frakC(1)$ gleich dem
sogen.\ Einheitssystem $(+1, +1, \dots +1)$ oder kürzer geschrieben
$(+, +, \dots +)$. Die Anzahl aller verschiedenen primitiven Gesamtcharaktere
kann, wie oben bewiesen wurde, höchstens gleich $2^{\mu-1}$
bzw.\ $2^{\mu}$ sein.
\PageSep{358}{342}

Sind $a$ und $a'$ zwei beliebige rationale Zahlen, so besteht für jeden
Bereich $K(p)$ zwischen den Charakteren der drei Formen $f_{a}(x, y)$,
$f_{a'}(x, y)$ und $f_{aa'}(x, y)$ die Beziehung:
\[
C_{p}^{(aa')} = C_{p}^{(a)}·C_{p}^{(a')},
\]
weil ja
\[
\left(\frac{\bar{D},aa'}{p}\right) =
\left(\frac{\bar{D},a  }{p}\right)·
\left(\frac{\bar{D}, a'}{p}\right)
\]
ist. Gehören also $f_{a}$ und $f_{a'}$ zu primitiven Geschlechtern, so gilt dasselbe
für~$f_{aa'}$ und für ihre Gesamtcharaktere $\frakC(a)$,~$\frakC(a')$ und~$\frakC(aa')$ besteht
die wichtige und einfache Beziehung:
\[
\Tag{(5)}
\frakC(a)·\frakC(a') = \frakC(aa'),
\]
wenn auch hier, wie früher \aSeite{201} \Eq{(2)} unter dem Produkt
zweier Systeme $(C_{p_{i}}^{(a)})$ und $(C_{p_{i}}^{(a')})$ das System: $((C_{p_{i}}^{(a)}C_{p_{i}}^{(a')}))$ verstanden
wird. Hieraus folgt zunächst, daß die Gesamtheit der primitiven
Charaktere $(\frakC(a), \frakC(a'), \dots)$ aller Formen~$f_{a}(x, y)$ eine Gruppe
bildet, wenn die Multiplikation zweier Gesamtcharaktere wie soeben
angegeben definiert wird. Alsdann ist nämlich sowohl die Multiplikation
als auch die Division dieser Charaktere unbeschränkt und eindeutig
ausführbar. In der Tat besitzt auch die Gleichung
\[
\frakC(a)\Add{·}\frakC(x) = \frakC(a')
\]
die eindeutig bestimmte Lösung $\frakC(x) = \frakC(a) \frakC(a')$, weil ja
\[
\frakC(a)^{2} = \frakC(a^{2})
  = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a^{2}}{p_{i}}\right)\!\right)
  = (+1)
\]
ist, wo das vorher definierte Einheitssystem $(+1) = (+, +, \dots +)$
das Einheitselement für diesen Bereich aller Gesamtcharaktere ist.

Ich will jetzt ein einfaches sukzessives Verfahren angeben, mit
dessen Hülfe man ein vollständiges System von Formen
\[
f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2})
\]
vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen kann, welche alle überhaupt möglichen $2^{\mu-1}$
bzw.\ $2^{\mu}$ primitiven Gesamtcharaktere besitzen. Daraus folgt dann von
\PageSep{359}{343}
selbst, daß die Anzahl aller primitiven Formengeschlechter vom Kern~$\bar{D}$
wirklich genau diesen Wert hat.

Dazu beweise ich zuerst den folgenden Hülfssatz: Es sei
\[
\Tag{(6)}
f_{a_{1}}(x, y),\quad
f_{a_{2}}(x, y),\ \dots\quad
f_{a_{r}}(x, y)
\]
ein System von $r$~Formen $f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2})$, deren Gesamtcharaktere:
\[
\Tag{(6^{a})}
\frakC(a_{1}),\quad
\frakC(a_{2}),\ \dots\quad
\frakC(a_{r})
\]
sämtlich primitiv und voneinander verschieden sind und welche außerdem
für sich eine Gruppe bilden, so daß das Produkt $\frakC(a_{1}) \frakC(a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k})$
von zwei solchen Charakteren wiederum derselben Reihe~\Eq{(6^{a})} angehört.
Ist dann $p$ gleich~$-1$ oder gleich irgendeiner Primzahl, welche
nur so gewählt sein soll, daß der zugehörige Charakter~$\frakC(p)$ ebenfalls
primitiv ist und nicht in der Reihe~\Eq{(6^{a})} vorkommt, so bilden die $2r$
Formen
\[
\Tag{(7)}
f_{a_{i}}(x, y) \quad\text{und}\quad f_{pa_{i}}(x, y)
\]
ein neues ebensolches System, dessen $2r$ Charaktere:
\[
\Tag{(7^{a})}
\frakC(a_{i}) \quad\text{und}\quad \frakC(pa_{i})
\]
ebenfalls primitiv und alle von einander verschieden sind.

Zunächst bilden jene $2r$ Gesamtcharaktere wirklich eine Gruppe
weil ja jedes Produkt:
\begin{align*}
&\frakC(a_{i})  \frakC(pa_{k}) = \frakC(pa_{i} a_{k}) \\
&\frakC(pa_{i}) \DPtypo{C}{\frakC}(pa_{k}) = \frakC(p^{2} a_{i} a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k})
\end{align*}
in~\Eq{(7^{a})} vorkommt. Alle jene Charaktere sind auch primitiv, weil $\frakC(p)$
\ndV\ primitiv ist. Endlich sind alle jene $2r$ Gesamtcharaktere verschieden,
weil ja aus
\begin{alignat*}{3}
\frakC(pa_{i}) &= \frakC(a_{k})       &&\text{bzw.}\quad   &\frakC(pa_{i}) &= \frakC(pa_{k}) \\
\frakC(p)      &= \frakC(a_{i} a_{k})\quad&&\Ditto{bzw.}   &\frakC(a_{i})  &= \frakC(a_{k})
\end{alignat*}
folgen würde, was beides im Widerspruch mit unseren \DPtypo{Veraussetzungen}{Voraussetzungen}
steht.
\PageSep{360}{344}

Mit Hülfe dieses Satzes kann man nun folgendermaßen sukzessive
ein vollständiges Formensystem $f_{a}(x, y)$ für alle primitiven Gesamtcharaktere
aufbauen: Wir gehen aus von der Hauptform
$f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$ mit dem Gesamtcharakter $\frakC(1) = (+1)$. Ist
dann $f_{p}(x, y) = p(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ irgendeine Form, deren Teiler eine Primzahl
ist, und für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ primitiv und von
$\frakC(1)$ verschieden ist, so haben wir in $(\frakC(1), \frakC(p))$ ein System von
zwei verschiedenen primitiven Gesamtcharakteren. Ist ferner $p'$ eine
weitere Primzahl, für welche $\frakC(p')$ wieder primitiv und von $\frakC(1)$
und $\frakC(p)$ verschieden ist, so haben die vier Formen:
\[
f_{1}(x, y),\quad
f_{p}(x, y),\quad
f_{p'}(x, y),\quad
f_{pp'}(x, y)
\]
verschiedene primitive Charaktere $\frakC(1)$,~$\frakC(p)$, $\frakC(p')$,~$\frakC(pp')$. Geht
man in derselben Weise fort, so erhält man, die Existenz immer
weiterer solcher Primzahlen vorausgesetzt, zuletzt nach $(\mu - 1)$ bzw.\
$\mu$ Schritten ein System von Primzahlen:
\[
p,\ p',\ p'',\ \dots\ p^{(\mu-2)}  \quad\text{bzw.}\quad
p,\ p',\ \dots\ p^{(\mu-1)},
\]
die so ausgewählt sind, daß für die $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ aus ihnen gebildeten
Zahlen
\[
a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-2)^{\epsilon^{(\mu-2)}}} \quad\text{bzw.}\quad
a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-1)^{\epsilon^{(\mu-1)}}},
\]
in denen die Exponenten~$\epsilon^{(i)}$ Null oder Eins sein können, die zugehörigen
Formen $f_{a}(x, y)$ genau ebenso viele verschiedene primitive Gesamtcharaktere
haben, also wirklich ein vollständiges Formensystem für alle
überhaupt möglichen primitiven Geschlechter bilden.

Hier muß also nur noch bewiesen werden, daß man erstens stets
Primzahlen~$P$ so auswählen kann, daß der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$
primitiv ist, und daß zweitens $P$ so bestimmt werden kann, daß $\frakC(P)$
einem beliebig gegebenen primitiven Gesamtcharakter $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$
bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ gleich wird.

Wählt man nun zuerst $P = p_{r}$, also gleich einer der Zahlen $(p_{1}, \dots p_{\mu})$
für $\bar{D} = 4n + 1$ bzw.\ gleich einer der Zahlen $(p_{0}, p_{1}, \dots p_{\mu})$ für
$\bar{D} = 4n + 2$,~$3$, so ist der zugehörige Gesamtcharakter~$\frakC(p_{r})$ von selbst
primitiv; denn im zweiten Falle sind alle von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen
\PageSep{361}{345}
Primzahlen~$p$ sicher ungerade, also alle ihre Charaktere $C_{p} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{p}\right)$
gleich~$+1$, im ersten Falle ist für $p = 2$ der zugehörige Charakter
$C_{2} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{p_{r}-1}{2}} = +1$, weil $\bar{D} = 4n + 1$ ist.

Ist dagegen $P$ von den $(p_{i})$ bzw.\ $(p_{0}, p_{i})$ verschieden, so können
zu den Charakteren~$C_{p_{i}}$ höchstens noch die beiden Charaktere:
\[
C_{P} = \left(\frac{\bar{D}, P}{P}\right) \quad\text{und}\quad
C_{2} = \left(\frac{\bar{D}, P}{2}\right)
\]
hinzukommen, der letztere aber nur, wenn $\bar{D} = 4n + 1$, und zugleich
$P$ ungerade ist, denn für $P = 2$ fallen ja diese beiden Charaktere zusammen.
Da aber dann wieder $C_{2} = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{P-1}{2}} = +1$ ist, so
kann also in jedem Falle nur der eine Charakter~$C_{p}$ hinzutreten,
welcher möglicherweise nicht gleich~$+1$ sein könnte. Ist nun aber $P$
so gewählt, daß für alle übrigen $\mu$ bzw.\ $\mu + 1$ Charaktere:
\[
C_{p_{i}} = \epsilon_{i}
\]
ist, wo $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$ bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ irgendein vorgelegter
primitiver Gesamtcharakter ist, so muß auch dieser eine weitere \DPtypo{Charakter}{Charaktere}
$C_{p} = +1$ sein. Denn nach dem Hauptsatze \aSeite{327} \Eq{(4)} muß dann
sowohl die Anzahl der negativen Charaktere in dem System $(C_{p}, \epsilon_{i})$
als auch die Anzahl der negativen Charaktere im Systeme~$(\epsilon_{i})$ gerade,
\dh\ es muß wirklich $C_{p} = +1$ sein.

Endlich darf man dann und nur dann auch $P = -1$ wählen, wenn
$\bar{D} > 0$ ist, wenn also die Formen $f_{a}(x, y)$ für $K(p_{\infty})$ indefinit sind,
da für ein negatives~$\bar{D}$ der dann allein hinzutretende Charakter
$\left(\dfrac{\bar{D}, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$ werden würde.

Man kann also stets und nur dann unser Verfahren zur Aufstellung
eines vollständigen Formensystemes für alle primitiven Klassen vom
Kern~$\bar{D}$ anwenden, wenn man immer eine in $\bar{D}$ bzw.\ $2\bar{D}$ nicht enthaltene
Primzahl~$P$ finden kann, für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$ einem
gegebenen primitiven Charakter~$(\epsilon_{i})$ gleich wird, für welche also die
$\mu - 1$ bzw.\ $\mu$ Gleichungen:
\PageSep{362}{346}
\[
\left(\frac{\bar{D}, P}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i}\qquad
\begin{Conditions}
\left(
\begin{alignedat}{2}
& i = {} &&1, 2, \dots \mu \\
& \text{bzw.} \\
& i = 0, &&1, 2, \dots \mu
\end{alignedat}
\right)
\end{Conditions}
\]
sämtlich erfüllt sind. Nach dem \aSeite{339} geführten Beweise muß dazu
die Primzahl~$P$ in einer von $r$ arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthalten
\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}%
sein, deren Anfangsglieder die kleinsten positiven Lösungen der Gleichungen:
\[
\left(\frac{\bar{D}, m}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i}
\]
sind. Nach dem Dirichletschen Satze über die arithmetische Reihe sind
aber in jeder solchen Reihe sogar unendlich viele Primzahlen $P$ enthalten,
und damit ist also der verlangte Beweis, allerdings unter der
Voraussetzung jenes Satzes von Dirichlet, vollständig erbracht.


\Section{§ 9.}{Beispiele.}

Die für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ aufzustellenden Formen
$f_{d}(x, y) = d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ können stets in der Form
\[
\delta (ax^{2} + cy^{2})
\]
angenommen werden, wo
\[
ac = -\bar{D}
\]
eine der Zerlegungen von $-\bar{D}$ in zwei komplementäre Faktoren und
$\delta$~eine zu $\bar{D}$ teilerfremde Zahl ohne gleiche Faktoren ist. Setzt man
nämlich den Teiler~$d$ von~$f_{d}(x, y)$ in die Form $d = \delta a$, wo $a = (d, \bar{D})$
alle in $\bar{D}$ vorhandenen Primfaktoren von~$d$ enthält, und ist $\bar{D} = -ac$,
so wird ja in der Tat:
\[
d(x^{2} - \bar{D} y^{2})
  = \delta(ax^{2} + a^{2}cy^{2})
  = \delta(ax'^{2} + cy'^{2}),
\]
wenn $x' = x$, $y' = ay$ gesetzt wird. In dieser Form wollen wir jedesmal
die Formen unseres Systemes hinschreiben.

Ich wähle dabei zunächst immer alle primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$
aus, deren Gesamtcharaktere verschieden sind, und ziehe zu ihnen solche
nicht primitive Formen $p(ax^{2} + cy^{2})$ hinzu, für welche der Teiler~$p$
\PageSep{363}{347}
eine Primzahl ist und deren Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ sich unter den
vorhergehenden noch nicht findet.

Es sei zuerst
\[
%[** TN: Setting for consistency with (II)--(V) below]
\Tag{(I)}
\bar{D} = -105 = -3·5·7.
\]

Da hier $\bar{D} = 4n + 3$ ist, so sind für die Formen $f_{d}(x, y)$ die primitiven
Gesamtcharaktere:
\[
\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7}),
\]
wo
\begin{align*}
C_{2} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{2}\right)
       = \left(\frac{-1}{m_{0}}\right)
       = (-1)^{\efrac{m_{0}-1}{2}}, \\
C_{3} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{3}\right)
       = \left(\frac{m_{0}}{3}\right),\quad
C_{5}  = \left(\frac{m_{0}}{5}\right),\quad
C_{7}  = \left(\frac{m_{0}}{7}\right)
\end{align*}
ist, und wo jedesmal $m_{0}$ eine durch die Form darstellbare Einheit für
die betreffende Primzahl bedeutet. Da das Produkt der vier Charaktere
gleich~$+1$ sein muß, so gibt es hier genau $2^{4-1} = 8$ verschiedene
Gesamtcharaktere. Zunächst besitzen nun, wie man leicht berechnen
kann, die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$, nämlich
\[
x^{2} + 105y^{2},\quad
3x^{2} + 35y^{2},\quad
5x^{2} + 21y^{2},\quad
7x^{2} + 15y^{2}
\]
lauter verschiedene Charaktere. In der Tat ist ja für die Hauptform
$x^{2} + 105y^{2}$, wie immer, $\frakC(1) = (+ + + +)$; für die anderen Formen
vom Teiler $3$,~$5$ und~$7$, für welchen letzteren auch $15 = 3·5$ gesetzt
werden kann, ergibt sich:
\begin{align*}
\frakC(3) = \left(\!\left(\frac{-1}{3}\right),
                  \left(\frac{35}{3}\right),
                  \left(\frac{3}{5}\right),
                  \left(\frac{3}{7}\right)\!\right) &= (- - - -) \\
%
\frakC(5) = \left(\!\left(\frac{-1}{5}\right),
                  \left(\frac{5}{3}\right),
                  \left(\frac{21}{5}\right),
                  \left(\frac{5}{7}\right)\!\right) &= (+ - + -) \\
%
\frakC(7) = \frakC(3)·\frakC(5) = (- - - -)(+ - + -) &= (- + - +).
\end{align*}
Da nun endlich für die nicht in $\bar{D}$ enthaltene Primzahl $\delta = 2$ der Gesamtcharakter:
\[
\frakC(2) = \left(\!\left(\frac{-105, 2}{2}\right),
                  \left(\frac{2}{3}\right),
                  \left(\frac{2}{5}\right),
                  \left(\frac{2}{7}\right)\!\right) = (+ - - +)
\]
ist, weil hier $C_{2} = \left(\dfrac{2}{-105}\right) = +1$ ist, und da dieser Gesamtcharakter
\PageSep{364}{348}
unter den vier vorigen nicht vorkommt, so erhält man vier Formen mit
den noch fehlenden Gesamtcharakteren, wenn man die vorigen mit $2$
multipliziert. So ergibt sich die folgende Tabelle:
\[
\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}}
\hline
\hline
\ColHeadB{Form} & \ColHead{Gesamtcharakter} \\
\hline\Strut
\Z x^{2} +  105y^{2}\phantom{)} & \frakC(1)\Z = (+ + + +) \\
  3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & \frakC(3)\Z = (- - - -) \\
  5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & \frakC(5)\Z = (+ - + -) \\
  7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & \frakC(7)\Z = (- + - +) = \frakC(3) \frakC(5) \\
\hline\Strut
2(\Z x^{2}+  105y^{2}) & \frakC(2)\Z = (+ - - +) \\
2(3x^{2} + \Z35y^{2}) & \frakC(6)\Z = (- + + -) = \frakC(2) \frakC(3) \\
2(5x^{2} + \Z21y^{2}) & \frakC(10)  = (+ + - -) = \frakC(2) \frakC(5) \\
2(7x^{2} + \Z15y^{2}) & \frakC(14)  = (- - + +) = \frakC(2) \frakC(3) \frakC(5).
\end{array}
\]
Alle und nur diese Formen können, wie man bei der rechts stehenden
Darstellung sieht, auch in der Form $d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ geschrieben werden,
wo
\[
d = 2^{\epsilon} 3^{\epsilon'} 5^{\epsilon''}
\]
ist, und $\epsilon$,~$\epsilon'$,~$\epsilon''$ unabhängig voneinander die Werte $0$~und~$1$ annehmen
können.

Endlich mögen noch alle zu $2|\bar{D}| = 2·3·5·7$ teilerfremden Zahlen
angegeben werden, welche durch diese acht Formen überall darstellbar
sind. Soll nun eine solche Zahl~$m$ durch eine jener Formen
$d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ überall darstellbar sein, so muß ja
\begin{align*}
\frakC(m) &= \left(
             \left(\frac{\bar{D}, m}{2}\right),
             \left(\frac{\bar{D}, m}{3}\right),
	     \left(\frac{\bar{D}, m}{5}\right),
	     \left(\frac{\bar{D}, m}{7}\right)\!\right) \DPchg{=}{} \\
    &= \left((-1)^{\efrac{m-1}{2}},
             \left(\frac{m}{3}\right),
             \left(\frac{m}{5}\right),
             \left(\frac{m}{7}\right)\!\right)
  = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7})
\end{align*}
sein, während für alle Teiler~$p$ von~$m$\; $\left(\dfrac{\bar{D}}{p}\right) = +1$ ist. Je nach dem Gesamtcharakter
der untersuchten Form erhält man also jedesmal ein
System von vier Kongruenzen:
\PageSep{365}{349}
\begin{gather*}
m \equiv \Congr{1}{3}\ (\mod.~4),\quad
m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad
m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5), \\
m \equiv \Congr{1, 2\Add{,} 4}{3\Add{,} 5\Add{,} 6}\ (\mod.~7),
\end{gather*}
wo jedesmal auf der rechten Seite die obere bzw.\ untere Reihe dem
Falle entspricht, daß der betreffende Charakter~$C_{p}$ gleich $+1$ bzw.\ $-1$ ist.

Man erkennt so, daß $m$ modulo $4·3·5·7 = 420$ jedesmal auf
$1·1·2·3 = 6$ verschiedene Arten bestimmt, daß also alle durch jene
Form überall darstellbaren Zahlen in sechs arithmetischen Reihen
$420l + m_{0}$ enthalten sind, wo $m_{0}$ sechs verschiedene Werte hat.

Die Ausführung jener einfachen Rechnung ergibt für die acht Formen
das folgende Schema
\[
\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}}
\hline
\hline
\ColHeadB{Form} & \ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\
\hline\Strut
\Z x^{2} +  105y^{2}\phantom{)} & 420l + \Z1,  109, 121, 169, 289, 361 \\
  3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & 420l +  47, \Z83, 143, 167, 227, 383 \\
  5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & 420l +  41, \Z89, 101, 209, 269, 341 \\
  7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & 420l +  43, \Z67, 127, 163, 247, 403 \\
\hline\Strut
2(\Z x^{2} +  105y^{2})         & 420l +  53,  113, 137, 197, 233, 317 \\
2(3x^{2}   + \Z35y^{2})         & 420l +  19, \Z31, 139, 199, 271, 391 \\
2(5x^{2}   + \Z21y^{2})         & 420l +  13, \Z73,\Z97, 157, 313, 397 \\
2(7x^{2}   + \Z15y^{2})         & 420l +  11, \Z71, 179, 191, 239, 359. \\
\end{array}
\]
Alle und nur die in diesen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$
sind überhaupt durch eine Form vom Kern~$-105$ und von primitivem
Gesamtcharakter darstellbar, falls jedesmal $\bar{D}$ für alle Primteiler von~$m$
Rest ist. Diese letzte Bedingung ist nach dem Beweise \aSeite{345} für
alle in jenen Reihen enthaltenen Primzahlen von selbst erfüllt. Alle
jene Zahlen~$m$ verteilen sich endlich gleichmäßig auf die acht Formen
unseres Systems, je nachdem sie in den neben ihnen stehenden Reihen
enthalten sind.

In genau derselben Weise sind die folgenden Beispiele behandelt,
welche jetzt nur kurz angegeben zu werden brauchen:
\[
\Tag{(II)}
\bar{D} = -55 = -5·11 = 4n + 1.
\]
\PageSep{366}{350}
Für die Formen $f_{d}(x, y) = d (x^{2} - \bar{D} y^{2})$ ist also:
\[
\frakC(d) = (C_{5}, C_{11})
  = \left(\!\left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right), \left(\frac{\bar{m}_{0}}{11}\right)\!\right).
\]
Hier gibt es daher nur die beiden Gesamtcharaktere $(++)$~und~$(--)$,
zu denen offenbar die Formen $x^{2} + 55y^{2}$ und $2(x^{2} + 55y^{2})$ gehören.

Alle zu $2|\bar{D}| = 110$ teilerfremden Zahlen~$m$, welche durch eine Form
vom Kern~$-55$ überall darstellbar sind, müssen also einer der beiden
Bedingungen
\[
\frakC(m) = \left(\!\left(\frac{m}{5}\right), \left(\frac{m}{11}\right)\!\right)
  = (++) \quad\text{oder}\quad = (--)
\]
genügen, \dh\ für sie muß:
\[
m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad
m \equiv \Congr{1, 3, 4, 5, \Z9}{2, 6, 7, 8, 10}\ (\mod.~11)
\]
sein. So ergibt sich für die Formen vom Kern~$-55$ die folgende Tabelle:
\begin{gather*}
\begin{array}{r<{\;}|>{\;}c<{\;}|>{\;}l}
\hline
\hline
\ColHeadB{\small Form} &
\ColHeadB{\small \;Gesamtcharakter\;} &
\ColHead{\small zugehörige arithmetische Reihen} \\
\hline\Strut
  x^{2} +55y^{2}\phantom{)} & (++) & 110l +1, \Z9, 31, 49, 59, 69, 71, 81, 89, \Z91   \\
2(x^{2} +55y^{2})           & (--) & 110l +7,  13, 17, 43, 57, 63, 73, 83, 87,  107.
\end{array} \\
\Tag{(III)}
D = -42 = -2·3·7 = 8n + 6.
\end{gather*}
Hier ergibt sich für den Gesamtcharakter der Formen $f_{d}(x, y)$ nach
\Eq{(III')} \aSeite{334}:
\[
\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{7})
  = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}},
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right),
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right),
\]
und man erhält den vier möglichen Gesamtcharakteren entsprechend
die vier primitiven Formen
\[
 x^{2} + 42y^{2},\quad
3x^{2} + 14y^{2},\quad
2x^{2} + 21y^{2},\quad
6x^{2} +  7y^{2}.
\]

Für die zu $|\bar{D}| = 42$ teilerfremden, durch eine Form vom Kern~$-42$
darstellbaren Zahlen~$m$ muß hier:
\[
m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad
m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad
m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7)
\]
\PageSep{367}{351}
sein; man erhält danach leicht die folgende Tabelle:
\begin{gather*}
\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\quad}c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}}
\hline
\hline
\ColHeadB{Form} &
\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } &
\ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\
\hline\Strut
 x^{2} +  42y^{2} & (+++) & 168l + \Z1, 25, 43, 67,  121, 163  \\
3x^{2} +  14y^{2} & (+--) & 168l +  17, 41, 59, 83, \Z89, 131 \\
2x^{2} +  21y^{2} & (--+) & 168l +  23, 29, 53, 71, \Z95, 149 \\
6x^{2} + \Z7y^{2} & (-+-) & 168l +  13, 31, 55, 61,  103, 157.
\end{array} \\
\Tag{(IV)}
\bar{D} = -78 = -2·3·13 = 8n + 2. \\
\frakC(d) = (\frakC_{2}, \frakC_{3}, \frakC_{13})
  = \left((-1)^{\efrac{\bar{m}_{0}^{2}-1}{8}},
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right),
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{13}\right)\!\right).
\end{gather*}
Auch hier erhält man vier mögliche Gesamtcharaktere, denen wiederum
die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$ vom Kern~$-78$ entsprechen. Alle
zu $78$ teilerfremden durch solche Formen darstellbaren Zahlen~$m$ müssen
hier den Kongruenzen:
\begin{gather*}
m \equiv \Congr{1, 7}{3, 5}\ (\mod.~8),\quad
m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3), \\
m \equiv \Congr{1, 3, 4, 9, 10, 12}{2, 5, 6, 7, \Z8, 11}\ (\mod.~13)
\end{gather*}
genügen. Für jede von jenen vier Formen ergeben sich so $12$ arithmetische
Reihen mit der Differenz $8·3·13 = 312$; man erhält hier leicht
die folgende Tabelle:
\[
\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}}
\hline
\hline
\ColHeadB{Form} &
\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & \ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\
\hline\Strut
 x^{2} + 78y^{2} & (+++) & 312l + \Z\Z1, \Z25, \Z49, \Z55, \Z79, 103,\\
          &\qquad = \frakC(1) & \phantom{312l +{}}121, 127, 199, 207, 289, 295 \\
2x^{2} + 39y^{2} & (+--) & 312l +  \Z41, \Z47, \Z71, \Z89, 119, 137,\\
          &\qquad = \frakC(2) & \phantom{312l +{}}161, 167, 215, 239, 281, 305 \\
3x^{2} + 26y^{2} & (--+) & 312l +  \Z29, \Z35, \Z53, \Z77, 101, 107,\\
          &\qquad = \frakC(3) & \phantom{312l +{}}131, 155, 173, 179, 251, 269 \\
6x^{2} + 13y^{2} & (-+-) & 312l +  \Z19, \Z37, \Z67, \Z85, 109, 115,\\
          & = \frakC(2)·\frakC(3) & \phantom{312l +{}}163, 187, 229, 253, 301, 307.
\end{array}
\]

Alle bisher betrachteten Formen sind definit; sie stellen somit immer
nur die positiven in jenen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$
\PageSep{368}{352}
dar, für welche $D$ quadratischer Rest ist. Ich gebe endlich noch ein
einfaches Beispiel für einen positiven Kern~$\bar{D}$, für welchen also alle
positiven und negativen Zahlen in den zugehörigen arithmetischen
Reihen durch die betr.\ Formen dargestellt werden und für welchen auch
der Formenteiler $P = -1$ benutzt werden darf.\
\begin{gather*}
\Tag{(V)}
\bar{D} = + 70 = 2·5·7 = 8n + 6. \\
\frakC(d)
  = (C_{2}, C_{5}, C_{7})
  = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}},
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right),
          \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right).
\end{gather*}
Entsprechend den vier möglichen Charakteren kann man hier die Formen
wählen, welche aus der Hauptform $x^{2} - 70y^{2}$ durch Multiplikation mit
$-1$~und~$2$ hervorgehen, da die zugehörigen Charaktere:
\[
\frakC(-1) = (-+-) \quad\text{und}\quad \frakC(2) = (--+)
\]
voneinander verschieden sind. Die Bedingungen für die Darstellbarkeit
aller zu $70$ teilerfremden positiven oder negativen Zahlen werden hier:
\[
m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad
m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad
m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7).
\]

Diese Zahlen~$m$ sind somit hier modulo $8·5·7 = 280$ auf
$2·2·3 = 12$ verschiedene Arten bestimmt. Man erhält hier die
folgende Tabelle:
\[
\begin{array}{@{\ }r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\ }}
\hline
\hline
\ColHeadB{Form} &
\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } &
\ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\
\hline\Strut
 x^{2} -     70y^{2} & (+++) & 280l + \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\
                     & \qquad= \frakC(1)  & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\
70x^{2} - \Z\Z y^{2} & (-+-) & 280l - \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\
                     & \qquad= \frakC(-1) & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\
2x^{2} -     35y^{2} & (--+) & 280l +  23,  37, 53, 93, 127, 183, \\
                     & \qquad= \frakC(2)  & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277 \\
35x^{2} -   \Z2y^{2} & (+--) & 280l -  23,  37, 53, 93, 127, 183, \\
                     & \qquad= \frakC(-2) & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277.
\end{array}
\]
\PageSep{369}{353}

\BackMatter
\printindex
\iffalse
\begin{center}
{\large Sachregister.}

\vspace{\baselineskip}

{\footnotesize (Die Ziffern bezeichnen die Seite, auf welcher sich das betreffende Wort meistens
gesperrt gedruckt findet und erklärt wird.)}
\end{center}

Abgeleitete Reihe 126.

Ableitung einer Funktion 130.
  einer Potenzreihe 126.

Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl 197.

Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl 108.

Absoluter Wert einer Zahl 18.

Addition der Logarithmen 165.
  $g$-adischer Zahlen 63.

Äquivalente $g$-adische Zahlen 202.
  Formen desselben Kernes 339.
  quadratische Formen 295.
  quadratische Formen modulo~$p$ 300.

Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe 112.

Anzahl der Divisoren einer Zahl 35.

Archimedisches Axiom 114.

Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer 32, 303, 346.

Assoziatives Gesetz der Addition 1.
  Gesetz der Multiplikation 2.


Basis eines Moduls 10.

Bedingt konvergente Reihen 118.

Binäre quadratische Formen 294.


Charakter einer Form in bezug auf~$p$ 327.


Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$ 293.

Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen 325.

Definite und indefinite Formen für~$K(p)$ 330.

Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol 318.

Differentiation 126.

Differentialquotient 130.

Differenz der Logarithmen 166, 215.

Differenzierbare Funktion 130.

Differenz zweier Potenzreihen 124.

Diskriminante binärer Formen 302.

Distributives Gesetz 2.

Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen 3.

Divisoren der Null 92.

Doppelreihe 118.


Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form 300.

Einheit modulo~$g$ 96.
  rationale für d.Bereich von~$g$ 38.

Einheitselement für die Addition 3.
  für die Multiplikation 5.

Einheitsklassen modulo~$g$ 41, 96.

Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163.

Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197.
\fi
\PageSep{370}{354}
\iffalse
Einsklasse modulo~$g$ 40.

Element einer Ordnungszahl 200.

Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz 270.

Euklidisches Teilerverfahren 22.

Eulersches Kriterium 262.

Exponent eines Elementes in einer Gruppe 105.

Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$ 139.

Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$ 205.


Fermatscher Satz (kleiner) 103.

Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen 321.

Funktion 129.


$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen 49.

$g$-adische
  Zahlen, allgemeine 57, 63.
  Zahlen, ganze und gebrochene 58, 61.

Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$ 36.

Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen 185.

Gausssche Funktion~$\phi(g)$ 97.

Gausssches Lemma 266.

Gemeinsamer Teiler, größter 20.

Gemeinsames Vielfaches, kleinstes 26.

Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts 340.

Geschlechter binärer Formen 339.

Gleichheit
  der Indizes d.\ Einheiten 177.
  der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln 211.

Gleichheit
  der Logarithmen 165.
  für den Bereich von~$g$ 75.
  $g$-adischer Zahlen 60, 63.
  zweier Ordnungszahlen 202.
  zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl 76.

Grenzwert 114.

Goldbachs Theorem 29.

Größe
  d.\ $g$-adischen Zahlen 202.
  d.\ $p$-adischen Zahlen 112.

Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz) 1, 2, 3.

Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte 198.

Gruppen 10.


Halbsystem 265.

Haupteinheit, %[** TN: Inconsistently formatted in the original]
  zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163.
  zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197.

Haupteinheit modulo~$g$ 103.

Hauptform, binäre 314.

Hauptklasse modulo~$g$ 103.

Hauptlogarithmus
  e.\ $p$-adischen Zahl 164.
  e.\ $g$-adischen Zahl 207.
  e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293.

Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ 315.


Index
  einer Einheit modulo~$p^{k}$ 176.
  einer Einheit modulo~$2^{k}$ 177.
  einer Einheit modulo~$g$ 221.
  einer $g$-adischen Einheitswurzel 211.
%[** Inconsistently formatted in the original]
  einer $g$-adischen Zahl 215.
  einer $p$-adischen Zahl 163.
  einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293.

Indexteiler
  einer $p$-adischen Zahl 167.
  einer $g$-adischen Zahl 217.

Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$ 160.

Inverse Substitution 295.


Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ 281.


Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante} 334.

Kommutatives
  Gesetz d.\ Addition 2.
  Gesetz d.\ Multiplikation 2.

Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes 213.
\fi
\PageSep{371}{355}
\iffalse
Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl 88.

Kongruente
  Zahlen 183.
  Zahlen modulo~$g$ 40.

Kongruenz
  modulo~$g^{\rho}$ 51.
  $g$-adischer Zahlen 59, 63.

Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$ 40.

Konvergenz 114.

Konvergente $p$-adische Reihen 117.

Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe 121.

Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$ 47.

Körper
  $K(a, b, \dots c)$ 6.
  $K(1)$ d.\ rationalen Zahlen 40.
  $K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen 107.


Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ 250.

Logarithmus
  e.\ $p$-adischen Zahl 164.
  e.\ $g$-adischen Zahl 215.
  e.\ $p$-adischen Haupteinheit 143.
%[** Next two entries inconsistently formatted in the original]
  e.\ $g$-adischen Haupteinheit 206.
  e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293.


Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung 147.

Minuendus 3.

Modul
  $M(a, b, c, \dots)$ 8.
  einer Kongruenz 40.

Multiplikation $g$-adischer Zahlen 63.


Näherungswerte $g$-adischer Zahlen 55, 58.

Näherungswerte unendlicher Reihen 117.

Näherungswerte der Potenzreihen 119.

Negative Ordnungszahlen 202.

Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl 88.

Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl 89.

Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl 38.

Nullklasse modulo~$g$ 40.

Nullkörper~$K(0)$ 7.

Nullmodul~$M(0)$ 9.

Numerus e.\ Logarithmus 165.


Ordnungszahl
  für d.\ Bereich v.~$p$ 107.
  für d.\ Bereich v.~$g$ 199.


$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene 108.

Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln 212.

Primitive
  Einheitswurzeln 152.
  Formen 332.
  Wurzeln modulo~$p$ 161.
  Wurzeln modulo~$p^{k}$ 173.

Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$ 293.

Primteiler der Null 92.

Primzahlen 28.

Produkt zweier Potenzreihen 124.


Quadratische
  Form 214.
  Reste modulo~$p$ 260.
  Reste für~$K(p_{\infty})$ 293.

Quotient 3, 15.

Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$ 100.

Quotient
  $p$-adischer Zahlen 109.
  $g$-adischer Zahlen 189.

Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe 121.

Reduzierte Form 296.

Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl 251.

Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen 54, 58.

Restsystem, vollständiges, modulo~$g$ 43.

Reziproke Einheit 100.

Reziprozitätsgesetz 272.
  f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol 282, 324.

Ring 13.
  aus zwei Körpern komponierter 15.
  aller modulo~$g$ ganzen Zahlen 37.
\fi
\PageSep{372}{356}
\iffalse
Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$ 47.

Sieb d.\ Eratosthenes 28.

Stetige Funktionen 130.

Strahlen 10.

Subtrahendus 3.

Subtraktion
  $g$-adischer Zahlen 68.
  Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen 2.

Summe
  der Logarithmen 165, 215.
  e.\ $p$-adischen Reihe 117.
  zweier Potenzreihen 124.
  der Divisoren e.\ Zahl 35.


Taylorsche Entwickelung 131.

Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$ 39.

Teilbereich e.\ Ringes 76.

Teiler
  der Null 92.
  eines Indexsystemes 213.
  des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl 217.
  e.\ quadratischen Form 294.
  e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$ 96.

Teilerfremde Zahlen 24.

Ternäre quadratische Formen 294.

Tschebyscheffs Primzahlsatz 31.


Umgebung einer Zahl 129.

Unbedingt konvergente Reihen 118.

Unendlich kleine Werte 129.

Untergruppen 12.


Veränderliche oder variable Größe 129.


Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$ 70, 77.

Wert e.\ Quotienten modulo~$M$ 186.

Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$ 208.


Zahlensysteme 200.

Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten 39.

Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren 33.
\fi
%%%% End of index text %%%%
\iffalse
\TitleHead{Druckfehler.}

\begin{tabular}{l@{ }c@{ } l@{ }}
S. 138 & Z. 14 & von \PadTxt{unten}{oben} statt
  $\bar{\alpha}_{0}, \bar{\alpha}_{1}, \dots \bar{\alpha}_{\nu}$ lies
  $\bar{a}_{0}, \bar{a}_{1}, \dots \bar{a}_{\nu}$. \\
S. 164 & Z. 10 & \Ditto{von} unten \Ditto{statt} \PadTxt{sind}{st} lies ist. \\
S. 238 & Z. 10 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$p^{\efrac{k}{}}$} \Ditto{lies}{,,} $p^{\efrac{k}{\mu}}$. \\
S. 263 & \multicolumn{2}{l}{Seitenüberschrift ist § 1 hinzuzufügen.} \\
S. 299 & Z. 11 & von unten statt & \PadTxt{sind}{m} lies im. \\
S. 301 &Z. \Z1 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$2b$} \Ditto{lies} $b$. \\
S. 317 &Z. \Z6 & \Ditto{von} \PadTxt{unten}{oben} \Ditto{statt} & sind \Ditto{lies} ist.
\end{tabular}
\fi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\FlushRunningHeads
\vfill
\PGLicense
\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE ***

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promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including including checks, online payments and credit card
donations.  To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.net

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel     %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE ***               %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 38986-t.tex or 38986-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://book.klll.cc/3/8/9/8/38986/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
@ControlwordReplace = (
  ['\\tableofcontents', 'Inhaltsverzeichnis.'],
  ['\\printindex', 'Sachregister.'],
  ['\\Vorrede', 'Vorrede.'],
  ['\\PGBoilerPlate', ''],
  ['\\aaO', 'a. a. O.'],
  ['\\dh', 'd. h.'],
  ['\\ndV', 'n. d. V.'],
  ['\\sg', 's. g.'],
  ['\\ua', 'u. a.'],
  ['\\wzbw', 'w. z. b. w.'],
  ['\\zB', 'z. B.'],
  ['\\ZB', 'Z. B.'],
  ['\\zT', 'z. T.'],
  ['\\end{Theorem}', ''],
  ['\\begin{Enum}', ''],
  ['\\end{Enum}', '']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\Preface', 1, 1, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\begin{Theorem}', 0, 0, '', ''],
  ['\\TranscribersNote', 1, 0, '', ''],
  ['\\Signature', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Name', 1, 1, '', ''],
  ['\\Axiom', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\index', 1, 0, '', ''],
  ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Ordsup', 1, 1, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Seite', 1, 1, 'S. ', ''],
  ['\\aSeite', 1, 1, 'a. S. ', ''],
  ['\\Eq', 1, 1, '', ''],
  ['\\PageLabel', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\PageRef', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Iref', 0, 1, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Errata', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\DPchg', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Add', 1, 1, '', '']
  );

$PageSeparator = qr/^\\PageSep/;
$CustomClean = 'print "\\nCustom cleaning in progress...";
my $cline = 0;
 while ($cline <= $#file) {
   $file[$cline] =~ s/--------[^\n]*\n//; # strip page separators
   $cline++
 }
 print "done\\n";';
###
This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) (format=pdflatex 2011.9.6)  25 FEB 2012 20:09
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**38986-t.tex
(./38986-t.tex
LaTeX2e <2009/09/24>
Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, farsi, arabic, croatian, bulgarian, ukrainian, russian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, french, basque, ngerman, german, german-x-2009-06-1
9, ngerman-x-2009-06-19, ibycus, monogreek, greek, ancientgreek, hungarian, san
skrit, italian, latin, latvian, lithuanian, mongolian2a, mongolian, bokmal, nyn
orsk, romanian, irish, coptic, serbian, turkish, welsh, esperanto, uppersorbian
, estonian, indonesian, interlingua, icelandic, kurmanji, slovenian, polish, po
rtuguese, spanish, galician, catalan, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2008/03/30 v1.1d Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2008/03/30 v1.1d Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/var/lib/texmf/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2008/07/06 v3.8l The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2008/06/01 v2.6m German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2008/07/06 v3.8l Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 102.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count96
\dspbrk@lvl=\count97
\tag@help=\toks17
\row@=\count98
\column@=\count99
\maxfields@=\count100
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen107
\alignsep@=\dimen108
\tagshift@=\dimen109
\tagwidth@=\dimen110
\totwidth@=\dimen111
\lineht@=\dimen112
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2009/06/22 v3.00
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 96.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
Package: array 2008/09/09 v2.4c Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen113
\extrarowheight=\dimen114
\NC@list=\toks21
\extratabsurround=\skip46
\backup@length=\skip47
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks22
\footnotemargin=\dimen115
\c@pp@next@reset=\count101
\c@@fnserial=\count102
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 855.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 863.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 872.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 883.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 903.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 924
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/multicol.sty
Package: multicol 2008/12/05 v1.6h multicolumn formatting (FMi)
\c@tracingmulticols=\count103
\mult@box=\box28
\multicol@leftmargin=\dimen116
\c@unbalance=\count104
\c@collectmore=\count105
\doublecol@number=\count106
\multicoltolerance=\count107
\multicolpretolerance=\count108
\full@width=\dimen117
\page@free=\dimen118
\premulticols=\dimen119
\postmulticols=\dimen120
\multicolsep=\skip48
\multicolbaselineskip=\skip49
\partial@page=\box29
\last@line=\box30
\mult@rightbox=\box31
\mult@grightbox=\box32
\mult@gfirstbox=\box33
\mult@firstbox=\box34
\@tempa=\box35
\@tempa=\box36
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\@tempa=\box40
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\@tempa=\box50
\@tempa=\box51
\c@columnbadness=\count109
\c@finalcolumnbadness=\count110
\last@try=\dimen121
\multicolovershoot=\dimen122
\multicolundershoot=\dimen123
\mult@nat@firstbox=\box52
\colbreak@box=\box53
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/makeidx.sty
Package: makeidx 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/icomma.sty
Package: icomma 2002/03/10 v2.0 (WaS)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks23
\SOUL@lasttoken=\toks24
\SOUL@cmds=\toks25
\SOUL@buffer=\toks26
\SOUL@token=\toks27
\SOUL@spaceskip=\skip50
\SOUL@ttwidth=\dimen124
\SOUL@uldp=\dimen125
\SOUL@ulht=\dimen126
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fix-cm.sty
Package: fix-cm 2006/09/13 v1.1m fixes to LaTeX
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count111
\calc@Bcount=\count112
\calc@Adimen=\dimen127
\calc@Bdimen=\dimen128
\calc@Askip=\skip51
\calc@Bskip=\skip52
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 76.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 77.
\calc@Ccount=\count113
\calc@Cskip=\skip53
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip54
\f@ncyO@elh=\skip55
\f@ncyO@erh=\skip56
\f@ncyO@olh=\skip57
\f@ncyO@orh=\skip58
\f@ncyO@elf=\skip59
\f@ncyO@erf=\skip60
\f@ncyO@olf=\skip61
\f@ncyO@orf=\skip62
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2008/12/21 v4.2 Page Geometry
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks28
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
Package: ifpdf 2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO)
Package ifpdf Info: pdfTeX in pdf mode detected.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
Package: ifvtex 2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO)
Package ifvtex Info: VTeX not detected.
)
\Gm@cnth=\count114
\Gm@cntv=\count115
\c@Gm@tempcnt=\count116
\Gm@bindingoffset=\dimen129
\Gm@wd@mp=\dimen130
\Gm@odd@mp=\dimen131
\Gm@even@mp=\dimen132
\Gm@dimlist=\toks29
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
Package: ifxetex 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/hycolor.sty
Package: hycolor 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (H
O)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/xcolor-patch.sty
Package: xcolor-patch 2009/10/02 xcolor patch
))
\@linkdim=\dimen133
\Hy@linkcounter=\count117
\Hy@pagecounter=\count118
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty
Package: etexcmds 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
Package: infwarerr 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO)
)
Package etexcmds Info: Could not find \expanded.
(etexcmds)             That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or
(etexcmds)             that some package has redefined \expanded.
(etexcmds)             In the latter case, load this package earlier.
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty
Package: kvsetkeys 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler suppor
t (HO)
))
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2864.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2864.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2864.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 286
4.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2864.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2864.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2864.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2975.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2980.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2983.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2990.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2995.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 3191.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2006/04/12  ver 3.3  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 3428.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bitset.sty
Package: bitset 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/intcalc.sty
Package: intcalc 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bigintcalc.sty
Package: bigintcalc 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty
Package: pdftexcmds 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions
 (HO)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
Package: ifluatex 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO)
Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
Package: ltxcmds 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO
)
)
Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
)))
\Fld@menulength=\count119
\Field@Width=\dimen134
\Fld@charsize=\dimen135
\Field@toks=\toks30
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4377.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4382.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4385.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 4392.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 4395.
Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 4402.
Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 4407.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
Package: atbegshi 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO)
)
\Hy@abspage=\count120
\c@Item=\count121
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count122
)
\ParIndent=\skip63
\TmpLen=\skip64
\c@ChapNo=\count123
\c@SectNo=\count124
\c@tocentry=\count125
\@indexfile=\write3
\openout3 = `38986-t.idx'.

Writing index file 38986-t.idx
(./38986-t.aux)
\openout1 = `38986-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 642.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 642.
*geometry auto-detecting driver*
*geometry detected driver: pdftex*
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt
v-parts: 4.15848pt, 495.49379pt, 6.23773pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  379.4175pt
\paperheight 505.89pt
\textwidth  361.34999pt
\textheight 433.62pt
\oddsidemargin  -63.23624pt
\evensidemargin -63.23624pt
\topmargin  -68.11151pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count126
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.mkii
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count127
\scratchdimen=\dimen136
\scratchbox=\box54
\nofMPsegments=\count128
\nofMParguments=\count129
\everyMPshowfont=\toks31
\MPscratchCnt=\count130
\MPscratchDim=\dimen137
\MPnumerator=\count131
\everyMPtoPDFconversion=\toks32
)))
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 642.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count132
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 642.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 642.
(./38986-t.out) (./38986-t.out)
\@outlinefile=\write4
\openout4 = `38986-t.out'.

\AtBeginShipoutBox=\box55
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 670.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 670.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B
) [1



{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] [3


] [4] [5] [6] [7] (./38986-t.toc [8

] [9] [10] [11] [12])
\tf@toc=\write5
\openout5 = `38986-t.toc'.

[13] [1





] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21


] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [3
7] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45


] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [6
1] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70


] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80]
Underfull \vbox (badness 1502) has occurred while \output is active []

[81] [82] [83] [84] [85] [86


] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] 
[102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 5483.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur
) [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]
[124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133


] [134] [135] [136] [137] [138] [139]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[140]
Underfull \vbox (badness 5260) has occurred while \output is active []

[141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153]
Underfull \vbox (badness 3128) has occurred while \output is active []

[154] [155] [156] [157] [158] [159] [160


] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173]
[174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [
187] [188] [189] [190] [191


] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204]
[205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [
218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [2
31] [232] [233] [234] [235


] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242]
Underfull \vbox (badness 2529) has occurred while \output is active []

[243]
Underfull \vbox (badness 3229) has occurred while \output is active []

[244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [
257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [2
70] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [28
3] [284] [285


] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298]
[299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [
312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324


] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337]
[338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348]
Overfull \hbox (3.48738pt too wide) in paragraph at lines 14888--14888
[] 
 []

[349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [
362] [363] [364] [365] [366


] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379]
[380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [
393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403] [404] [405] [4
06] [407] [408] [409] [410] [411]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [
425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [4
38]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[439] [440]
Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in paragraph at lines 18376--18376
[] 
 []


Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in alignment at lines 18376--18376
[] [] 
 []

[441]
Overfull \hbox (0.80354pt too wide) detected at line 18451
[]
 []


Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[442] [443] [444] (./38986-t.ind [445





] [446] [447] [448] [449])
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[1






]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[2]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[3]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[4]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[5]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[6]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[7]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[8] [9] (./38986-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2008/03/30 v1.1d Input encoding file
  latin1.def    2008/03/30 v1.1d Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2008/07/06 v3.8l The Babel package
 germanb.ldf    2008/06/01 v2.6m German support from the babel system
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2009/06/22 v3.00
amsfonts.sty    2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   array.sty    2008/09/09 v2.4c Tabular extension package (FMi)
footmisc.sty    2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities
multicol.sty    2008/12/05 v1.6h multicolumn formatting (FMi)
 makeidx.sty    2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
  icomma.sty    2002/03/10 v2.0 (WaS)
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
  fix-cm.sty    2006/09/13 v1.1m fixes to LaTeX
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
    calc.sty    2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2008/12/21 v4.2 Page Geometry
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
   ifpdf.sty    2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO)
  ifvtex.sty    2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO)
geometry.cfg
hyperref.sty    2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX
 ifxetex.sty    2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional
 hycolor.sty    2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (HO
)
xcolor-patch.sty    2009/10/02 xcolor patch
  pd1enc.def    2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
etexcmds.sty    2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO)
infwarerr.sty    2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO)
kvsetkeys.sty    2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler support 
(HO)
     url.sty    2006/04/12  ver 3.3  Verb mode for urls, etc.
  bitset.sty    2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO)
 intcalc.sty    2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO)
bigintcalc.sty    2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO)
pdftexcmds.sty    2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions (
HO)
ifluatex.sty    2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO)
 ltxcmds.sty    2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO)

atbegshi.sty    2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO)
 hpdftex.def    2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX
supp-pdf.mkii
 nameref.sty    2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO)
 38986-t.out
 38986-t.out
    umsa.fd    2009/06/22 v3.00 AMS symbols A
    umsb.fd    2009/06/22 v3.00 AMS symbols B
    ueuf.fd    2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur
 38986-t.ind
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 9337 strings out of 493848
 120766 string characters out of 1152824
 240948 words of memory out of 3000000
 10743 multiletter control sequences out of 15000+50000
 34798 words of font info for 93 fonts, out of 3000000 for 9000
 714 hyphenation exceptions out of 8191
 37i,21n,43p,355b,689s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fon
ts/type1/public/amsfonts/cmextra/cmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/am
sfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c
mmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></u
sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/public/amsfonts/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/p
ublic/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfont
s/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy6.pfb></usr/sha
re/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmti12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
type1/public/amsfonts/euler/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu
blic/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/a
msfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfont
s/symbols/msbm7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb>
</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fo
nts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-
super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb><
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